專題06解直角三角形的應(yīng)用(原卷版+解析)

解直角三角形的應(yīng)用華師版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)期末考試，通常用“解直角三角形的應(yīng)用”，作為解答題的第五題。關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出三角形，并將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，熟悉直角三角形的邊角關(guān)系。1．如圖，燈塔C在海島A的北偏東方向，某天上午8點(diǎn)，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度由西向東方向航行，10時(shí)整到達(dá)B處，此時(shí)，測(cè)得燈塔C在B處的北偏東方向．(1)求B處到燈塔C的距離；(2)已知在以燈塔C為中心，周圍16海里的范圍內(nèi)均有暗礁，若該船繼續(xù)由西向東航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)你說(shuō)明理由．2．如圖，某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了“利用三角函數(shù)測(cè)高后”，選定測(cè)量小河對(duì)面一幢建筑物的高度．他們先在斜坡的D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為，且D離地面的高度為9米，坡底的長(zhǎng)度米，然后在A處測(cè)得建筑物頂端B的仰角為，點(diǎn)E，A，C在同一水平線上，求建筑物的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）3．如圖，張華同學(xué)在他學(xué)校某建筑物的C點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為，若旗桿底部B點(diǎn)到建筑物的水平距離米，旗桿臺(tái)階高1米，求旗桿頂點(diǎn)A離地面的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．4．如圖，小開家所在居民樓，樓底C點(diǎn)的左側(cè)30米處有一個(gè)山坡，坡角為，E點(diǎn)處有一個(gè)圖書館，山坡坡底到圖書館的距離為40米，在圖書館E點(diǎn)處測(cè)得小開家的窗戶B點(diǎn)的仰角為，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi)．(1)求的高度；（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈1．73）(2)某天，小開到家后發(fā)現(xiàn)有資料落在圖書館，此時(shí)離圖書館閉館僅剩5分鐘，若小開在平地的速度為6m/s，上坡速度為4m/s，電梯速度為1．25m/s，等候電梯及上、下乘客所耽誤時(shí)間共3分鐘，請(qǐng)問(wèn)小開能否在閉館前趕到圖書館？5．九年級(jí)二班學(xué)生到某勞動(dòng)教育實(shí)踐基地開展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)天，他們先從基地門口A處向正北方向走了220米，到達(dá)菜園B處鋤草，再?gòu)腂處沿正西方向走了200米，到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了200米，到達(dá)手工坊D處進(jìn)行手工制作，最后從D處回到門口A處．(1)求從手工坊D處回到門口A處的距離．(2)求從手工坊D處回到門口A處的方位角．[參考數(shù)據(jù)：，，]6．端午節(jié)賽龍舟，小紅在河畔的一幢樓上看到一艘龍舟迎面駛來(lái)，她在高出水面30m的A處測(cè)得在C處的龍舟俯角為；她登高15m到正上方的B處測(cè)得駛至D處的龍舟俯角為，問(wèn)兩次觀測(cè)期間龍舟前進(jìn)了多少？（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，，）7．某學(xué)校升氣球慶祝黨的二十大勝利召開．如圖，一氣球到達(dá)離地面高度為米的處時(shí)，儀器顯示正前方一高樓頂部的仰角是，底部的俯角是．氣球要飛到樓頂，應(yīng)至少再上升多少米？（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，，）8．如圖所示，某水庫(kù)大壩的橫斷面是四邊形，，壩頂寬米，壩高米，背水坡AB的坡度是，迎水坡CD的坡度是，求壩底寬．9．如圖，在電線桿上的C處引拉線和固定電線桿．在離電線桿6米的B處安置測(cè)角儀（點(diǎn)B、E、D在同一直線上），在點(diǎn)A處測(cè)得電線桿上C處的仰角為．已知測(cè)角儀的高為米，拉線的長(zhǎng)為6米，求測(cè)角儀底端（點(diǎn)B）與拉線固定點(diǎn)（E）之間的距離．10．為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測(cè)．某學(xué)校大門高6.5米，學(xué)生身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測(cè)得攝像頭A的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)C處測(cè)得攝像頭A的仰角為，求體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）11．為踐行“綠水青山就是金山銀山"的重要思想，我省森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動(dòng)．如圖，發(fā)現(xiàn)古樹是直立于水平面，為測(cè)量古樹的高度，小明從古樹底端出發(fā)，沿水平方向行走了米到達(dá)點(diǎn)C，然后沿斜坡前進(jìn)，到達(dá)坡頂D點(diǎn)處，，在點(diǎn)D處放置測(cè)角儀，測(cè)角儀支架高度為米，在E點(diǎn)處測(cè)得古樹頂端A點(diǎn)的仰角為（點(diǎn)在同一平面內(nèi)），斜坡的坡度（或坡比）．(1)求斜坡的高；(2)求古樹的高？（已知，，）12．體溫檢測(cè)是疫情防控中的一項(xiàng)重要工作，某公司設(shè)計(jì)了一款紅外線體溫檢測(cè)儀，該設(shè)備通過(guò)探測(cè)人體紅外輻射的能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速體溫檢測(cè)．如圖，是水平地面，其中是測(cè)溫區(qū)域，測(cè)溫儀安裝在豎直標(biāo)桿上的點(diǎn)D處，若該測(cè)溫儀能識(shí)別體溫的最大張角為（即），能識(shí)別體溫的最小張角為（即）(1)當(dāng)設(shè)備安裝高度為2米時(shí)，求測(cè)溫區(qū)域的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)為了達(dá)到良好的檢到效果，該公司要求測(cè)溫區(qū)的長(zhǎng)不低于米，則設(shè)備的最低安裝高度約是___________米．（結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）13．八仙閣是八仙山公園里的一個(gè)主景區(qū)，八仙閣也是晉江的一個(gè)標(biāo)志性建筑．在閣樓上可以看到整個(gè)八仙山公園全景，甚至周圍景觀都能盡收眼底．小明想知道它的高度．于是走到點(diǎn)C處，測(cè)得此時(shí)塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至點(diǎn)F處，測(cè)得此時(shí)塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛離地面高度是1.5米，請(qǐng)聰明的你幫他求出八仙閣AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）14．小明想網(wǎng)購(gòu)一個(gè)拉桿箱，如圖是他網(wǎng)上看到的某種拉桿箱的示意圖，并獲得了以下信息：箱桿、箱長(zhǎng)、拉桿的長(zhǎng)度都相等，點(diǎn)B、F在上，與相交于點(diǎn)C，支桿．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題：(1)求的長(zhǎng)度(結(jié)果保留根號(hào))；(2)求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿的距離(結(jié)果保留根號(hào))．15．期中測(cè)試臨近學(xué)生都在緊張的復(fù)習(xí)中，小甘和小西相約周末去圖書館復(fù)習(xí)，如圖，小甘從家A地沿著正東方向走900m到小西家B地，經(jīng)測(cè)量圖書館C地在B地的北偏東15°，C地在A地的東北方向．(1)求的距離：(2)兩人準(zhǔn)備從B地出發(fā)，實(shí)然接到疾控中心通知，一名確診的新冠陽(yáng)性患者昨天經(jīng)過(guò)了C地，并沿著C地南偏東走了1800m到達(dá)D地，根據(jù)相關(guān)要求，凡是確診者途徑之處800m區(qū)域以內(nèi)都會(huì)劃為管控區(qū)，問(wèn)：小西家會(huì)被劃為管控區(qū)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：）．16．消防車是救援火災(zāi)的主要裝備，圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，張角（），轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面的高度AE為4米．(1)當(dāng)起重臂AC的長(zhǎng)度為24米，張角時(shí)，云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的長(zhǎng)為________米．(2)某日一棟大樓突發(fā)火災(zāi)，著火點(diǎn)距離地面的高度為26米，該消防車在這棟樓下能否實(shí)施有效救援？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：）．（提示：當(dāng)起重臂AC伸到最長(zhǎng)且張角最大時(shí)，云梯頂端C可以達(dá)到最大高度）17．如圖，和兩幢樓地面距離為30米，從樓AB的頂部點(diǎn)A測(cè)得樓的頂部點(diǎn)D的仰角為53°，從樓的頂部點(diǎn)測(cè)得樓的底部點(diǎn)C的俯角為45°．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的大?。?2)求樓、的高度（結(jié)果保留1位小數(shù)）18．如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為60°看這棟高樓底部的俯角為30°熱氣球與高樓的水平距離為120米，請(qǐng)問(wèn)：這棟高樓的樓高為多少米?（，結(jié)果精確到0.1米）19．如圖，學(xué)?？萍夹〗M，計(jì)劃測(cè)量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測(cè)到D的仰角，向塔正前方水平直行到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)到塔尖的仰角，若小明的眼睛離地面，你能計(jì)算出塔的高度DE嗎？寫出計(jì)算過(guò)程．20．如圖，一位自行車愛(ài)好者沿宿鴨湖湖邊正東方向筆直的公路騎行，在B地測(cè)得湖中小島上某建筑物A在北偏東方向，行駛12min后到達(dá)C地，測(cè)得建筑物A在北偏西方向，如果此自行車愛(ài)好者的速度為60km/h，求建筑物A到公路的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【分母有理化：】21．如圖，一艘海岸巡邏快艇在基地A的正東方向，且距A地13海里的處巡邏．突然接到基地A命令，要該快艇前往島，接送一名病人到基地A的醫(yī)院救治．已知島在基地A的南偏東的方向，且在處南偏東的方向，巡邏快艇從處出發(fā)，平均每小時(shí)行駛30海里，需要多少時(shí)間才能把病人送到基地A的醫(yī)院？（參考數(shù)據(jù)：，）22．如圖，，是兩條公路相交成，沿公路方向離點(diǎn)米的點(diǎn)A處有一所學(xué)校，當(dāng)重型運(yùn)輸卡車沿道路方向行駛時(shí)，在以重型運(yùn)輸卡車所在的點(diǎn)P為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車噪聲的影響，且點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離越近噪聲影響越大．假設(shè)重型運(yùn)輸卡車沿著道路方向行駛的速度為18千米/小時(shí)．(1)求對(duì)學(xué)校的噪聲影響最大時(shí)，卡車與學(xué)校之間的距離（保留根號(hào)）；(直角三角形中銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)．(2)求卡車沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間．23．如圖是某小區(qū)地下停車場(chǎng)入口處欄桿的示意圖，、分別表示地面和墻壁的位置，表示垂直于地面的欄桿立柱，、是兩段式欄桿，其中段可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，段可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).圖1表示欄桿處于關(guān)閉狀態(tài)，此時(shí)O、A、B在與地面平行的一直線上，并且點(diǎn)B接觸到墻壁；圖2表示欄桿處于打開狀態(tài)，此時(shí)，段與豎直方向夾角為．已知立柱寬度為，點(diǎn)O在立柱的正中間，，，．(1)求欄桿打開時(shí)，點(diǎn)A到地面的距離；(2)為確保通行安全，要求汽車通過(guò)該入口時(shí)，車身與墻壁間需至少保留的安全距離，問(wèn)一輛最寬處為，最高處為的貨車能否安全通過(guò)該入口？（本小題中?。?4．一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條東西流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸有一點(diǎn)C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到達(dá)B處，又測(cè)得C在B的南偏西45°的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計(jì)算出這條河的寬度．（結(jié)果保留根號(hào)）25．公園大門A的正東方向原本有一條通往湖心小島B的景觀步道，但為了讓市民朋友多角度欣賞公園景色，市政府決定新修一條景觀步道通往湖心小島B，新步道從A出發(fā)通向C地，C位于A的北偏西方向，米，再?gòu)腃地到達(dá)湖心小島B，其中C位于B的北偏西方向，甲工程隊(duì)以每天米的速度進(jìn)行單獨(dú)施工，2天后，為了加快工程進(jìn)度，乙工程隊(duì)以每天米的速度加入項(xiàng)目建設(shè)，直到兩隊(duì)起完成景觀步道的修建．（參考數(shù)據(jù)：≈1.4）(1)求A、B兩地的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)新的景觀步道能否在天內(nèi)完成？請(qǐng)說(shuō)明理由．26．如圖，是放在水平桌面上的臺(tái)燈的幾何圖，已知臺(tái)燈底座高度為2cm，固定支點(diǎn)O到水平桌面的距離為7.5cm，當(dāng)支架OA、AB拉直時(shí)所形成的線段與點(diǎn)M共線且與底座垂直，此時(shí)測(cè)得B到底座的距離為31.64cm（線段，，的和），經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)，時(shí)，臺(tái)燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測(cè)量得A到B的水平距離（線段AC）為10cm．求：(1)___________°，___________；(2)此時(shí)點(diǎn)B到桌面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，）解直角三角形的應(yīng)用華師版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)期末考試，通常用“解直角三角形的應(yīng)用”，作為解答題的第五題。關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出三角形，并將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，熟悉直角三角形的邊角關(guān)系。1．如圖，燈塔C在海島A的北偏東方向，某天上午8點(diǎn)，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度由西向東方向航行，10時(shí)整到達(dá)B處，此時(shí)，測(cè)得燈塔C在B處的北偏東方向．(1)求B處到燈塔C的距離；(2)已知在以燈塔C為中心，周圍16海里的范圍內(nèi)均有暗礁，若該船繼續(xù)由西向東航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)你說(shuō)明理由．【答案】(1)30海里;(2)有觸礁的危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：由已知條件可得：，，，，，，B處到燈塔C的距離為30海里；（2）解：有觸礁的危險(xiǎn)．理由如下：過(guò)C作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，，，，∵，若這條船繼續(xù)由西向東航行會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)．2．如圖，某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了“利用三角函數(shù)測(cè)高后”，選定測(cè)量小河對(duì)面一幢建筑物的高度．他們先在斜坡的D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為，且D離地面的高度為9米，坡底的長(zhǎng)度米，然后在A處測(cè)得建筑物頂端B的仰角為，點(diǎn)E，A，C在同一水平線上，求建筑物的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】50米【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．∵，，，∴四邊形為矩形，∴，米，又∵，，∴，∴，又∵，∴，即，∴米．3．如圖，張華同學(xué)在他學(xué)校某建筑物的C點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為，若旗桿底部B點(diǎn)到建筑物的水平距離米，旗桿臺(tái)階高1米，求旗桿頂點(diǎn)A離地面的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】米【詳解】解：作于點(diǎn)．根據(jù)題意可得：在中，有．在中，有．故．則旗桿頂點(diǎn)離地面的高度為米．4．如圖，小開家所在居民樓，樓底C點(diǎn)的左側(cè)30米處有一個(gè)山坡，坡角為，E點(diǎn)處有一個(gè)圖書館，山坡坡底到圖書館的距離為40米，在圖書館E點(diǎn)處測(cè)得小開家的窗戶B點(diǎn)的仰角為，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi)．(1)求的高度；（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈1．73）(2)某天，小開到家后發(fā)現(xiàn)有資料落在圖書館，此時(shí)離圖書館閉館僅剩5分鐘，若小開在平地的速度為6m/s，上坡速度為4m/s，電梯速度為1．25m/s，等候電梯及上、下乘客所耽誤時(shí)間共3分鐘，請(qǐng)問(wèn)小開能否在閉館前趕到圖書館？【答案】(1)的高度約為85米；(2)小開能在閉館前趕到圖書館【詳解】（1）如圖，作于F，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，得矩形，∴，根據(jù)題意可知：米，，米，，∴米，∴（米），∴米，∴米，∴（米），答：BC的高度約為85米；（2）根據(jù)題意得：（秒），∵，∴小開能在閉館前趕到圖書館．5．九年級(jí)二班學(xué)生到某勞動(dòng)教育實(shí)踐基地開展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)天，他們先從基地門口A處向正北方向走了220米，到達(dá)菜園B處鋤草，再?gòu)腂處沿正西方向走了200米，到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了200米，到達(dá)手工坊D處進(jìn)行手工制作，最后從D處回到門口A處．(1)求從手工坊D處回到門口A處的距離．(2)求從手工坊D處回到門口A處的方位角．[參考數(shù)據(jù)：，，]【答案】(1)從手工坊D處回到門口A處的距離為100米；(2)從手工坊D處回到門口A處的方位角為南偏東．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F．則四邊形是矩形，∴，，根據(jù)題意，米，，∴，，∴，∵，，∴，，由勾股定理得從手工坊D處回到門口A處的距離為100米；（2）解：中，，所以，所以，所以從手工坊D處回到門口A處的方位角為南偏東．6．端午節(jié)賽龍舟，小紅在河畔的一幢樓上看到一艘龍舟迎面駛來(lái)，她在高出水面30m的A處測(cè)得在C處的龍舟俯角為；她登高15m到正上方的B處測(cè)得駛至D處的龍舟俯角為，問(wèn)兩次觀測(cè)期間龍舟前進(jìn)了多少？（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】【詳解】解：如圖：的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由題意知：，∴，，∴．答：兩次觀測(cè)期間龍舟前進(jìn)了．7．某學(xué)校升氣球慶祝黨的二十大勝利召開．如圖，一氣球到達(dá)離地面高度為米的處時(shí)，儀器顯示正前方一高樓頂部的仰角是，底部的俯角是．氣球要飛到樓頂，應(yīng)至少再上升多少米？（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】米【詳解】解：過(guò)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)作，垂足為點(diǎn)，根據(jù)題意，樓，∴四邊形是矩形，∴，和都是直角三角形，∵氣球到達(dá)離地面高度為米的處時(shí)，儀器顯示正前方高樓頂部的仰角是，底部的俯角是，∴，，，在中，∵，．∴，在中，∵，．∴（米）．答：氣球應(yīng)至少再上升米．8．如圖所示，某水庫(kù)大壩的橫斷面是四邊形，，壩頂寬米，壩高米，背水坡AB的坡度是，迎水坡CD的坡度是，求壩底寬．【答案】12.5米【詳解】解：∵坡的坡度是，米，∴（米），∵坡的坡度是，米，∴米，∵，，∴，∵，AE⊥BC，∴四邊形為矩形，∴米，∴（米），答：壩底寬的長(zhǎng)為12.5米．9．如圖，在電線桿上的C處引拉線和固定電線桿．在離電線桿6米的B處安置測(cè)角儀（點(diǎn)B、E、D在同一直線上），在點(diǎn)A處測(cè)得電線桿上C處的仰角為．已知測(cè)角儀的高為米，拉線的長(zhǎng)為6米，求測(cè)角儀底端（點(diǎn)B）與拉線固定點(diǎn)（E）之間的距離．【答案】米【詳解】解：如圖：過(guò)A作垂直于，垂足為點(diǎn)，則米，米，，，，，，（米），（米），米，利用勾股定理得（米），（米）．答：測(cè)角儀底端（點(diǎn)B）與拉線固定點(diǎn)（E）之間的距離是米．10．為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測(cè)．某學(xué)校大門高6.5米，學(xué)生身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測(cè)得攝像頭A的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)C處測(cè)得攝像頭A的仰角為，求體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】米【詳解】解：由題意得，米，∴米，在中，，解得，在中，，解得，∴米．11．為踐行“綠水青山就是金山銀山"的重要思想，我省森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動(dòng)．如圖，發(fā)現(xiàn)古樹是直立于水平面，為測(cè)量古樹的高度，小明從古樹底端出發(fā)，沿水平方向行走了米到達(dá)點(diǎn)C，然后沿斜坡前進(jìn)，到達(dá)坡頂D點(diǎn)處，，在點(diǎn)D處放置測(cè)角儀，測(cè)角儀支架高度為米，在E點(diǎn)處測(cè)得古樹頂端A點(diǎn)的仰角為（點(diǎn)在同一平面內(nèi)），斜坡的坡度（或坡比）．(1)求斜坡的高；(2)求古樹的高？（已知，，）【答案】(1)米；(2)米【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，∵斜坡的坡度(或坡比)，米，∴，則．在中，∵，即，解得，∴米，即：斜坡的高為米；（2）∵米，∴米，∴米，米．∵，∴四邊形是矩形，∴米，米．在中，∵，∴米，∴(米)．答：建筑物的高度約為米．12．體溫檢測(cè)是疫情防控中的一項(xiàng)重要工作，某公司設(shè)計(jì)了一款紅外線體溫檢測(cè)儀，該設(shè)備通過(guò)探測(cè)人體紅外輻射的能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速體溫檢測(cè)．如圖，是水平地面，其中是測(cè)溫區(qū)域，測(cè)溫儀安裝在豎直標(biāo)桿上的點(diǎn)D處，若該測(cè)溫儀能識(shí)別體溫的最大張角為（即），能識(shí)別體溫的最小張角為（即）(1)當(dāng)設(shè)備安裝高度為2米時(shí)，求測(cè)溫區(qū)域的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)為了達(dá)到良好的檢到效果，該公司要求測(cè)溫區(qū)的長(zhǎng)不低于米，則設(shè)備的最低安裝高度約是___________米．（結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)測(cè)溫區(qū)域的長(zhǎng)度為米；(2)最低安裝高度為米．【詳解】（1）解：由題意可知：米，∴（米）；∵，∴，∴．（2）∵，∴，又∵，∴，∴米，在中，，∴（米）．答：最低安裝高度為米．13．八仙閣是八仙山公園里的一個(gè)主景區(qū)，八仙閣也是晉江的一個(gè)標(biāo)志性建筑．在閣樓上可以看到整個(gè)八仙山公園全景，甚至周圍景觀都能盡收眼底．小明想知道它的高度．于是走到點(diǎn)C處，測(cè)得此時(shí)塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至點(diǎn)F處，測(cè)得此時(shí)塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛離地面高度是1.5米，請(qǐng)聰明的你幫他求出八仙閣AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】八仙閣AB的高度為48米．【詳解】解：由題意得，，則四邊形均為矩形．所以米，米，在中，，則．設(shè)米，在中，，則，即，解得：，所以米，則（米）．答：八仙閣AB的高度為48米．14．小明想網(wǎng)購(gòu)一個(gè)拉桿箱，如圖是他網(wǎng)上看到的某種拉桿箱的示意圖，并獲得了以下信息：箱桿、箱長(zhǎng)、拉桿的長(zhǎng)度都相等，點(diǎn)B、F在上，與相交于點(diǎn)C，支桿．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題：(1)求的長(zhǎng)度(結(jié)果保留根號(hào))；(2)求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿的距離(結(jié)果保留根號(hào))．【答案】(1)；(2)拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿的距離為【詳解】（1）解：過(guò)F作于H，如圖，∴．∵，∴，則由勾股定理得：，∵，∴．∴，∵．∴，∵，∴；（2）解：過(guò)A作交的延長(zhǎng)線于G，如圖，∵，∴，∴由勾股定理得：．答：拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿的距離為．15．期中測(cè)試臨近學(xué)生都在緊張的復(fù)習(xí)中，小甘和小西相約周末去圖書館復(fù)習(xí)，如圖，小甘從家A地沿著正東方向走900m到小西家B地，經(jīng)測(cè)量圖書館C地在B地的北偏東15°，C地在A地的東北方向．(1)求的距離：(2)兩人準(zhǔn)備從B地出發(fā)，實(shí)然接到疾控中心通知，一名確診的新冠陽(yáng)性患者昨天經(jīng)過(guò)了C地，并沿著C地南偏東走了1800m到達(dá)D地，根據(jù)相關(guān)要求，凡是確診者途徑之處800m區(qū)域以內(nèi)都會(huì)劃為管控區(qū)，問(wèn)：小西家會(huì)被劃為管控區(qū)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)(2)小西家會(huì)被劃為管控區(qū)，理由見(jiàn)解析．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可知：m，，，，；的距離約為（2）小西家會(huì)被劃為管控區(qū)，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可知∶，在Rt中，，小西家會(huì)被劃為管控區(qū)．16．消防車是救援火災(zāi)的主要裝備，圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，張角（），轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面的高度AE為4米．(1)當(dāng)起重臂AC的長(zhǎng)度為24米，張角時(shí)，云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的長(zhǎng)為________米．(2)某日一棟大樓突發(fā)火災(zāi)，著火點(diǎn)距離地面的高度為26米，該消防車在這棟樓下能否實(shí)施有效救援？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：）．（提示：當(dāng)起重臂AC伸到最長(zhǎng)且張角最大時(shí)，云梯頂端C可以達(dá)到最大高度）【答案】(1)16；(2)消防車能夠?qū)嵤┯行Ь仍?，理由?jiàn)解析．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F．由題意知：四邊形AEFG是矩形．，．，．在中，，，云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的長(zhǎng)為16米；故答案為：16；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．當(dāng)，時(shí)，．在中，，由題意知，四邊形HEFC是矩形，，該消防車能夠?qū)嵤┯行Ь仍?7．如圖，和兩幢樓地面距離為30米，從樓AB的頂部點(diǎn)A測(cè)得樓的頂部點(diǎn)D的仰角為53°，從樓的頂部點(diǎn)測(cè)得樓的底部點(diǎn)C的俯角為45°．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的大??；(2)求樓、的高度（結(jié)果保留1位小數(shù)）【答案】(1)；(2)（米）；（米）【詳解】（1）解：過(guò)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意得：，；（2）解：，，四邊形是矩形，∴，，是等腰直角三角形，（米），（米）在中，，，解得：（米），（米）．18．如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為60°看這棟高樓底部的俯角為30°熱氣球與高樓的水平距離為120米，請(qǐng)問(wèn)：這棟高樓的樓高為多少米?（，結(jié)果精確到0.1米）【答案】這棟高樓的樓高約為米【詳解】解：∵在中，，∴米，∵在中，，∴米，∴米，∴這棟高樓的樓高約為米．19．如圖，學(xué)?？萍夹〗M，計(jì)劃測(cè)量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測(cè)到D的仰角，向塔正前方水平直行到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)到塔尖的仰角，若小明的眼睛離地面，你能計(jì)算出塔的高度DE嗎？寫出計(jì)算過(guò)程．【答案】，計(jì)算過(guò)程見(jiàn)解析．【詳解】∵，，∴∴在中，∴∵∴20．如圖，一位自行車愛(ài)好者沿宿鴨湖湖邊正東方向筆直的公路騎行，在B地測(cè)得湖中小島上某建筑物A在北偏東方向，行駛12min后到達(dá)C地，測(cè)得建筑物A在北偏西方向，如果此自行車愛(ài)好者的速度為60km/h，求建筑物A到公路的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【分母有理化：】【答案】建筑物A到公路的距離為km．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)D．如圖，依題意得，則．∴，在中，∵，∴，設(shè)km，則，，又∵（km），∴，解得：．所以建筑物A到公路BC的距離為km．21．如圖，一艘海岸巡邏快艇在基地A的正東方向，且距A地13海里的處巡邏．突然接到基地A命令，要該快艇前往島，接送一名病人到基地A的醫(yī)院救治．已知島在基地A的南偏東的方向，且在處南偏東的方向，巡邏快艇從處出發(fā)，平均每小時(shí)行駛30海里，需要多少時(shí)間才能把病人送到基地A的醫(yī)院？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】小時(shí)【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∴，，，∵，，∴在中，，設(shè)，∴，∴，∴，在中，，∵，∴，解得：，∴，，∴，，∵每小時(shí)行駛30海里∴需要的時(shí)間為：小時(shí)．22．如圖，，是兩條公路相交成，沿公路方向離點(diǎn)米的點(diǎn)A處有一所學(xué)校，當(dāng)重型運(yùn)輸卡車沿道路方向行駛時(shí)，在以重型運(yùn)輸卡車所在的點(diǎn)P為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車噪聲的影響，且點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離越近噪聲影響越大．假設(shè)重型運(yùn)輸卡車沿著道路方向行駛的速度為18千米/小時(shí)．(1)求對(duì)學(xué)校的噪聲影響最大時(shí)，卡車與學(xué)校之間的距離（保留根號(hào)）；(直角三角形中銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)．(2)求卡車沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間．【答案】(1)40米；(2)卡車沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間為12秒【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作于H，∵，米，∴米，∴對(duì)學(xué)校的噪聲影響最大時(shí)，卡車與學(xué)校之間的距離為40米；（2）解：如圖，當(dāng)米時(shí)，則卡車在CD段對(duì)學(xué)校A有影響，由（1）知米，∴（米），∵，∴（米），∵重型運(yùn)輸卡車行駛的速度為18千米/小時(shí)，即米/秒，∴（秒），∴卡車沿道路方向行駛一次給學(xué)校帶來(lái)噪聲影響的時(shí)間為12秒．23．如圖是某小區(qū)地下停車場(chǎng)入口處欄桿的示意圖，、分別表示地面和墻壁的位置，表示垂直于地面的欄桿立柱，、是兩段式欄桿，其中段可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，段可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).圖1表示欄桿處于關(guān)閉狀態(tài)，此時(shí)O、A、B在與地面平行的一直線上，并且點(diǎn)B接觸到墻壁；圖2表示欄桿處于打開狀態(tài)，此時(shí)，段與豎直方向夾角為．已知立柱寬度為，點(diǎn)O在立柱的正中間，，，．(1)求欄桿打開時(shí)，點(diǎn)A到地面的距離；(2)為確保通行安全，要求汽車通過(guò)該入口時(shí)，