第04講解一元二次方程(因式分解法5種題型)(原卷版+解析)

第04講解一元二次方程（因式分解法5種題型）【知識梳理】（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個一次式的積；

③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點詮釋：

（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【考點剖析】題型1利用提公因式法例1.方程：的較小的根是（ ）A． B． C． D．例2.解關于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．題型2利用平方差公式例3.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．例4.解關于的一元二次方程：．題型3利用完全平方公式例5.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；題型4十字相乘法因式分解例6.用合適的方法解下列關于的方程：（1）；（2）；題型5：選擇合適的方法解一元二次方程例7.解關于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．例8.解關于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．例9.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．【過關檢測】一、單選題1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程的兩根，則該三角形的周長為（

）A．4 B．13 C．4或9 D．13或182．（2022春·八年級單元測試）若是一次函數(shù)，則的值等于（）A． B． C．或 D．3．（2019·廣東汕頭·?？级＃┤絷P于的一元二次方程有一個根為，則的值（

）A． B．或 C． D．4．（2022秋·九年級單元測試）方程的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形是周長是()A． B． C．或 D．或或5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）對于兩個不相等的實數(shù)a，b，我們規(guī)定符號表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個規(guī)定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或6．（2022春·八年級單元測試）在正數(shù)范圍內(nèi)定義運算“”，其規(guī)則為，則方程的解是（）A．或 B． C．或 D．7．（2023年天津市濱海新區(qū)中考二模數(shù)學試題）方程的兩個根是（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）方程的解為：___________．9．（2023·浙江杭州·模擬預測）已知是關于的一元二次方程的一個根，則該方程另一個根是__________．10．（2023春·浙江·八年級期末）定義新運算“※”，規(guī)則：，如，．若的兩根分別為，則______．11．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）關于的一元二次方程有一個大于的非正數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是_________________．12．（2023·山東濟寧·校聯(lián)考三模）方程的根是__．13．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長，另外兩邊的長恰好是關于的一元二次方程的兩個根，則的周長為___________14．（2023·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實驗初級中學?？级＃┤鐖D，等邊的邊長為6，D是的中點，是邊上的一點，連接，以為邊作等邊，若，則線段的長為______．

三、解答題15．（2023春·浙江杭州·八年級校考期中）解方程：(1)；(2)．16．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）解方程：．17．（2020秋·廣東韶關·九年級?？计谀┯眠m當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?8．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）解下列一元二次方程：(1)（直接開平方法）；(2)（配方法）．(3)（公式法）；(4)（因式分解法）．19．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）關于x的方程有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．20．（2022春·八年級單元測試）在一堂數(shù)學課上，李老師對課本上的一道習題進行了改編，改編后的習題為：一架梯子斜靠在豎直的墻上，這時到墻角距離為米，如果梯子的頂端沿墻下滑米，此時點將向外移動米，（參考數(shù)據(jù)：，，）

(1)問梯子的長是多少？(2)若梯子的長度保持不變，梯子的頂端從處沿墻下滑的距離與點向外移動的距離有可能相等嗎？為什么？請你利用學過的知識解答上面的問題．21．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）老師就式子，請同學們自己出問題并解答．(1)小磊的問題：若代表，代表，計算該式的值；(2)小敏的問題：若，代表某數(shù)的平方，代表該數(shù)與1的和的平方，求該數(shù)．22．（2023·河北石家莊·?？家荒＃┌l(fā)現(xiàn)：存在三個連續(xù)整數(shù)使得這三個連續(xù)整數(shù)的和等于這三個連續(xù)整數(shù)的積；驗證：連續(xù)整數(shù)，，______（填“滿足”或“不滿足”）這種關系；連續(xù)整數(shù)2，3，4，______（填“滿足”或“不滿足”）這種關系；延伸：設中間整數(shù)為n（1）列式表示出三個連續(xù)整數(shù)的和、積，并分別化簡；（2）再寫出一組符合“發(fā)現(xiàn)”要求的連續(xù)整數(shù)（直接寫結(jié)果）．23．（2023·北京門頭溝·二模）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果此方程的一個根為1，求的值．第04講解一元二次方程（因式分解法5種題型）【知識梳理】（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個一次式的積；

③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點詮釋：

（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【考點剖析】題型1利用提公因式法例1.方程：的較小的根是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】提公因式，得：，整理得：，∴，∵，故選擇D．【總結(jié)】本題考查了因式分解法解一元二次方程．例2.解關于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）①②∴；②∴．【總結(jié)】本題考查了因式分解法解一元二次方程．題型2利用平方差公式例3.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【答案與解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴x1＝1，x2＝-4．例4.解關于的一元二次方程：．【答案】．【解析】移項，得：，，，，，解得：．【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法，當系數(shù)比較大時，要注意尋找規(guī)律進行變型求解．題型3利用完全平方公式例5.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【答案與解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．題型4十字相乘法因式分解例6.用合適的方法解下列關于的方程：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）；【解析】（1），，解得：；（2），解得：；【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法．題型5：選擇合適的方法解一元二次方程例7.解關于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因式分解法（2）直接開方法①②∴；∴．【總結(jié)】本題考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的寫法！例8.解關于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因式分解法（2）把看作一個整體，因式分解①②∴；②∴．【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法，注意整體意識的建立．例9.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）（2），②，，解得：；解得：；（3）整理得：（4）∵原方程是一元二次方程，，，，解得：；，解得：．【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰當選擇．【過關檢測】一、單選題1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程的兩根，則該三角形的周長為（

）A．4 B．13 C．4或9 D．13或18【答案】B【分析】利用因式分解解方程得到三角形的第三邊長為4或9，然后計算三角形的周長．【詳解】解：，，解得：或者，即第三邊長為9或4，邊長為9，3，6不滿足三角形三邊關系；而4，3，6能構(gòu)成三角形，∴三角形的周長為，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的解以及三角形三邊關系，理解三角形三邊關系是解題的關鍵．2．（2022春·八年級單元測試）若是一次函數(shù)，則的值等于（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義可得，且，再求解即得答案.【詳解】解：∵是一次函數(shù)，∴，且，即，且，解得；故選：B.【點睛】本題考查了一次函數(shù)的定義和一元二次方程的解法，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.3．（2019·廣東汕頭·?？级＃┤絷P于的一元二次方程有一個根為，則的值（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】由題意可得，且，再求解關于m的方程即可.【詳解】解：∵關于的一元二次方程有一個根為，∴，且，解得：；故選：D.【點睛】本題考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的基本知識是解題的關鍵，注意在求出m的值后，還要使方程的二次項系數(shù)不為0.4．（2022秋·九年級單元測試）方程的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形是周長是()A． B． C．或 D．或或【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分類討論腰與底，利用三角形邊角關系判斷即可確定出周長．【詳解】解：，，，，，，有兩種情況：①三角形的三邊為，，，此時不符合三角形三邊關系定理，②三角形的三邊為，，，此時符合三角形三邊關系定理，此時三角形的周長為，故選：B．【點睛】此題考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定義，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關鍵．5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）對于兩個不相等的實數(shù)a，b，我們規(guī)定符號表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個規(guī)定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【答案】B【分析】根據(jù)題意進行分類討論，當時，可得，求出x的值即可；當時，可得求出x的值即可．【詳解】解：當時，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），當時，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），，綜上：x的值是5或，故選：B．【點睛】本題主要考查了新定義下的運算和解一元二次方程，解題的關鍵是正確理解題目所給新定義的運算法則，熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟．6．（2022春·八年級單元測試）在正數(shù)范圍內(nèi)定義運算“”，其規(guī)則為，則方程的解是（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)規(guī)則可得：，再解此方程，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，得，得，故或，解得（舍去），，所以，原方程的解為，故選：D．【點睛】本題考查了新定義，一元二次方程的解法，理解題意，得到方程并求解是解決本題的關鍵．7．（2023年天津市濱海新區(qū)中考二模數(shù)學試題）方程的兩個根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可解答．【詳解】解：，，，故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程，利用方程的特點選擇簡便的方法是解題的關鍵．二、填空題8．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）方程的解為：___________．【答案】，【分析】先移項，然后用分解因式法解方程即可．【詳解】解：，移項得：，分解因式得：，∴或，解得：，．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，是基礎知識比較簡單，解題的關鍵是分解因式．9．（2023·浙江杭州·模擬預測）已知是關于的一元二次方程的一個根，則該方程另一個根是__________．【答案】【分析】將代入方程，求出的值，再解方程求出另一個根即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：，∴一元二次方程為，解得：或，∴該方程另一個根是：．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的根以及解一元二次方程，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．10．（2023春·浙江·八年級期末）定義新運算“※”，規(guī)則：，如，．若的兩根分別為，則______．【答案】3【分析】先通過因式分解法解方程，求出，根據(jù)新定義的運算規(guī)則，的值為和中較大的那個數(shù)，由此可解．【詳解】解：方程，分解因式得：，解得：或，則或．故答案為：3．【點睛】本題考查新定義運算和解一元二次方程，讀懂題意，理解新定義的運算規(guī)則是解題的關鍵．11．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）關于的一元二次方程有一個大于的非正數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是_________________．【答案】/【分析】先計算，再利用因式分解法解方程得，，再根據(jù)題意得到，然后解不等式組即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，解方程得，，∵該方程有一個大于的非正數(shù)根，，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式組，理解一元二次方程的解，正確得到關于a的不等式組是解答的關鍵．12．（2023·山東濟寧·校聯(lián)考三模）方程的根是__．【答案】，【分析】才用因式分解法即可求解．【詳解】解：∴或,∴，．故答案為：，．【點睛】此題考查了運用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化為一般式，再把方程左邊進行因式分解，然后一元二次方程就可化為兩個一元一次方程，解兩個一元一次方程即可．13．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長，另外兩邊的長恰好是關于的一元二次方程的兩個根，則的周長為___________【答案】15【分析】分情況討論：若a作為腰，則方程的一個根為6，將6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周長；將a作為底，則說明方程有兩個相等的實數(shù)根，則根據(jù)求出k的值，然后將k的值代入方程求出解，得出周長．【詳解】若為腰，則中還有一腰，即6是方程的一個根．∴解得：將代入得：解得：．，此時能構(gòu)成三角形，的周長為：若為底，則，即方程有兩個相等的實根．∴解得：將代入得：解得：．，∵∴此時不能構(gòu)成三角形，不能計算周長綜上可得：的周長為15．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判別式等知識，按若是否為底邊分類討論和構(gòu)成三角形的條件是解題的關鍵．特別注意驗證是否能構(gòu)成三角形．14．（2023·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實驗初級中學?？级＃┤鐖D，等邊的邊長為6，D是的中點，是邊上的一點，連接，以為邊作等邊，若，則線段的長為______．

【答案】1或2【分析】過F作交于H，交于；過A作于N,然后說明為等邊三角形，進而可得；再證可得；設，則，然后運用勾股定理列式求解即可．【詳解】解：過F作交于H，交于；過A作于N,

∴∴為等邊三角形∵，，∴在和中,,∴,∴設，則在中，∴在中，,，∴∴，解得：或．∴線段的長為1或2．故答案為1或2．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，作出輔助線、構(gòu)造直角三角形是解答本題的關鍵．三、解答題15．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；（2）用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，這里，，，，，，；（2）解：，，，或，，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的一般方法，準確計算．16．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）解方程：．【答案】【分析】先移項，然后利用因式分解法可進行求解．【詳解】解：解得：．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．17．（2020秋·廣東韶關·九年級?？计谀┯眠m當?shù)姆椒ń夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】先移項，再提公因式即可求解．【詳解】解：，或解得：，【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙忸}的關鍵．18．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）解下列一元二次方程：(1)（直接開平方法）；(2)（配方法）．(3)（公式法）；(4)（因式分解法）．【答案】(1)(2)，(3)(4)【分析】按要求解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，解得；（2）解：，，，，解得，；（3）解：，，，，∴，解得；（4）解：，，解得．【點睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關鍵在于正確的運算．19．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）關于x的方程有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．【答案】，，【分析】先根據(jù)根的判別式的意義得到，解不等式，從而得到正整數(shù)m的值，代入原方程，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】根據(jù)題意得解得所以正整數(shù)m的值為1代入原方程得即∴，【點睛】此題主要考查了根的判別式，解一元二次方程，正確得出m的值是解題關鍵．20．（2022春·八年級單元測試）在一堂數(shù)學課上，李老師對課本上的一道習題進行了改編，改編后的習題為：一架梯子斜靠在豎直的墻上，這時到墻角距離為米，如果梯子的頂端沿墻下滑米，此時點將向外移動米，（參考數(shù)據(jù)：，，）

(1)問梯子的長是多少？(2)若梯子的長度保持不變，梯子的頂端從處沿墻下滑的距離與點向外移動的距離有可能相等嗎？為什么？請你利用學過的知識解答上面的問題．【答案】(1)(2)有可能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)梯子長度不變進而得出等式求出即可；（2）設梯子頂端從處下滑米，點向外也移動米代入（1）中方程，求出的值符合題意．【詳解】（1）解：設的長是，根據(jù)題意得出：，，解得：，，答：梯子的長是；（2）有可能．設梯子頂端從處下滑米，點向外也移動米，則有，解得：或（舍）當梯子頂端從處下滑米時，點向外也移動米，即梯子頂端從處沿墻下滑的距離與點向外移動的距離有可能相等．

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，根據(jù)題意得出關于的一元二次方程是解答此題的關鍵．21．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）老師就式子，請同學們自己出問題并解答．(1)小磊的問題：若代表，代表，計算該式的值