專題06正多邊形與圓(原卷版+解析)

專題06正多邊形與圓知識(shí)梳理：一.、正多邊形的概念及性質(zhì)1.正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形．2.正多邊形的相關(guān)概念：（1）正多邊形的中心：我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心；（2）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑；（3）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角；（4）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．補(bǔ)充說明：正多邊形的性質(zhì)：（1）正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成個(gè)全等的直角三角形；（2）正多邊形都是軸對稱圖形，正邊形共有條通過正邊形中心的對稱軸；（3）偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，其中心就是對稱中心．二.、正多邊形與圓的關(guān)系1.把一個(gè)圓等分，依次連結(jié)各個(gè)等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正邊形；這個(gè)圓叫這個(gè)正邊形的外接圓；經(jīng)過各等分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正邊形．2.定理：任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓；并且這兩個(gè)圓是同心圓．三.、正多邊形有關(guān)的計(jì)算1.正邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于；2.正邊形的每一個(gè)外角與中心角相等，等于；題型一：正多邊形的相關(guān)概念【例1】下面給出六個(gè)命題：①各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；②各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；③正多邊形是中心對稱圖形；④各角均為的六邊形是正六邊形；⑤邊數(shù)相同的正邊形的面積之比等于它們邊長的平方比；⑥各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形．其中，正確的命題是_____________．【例2】以下說法正確的是()A．每個(gè)內(nèi)角都是120°的六邊形一定是正六邊形．B．正n邊形的對稱軸不一定有n條．C．正n邊形的每一個(gè)外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù)．D．正多邊形一定既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【例3】以下說法錯(cuò)誤的是（）A．多邊形的內(nèi)角大于任何一個(gè)外角 B．任意多邊形的外角和是C．正六邊形是中心對稱圖形 D．圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)【例4】下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有()①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形；⑤線段；⑥圓；⑦菱形；⑧平行四邊形．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【例5】正十邊形的中心角是（）A．18° B．36° C．72° D．144°【例6】下列關(guān)于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正七邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形B．存在一個(gè)正多邊形，它的外角和為C．任何正多邊形都有一個(gè)外接圓D．不存在每個(gè)外角都是對應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形【例7】若⊙O的內(nèi)接正n邊形的邊長與⊙O的半徑相等，則n的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7題型二：正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算【例1】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．8 B．10 C．12 D．15【例2】如圖，正五邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接對角線AC，AD，則下列結(jié)論：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判斷正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【例3】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于，點(diǎn)P為DE上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)D，E不重合），連接PC，PD，，垂足為G，則等于__________度.【例4】如圖，A、B、C是上順次三點(diǎn)，若分別是內(nèi)接正三角形、正方形的一邊，則__________．【例5】如圖，正六邊形中，，連接，則的長為______【例6】如圖，AC是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)B在弧AC上，且BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，若AB是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n=____.【例7】如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則劣弧AB的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．72° D．90°【例8】如圖，以正六邊形ADHGFE的一邊AD為邊向外作正方形ABCD，則∠BED的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．50° D．60°題型三：正多邊形的畫法【例1】作圖與證明:如圖，已知☉O和☉O上的一點(diǎn)A,請完成下列任務(wù):(1)作☉O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF;(2)連接BF,CE,判斷四邊形BCEF的形狀,并加以證明.【例2】已知⊙O和⊙O上的一點(diǎn)A（如圖）.（1）作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD和內(nèi)接正六邊形AEFCGH；（2）在（1）題的作圖中，如果點(diǎn)E在上，求證：DE是⊙O內(nèi)接正十二邊形的邊.【例3】已如：⊙O與⊙O上的一點(diǎn)A求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由．【例4】如圖正六邊形的邊長為1，請分別在圖1，圖2中使用無刻度的直尺按要求畫圖．在圖1中，畫出一條長度為0.5的線段（2）在圖2中，畫一個(gè)邊長與正六邊形的邊長不相等的菱形．【例5】如圖，A是⊙O上一點(diǎn)．（1）作⊙O的內(nèi)接等邊△ABC（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）若⊙O的半徑為3，求△ABC的邊長．【例6】已知⊙O，如圖所示．（1）求作⊙O的內(nèi)接正方形（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若⊙O的半徑為4，則它的內(nèi)接正方形的邊長為____．題型四：內(nèi)接圓外接圓綜合【例1】半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為（B）A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：3在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，周長為12，那么△ABC內(nèi)切圓半徑為（）A．3B．2.5C．2D．1【例3】若⊙O是△ABC的外接圓，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠BOC=______．若⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠BOC=_____．【例4】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，點(diǎn)M是⊙O上一點(diǎn)，∠EMF=55°，則∠A=______°．【例5】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=40°，則∠A的度數(shù)等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【例6】若正方形的外接圓半徑為2，則其內(nèi)切圓半徑為______．【例7】若圓內(nèi)接正方形的邊心距為3，則這個(gè)圓內(nèi)接正三角形的邊長為．3．【例8】已知正五邊形的外接圓直徑為6，那么該正五邊形外接圓的半徑為．【例9】如圖，已知⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OM＝2cm，則該圓的內(nèi)接正三角形ACE的邊長為cm．．題型四：解答題題型【例1】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為的中點(diǎn)，連接AM，BM．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【例2】如圖，在正五邊形ABCDE中，CA與DB相交于點(diǎn)F，若AB＝1，求BF．【例3】如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若⊙O的半徑為2，求等邊△ABC的邊心距．【例4】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點(diǎn)，連接DP，C．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．【例5】如圖正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為CD任意一點(diǎn)，連接DE、AE．（1）求∠AED的度數(shù)．（2）如圖2，過點(diǎn)B作BF∥DE交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的長度．課后練習(xí)1、半徑為2的圓內(nèi)接正六邊形的邊心距的長是（）A．2 B．1 C． D．2、如圖，點(diǎn)O為正八邊形ABCDEFGH的中心，則∠AFO的度數(shù)為．3、若一個(gè)正多邊形的中心角為40°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是度．4、半徑為5的正六邊形的周長為．5、如果一個(gè)正三角形的半徑長為2，那么這個(gè)三角形的邊長為．6、如圖，已知點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的對稱中心，G，H分別是AF，BC上的點(diǎn)，且AG＝BH．（1）求∠FAB的度數(shù)；（2）求證：OG＝OH．7、如圖，若干相同正五邊形排成環(huán)狀．圖中已經(jīng)排好前3個(gè)五邊形，還需個(gè)五邊形完成這一圓環(huán)．8．半徑為R的圓內(nèi)接正多邊形中，下列圖形邊心距最大的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形9．如圖，在擰開一個(gè)邊長為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開的開口b＝20mm，則邊長a＝mm．10．正多邊形的中心角是36°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．10 B．8 C．6 D．511．已知⊙O過正方形ABCD頂點(diǎn)A、B，且與CD相切，若正方形邊長為2，則圓的半徑為．12．如圖所示，正五邊形ABCDE的對角線AC和BE相交于點(diǎn)F，求證：AC＝AB+BF．專題06正多邊形與圓知識(shí)梳理：一.、正多邊形的概念及性質(zhì)1.正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形．2.正多邊形的相關(guān)概念：（1）正多邊形的中心：我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心；（2）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑；（3）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角；（4）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．補(bǔ)充說明：正多邊形的性質(zhì)：（1）正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成個(gè)全等的直角三角形；（2）正多邊形都是軸對稱圖形，正邊形共有條通過正邊形中心的對稱軸；（3）偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，其中心就是對稱中心．二.、正多邊形與圓的關(guān)系1.把一個(gè)圓等分，依次連結(jié)各個(gè)等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正邊形；這個(gè)圓叫這個(gè)正邊形的外接圓；經(jīng)過各等分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正邊形．2.定理：任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓；并且這兩個(gè)圓是同心圓．三.、正多邊形有關(guān)的計(jì)算1.正邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于；2.正邊形的每一個(gè)外角與中心角相等，等于；題型一：正多邊形的相關(guān)概念【例1】下面給出六個(gè)命題：①各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；②各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；③正多邊形是中心對稱圖形；④各角均為的六邊形是正六邊形；⑤邊數(shù)相同的正邊形的面積之比等于它們邊長的平方比；⑥各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形．其中，正確的命題是_____________．【答案】=2\*GB3②=5\*GB3⑤【解析】①錯(cuò)誤，反例：矩形各角相等但不是正四邊形；②正確，邊相等則各邊所對的圓心角相等，由半徑和圓心角可構(gòu)成個(gè)全等的等腰三角形，則多邊形的各內(nèi)角也相等；③錯(cuò)誤，正奇數(shù)邊形不是中心對稱圖形；④錯(cuò)誤，在正六邊形的基礎(chǔ)上作任意一組對邊的平行線，仍然截出一個(gè)六邊形，各內(nèi)角均為，但不是正六邊形；⑤正確，相似的性質(zhì)；⑥錯(cuò)誤，只要使切點(diǎn)與圓心的連線不平分多邊形的邊長即可．【例2】以下說法正確的是()A．每個(gè)內(nèi)角都是120°的六邊形一定是正六邊形．B．正n邊形的對稱軸不一定有n條．C．正n邊形的每一個(gè)外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù)．D．正多邊形一定既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【答案】C【解析】解：A選項(xiàng)不正確；因?yàn)槊總€(gè)角都是120°

的六邊形可以是空間六邊形；B選項(xiàng)不正確；正n邊形的對稱軸一定由n條；C選項(xiàng)正確；因?yàn)檎齨邊形的每一個(gè)外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù)；D選項(xiàng)不正確；因?yàn)楫?dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)才既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；【例3】以下說法錯(cuò)誤的是（）A．多邊形的內(nèi)角大于任何一個(gè)外角 B．任意多邊形的外角和是C．正六邊形是中心對稱圖形 D．圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)【答案】A【解析】解：對于A選項(xiàng)，多邊形的內(nèi)角不一定大于任何一個(gè)外角，如正方形，故錯(cuò)誤，符合題意；對于B選項(xiàng)，任意多邊形的外角和是360°，正確，故不符合題意；對于C選項(xiàng)，正六邊形是中心對稱圖形，正確，故不符合題意；對于D選項(xiàng)，圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，正確，故不符合題意；故選A．【例4】下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有()①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形；⑤線段；⑥圓；⑦菱形；⑧平行四邊形．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【解析】因?yàn)檩S對稱圖形是指一個(gè)圖形沿某一條直線對折，其中的一部分與另一部分完全重合，中心對稱圖形是指一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形完全重合，所以是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形有：正三角形，正五邊形；是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形有：平行四邊形；是軸對稱圖形又是中心對稱圖形有：正方形，正六邊形，線段，圓，菱形；【例5】正十邊形的中心角是（）A．18° B．36° C．72° D．144°【答案】B【解析】正十邊形的每個(gè)中心角相等，且其和是360°，故一個(gè)中心角的度數(shù)為：360°÷10=36°，故選：B【例6】下列關(guān)于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正七邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形B．存在一個(gè)正多邊形，它的外角和為C．任何正多邊形都有一個(gè)外接圓D．不存在每個(gè)外角都是對應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形【答案】C【解析】A.正七邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，B.任意多邊形的外角和都等于360°，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，C.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓，故該選項(xiàng)正確，D.∵正三角形的每個(gè)外角為120°，對應(yīng)的每個(gè)內(nèi)角為60°，∴存在每個(gè)外角都是對應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，【例7】若⊙O的內(nèi)接正n邊形的邊長與⊙O的半徑相等，則n的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】解：∵⊙O的半徑與這個(gè)正n邊形的邊長相等，∴這個(gè)多邊形的中心角＝60°，∴＝60°，∴n＝6，題型二：正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算【例1】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．8 B．10 C．12 D．15【答案】C【解析】解：連接OA、OD、OF，如圖，∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOD＝＝90°，∠AOF＝＝120°，∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°，∴n＝＝12，即DF恰好是同圓內(nèi)接一個(gè)正十二邊形的一邊．故選：C．【例2】如圖，正五邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接對角線AC，AD，則下列結(jié)論：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判斷正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【解析】解：①∴BC∥AD，故本選項(xiàng)正確；②∵BC=CD=DE，∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，∴∠BAE=3∠CAD，故本選項(xiàng)正確；③在△BAC和△EAD中，BA=AE，BC=DE，∠B=∠E，∴△BAC≌△EAD(SAS)，故本選項(xiàng)正確；④∵AB+BC>AC，∴2CD>AC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故答案為①②③．【例3】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于，點(diǎn)P為DE上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)D，E不重合），連接PC，PD，，垂足為G，則等于__________度.【答案】54【解析】解析：如答圖，連接OC，OD.五邊形ABCDE是正五邊形，，.，，.【例4】如圖，A、B、C是上順次三點(diǎn)，若分別是內(nèi)接正三角形、正方形的一邊，則__________．【答案】15°【解析】解：如圖，連接OA，OC，OB．∵若AC、AB分別是⊙O內(nèi)接正三角形、正方形的一邊，∴∠AOC=120°，∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，∴∠BAC=15°，【例5】如圖，正六邊形中，，連接，則的長為______【答案】2【解析】如圖，連接AC，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，∴∠BCA=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=90°，∴∠CAD=30°，∵AB=CD=1，∴AD=2CD=2，故答案為：2【例6】如圖，AC是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)B在弧AC上，且BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，若AB是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n=____.【答案】15【解析】連接OB，∵AC是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°-36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案為15.【例7】如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則劣弧AB的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．72° D．90°【答案】C【解析】解：∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴五邊形ABCDE的中心角＜AOB的度數(shù)為＝72°，∴劣弧AB的度數(shù)是72°，故選：C．【例8】如圖，以正六邊形ADHGFE的一邊AD為邊向外作正方形ABCD，則∠BED的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】B【解析】解：∵正六邊形ADHGFE的內(nèi)角為120°，正方形ABCD的內(nèi)角為90°，∴∠BAE＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∵AB＝AE，∴∠BEA＝×（180°﹣150°）＝15°，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠AED＝＝30°，∴∠BED＝15°+30°＝45°．故選：B．題型三：正多邊形的畫法【例1】作圖與證明:如圖，已知☉O和☉O上的一點(diǎn)A,請完成下列任務(wù):(1)作☉O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF;(2)連接BF,CE,判斷四邊形BCEF的形狀,并加以證明.【答案】見解析【解析】解:(1)如圖①,首先作直徑AD,然后分別以A,D為圓心,OA長為半徑畫弧,分別交☉O于點(diǎn)B,F和C,E,連接AB,BC,CD,DE,EF,AF,則正六邊形ABCDEF即為所求.(2)如圖,連接BF,CE,四邊形BCEF是矩形.證明:如圖②,連接OE.∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴AB=AF=DE=DC=FE=BC,∴AB=AF=DE=DC,∴BF=CE,∴BF=CE,∴四邊形BCEF是平行四邊形.∵∠EOD=360°6=60°,OE=OD,∴△EOD是等邊三角形,∴∠OED=∠∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°.∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=30°,∴∠CEF=∠FED-∠DEC=90°,∴四邊形BCEF是矩形.【例2】已知⊙O和⊙O上的一點(diǎn)A（如圖）.（1）作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD和內(nèi)接正六邊形AEFCGH；（2）在（1）題的作圖中，如果點(diǎn)E在上，求證：DE是⊙O內(nèi)接正十二邊形的邊.【答案】見解析【解析】（1）作法:①作直徑AC,②作直徑BD⊥AC,③依次連接A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD即為⊙O的內(nèi)接正方形,①分別以A,C為圓心,OA的長為半徑作弧,交⊙O于E,H,F,G,②順次連接A,E,F,C,G,H各點(diǎn),六邊形AEFCGH為⊙O的內(nèi)接正六邊形.（2）連接OE,DE,∵∠AOD==90°，∠AOE==60°,∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°,∴DE為⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一邊.【例3】已如：⊙O與⊙O上的一點(diǎn)A求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由．【答案】見解析【解析】解:（1）如圖，正六邊形ABCDEF為所作；（2）四邊形BCEF為矩形．理由如下：連接BE，如圖，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴，∴，∴，∴BE為直徑，∴∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，∴四邊形BCEF為矩形．【例4】如圖正六邊形的邊長為1，請分別在圖1，圖2中使用無刻度的直尺按要求畫圖．在圖1中，畫出一條長度為0.5的線段（2）在圖2中，畫一個(gè)邊長與正六邊形的邊長不相等的菱形．【答案】見解析【解析】（1）如圖1：連接CF，BD交于點(diǎn)G，則CG即為所求；理由：∵正六邊形ABCDEF的邊長1，∴BC=CD=1，∠BCD=120°，∴△CBD是等腰三角形，∴∠CBG=30°，又∵CF是正六邊形的對稱軸，∴CG⊥BD，在Rt△CBG中，CG=BC=0.5；（2）畫圖如下：解法一：菱形FGCH即為所求．解法二：菱形AGDH即為所求．【例5】如圖，A是⊙O上一點(diǎn)．（1）作⊙O的內(nèi)接等邊△ABC（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）若⊙O的半徑為3，求△ABC的邊長．【答案】見解析【解析】解析：（1）如圖所示，△ABC即為所求（2）連接OA，作OH⊥AB于H，∵OH⊥AB，∴AH=HB在Rt△AOH中，∵OA=3，∠OAH=30°∴∴AB=∴等邊三角形△ABC的邊長為【例6】已知⊙O，如圖所示．（1）求作⊙O的內(nèi)接正方形（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若⊙O的半徑為4，則它的內(nèi)接正方形的邊長為____．【答案】（1）見解析（2）【解析】解析：（1）如圖，正方形ABCD即為所求（2）∵⊙O的半徑為4，四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD，OA=OB=4∴題型四：內(nèi)接圓外接圓綜合【例1】半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為（B）A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：3【答案】B【解析】解析：設(shè)圓的半徑為R，如圖（一），

連接OB，過O作OD⊥BC于D，則∠OBC=30°，，

故BC=2BD=；

如圖（二），連接OB、OC，過O作OE⊥BC于E，則△OBE是等腰直角三角形，

2BE2=OB2，即BE=，故BC=；

如圖（三），

連接OA、OB，過O作OG⊥AB，則△OAB是等邊三角形，

故，AB=2AG=R，

故圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為【例2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，周長為12，那么△ABC內(nèi)切圓半徑為（）A．3B．2.5C．2D．1【答案】D【解析】解析：∵∠C=90°，AB=5，周長等于12，∴BC﹢AC=7，∴r=（7﹣5）÷2=1．【例3】若⊙O是△ABC的外接圓，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠BOC=______．若⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠BOC=_____．【答案】100115【解析】解析：（1）∵⊙O是△ABC的外接圓∴∠OBC=∠BCO=90°﹣∠CAB=90°﹣50°=40°，∴∠BOC=180°﹣40°﹣40°=100°（2）∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°∴∠BOC=180°﹣25°﹣40°=115°【例4】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，點(diǎn)M是⊙O上一點(diǎn)，∠EMF=55°，則∠A=______°．【答案】70【解析】解析：連接OF、OE∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F∴∠AEO=∠AFO=90°∵∠EMF=55°∴∠EOF=110°∴∠A=180°﹣110°=70°【例5】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=40°，則∠A的度數(shù)等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】解析：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半徑），∴∠OBC=∠0CB（等邊對等角）；∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A=∠C0B（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），∴∠A=50°【例6】若正方形的外接圓半徑為2，則其內(nèi)切圓半徑為______．【答案】【解析】解析：如圖所示，連接OA、OE，∵AB是小圓的切線，∴OE⊥AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AE=OE，

∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE=OA=．【例7】若圓內(nèi)接正方形的邊心距為3，則這個(gè)圓內(nèi)接正三角形的邊長為．【答案】3．【解析】解：正方形外接圓直徑為正方形的對角線長．∵正方形邊長為6，∴正方形的對角線長為6，外接圓半徑為3．如圖所示：在Rt△BOD中，OB＝3，∠OBD＝30°，∴BD＝．∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝3．故答案為3．【例8】已知正五邊形的外接圓直徑為6，那么該正五邊形外接圓的半徑為．【答案】3【解析】解：∵正五邊形的外接圓直徑為6，∴該正五邊形外接圓的半徑為6÷2＝3，故答案為：3．【例9】如圖，已知⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OM＝2cm，則該圓的內(nèi)接正三角形ACE的邊長為cm．【答案】4．【解析】解：如圖所示，連接OC、OB，過O作ON⊥CE于N，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴∠OCM＝60°，∴OC＝（cm），∵∠OCN＝30°，∴ON＝（cm），∴CE＝2CN＝4（cm）．故答案為4．題型四：解答題題型【例1】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為的中點(diǎn)，連接AM，BM．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】見解析【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴＝，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴＝，∴+＝+，∴；（2）解：連接OM，OA，OB，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，∴的度數(shù)是135°．【例2】如圖，在正五邊形ABCDE中，CA與DB相交于點(diǎn)F，若AB＝1，求BF．【答案】【解析】解：在正五邊形ABCDE中，∵∠ABC＝∠DCB＝108°，BC＝BA＝CD，∴∠BAC＝∠BCA＝∠CDB＝∠CBD＝36°，∴∠ABF＝72°，∴∠AFB＝∠CBD+∠ACB＝72°，∴∠AFB＝∠ABF，∠FCB＝∠FBC，∴AF＝AB＝1，F(xiàn)B＝CF，設(shè)FB＝FC＝x，∵∠BCF＝∠BCA，∠CBF＝∠CAB，∴△BCF∽△ACB，∴CB2＝CF?CA，∴x（x+1）＝1，∴x2+x﹣1＝0，∴x＝或（舍去），∴BF＝．【例3】如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若⊙O的半徑為2，求等邊△ABC的邊心距．【答案】見解析【解析】（1）證明：在⊙O中，∵∠BAC與∠CPB是對的圓周角，∠ABC與∠APC是所對的圓周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形；（2）過O作OD⊥BC于D，連接OB，則∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等邊△ABC的邊心距為1．【例4】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點(diǎn)，連接DP，C．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．【答案】見解析【解析】解：（1）如圖，連接BD，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點(diǎn)，∴∠DBC＝45°，∵∠CPD＝∠DBC，∴∠CPD＝45°．故答案為：45；（2）如圖，作CH⊥DP于H，∵CP＝2，∠CPD＝45°，∴CH＝PH＝2，∵DC＝4，∴DH＝＝＝2，∴DP＝PH+DH＝2+2．【例5】如圖正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為CD任意一點(diǎn)，連接DE、AE．（1）求∠AED的度數(shù)．（2）如圖2，過點(diǎn)B作BF∥DE交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的長度．【答案】（1）45（2）【解析】解：（1）如圖1中，連接OA、OD．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝∠AOD＝45°．（2）如圖2中，連接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，∴∠ABF＝∠CDE，∵∠CFA＝∠AEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°，∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝＝，∴AD＝AC＝，課后練習(xí)1、半徑為2的圓內(nèi)接正六邊形的邊心距的長是（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【解析】解：邊長為2的正六邊形可以分成六個(gè)邊長為2的正三角形，而正多邊形的邊心距即為每個(gè)邊長為2的正三角形的高，∴正六多邊形的邊心距等于，故選：C．2、如圖，點(diǎn)O為正八邊形ABCDEFGH的中心，則∠AFO的度數(shù)為．【答案】22.5°【解析】解：作正八邊形ABCDEFGH的外接圓O．連接OA、OB，∵八邊形ABCDEFGH是OO內(nèi)接正八邊形，∴∠AOB＝＝45°，由圓周角定理得，∠AFO＝∠AOB＝＝22.5°，．3、若一個(gè)正多邊形的中心角為40°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是度．【答案】1260【解析】解：∵正多邊形的一個(gè)中心角為40°，∴360°÷40°＝9，∴這個(gè)正多邊形是正九邊形，∴這個(gè)正九邊形的內(nèi)角和等于（9?2）×180°＝1260°．故答案為1260．4、半徑為5的正六邊形的周長為．【答案】30【解析】解：∵圓內(nèi)接正六邊形的半徑為5，∴邊長是5，則周長是：5×6＝30．故答案是：30．5、如果一個(gè)正三角形的半徑長為2，那么這個(gè)三角形的邊長為．【答案】2．【解析】解：如圖：正三角形ABC，半徑OA＝OB＝OC＝2，延長AO交