第1章《一元二次方程》知識講練(學(xué)生版+解析)

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊章節(jié)知識講練知識點(diǎn)1：一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只，并且未知數(shù)的的，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使叫做一元二次方程的解，也叫做

細(xì)節(jié)剖析：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是，否則一定一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的，看是否具備另兩個條件：①一個；②未知數(shù)的最高次數(shù)為對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．知識點(diǎn)2：一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程2．基本解法細(xì)節(jié)剖析：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用知識點(diǎn)3：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程實(shí)數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.細(xì)節(jié)剖析：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；

(3)解與根有關(guān)的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．知識點(diǎn)4：列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實(shí)際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是審題；

二是把握問題中的

三是的合理性.

2.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清等)；

設(shè)(設(shè)，有時會用)；

列(根據(jù)題目中的，)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)(檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.細(xì)節(jié)剖析：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為，然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對的解決.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，在長為28米、寬為10米的矩形空地上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為243平方米，則可列方程為（）A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 C．（28﹣x）（10﹣x）＝243 D．2（28﹣x+10﹣x）＝2432．（2分）（2023?錫山區(qū)校級四模）若關(guān)于x的方程x2﹣x﹣m＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2分）（2023?雨花臺區(qū)校級模擬）方程（x+1）（x﹣2）+1＝0的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個正根 B．兩個負(fù)根 C．一個正根，一個負(fù)根 D．無實(shí)數(shù)根4．（2分）（2023?無錫）2020年﹣2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設(shè)人均可支配收入的平均增長率為x，下列方程正確的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.585．（2分）（2023?海門市二模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：一根筆直生長的竹子，高一丈（一丈＝10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2+32＝（10﹣x）2 B．x2+32＝102 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．（10﹣x）2+32＝x26．（2分）（2023?海門市二模）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，則c的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．97．（2分）（2023?秦淮區(qū)二模）下列一元二次方程（a為常數(shù)，且a＞0），有兩個異號的實(shí)數(shù)根的是（）A．（x﹣1）2+a＝0 B．（x﹣1）（x﹣a）＝0 C．a(chǎn)（x+1）2＝0 D．x2﹣x﹣a＝08．（2分）（2023?武進(jìn)區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一個根是0，則k的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或29．（2分）（2022秋?江陰市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，其中一根是另一根的4倍，則a的值為（）A．或5 B．或﹣5 C． D．510．（2分）（2023春?揚(yáng)州月考）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，則方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?高郵市模擬）設(shè)x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的兩個根，且x1+x2＝2x1x2，則m＝．12．（2分）（2023?淮安模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，則m的值為．13．（2分）（2023?邗江區(qū)二模）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問長及闊各幾步”．意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步？利用方程思想，設(shè)寬為x步，則依題意列方程為．14．（2分）（2023?海陵區(qū)校級二模）對于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：，例如4*2，因?yàn)?＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則a*b＝．15．（2分）（2022秋?靖江市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1和x2，且x1+x2+x1x2＝1，則m的值為．16．（2分）（2023?建鄴區(qū)二模）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2+6x+m＝0的兩個根，且x1＝2x2，則m＝．17．（2分）（2022秋?宿城區(qū)期末）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程成為“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差1方程”設(shè)t＝10a﹣b2，t的最大值為．18．（2分）（2023?靖江市模擬）已知x、y為實(shí)數(shù)，且滿足x2﹣xy+y2＝2，記W＝x2+xy+y2的最大值為M，最小值為m，則M+m＝．19．（2分）（2020秋?常州期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實(shí)數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有（填序號）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：則4m2+5mn+n2＝0；③若p，q滿足pq＝2，則關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，則必有2b2＝9ac．20．（2分）（2019秋?濱湖區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?儀征市期末）解方程：（1）；（2）x2+3x﹣2＝0．（用配方法）22．（6分）（2023?姜堰區(qū)二模）如圖，用總長48m的籬笆依墻（墻足夠長）圍成如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，且三塊區(qū)域面積相等．（1）的值為；的值為；（2）當(dāng)矩形ABCD的面積為108m2時，求BC的長．23．（8分）（2023?姜堰區(qū)一模）某草莓采摘園收費(fèi)信息如下表：成人票兒童票帶出草莓價格不超過10人超過10人20元/人30元/斤30元/人每增加1人，人均票價下降1元，但不低于兒童票價.（1）某社團(tuán)共32人去該采摘園進(jìn)行綜合實(shí)踐活動，購買了10張兒童票，其余均為成人票，總費(fèi)用不超過1240元，求本次活動他們最多共帶出草莓多少斤？（2）某公司員工（均為成人）在該草莓采摘園組織團(tuán)建活動，共支付票價391元，求這次參加團(tuán)建的共多少人？24．（8分）（2023春?儀征市期末）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進(jìn)蛋黃粽子、紅豆粽子，兩次進(jìn)貨時，兩種粽子的進(jìn)價不變．第一次購進(jìn)蛋黃粽子60袋和紅豆粽子90袋，總費(fèi)用為4800元；第二次購進(jìn)蛋黃粽子40袋和紅豆粽子80袋，總費(fèi)用為3600元．（1）求蛋黃粽子、紅豆粽子每袋的進(jìn)價各是多少元？（2）當(dāng)?shù)包S粽子銷售價為每袋70元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對蛋黃粽子進(jìn)行降價銷售，經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)?shù)包S粽子每袋的銷售價為多少元時，每天售出蛋黃粽子所獲得的利潤為220元？25．（8分）（2023?廣陵區(qū)校級一模）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求證：無論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰△ABC的三邊a，b，c中a＝3，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求k值．26．（8分）（2023?海陵區(qū)一模）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運(yùn)動員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)調(diào)查“冰墩墩”每盒進(jìn)價8元，售價12元．（1）商店老板計(jì)劃首月銷售330盒，經(jīng)過首月試銷售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“冰墩墩”售價每增長1元，月銷量就將減少20盒．若老板希望“冰墩墩”月銷量不低于270盒，則每盒售價最高為多少元？（2）實(shí)際銷售時，售價比（1）中的最高售價減少了2a元，月銷量比（1）中最低銷量270盒增加了60a盒，于是月銷售利潤達(dá)到了1650元，求a的值．27．（8分）（2023?濱?？h模擬）某服裝銷售商用48000元購進(jìn)了一批時尚新款服裝，通過網(wǎng)絡(luò)平臺進(jìn)行銷售，由于行情較好，第二次又用100000元購進(jìn)了同種服裝，第二次購進(jìn)數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍，每件的進(jìn)價多了10元．（1）該銷售商第一次購進(jìn)了這種服裝多少件，每件進(jìn)價多少元？（2）該銷售商賣出第一批服裝后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：若按每件300元銷售，每天平均能賣出80件，銷售價每降低10元，則多賣出20件．依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為3600元，銷售價應(yīng)為多少？28．（8分）（2022秋?灌南縣校級月考）某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應(yīng)漲價多少元？

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊章節(jié)知識講練知識點(diǎn)1：一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

細(xì)節(jié)剖析：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．知識點(diǎn)2：一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．細(xì)節(jié)剖析：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．知識點(diǎn)3：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.細(xì)節(jié)剖析：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；

(3)解與根有關(guān)的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．知識點(diǎn)4：列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實(shí)際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

2.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)(檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.細(xì)節(jié)剖析：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實(shí)際問題的解決.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，在長為28米、寬為10米的矩形空地上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為243平方米，則可列方程為（）A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 C．（28﹣x）（10﹣x）＝243 D．2（28﹣x+10﹣x）＝243解：∵道路的寬為x米，∴鋪設(shè)草坪的面積等于長為（28﹣x）米、寬（10﹣x）米的矩形面積．∵草坪的面積為243平方米，∴（28﹣x）（10﹣x）＝243．故選：C．2．（2分）（2023?錫山區(qū)校級四模）若關(guān)于x的方程x2﹣x﹣m＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．解：∵關(guān)于x的方程x2﹣x﹣m＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣m）＝1+4m≥0，解得，故選：C．3．（2分）（2023?雨花臺區(qū)校級模擬）方程（x+1）（x﹣2）+1＝0的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個正根 B．兩個負(fù)根 C．一個正根，一個負(fù)根 D．無實(shí)數(shù)根解：方程整理得：x2﹣x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為a，b，∵a+b＝1，ab＝﹣1，∴方程一個正根，一個負(fù)根，且正根絕對值大于負(fù)根絕對值．故選：C．4．（2分）（2023?無錫）2020年﹣2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設(shè)人均可支配收入的平均增長率為x，下列方程正確的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58解：由題意得：5.76（1+x）2＝6.58．故選：A．5．（2分）（2023?海門市二模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：一根筆直生長的竹子，高一丈（一丈＝10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2+32＝（10﹣x）2 B．x2+32＝102 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．（10﹣x）2+32＝x2解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故選：A．6．（2分）（2023?海門市二模）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，則c的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9解：∵a﹣b2﹣2＝0，∴b2＝a﹣2≥0，∴a≥2，∵2a2﹣4b2﹣c＝0，∴2a2﹣4（a﹣2）﹣c＝0，∴c＝2a2﹣4a+8＝2（a﹣1）2+6，當(dāng)a＝2時，c的最小值是2×（2﹣1）2+6＝2+6＝8．故選：C．7．（2分）（2023?秦淮區(qū)二模）下列一元二次方程（a為常數(shù)，且a＞0），有兩個異號的實(shí)數(shù)根的是（）A．（x﹣1）2+a＝0 B．（x﹣1）（x﹣a）＝0 C．a(chǎn)（x+1）2＝0 D．x2﹣x﹣a＝0解：A、∵（x﹣1）2+a＝0，∴x2﹣2x+1+a＝0∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（1+a）＝﹣4a＜0，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，B、解方程（x﹣1）（x﹣a）＝0，得x1＝1，x2＝a＞0，∴該方程有兩個同號的實(shí)數(shù)根；C、由a（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1，∴該方程有兩個同號的實(shí)數(shù)根；D、∵x2﹣x﹣a＝0，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣a）＝1+4a＞0，∴該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∵方程x2﹣x﹣a＝0的兩個根的積溫﹣a＜0，∴該方程有兩個異號的實(shí)數(shù)根；故選：D．8．（2分）（2023?武進(jìn)區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一個根是0，則k的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故選：A．9．（2分）（2022秋?江陰市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，其中一根是另一根的4倍，則a的值為（）A．或5 B．或﹣5 C． D．5解：設(shè)x1、x2關(guān)于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，x1＝m，x2＝4m，∴，解得：a＝5．∴a的值為5．故選：D．10．（2分）（2023春?揚(yáng)州月考）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，則方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣1和3，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?高郵市模擬）設(shè)x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的兩個根，且x1+x2＝2x1x2，則m＝4．解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的兩個根，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2．∵x1+x2＝2x1x2，∴﹣m＝2×（﹣2），解得m＝4．故答案為：4．12．（2分）（2023?淮安模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，則m的值為﹣3．解：根據(jù)題意得Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2≥0，解得m≤，∵方程的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，∵（x1+1）（x2+1）＝3，∴x1x2+（x1+x2）+1＝3，即m2+2m﹣1+1＝3，整理得m2+2m﹣3＝0，解得m1＝﹣3，m2＝1，∵m≤，∴m＝﹣3．故答案為：﹣3．13．（2分）（2023?邗江區(qū)二模）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問長及闊各幾步”．意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步？利用方程思想，設(shè)寬為x步，則依題意列方程為x（x+12）＝864．解：∵矩形的寬為x（步），且寬比長少12（步），∴矩形的長為（x+12）（步）．依題意，得：x（x+12）＝864．故答案為：x（x+12）＝864．14．（2分）（2023?海陵區(qū)校級二模）對于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：，例如4*2，因?yàn)?＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則a*b＝12或﹣4：．解：x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，當(dāng)a＝3，b＝﹣1時，則a*b＝a2﹣a?b＝32﹣3×（﹣1）＝12，當(dāng)a＝﹣1，b＝3時，則a*b＝a?b﹣a2＝﹣1×3﹣（﹣1）2＝﹣4，故答案為：12或﹣4．15．（2分）（2022秋?靖江市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1和x2，且x1+x2+x1x2＝1，則m的值為0．解：∵一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1和x2，∴，且Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，∴，∵x1+x2+x1x2＝1，∴﹣（2m﹣1）+m2＝1，解得：m＝0或2（舍去），∴m的值為0．故答案為：0．16．（2分）（2023?建鄴區(qū)二模）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2+6x+m＝0的兩個根，且x1＝2x2，則m＝8．解：根據(jù)題意，知x1+x2＝3x2＝﹣6，則x2＝﹣2，將其代入關(guān)于x的方程x2+6x+m＝0，得（﹣2）2+6×（﹣2）+m＝0．解得m＝8．故答案為：8．17．（2分）（2022秋?宿城區(qū)期末）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程成為“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差1方程”設(shè)t＝10a﹣b2，t的最大值為9．解：由題可得：Δ＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a≥0，∴解方程得，∵關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常數(shù)，a＞0）是“差1方程”，∴，∴b2＝a2+4a，∵t＝10a﹣b2，∴t＝6a﹣a2＝﹣（a﹣3）2+9，∵（a﹣3）2≥0，∴a＝3時，t的最大值為9．故答案為：9．18．（2分）（2023?靖江市模擬）已知x、y為實(shí)數(shù)，且滿足x2﹣xy+y2＝2，記W＝x2+xy+y2的最大值為M，最小值為m，則M+m＝6．解：∵x2﹣xy+y2＝2，∴x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2，∴W＝x2+xy+y2＝2xy+2，∵3xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝﹣y，即x＝，y＝﹣或x＝﹣，y＝時等號成立．∴xy的最小值為﹣，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值為，即m＝．∵xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝，y＝或x＝﹣，y＝﹣時等號成立．∴xy的最大值為2，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最大值為6，即M＝6，∴M+m＝+6＝6．故答案為：6．19．（2分）（2020秋?常州期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實(shí)數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有②③④（填序號）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：則4m2+5mn+n2＝0；③若p，q滿足pq＝2，則關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，則必有2b2＝9ac．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正確；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，當(dāng)x2＝1時，m+n＝0，當(dāng)x2＝4時，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正確；③∵pq＝2，則：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣q，∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，因此是倍根方程，故③正確；④方程ax2+bx+c＝0的根為：x1＝，x2＝，若x1＝2x2，則，＝×2，即，﹣×2＝0，∴＝0，∴＝0，∴3＝﹣b∴9（b2﹣4ac）＝b2，∴2b2＝9ac．若2x1＝x2時，則，×2＝，即，則，×2﹣＝0，∴＝0，∴﹣b+3＝0，∴b＝3，∴b2＝9（b2﹣4ac），∴2b2＝9ac．故④正確，故答案為：②③④20．（2分）（2019秋?濱湖區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解x3＝0，x4＝﹣3．解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0變形為a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故答案為：x3＝0，x4＝﹣3．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?儀征市期末）解方程：（1）；（2）x2+3x﹣2＝0．（用配方法）解：（1），（x+1）2﹣4＝x2﹣1，解得x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1時，x﹣1＝1﹣1＝0，故是增根，故原方程無解；（2）x2+3x﹣2＝0，x2+3x＝2，x2+3x+＝2+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝﹣﹣，x2＝﹣+．22．（6分）（2023?姜堰區(qū)二模）如圖，用總長48m的籬笆依墻（墻足夠長）圍成如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，且三塊區(qū)域面積相等．（1）的值為2；的值為2；（2）當(dāng)矩形ABCD的面積為108m2時，求BC的長．解：（1）∵矩形①和矩形②的面積相等，∴AH＝DH，又∵BC＝AH+DH＝2AH，∴＝＝2；∵矩形①和矩形③的面積相等，且BC＝2AH，∴AE＝2EB，∴＝＝2．故答案為：2，2；（2）設(shè)EB＝xm，則AE＝2xm，BC＝＝（24﹣4x）m，根據(jù)題意得：（2x+x）（24﹣4x）＝108，整理得：x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，∴24﹣4x＝24﹣4×3＝12．答：BC的長為12m．23．（8分）（2023?姜堰區(qū)一模）某草莓采摘園收費(fèi)信息如下表：成人票兒童票帶出草莓價格不超過10人超過10人20元/人30元/斤30元/人每增加1人，人均票價下降1元，但不低于兒童票價.（1）某社團(tuán)共32人去該采摘園進(jìn)行綜合實(shí)踐活動，購買了10張兒童票，其余均為成人票，總費(fèi)用不超過1240元，求本次活動他們最多共帶出草莓多少斤？（2）某公司員工（均為成人）在該草莓采摘園組織團(tuán)建活動，共支付票價391元，求這次參加團(tuán)建的共多少人？解：（1）設(shè)本次活動他們共帶出草莓x斤，由題意知成人有22人，∵30﹣12＝18＜20，∴成人與兒童票價相同，∴20×10+22×20+30x≤1240，∴x≤20，∴x的最大整數(shù)為20．答：本次活動他們共帶出草莓20斤；（2）設(shè)這次參加團(tuán)建的共y人，由題意得，y[30﹣（y﹣10）]＝391．∴y1＝17，y2＝23，當(dāng)y＝23時，40﹣y＝17＜20，不合題意，舍去．答：這次參加團(tuán)建的共17人．24．（8分）（2023春?儀征市期末）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進(jìn)蛋黃粽子、紅豆粽子，兩次進(jìn)貨時，兩種粽子的進(jìn)價不變．第一次購進(jìn)蛋黃粽子60袋和紅豆粽子90袋，總費(fèi)用為4800元；第二次購進(jìn)蛋黃粽子40袋和紅豆粽子80袋，總費(fèi)用為3600元．（1）求蛋黃粽子、紅豆粽子每袋的進(jìn)價各是多少元？（2）當(dāng)?shù)包S粽子銷售價為每袋70元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對蛋黃粽子進(jìn)行降價銷售，經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)?shù)包S粽子每袋的銷售價為多少元時，每天售出蛋黃粽子所獲得的利潤為220元？解：（1）設(shè)蛋黃粽子的進(jìn)價是x元/袋，紅豆粽子的進(jìn)價是y元/袋，根據(jù)題意得：，解得：．答：蛋黃粽子的進(jìn)價是50元/袋，紅豆粽子的進(jìn)價是20元/袋；（2）設(shè)蛋黃粽子的銷售價格為m元/袋，則每袋的銷售利潤為（m﹣50）元，每天可售出20+5（70﹣m）＝（370﹣5m）袋，根據(jù)題意得：（m﹣50）（370﹣5m）＝220，解得：m2﹣124m+3744＝0，解得：m1＝52，m2＝72（不符合題意，舍去）．答：當(dāng)?shù)包S粽子每袋的銷售價為52元時，每天售出蛋黃粽子所獲得的利潤為220元．25．（8分）（2023?廣陵區(qū)校級一模）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求證：無論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰△ABC的三邊a，b，c中a＝3，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求k值．（1）證明：∵Δ＝[﹣（k+