江西省宜春市2023屆高三下學期模擬考試數(shù)學 (理) 試題

宜春市2023年高三年級模擬考試數(shù)學（理）試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上。2．回答選擇題前，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合則（）A． B． C． D．2．若復數(shù)滿足為純虛數(shù)，且，則的虛部為（）A． B． C． D．13．給出下列命題，其中正確命題的個數(shù)為（）①若樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的方差為8；②回歸方程為時，變量與具有負的線性相關(guān)關(guān)系：③隨機變量服從正態(tài)分布則；④在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，當樣本相關(guān)系數(shù)越接近1時，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強．A．1個 B．2個 C．3個 D．44．已知實數(shù)滿足約束條件則的最大值是（）A．3 B． C． D．5．已知為單位向量，且．則與的夾角為（）A． B． C． D．6．若，，則（）A． B． C． D．7．在數(shù)學和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，若正整數(shù)只有1為公約數(shù)，則稱互質(zhì)，對于正整數(shù)是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，．記為數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，將的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)圖象重合，下列說法正確的是（）A．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減 D．函數(shù)最小正周期為9．在直角中，．以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．10．如圖所示，在等腰梯形中，，，現(xiàn)將梯形依次繞著各點順時針翻轉(zhuǎn)，則在第一次繞著點翻轉(zhuǎn)的過程中，對角線掃過的平面區(qū)域面積為（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和，對任意不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若的內(nèi)心分別為，則與面積之和的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，13．已知則到點的距離為2的點的坐標可以是______．（寫出一個滿足條件的點就可以）14．已知點，若圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值的范圍是______．15．已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足．當時，，則在區(qū)上所有零點之和為______．16．如圖，多面體中，面為正方形平面，，且，，為棱的中點，為棱上的動點，有下列結(jié)論：①當為的中點時，平面；②存在點，使得；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐的外接球的體積為．其中正確的結(jié)論序號為______．三、解答題：共分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）在中，角所對的邊分別為，且．（1）求證：；（2）求的最小值．18．（12分）黨的二十大的勝利召開為我們建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家指引了前進的方向，為謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復興的奮斗歷程，為了調(diào)動大家積極學習黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識的競賽、甲、乙兩個單位進行黨史知識競賽，每個單位選出3人組成甲、乙兩支代表隊，每隊初始分均為3分，首輪比賽每人回答一道必答題，答對則為本隊得2分，答錯或不答扣1分．已知甲隊3人每人答對的概率分別為；乙隊每人答對的概率都是，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用X表示首輪甲隊總分。（1）求隨機變量X的分布列及其數(shù)學期望E（X）；（2）求在甲隊和乙隊總分之和為12分的條件下，甲隊與乙隊得分相同的概率．19．（12分）如圖，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，過點作平面，垂足為，過點作平面，垂足為，連結(jié)并延長交于點．（1）證明：是線段的中點；（2）求平面與平面夾角的正弦值．20．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心，6為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過橢圓的右焦點的直線的斜率分別為．且，直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于兩點，線段的中點分別為，直線與橢圓交于兩點，是橢圓的左、右頂點，記與的面積分別為，證明：為定值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對任意的恒成立，求的取值范圍．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．［選修44：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程．（1）求曲線的普通方程：（2）若直線與曲線有兩個不同公共點，求的取值范圍．23．［選修4—5；不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，正實數(shù)滿足，求證：．

2023屆高三模擬考試數(shù)學參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號123456789101112答案CBBBAADCCDCA二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．上的任意一點都可以14．15．404416．③三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。17．（1）證明：在中，，由正弦定理得，又，因為所以所以又所以，且所以，故．（2）由（1）得，所以，因為所以當且僅當即且當且僅當時等號成立，所以當時，的最小值為．18．解：（1）的可能取值為0，3，6，9．所以的分布列為X0369P（2）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為12”為事件，“甲隊與乙隊得分相同”為事件，則，所以所以在甲隊和乙隊總分之和為12分的條件下，甲隊與乙隊得分相同的概率．19．（1）因為平面平面因為．因為平面，平面因為．又因為因為平面，又因為平面所以．又由已知可得是的中點．（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)則易知平面，又由因為平面所以由正三棱錐的性質(zhì)可知是的重心所以所以則設(shè)平面的法向量則令得平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，所以平面與平面夾角的正弦值為．20．（1）解：依題意得則則所以橢圓的方程為．（2）直線設(shè)則，則中點同理可算①當直線斜率存在時，設(shè)直線點R，S在直線上則易知為方程的兩個根，則得所以直線則直線恒過點②當直線的斜率不存在時，由對稱性可知由不妨設(shè)所以直線過根據(jù)①②可知，直線恒過點因為的面積，的面積所以．21．（1）函數(shù)的定義域為，當時，即時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，即時，令得，所以，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因為對任意的恒成立，即恒成立，所以恒成立，令，因為，設(shè)，則，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以