考點06二次函數(shù)圖像和系數(shù)關(guān)系以及最值問題-原卷版+解析

考點06二次函數(shù)圖像和系數(shù)關(guān)系以及最值問題1二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)的符號關(guān)系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)cc=0經(jīng)過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交b2–4acb2–4ac=0與x軸有唯一交點（頂點）b2–4ac>0與x軸有兩個交點b2–4ac<0與x軸沒有交點2一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像的綜合判斷方法技巧1：根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)系數(shù)的正負情況，當(dāng)正負一致時，即為正確選項;技巧2：先根據(jù)圖像判斷其中一個函數(shù)的系數(shù)的正負，然后帶入另一個函數(shù)中，若符合要求，即為正確.3根據(jù)圖像判斷式子的符號常用公式及方法：二次函數(shù)三種表達式：表達式頂點坐標(biāo)對稱軸一般式頂點式交點式韋達定理：若二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且交點坐標(biāo)為（，0）和（，0），則，。賦值法：在二次函數(shù)中，令，則；令，則；令，則；令，則；令，則；令，則；出現(xiàn)2a＋b與0的關(guān)系：找對稱軸出現(xiàn)3a＋c或者其它類似于這種形式的缺少一個字母的，先找對稱軸得出ab的關(guān)系式，再用一個特殊點帶入解析式得到一個新式子，再將ab的關(guān)系式帶入替換掉缺少的字母即可；出現(xiàn)b2－4ac時，觀察圖像和x軸的交點個數(shù)，兩個交點時大于0，一個交點時等于0，無交點時小于0；出現(xiàn)4ac－b2時，與上面相反；出現(xiàn)a＋b＋c與am2＋bm＋c的大小關(guān)系時，只需要看x＝1時是最高點還是最低點，和x＝m時得出的am2＋bm＋c與x＝1時得出的a＋b＋c的大小關(guān)系即可；其它不常見的類型同學(xué)們注意總結(jié)方法。4y=ax用配方法可化成：y=ax??2+k二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）:頂點坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，x＝﹣時，y取得最值，即頂點是拋物線的最高或最低點．5根據(jù)對稱性求最短路徑此類問題一般涉及到的知識點是將軍飲馬問題，利用將軍飲馬的方法即可求出最短路徑?？键c1二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)的符號關(guān)系考點2一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像的綜合判斷方法考點3根據(jù)圖像判斷式子的符號考點4y=ax考點5根據(jù)對稱性求最短路徑考點1二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)的符號關(guān)系1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知，，，，則下列結(jié)論成立的是（

）A．， B．， C．， D．，2．（2023秋·湖南益陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示的是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為直線，且過點．則以下四個結(jié)論中錯誤的是（

）

A． B． C． D．3．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）如圖，二次函數(shù)圖象的對稱軸是，下面四條信息的判斷：①，②，③，④．你認(rèn)為其中正確的是（

）．

A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④4．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考模擬預(yù)測）二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列說法：；當(dāng)時，；若、在函數(shù)圖像上，當(dāng)時，；；，其中錯誤的個數(shù)有（

）個．

A． B． C． D．考點2一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像的綜合判斷方法6．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

7．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

8．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

9．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象不可能是（

）A．B．C． D．10．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知拋物線開口向下，且經(jīng)過第三象限的點，若點與原點在拋物線對稱軸的異側(cè)，則一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考點3根據(jù)圖像判斷式子的符號11．（2022秋·河南鄭州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④12．（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級校考期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④其中m是不等于1的實數(shù)．則其中結(jié)論正確的個數(shù)是多少個（

）

A．1 B．2 C．3 D．413．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)給出以下結(jié)論①；②；③；④（m為實數(shù)）；⑤．其中錯誤結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③（m為任意實數(shù)）；④若點和點在該圖象上，則．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④15．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，拋物線的對稱軸是直線，并與x軸交于A，B兩點，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④若m為任意實數(shù)，則，其中正確的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④考點4y=ax216．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為，則h的值為（）A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或617．（2023秋·山東東營·九年級?？计谀┮阎魏瘮?shù)為常數(shù)，當(dāng)自變量的值滿足時，與其對應(yīng)的函數(shù)值的最大值為，則的值為(

)A．或 B．或 C．或 D．或18．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）若，，且，的最小值為m，最大值為n，則（

）A． B． C． D．219．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）如圖，已知二次函數(shù)（為常數(shù)且）圖象的頂點為，且經(jīng)過點．有以下結(jié)論：①；②；③；④時，隨的增大而減??；⑤對于任意實數(shù)，總有．其中結(jié)論正確的個數(shù)有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個20．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）已知，二次函數(shù)的對稱軸為y軸，將此函數(shù)向下平移3個單位，若點M為二次函數(shù)圖象在（）部分上任意一點，O為坐標(biāo)原點，連接，則長度的最小值是（

）A． B．2 C． D．考點5根據(jù)對稱性求最短路徑21．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝－x2＋px＋q的對稱軸為x＝﹣3，過其頂點M的一條直線y＝kx＋b與該拋物線的另一個交點為N（﹣1，1）．要在坐標(biāo)軸上找一點P，使得△PMN的周長最小，則點P的坐標(biāo)為（

）A．（0，2）B．（，0）C．（0，2）或（，0） D．以上都不正確22．（2014秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）拋物線與直線交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），動點P從A點出發(fā)，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點B．若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為（）A． B． C． D．23．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知拋物線具有如下性質(zhì)：拋物線上任意一點到定點F（0，2）的距離與到x軸的距離相等，點M的坐標(biāo)為（3，6），P是拋物線上一動點，則△PMF周長的最小值是（

）A．5 B．9 C．11 D．1324．（2021春·九年級課時練習(xí)）二次函數(shù)y=-（x-1）2+5，當(dāng)m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為2m，最大值2n，則m+n的值等于（

）A．0 B． C． D．25．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖,拋物線與直線交于兩點,點為軸上點,當(dāng)周長最短時;周長的值為（

）A． B．C． D．

考點06二次函數(shù)圖像和系數(shù)關(guān)系以及最值問題1二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)的符號關(guān)系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)cc=0經(jīng)過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交b2–4acb2–4ac=0與x軸有唯一交點（頂點）b2–4ac>0與x軸有兩個交點b2–4ac<0與x軸沒有交點2一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像的綜合判斷方法技巧1：根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)系數(shù)的正負情況，當(dāng)正負一致時，即為正確選項;技巧2：先根據(jù)圖像判斷其中一個函數(shù)的系數(shù)的正負，然后帶入另一個函數(shù)中，若符合要求，即為正確.3根據(jù)圖像判斷式子的符號常用公式及方法：二次函數(shù)三種表達式：表達式頂點坐標(biāo)對稱軸一般式頂點式交點式韋達定理：若二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且交點坐標(biāo)為（，0）和（，0），則，。賦值法：在二次函數(shù)中，令，則；令，則；令，則；令，則；令，則；令，則；出現(xiàn)2a＋b與0的關(guān)系：找對稱軸出現(xiàn)3a＋c或者其它類似于這種形式的缺少一個字母的，先找對稱軸得出ab的關(guān)系式，再用一個特殊點帶入解析式得到一個新式子，再將ab的關(guān)系式帶入替換掉缺少的字母即可；出現(xiàn)b2－4ac時，觀察圖像和x軸的交點個數(shù)，兩個交點時大于0，一個交點時等于0，無交點時小于0；出現(xiàn)4ac－b2時，與上面相反；出現(xiàn)a＋b＋c與am2＋bm＋c的大小關(guān)系時，只需要看x＝1時是最高點還是最低點，和x＝m時得出的am2＋bm＋c與x＝1時得出的a＋b＋c的大小關(guān)系即可；其它不常見的類型同學(xué)們注意總結(jié)方法。4y=ax用配方法可化成：y=ax??2+k二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）:頂點坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，x＝﹣時，y取得最值，即頂點是拋物線的最高或最低點．5根據(jù)對稱性求最短路徑此類問題一般涉及到的知識點是將軍飲馬問題，利用將軍飲馬的方法即可求出最短路徑?？键c1二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)的符號關(guān)系考點2一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像的綜合判斷方法考點3根據(jù)圖像判斷式子的符號考點4y=ax考點5根據(jù)對稱性求最短路徑考點1二次函數(shù)的圖像與各系數(shù)的符號關(guān)系1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知，，，，則下列結(jié)論成立的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】設(shè)，由，，可得二次函數(shù)過，，且其對稱軸在x軸負半軸，即可求解．【詳解】解：設(shè)，∵，，∴二次函數(shù)過，，∵，∴二次函數(shù)對稱軸，二次函數(shù)的大致圖象如下：

由圖象可知，∵二次函數(shù)與x軸有2個交點，∴，即，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．由題意確定二次函數(shù)經(jīng)過的點和其對稱軸的特點是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖南益陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示的是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為直線，且過點．則以下四個結(jié)論中錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象，得出a、b的正負，再根據(jù)對稱軸為直線，即可判斷；結(jié)合圖象分析，，由圖象得與軸有兩個交點，所以．【詳解】由圖象可得開口向下，故，∵對稱軸為直線，，，∴，∵過點，∴，，故選項A正確；由圖象可知，當(dāng)時函數(shù)值大于，所以將代入解析式，可得，故選項B正確；由圖象可知，當(dāng)時函數(shù)值小于，所以將代入解析式，可得，而，故，故選項C錯誤；由圖象得與軸有兩個交點，所以，，故選項D正確．故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）如圖，二次函數(shù)圖象的對稱軸是，下面四條信息的判斷：①，②，③，④．你認(rèn)為其中正確的是（

）．

A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)拋物線與軸的交點位置得，可對進行判斷，由拋物線開口方向得，利用拋物線的對稱軸方程得到，則則可對進行判斷，由于時，，則可對進行判斷，通過變形可對進行判斷．【詳解】拋物線與軸的交點在軸下方，，所以正確，拋物線開口向上，，拋物線的對稱軸為直線，，，所以錯誤，時，，，所以正確，，，所以正確，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)，當(dāng)時，拋物線向上開口，當(dāng)時，拋物線向下開口，一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定，對稱軸的位置：當(dāng)與同號時即對稱軸在軸左，當(dāng)與異號時即，對稱軸在軸右，常數(shù)項決定拋物線與軸交點．4．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)拋物線對稱性進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】解：∵圖象開口向下，∴，∵對稱軸為直線，∴，∵圖象與y軸的交點在x軸的上方，∴，∴，∴①說法錯誤，∵，∴，∴，∴②說法錯誤，由圖象可知點的對稱點為，∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，∴，∴③說法錯誤，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，∴，∴④說法正確；當(dāng)時，，∴，∴，∴⑤說法正確，∴正確的為④⑤，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能從圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵．5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考模擬預(yù)測）二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列說法：；當(dāng)時，；若、在函數(shù)圖像上，當(dāng)時，；；，其中錯誤的個數(shù)有（

）個．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸判斷，由圖像判斷，根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷，根據(jù)時，判斷，根據(jù)已知條件可判斷，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，的圖像開口向上，與軸的交點為，，與軸的交點在的負半軸上，∴，對稱軸為，，∴由圖像可知，拋物線的對稱軸是直線，，即，正確；由圖像可知，當(dāng)時，，錯誤；在對稱軸左側(cè)，當(dāng)時，；在對稱軸右側(cè)，當(dāng)時，，錯誤；當(dāng)時，，，正確；，，，即，，正確；故選：．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與軸的交點拋物線與軸交點的個數(shù)確定，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點2一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像的綜合判斷方法6．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先根據(jù)拋物線對稱軸為直線推出，再根據(jù)當(dāng)時，，得到，由此即可得到答案．【詳解】解：∵對稱軸為直線，∴，∴，∴∵當(dāng)時，，∴，即，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，且與y軸交于，故選B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的綜合判斷，正確推出，是解題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)，可知，拋物線開口向上，直線自左向右呈下降趨勢，故排除A；當(dāng)時，二次函數(shù)值為，一次函數(shù)值為，互為相反數(shù)，排除B和D，即可得出答案．【詳解】由，可知，拋物線開口向上，直線自左向右呈下降趨勢，故排除A；當(dāng)時，二次函數(shù)值為，一次函數(shù)值為，互為相反數(shù)，排除B和D．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的圖象，掌握圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先根據(jù)的函數(shù)圖象可知，，進一步推出二次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)為，1，由此即可得到答案．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可知，，∴二次函數(shù)的開口向下，與軸交于正半軸，∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于，∴方程的兩個根為，∴二次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)為，1，綜上所述，只有B選項中的函數(shù)圖象符合題意，故選B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，正確讀懂的函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．9．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象不可能是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】分a＞0與a＜0兩種情況考慮兩函數(shù)圖象的特點，再對照四個選項中圖形即可得出結(jié)論．【詳解】解：先求，函數(shù)與的交點，解得：，兩個交點分別為，∴函數(shù)與交于x軸同一點，當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)的圖象開口向上、對稱軸在y軸的右側(cè)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，且兩個函數(shù)的圖象交于x軸同一點；當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)的圖象開口向下、對稱軸在y軸的左側(cè)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，且兩個函數(shù)的圖象交于x軸同一點．故選項B不可能．故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)、與0的大小關(guān)系進行分類討論．10．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知拋物線開口向下，且經(jīng)過第三象限的點，若點與原點在拋物線對稱軸的異側(cè)，則一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)題意，可確定的符號，代入一次函數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵拋物線過第三象限的點，則，且，∴，∵點在第三象限，與原點在拋物線對稱軸的異側(cè)，且拋物線的對稱軸為，拋物線過原點，∴，，∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第二象限、第三象限，第四象限，不經(jīng)過第一象限，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)確定系數(shù)的符號，一次函數(shù)中系數(shù)與圖像的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點3根據(jù)圖像判斷式子的符號11．（2022秋·河南鄭州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】把代入拋物線即可得到，①正確；由時，，得到，由可得，進而可得，②不正確；根據(jù)對稱軸列出不等式可得，③正確；由變形得到，然后根據(jù)可求得，④正確．【詳解】解：二次函數(shù)經(jīng)過點，，故①正確；當(dāng)時，，即，，，，解得，故②不正確；對稱軸為直線，，，∴，故③正確；，，由圖象可知，，∴，故④正確；綜上所述，正確的是①③④，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，主要利用了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，對稱軸公式，與y軸的交點等知識，此類題目要注意利用好特殊自變量的函數(shù)值．12．（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級?？计谀┒魏瘮?shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④其中m是不等于1的實數(shù)．則其中結(jié)論正確的個數(shù)是多少個（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由拋物線開口向下得到，由拋物線的對稱軸為直線得到，由拋物線與y軸的交點在x軸的上方得到，則，①錯誤；觀察圖象得到當(dāng)時，，即，代入可得，②正確；當(dāng)時，，即，③正確；求出時，y有最大值，可得，變形后得到，④正確．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，∴，∴，故①錯誤；當(dāng)時，，即，∵，∴，故②正確；當(dāng)時，，即，故③正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y有最大值，∴，∴，故④正確．綜上，結(jié)論正確的個數(shù)是3個，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)，二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)時，拋物線向上開口；當(dāng)時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時，對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時，對稱軸在y軸右側(cè)；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于；拋物線與x軸交點個數(shù)：時，拋物線與x軸有2個交點；時，拋物線與x軸有1個交點；時，拋物線與x軸沒有交點．13．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)給出以下結(jié)論①；②；③；④（m為實數(shù)）；⑤．其中錯誤結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，對稱軸在y軸左側(cè)，得出，，，則，①正確；根據(jù)對稱軸為，得出，由時，，求出，則可得；根據(jù)關(guān)于的對稱點為，把代入二次函數(shù)解析式可得，③正確；求出的最小值為，可得，整理后可得，④錯誤；拋物線與x軸有兩個交點，可知，則，⑤正確．【詳解】解：①∵拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，∴，，∵對稱軸在y軸左側(cè)，∴，∴，①正確；②∵拋物線對稱軸為，∴，∵當(dāng)時，，∴，∴，∴，②正確；③∵關(guān)于的對稱點為，∴當(dāng)時，，③正確；④當(dāng)時，y取最小值為，當(dāng)時，，∴，∴，即，④錯誤；⑤拋物線與x軸有兩個交點，∴，∴，⑤正確；綜上，錯誤的結(jié)論有1個，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識，會利用對稱軸求與b的關(guān)系以及根的判別式的熟練運用是解題的關(guān)鍵．14．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③（m為任意實數(shù)）；④若點和點在該圖象上，則．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】由拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，可得，，，故①不符合題意；當(dāng)與時的函數(shù)值相等，可得，故②符合題意；當(dāng)時函數(shù)值最大，可得，故③不符合題意；由點和點在該圖象上，而，且離拋物線的對稱軸越遠的點的函數(shù)值越小，可得④符合題意．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的左邊，∴，，，∴，∴，故①不符合題意；∵對稱軸為直線，∴當(dāng)與時的函數(shù)值相等，∴，故②符合題意；∵當(dāng)時函數(shù)值最大，∴，∴；故③不符合題意；∵點和點在該圖象上，而，且離拋物線的對稱軸越遠的點的函數(shù)值越小，∴．故④符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)的開口方向，與y軸的交點坐標(biāo)，對稱軸方程，增減性的判定，函數(shù)的最值這些知識點是解本題的關(guān)鍵．15．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，拋物線的對稱軸是直線，并與x軸交于A，B兩點，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④若m為任意實數(shù)，則，其中正確的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，判定；對稱軸的位置，判定；拋物線與y軸的交點，判定，從而判定；根據(jù)對稱軸是直線，確定；根據(jù)，得，求出點B的坐標(biāo)，從而得到，確定，可以判定②③；計算函數(shù)的最小值為：，從而得到，代入化簡，判定④．【詳解】解：因為拋物線的開口方向，所以；因為對稱軸是直線，所以，；因為拋物線與y軸的交點位于負半軸，所以，所以；故①錯誤；因為，

所以，，所以，即，所以，所以，所以，即②正確；所以，即③正確；根據(jù)題意，得拋物線有最小值，且最小值為：，所以，所以，所以，所以，④正確．故選B．【點睛】本題考查了拋物線的圖像及其性質(zhì)、對稱軸、最值、拋物線與x軸的交點坐標(biāo)等知識點，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，特別是對稱性和最值是解題的關(guān)鍵．考點4y=ax216．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為，則h的值為（）A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6【答案】B【分析】分，和三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】解：∵，，對稱軸為直線，∴拋物線的開口向下，拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越?。划?dāng)時，則時，函數(shù)值y有最大值，故，解得：（舍去）；當(dāng)時，的最大值為0，不符合題意；當(dāng)時，則時，函數(shù)值y有最大值，故，解得：（舍去），．綜上所述：h的值為1或6．故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·山東東營·九年級?？计谀┮阎魏瘮?shù)為常數(shù)，當(dāng)自變量的值滿足時，與其對應(yīng)的函數(shù)值的最大值為，則的值為(

)A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】分、和三種情況考慮：當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；當(dāng)時，由此時函數(shù)的最大值為與題意不符，可得出該情況不存在；當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，

當(dāng)時，有，解得：，舍去；當(dāng)時，的最大值為，不符合題意；當(dāng)時，有，解得：舍去，．綜上所述：的值為或．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分、和三種情況求出值是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）若，，且，的最小值為m，最大值為n，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先用a表示b，然后代入中，利用配方法進行配方，再根據(jù)，確定a的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的增減性確定m，n的值，即可得出答案．【詳解】解：，，設(shè)，，，，解得：，，拋物線開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，y隨a的增大而增大，當(dāng)時，y最小，即，當(dāng)時，y最大，即，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，用a表示b，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次函數(shù)，根據(jù)a的取值范圍確定最大值和最小值是解題的關(guān)鍵．19．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）如圖，已知二次函數(shù)（為常數(shù)且）圖象的頂點為，且經(jīng)過點．有以下結(jié)論：①；②；③；④時，隨的增大而減??；⑤對于任意實數(shù)，總有．其中結(jié)論正確的個數(shù)有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的開口方向向下即可判定①；根據(jù)拋物線與y軸交于正半軸以及對稱軸為，確定b、c的正負，然后可判定②；根據(jù)拋物線的對稱性可知拋物線過點，代入即可判定③；根據(jù)函數(shù)圖像可直接判定④；根據(jù)頂點坐標(biāo)可知當(dāng)時，函數(shù)有最大值，進而可判定⑤．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，，①正確；∵拋物線對稱軸為，∴，∴，∴，②錯誤；∵拋物線對稱軸為，且過點，∴拋物線過點，∴，③正確；由函數(shù)圖像可知當(dāng)時，隨的增大而減小，④正確；∵二次函數(shù)（為常數(shù)且）圖象的頂點為，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值，最大值為，∴對于任意實數(shù)，總有，即，⑤錯誤；綜上所述，正確的是①③④，有3個，故選：B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對稱軸公式，函數(shù)最值的計算方法是解題的關(guān)鍵．20．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）已知，二次函數(shù)的對稱軸為y軸，將此函數(shù)向下平移3個單位，若點M為二次函數(shù)圖象在（）部分上任意一點，O為坐標(biāo)原點，連接，則長度的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得出拋物線的解析式為，然后確定平移后的解析式，設(shè)點，確定，令，根據(jù)新函數(shù)的增減性得出當(dāng)時，取得最小值，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的對稱軸為y軸，∴，即，∴拋物線的解析式為，將此函數(shù)向下平移3個單位后的解析式為：，設(shè)點，∴，∵令，∵，當(dāng)時，隨的增大而減小，∵，∴當(dāng)時，取得最小值，最小值為：，∴的最小值為，故選：C．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及平移，坐標(biāo)中兩點之間的距離，理解題意，得出相應(yīng)的新的函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考點5根據(jù)對稱性求最短路徑21．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝－x2＋px＋q的對稱軸為x＝﹣3，過其頂點M的一條直線y＝kx＋b與該拋物線的另一個交點為N（﹣1，1）．要在坐標(biāo)軸上找一點P，使得△PMN的周長最小，則點P的坐標(biāo)為（

）A．（0，2）B．（，0）C．（0，2）或（，0） D．以上都不正確【答案】A【分析】拋物線y＝－x2＋px＋q的對稱軸為x＝﹣3，可求得p=－6，拋物線y＝－x2＋px＋q過點N（﹣1，1），可以求得：q=﹣4，得到拋物線解析式為：y＝－x2－6x﹣4，點M（﹣3,5），直線y＝kx＋b過M，N兩點，其解析式為：y＝﹣2x＋3，作點A使得A與N關(guān)于y軸對稱，連接MA，與y軸交于點P，易得P（0，2），作點B使得B與N關(guān)于x軸對稱，連接MB，與x軸交于點Q，易得Q（），MA<MB，所以點P的坐標(biāo)為（0，2）．【詳解】解：拋物線y＝－x2＋px＋q的對稱軸為x＝﹣3，拋物線y＝－x2＋px＋q過點N（﹣1,1），所以拋物線解析式為：y＝－x2－6x﹣4，頂點M（﹣3,5），直線y＝kx＋b過M，N兩點，解析式為：y＝﹣2x＋3，如圖，作點A，使得A與N關(guān)于y軸對稱，連接MA，與y軸交于點P，的解析式為：P（0，2），同理：作點B使得B與N關(guān)于x軸對稱，連接MB，與x軸交于點Q，同理可得Q（），MA<MB，所以點P的坐標(biāo)為（0，2）．故選A．22．（2014秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）拋物線與直線交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），動點P從A點出發(fā)，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點B．若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：如圖，∵拋物線與直線交于A、B兩點，∴，解得：或，當(dāng)x=1時，，當(dāng)時，，∴點A的坐標(biāo)為（，），點B的坐標(biāo)為（1，﹣1），∵拋物線對稱軸方程為：，作點A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點A′，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接A′B′，則直線A′B′與對稱軸（直線）的交點是E，與x軸的交點是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴點P運動的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延長BB′，AA′相交于C，∴A′C=，B′C=，∴A′B′=．∴點P運動的總路徑的長為．故選B．考點：二次函數(shù)綜合題．23．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知拋物線具有如下性質(zhì)：拋物線上任意一點到定點F（0，2）的距離與到x軸的距離相等，點M的坐標(biāo)為（3