第二十一章一元二次方程(單元重點(diǎn)綜合測(cè)試)(原卷版+解析)-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期單元精講·速記·巧練(人教版)

第二十一章一元二次方程（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)商丘市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用配方法解方程，配方后的方程是（

）A． B． C． D．2．（2023春·甘肅定西·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若是關(guān)于x的一元二次方程的解，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若一元二次方程的兩個(gè)根分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·甘肅白銀·九年級(jí)?？计谥校┤魧?shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或25．（2022秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎獮榈妊切?，已知它的兩條邊的長(zhǎng)度分別是方程的兩個(gè)根，那么該三角形的周長(zhǎng)是（

）A．或6 B． C．5 D．66．（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某班級(jí)前年“五一”將勤工儉學(xué)掙得的班費(fèi)中2000元按一年定期存入銀行，去年“五一”到期后取出1000元捐給“希望工程”，將剩下的1000元與利息繼續(xù)按一年定期存入該銀行（年利率不變），今年“五一”全部捐給了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若該銀行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期數(shù)＝利息，本息和＝本金+利息），則下列方程正確的是（）A． B．C． D．7．（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種新運(yùn)算“∞”：．則方程的實(shí)數(shù)根是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）某商店銷(xiāo)售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，商品銷(xiāo)售單價(jià)每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要獲利1200元利潤(rùn)，每件商品應(yīng)降價(jià)（

）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元9．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在桌上擺放小棒，他發(fā)現(xiàn)：兩根小棒最多有1個(gè)交點(diǎn)，三根小棒最多有3個(gè)交點(diǎn)……，若n根小棒最多有300個(gè)交點(diǎn)，則n的值為（

）

A．24個(gè) B．25個(gè) C．26個(gè) D．27個(gè)10．（2023·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱(chēng)為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的方程的一次項(xiàng)系數(shù)是，則a的值為_(kāi)________．12．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州六中?？茧A段練習(xí)）若，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．13．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將配方成形式，則_________．14．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)校考期末）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)________．15．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）自從“雙減”政策實(shí)施以來(lái)，各中小學(xué)開(kāi)展了豐富多彩的活動(dòng)．某校擬舉辦一次書(shū)法作品展覽，要在每張長(zhǎng)和寬分別為和的矩形相片周?chē)偵弦蝗Φ葘挼牟始垼鶕?jù)美學(xué)觀點(diǎn)，彩紙面積為相片面積的時(shí)較美觀．若所鑲彩紙的寬為，根據(jù)題意，列方程為．16．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)，出發(fā)以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間滿(mǎn)足關(guān)系：，乙以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為.則甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是_________．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（2023春·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)校考期末）(1)(配方法)(2)(公式法)18．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬(wàn)里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫(xiě)照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）影片《萬(wàn)里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣(mài)出多少?gòu)堧娪捌?9．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個(gè)方框圈出的四個(gè)數(shù)．(1)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為_(kāi)_____（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個(gè)最小數(shù)．20．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有兩個(gè)根，請(qǐng)用含有k的式子表示出方程的解；(3)在（2）的情況下，若這兩個(gè)方程的根為整數(shù)根，試求出正整數(shù)k的值；21．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法．我們已學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法還能解決二次三項(xiàng)式的最值問(wèn)題．閱讀如下材料，完成下列問(wèn)題：材料：對(duì)于二次三項(xiàng)式求最值問(wèn)題，有如下示例：．因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為2．完成問(wèn)題：(1)求的最小值；(2)若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足．求的最大值．22．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）為慶祝我校建校60周年，學(xué)校計(jì)劃用25000元為從世界各地歸來(lái)參加校慶的校友在某商場(chǎng)訂購(gòu)A、B兩種紀(jì)念品．已知A紀(jì)念品的訂購(gòu)單價(jià)是B紀(jì)念品訂購(gòu)單價(jià)的，用于購(gòu)買(mǎi)A紀(jì)念品的資金與購(gòu)買(mǎi)B紀(jì)念品的資金之比為，且訂購(gòu)的A紀(jì)念品比B紀(jì)念品多50件．(1)求A、B兩種紀(jì)念品的訂購(gòu)單價(jià)各是多少？(2)商場(chǎng)按訂購(gòu)單價(jià)計(jì)算，A紀(jì)念品的利潤(rùn)率為，B紀(jì)念品的利潤(rùn)率．但在實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，由于學(xué)校需求量增加，且無(wú)法追加資金，商場(chǎng)考慮到A、B兩種紀(jì)念品的庫(kù)存足夠多，為盡快減少庫(kù)存，于是同意將A、B兩種紀(jì)念品在原訂購(gòu)單價(jià)的基礎(chǔ)上，分別每件都降價(jià)a元出售，學(xué)校也在原計(jì)劃訂購(gòu)量的基礎(chǔ)上各追加購(gòu)買(mǎi)件．這樣，商場(chǎng)按降價(jià)后的價(jià)格和數(shù)量售出這兩種紀(jì)念品獲得的總利潤(rùn)比按原訂購(gòu)單價(jià)和訂購(gòu)數(shù)量售出所獲得的總利潤(rùn)少元，求a的值．23．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)連接，，，當(dāng)為何值時(shí)，面積為？(2)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的的值，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第二十一章一元二次方程（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)商丘市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用配方法解方程，配方后的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行配方法運(yùn)算，得出結(jié)果．【詳解】解：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的配方法，其中準(zhǔn)確利用完全平方公式進(jìn)行配方是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023春·甘肅定西·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若是關(guān)于x的一元二次方程的解，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將代入原方程即可求出，然后整體代入所求的代數(shù)式進(jìn)行求值即可．【詳解】解：將代入中，得：，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若一元二次方程的兩個(gè)根分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，可得兩根互為相反數(shù)，進(jìn)而得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個(gè)根分別是與，∴，解得，∴方程的兩根為、，∴，∴，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開(kāi)方法解一元二次方程，互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·甘肅白銀·九年級(jí)校考期中）若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】設(shè)：，則變?yōu)椋M(jìn)而解含a的一元二次方程，即可求出的值．【詳解】解：設(shè)：，則變?yōu)?，∴，則，解得：，，即的值為或1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，整體思想，能夠?qū)⒎匠剔D(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎獮榈妊切?，已知它的兩條邊的長(zhǎng)度分別是方程的兩個(gè)根，那么該三角形的周長(zhǎng)是（

）A．或6 B． C．5 D．6【答案】D【分析】先求得的兩個(gè)根，根據(jù)等腰三角形分類(lèi)計(jì)算即可．【詳解】∵，解得，∴為等腰三角形三邊長(zhǎng)為或（不存在，舍去），∴為等腰三角形周長(zhǎng)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的存在性，熟練掌握解方程，等腰三角形的分類(lèi)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某班級(jí)前年“五一”將勤工儉學(xué)掙得的班費(fèi)中2000元按一年定期存入銀行，去年“五一”到期后取出1000元捐給“希望工程”，將剩下的1000元與利息繼續(xù)按一年定期存入該銀行（年利率不變），今年“五一”全部捐給了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若該銀行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期數(shù)＝利息，本息和＝本金+利息），則下列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)今年“五一”到期后取得本息和1107.45元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，即．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）定義一種新運(yùn)算“∞”：．則方程的實(shí)數(shù)根是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新定義把轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解即可．【詳解】解：∵，∴可轉(zhuǎn)化為，整理得，解得．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，解一元二次方程，根據(jù)新定義把所給方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）某商店銷(xiāo)售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，商品銷(xiāo)售單價(jià)每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要獲利1200元利潤(rùn)，每件商品應(yīng)降價(jià)（

）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)每件商品降價(jià)元，則平均每天可售出件，根據(jù)每日的總利潤(rùn)每件商品的利潤(rùn)每日的銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合即可確定的值．【詳解】解：設(shè)每件商品降價(jià)元，則平均每天可售出件，依題意得：，整理得：，解得：，，又，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在桌上擺放小棒，他發(fā)現(xiàn)：兩根小棒最多有1個(gè)交點(diǎn)，三根小棒最多有3個(gè)交點(diǎn)……，若n根小棒最多有300個(gè)交點(diǎn)，則n的值為（

）

A．24個(gè) B．25個(gè) C．26個(gè) D．27個(gè)【答案】B【分析】從簡(jiǎn)單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條直線相交時(shí)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；……∴n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；∴，解得（負(fù)值已舍去），則n值為25．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律及解一元二次方程，解答此題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．10．（2023·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱(chēng)為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：∵與就是“同族二次方程”，∴，即，∴解得∴＝＝，則代數(shù)式能取的最大值是2020．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的方程的一次項(xiàng)系數(shù)是，則a的值為_(kāi)________．【答案】1【分析】方程整理為一般形式，根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)為，即可確定出的值．【詳解】解：方程整理為：，∵結(jié)果一次項(xiàng)系數(shù)為，∴，即．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常數(shù)且）特別要注意的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，是常數(shù)項(xiàng)．其中分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．12．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州六中?？茧A段練習(xí)）若，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．【答案】【分析】移項(xiàng)整理后，直接開(kāi)平方即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將配方成形式，則_________．【答案】【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解一次方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的判別式，熟練掌握一元二次方程的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）自從“雙減”政策實(shí)施以來(lái)，各中小學(xué)開(kāi)展了豐富多彩的活動(dòng)．某校擬舉辦一次書(shū)法作品展覽，要在每張長(zhǎng)和寬分別為和的矩形相片周?chē)偵弦蝗Φ葘挼牟始垼鶕?jù)美學(xué)觀點(diǎn)，彩紙面積為相片面積的時(shí)較美觀．若所鑲彩紙的寬為，根據(jù)題意，列方程為．【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)所鑲彩紙的寬為，則大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為、，再根據(jù)彩紙面積為相片面積的列出方程即可．【詳解】解：設(shè)所鑲彩紙的寬為，則大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為、，由題意得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)，出發(fā)以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間滿(mǎn)足關(guān)系：，乙以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為.則甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是_________．【答案】【分析】由題意可知乙的運(yùn)動(dòng)路程為，甲、乙第一次相遇時(shí)一共行駛的路程為半圓長(zhǎng)度，第二次相遇時(shí)又行駛了一個(gè)圓的長(zhǎng)度，利用總路程等于甲的路程加乙的路程列方程即可.【詳解】如下圖所示：紅色線為甲走的路程，藍(lán)色線為乙走的路程，虛線位置是第一次相遇時(shí)，箭頭位置是第二次相遇時(shí)，由圖可知：甲、乙第一次相遇時(shí)，一共行駛的路程為半圓長(zhǎng)度，第二次相遇時(shí)又行駛了一個(gè)圓的長(zhǎng)度，故甲、乙行駛的總路程為：∵乙以的速度勻速運(yùn)動(dòng)∴乙的運(yùn)動(dòng)路程為，根據(jù)總路程等于甲的路程加乙的路程列方程∴解得：（不符合實(shí)際，舍去）故答案為【點(diǎn)睛】此題考查的是一元二次方程的應(yīng)用：行程問(wèn)題，解決此題的關(guān)鍵是找到圖中的等量關(guān)系是列出方程.三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（2023春·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)?？计谀?1)(配方法)(2)(公式法)【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1），，即，∴，解得：；（2），∵，，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．18．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬(wàn)里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫(xiě)照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）影片《萬(wàn)里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣(mài)出多少?gòu)堧娪捌薄敬鸢浮?1)10%(2)2500000張【分析】（1）設(shè)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是，利用第3次累計(jì)票房=第1次累計(jì)票房（1+平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用數(shù)量=總結(jié)單價(jià)，即可求出結(jié)論；【詳解】（1）解：設(shè)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是，依題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是10%．（2）解：（張）．答：10月11日賣(mài)出2500000張電影票．（或（張）．）【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及統(tǒng)計(jì)表，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個(gè)方框圈出的四個(gè)數(shù)．(1)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為_(kāi)_____（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個(gè)最小數(shù)．【答案】(1)；(2)9．【分析】（1）設(shè)圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，根據(jù)日歷上兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可得答案；（2）根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為105，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為故答案為：（2）設(shè)四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)為，根據(jù)題意，得.解得（不符合題意負(fù)值舍去）答：這個(gè)最小值為9.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有兩個(gè)根，請(qǐng)用含有k的式子表示出方程的解；(3)在（2）的情況下，若這兩個(gè)方程的根為整數(shù)根，試求出正整數(shù)k的值；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，(3)或【分析】（1）分和兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，根的判別式，由此可得出方程有實(shí)數(shù)根．綜上即可證出結(jié)論；（2）由方程有兩個(gè)根，可得出，利用求根公式求出、的值，（3）由和為整數(shù)以及k為正整數(shù)，即可求出k的值．【詳解】（1）證明：當(dāng)，即時(shí)，原方程為，解得：；當(dāng)，即時(shí)，，∴方程有實(shí)數(shù)根．綜上可知：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）∵方程有兩個(gè)整數(shù)根，∴，，且（3）由（2）可得，∵整數(shù)，k為正整數(shù)．∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及利用公式法解方程，解題的關(guān)鍵是：（1）分和兩種情況考慮；（2）找出，．21．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法．我們已學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法還能解決二次三項(xiàng)式的最值問(wèn)題．閱讀如下材料，完成下列問(wèn)題：材料：對(duì)于二次三項(xiàng)式求最值問(wèn)題，有如下示例：．因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為2．完成問(wèn)題：(1)求的最小值；(2)若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足．求的最大值．【答案】(1)的最小值是(2)最大值是【分析】（1）根據(jù)題意計(jì)算得，根據(jù)得，即可得；（2）將代入得，根據(jù)即可得．【詳解】（1）解：，∵，∴，∴的最小值是；（2）解：將代入得：∵∴最大值是．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握多配方法．22．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）為慶祝我校建校60周年，學(xué)校計(jì)劃用25000元為從世界各地歸來(lái)參加校慶的校友在某商場(chǎng)訂購(gòu)A、B兩種紀(jì)念品．已知A紀(jì)念品的訂購(gòu)單價(jià)是B紀(jì)念品訂購(gòu)單價(jià)的，用于購(gòu)買(mǎi)A紀(jì)念品的資金與購(gòu)買(mǎi)B紀(jì)念品的資金之比為，且訂購(gòu)的A紀(jì)念品比B紀(jì)念品多50件．(1)求A、B兩種紀(jì)念品的訂購(gòu)單價(jià)各是多少？(2)商場(chǎng)按訂購(gòu)單價(jià)計(jì)算，A紀(jì)念品的利潤(rùn)率為，B紀(jì)念品的利潤(rùn)率．但在實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，由于學(xué)校需求量增加，且無(wú)法追加資金，商場(chǎng)考慮到A、B兩種紀(jì)念品的庫(kù)存足夠多，為盡快減少庫(kù)存，于是同意將A、B兩種紀(jì)念品在原訂購(gòu)單價(jià)的基礎(chǔ)上，分別每件都降價(jià)a元出售，學(xué)校也在原計(jì)劃訂購(gòu)量的基礎(chǔ)上各追加購(gòu)買(mǎi)件．這樣，商場(chǎng)按降價(jià)后的價(jià)格和數(shù)量售出這兩種紀(jì)念品獲得的總利潤(rùn)比按原