第二十一章一元二次方程(單元重點綜合測試)(原卷版+解析)-2023-2024學年九年級數(shù)學上學期單元精講·速記·巧練(人教版)

第二十一章一元二次方程（單元重點綜合測試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022秋·河南商丘·九年級商丘市第六中學?？茧A段練習）用配方法解方程，配方后的方程是（

）A． B． C． D．2．（2023春·甘肅定西·九年級?？茧A段練習）若是關于x的一元二次方程的解，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若一元二次方程的兩個根分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·甘肅白銀·九年級校考期中）若實數(shù)x，y滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或25．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學校考期中）已知為等腰三角形，已知它的兩條邊的長度分別是方程的兩個根，那么該三角形的周長是（

）A．或6 B． C．5 D．66．（2023·重慶·九年級專題練習）某班級前年“五一”將勤工儉學掙得的班費中2000元按一年定期存入銀行，去年“五一”到期后取出1000元捐給“希望工程”，將剩下的1000元與利息繼續(xù)按一年定期存入該銀行（年利率不變），今年“五一”全部捐給了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若該銀行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期數(shù)＝利息，本息和＝本金+利息），則下列方程正確的是（）A． B．C． D．7．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算“∞”：．則方程的實數(shù)根是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．經調查發(fā)現(xiàn)，商品銷售單價每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要獲利1200元利潤，每件商品應降價（

）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元9．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）小明在桌上擺放小棒，他發(fā)現(xiàn)：兩根小棒最多有1個交點，三根小棒最多有3個交點……，若n根小棒最多有300個交點，則n的值為（

）

A．24個 B．25個 C．26個 D．27個10．（2023·安徽·九年級專題練習）關于x的一元二次方程新定義：若關于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）關于x的方程的一次項系數(shù)是，則a的值為_________．12．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州六中?？茧A段練習）若，則代數(shù)式的值為_________．13．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級統(tǒng)考期中）將配方成形式，則_________．14．（2023春·安徽安慶·八年級安慶市石化第一中學校考期末）關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為_________．15．（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）自從“雙減”政策實施以來，各中小學開展了豐富多彩的活動．某校擬舉辦一次書法作品展覽，要在每張長和寬分別為和的矩形相片周圍鑲上一圈等寬的彩紙．根據美學觀點，彩紙面積為相片面積的時較美觀．若所鑲彩紙的寬為，根據題意，列方程為．16．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點，出發(fā)以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程與時間滿足關系：，乙以的速度勻速運動，半圓的長度為.則甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動的時間是_________．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2023春·內蒙古通遼·八年級校考期末）(1)(配方法)(2)(公式法)18．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數(shù)據，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票19．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個方框圈出的四個數(shù)．(1)若圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個最小數(shù)．20．（2023春·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習）已知關于x的方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；(2)若此方程有兩個根，請用含有k的式子表示出方程的解；(3)在（2）的情況下，若這兩個方程的根為整數(shù)根，試求出正整數(shù)k的值；21．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）利用完全平方公式，可以將多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法．我們已學習了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法還能解決二次三項式的最值問題．閱讀如下材料，完成下列問題：材料：對于二次三項式求最值問題，有如下示例：．因為，所以，所以，當時，原式的最小值為2．完成問題：(1)求的最小值；(2)若實數(shù)滿足．求的最大值．22．（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校?？计谀閼c祝我校建校60周年，學校計劃用25000元為從世界各地歸來參加校慶的校友在某商場訂購A、B兩種紀念品．已知A紀念品的訂購單價是B紀念品訂購單價的，用于購買A紀念品的資金與購買B紀念品的資金之比為，且訂購的A紀念品比B紀念品多50件．(1)求A、B兩種紀念品的訂購單價各是多少？(2)商場按訂購單價計算，A紀念品的利潤率為，B紀念品的利潤率．但在實際購買時，由于學校需求量增加，且無法追加資金，商場考慮到A、B兩種紀念品的庫存足夠多，為盡快減少庫存，于是同意將A、B兩種紀念品在原訂購單價的基礎上，分別每件都降價a元出售，學校也在原計劃訂購量的基礎上各追加購買件．這樣，商場按降價后的價格和數(shù)量售出這兩種紀念品獲得的總利潤比按原訂購單價和訂購數(shù)量售出所獲得的總利潤少元，求a的值．23．（2022春·八年級單元測試）如圖，正方形的邊長為，動點從點出發(fā)，以的速度沿方向向點運動，動點從點出發(fā)，以的速度沿方向向點運動，若，兩點同時出發(fā)，運動時間為．(1)連接，，，當為何值時，面積為？(2)當點在上運動時，是否存在這樣的的值，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的的值；若不存在，請說明理由．

第二十一章一元二次方程（單元重點綜合測試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022秋·河南商丘·九年級商丘市第六中學?？茧A段練習）用配方法解方程，配方后的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據完全平方公式進行配方法運算，得出結果．【詳解】解：．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的配方法，其中準確利用完全平方公式進行配方是解決問題的關鍵．2．（2023春·甘肅定西·九年級?？茧A段練習）若是關于x的一元二次方程的解，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將代入原方程即可求出，然后整體代入所求的代數(shù)式進行求值即可．【詳解】解：將代入中，得：，，．故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是正確理解一元二次方程的解的概念，本題屬于基礎題型．3．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若一元二次方程的兩個根分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，可得兩根互為相反數(shù)，進而得到，進行求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根分別是與，∴，解得，∴方程的兩根為、，∴，∴，則，故選：A．【點睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開方法解一元二次方程，互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，是解題的關鍵．4．（2022秋·甘肅白銀·九年級?？计谥校┤魧崝?shù)x，y滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】設：，則變?yōu)椋M而解含a的一元二次方程，即可求出的值．【詳解】解：設：，則變?yōu)?，∴，則，解得：，，即的值為或1，故選：C．【點睛】本題考查解一元二次方程，整體思想，能夠將方程轉化為一元二次方程是解決本題的關鍵．5．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學校考期中）已知為等腰三角形，已知它的兩條邊的長度分別是方程的兩個根，那么該三角形的周長是（

）A．或6 B． C．5 D．6【答案】D【分析】先求得的兩個根，根據等腰三角形分類計算即可．【詳解】∵，解得，∴為等腰三角形三邊長為或（不存在，舍去），∴為等腰三角形周長為，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性質，三角形的存在性，熟練掌握解方程，等腰三角形的分類是解題的關鍵．6．（2023·重慶·九年級專題練習）某班級前年“五一”將勤工儉學掙得的班費中2000元按一年定期存入銀行，去年“五一”到期后取出1000元捐給“希望工程”，將剩下的1000元與利息繼續(xù)按一年定期存入該銀行（年利率不變），今年“五一”全部捐給了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若該銀行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期數(shù)＝利息，本息和＝本金+利息），則下列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據今年“五一”到期后取得本息和1107.45元，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據題意得，即．故選D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．7．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算“∞”：．則方程的實數(shù)根是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據新定義把轉化為一元二次方程求解即可．【詳解】解：∵，∴可轉化為，整理得，解得．故選D．【點睛】本題考查了新定義，解一元二次方程，根據新定義把所給方程轉化為一元二次方程是解答本題的關鍵．8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．經調查發(fā)現(xiàn)，商品銷售單價每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要獲利1200元利潤，每件商品應降價（

）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元【答案】A【分析】根據題意設每件商品降價元，則平均每天可售出件，根據每日的總利潤每件商品的利潤每日的銷售量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結合即可確定的值．【詳解】解：設每件商品降價元，則平均每天可售出件，依題意得：，整理得：，解得：，，又，，．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）小明在桌上擺放小棒，他發(fā)現(xiàn)：兩根小棒最多有1個交點，三根小棒最多有3個交點……，若n根小棒最多有300個交點，則n的值為（

）

A．24個 B．25個 C．26個 D．27個【答案】B【分析】從簡單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條直線相交時最多的交點個數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：2條直線相交最多有1個交點；3條直線相交最多有個交點；4條直線相交最多有個交點；5條直線相交最多有個交點；……∴n條直線相交最多有個交點；∴，解得（負值已舍去），則n值為25．故選：B．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律及解一元二次方程，解答此題的關鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．10．（2023·安徽·九年級專題練習）關于x的一元二次方程新定義：若關于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定義列出關系式，再利用多項式相等的條件列出關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進而利用非負數(shù)的性質確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：∵與就是“同族二次方程”，∴，即，∴解得∴＝＝，則代數(shù)式能取的最大值是2020．故選：A．【點睛】此題考查了配方法的應用，非負數(shù)的性質，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）關于x的方程的一次項系數(shù)是，則a的值為_________．【答案】1【分析】方程整理為一般形式，根據一次項系數(shù)為，即可確定出的值．【詳解】解：方程整理為：，∵結果一次項系數(shù)為，∴，即．故答案為：1．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常數(shù)且）特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，叫一次項，是常數(shù)項．其中分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．12．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州六中?？茧A段練習）若，則代數(shù)式的值為_________．【答案】【分析】移項整理后，直接開平方即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的解法是解題的關鍵．13．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級統(tǒng)考期中）將配方成形式，則_________．【答案】【分析】先將常數(shù)項移到方程的右邊，然后兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了用配方法解方程，掌握配方法是解題的關鍵．14．（2023春·安徽安慶·八年級安慶市石化第一中學?？计谀╆P于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為_________．【答案】【分析】根據判別式的意義得到，然后解一次方程即可．【詳解】解：根據題意得，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式，熟練掌握一元二次方程的判別式的意義是解題的關鍵．15．（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）自從“雙減”政策實施以來，各中小學開展了豐富多彩的活動．某校擬舉辦一次書法作品展覽，要在每張長和寬分別為和的矩形相片周圍鑲上一圈等寬的彩紙．根據美學觀點，彩紙面積為相片面積的時較美觀．若所鑲彩紙的寬為，根據題意，列方程為．【答案】（答案不唯一）【分析】設所鑲彩紙的寬為，則大長方形的長和寬分別為、，再根據彩紙面積為相片面積的列出方程即可．【詳解】解：設所鑲彩紙的寬為，則大長方形的長和寬分別為、，由題意得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意是解題的關鍵．16．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點，出發(fā)以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程與時間滿足關系：，乙以的速度勻速運動，半圓的長度為.則甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動的時間是_________．【答案】【分析】由題意可知乙的運動路程為，甲、乙第一次相遇時一共行駛的路程為半圓長度，第二次相遇時又行駛了一個圓的長度，利用總路程等于甲的路程加乙的路程列方程即可.【詳解】如下圖所示：紅色線為甲走的路程，藍色線為乙走的路程，虛線位置是第一次相遇時，箭頭位置是第二次相遇時，由圖可知：甲、乙第一次相遇時，一共行駛的路程為半圓長度，第二次相遇時又行駛了一個圓的長度，故甲、乙行駛的總路程為：∵乙以的速度勻速運動∴乙的運動路程為，根據總路程等于甲的路程加乙的路程列方程∴解得：（不符合實際，舍去）故答案為【點睛】此題考查的是一元二次方程的應用：行程問題，解決此題的關鍵是找到圖中的等量關系是列出方程.三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2023春·內蒙古通遼·八年級校考期末）(1)(配方法)(2)(公式法)【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據配方法解一元二次方程即可求解；（2）根據公式法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1），，即，∴，解得：；（2），∵，，∴，解得：．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．18．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數(shù)據，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票【答案】(1)10%(2)2500000張【分析】（1）設平均每次累計票房增長的百分率是，利用第3次累計票房=第1次累計票房（1+平均每次累計票房增長的百分率），即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）利用數(shù)量=總結單價，即可求出結論；【詳解】（1）解：設平均每次累計票房增長的百分率是，依題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：平均每次累計票房增長的百分率是10%．（2）解：（張）．答：10月11日賣出2500000張電影票．（或（張）．）【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及統(tǒng)計表，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．19．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個方框圈出的四個數(shù)．(1)若圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個最小數(shù)．【答案】(1)；(2)9．【分析】（1）設圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，根據日歷上兩個數(shù)之間的關系可得答案；（2）根據最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為105，即可得出關于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】（1）解：設圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為故答案為：（2）設四個數(shù)中，最小數(shù)為，根據題意，得.解得（不符合題意負值舍去）答：這個最小值為9.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．20．（2023春·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習）已知關于x的方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；(2)若此方程有兩個根，請用含有k的式子表示出方程的解；(3)在（2）的情況下，若這兩個方程的根為整數(shù)根，試求出正整數(shù)k的值；【答案】(1)證明見解析(2)，(3)或【分析】（1）分和兩種情況考慮：當時，方程為一元一次方程，有實數(shù)根；當時，根的判別式，由此可得出方程有實數(shù)根．綜上即可證出結論；（2）由方程有兩個根，可得出，利用求根公式求出、的值，（3）由和為整數(shù)以及k為正整數(shù)，即可求出k的值．【詳解】（1）證明：當，即時，原方程為，解得：；當，即時，，∴方程有實數(shù)根．綜上可知：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；（2）∵方程有兩個整數(shù)根，∴，，且（3）由（2）可得，∵整數(shù)，k為正整數(shù)．∴或．【點睛】本題考查了根的判別式以及利用公式法解方程，解題的關鍵是：（1）分和兩種情況考慮；（2）找出，．21．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）利用完全平方公式，可以將多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法．我們已學習了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法還能解決二次三項式的最值問題．閱讀如下材料，完成下列問題：材料：對于二次三項式求最值問題，有如下示例：．因為，所以，所以，當時，原式的最小值為2．完成問題：(1)求的最小值；(2)若實數(shù)滿足．求的最大值．【答案】(1)的最小值是(2)最大值是【分析】（1）根據題意計算得，根據得，即可得；（2）將代入得，根據即可得．【詳解】（1）解：，∵，∴，∴的最小值是；（2）解：將代入得：∵∴最大值是．【點睛】本題考查了配方法，解題的關鍵是理解題意，掌握多配方法．22．（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校?？计谀閼c祝我校建校60周年，學校計劃用25000元為從世界各地歸來參加校慶的校友在某商場訂購A、B兩種紀念品．已知A紀念品的訂購單價是B紀念品訂購單價的，用于購買A紀念品的資金與購買B紀念品的資金之比為，且訂購的A紀念品比B紀念品多50件．(1)求A、B兩種紀念品的訂購單價各是多少？(2)商場按訂購單價計算，A紀念品的利潤率為，B紀念品的利潤率．但在實際購買時，由于學校需求量增加，且無法追加資金，商場考慮到A、B兩種紀念品的庫存足夠多，為盡快減少庫存，于是同意將A、B兩種紀念品在原訂購單價的基礎上，分別每件都降價a元出售，學校也在原計劃訂購量的基礎上各追加購買件．這樣，商場按降價后的價格和數(shù)量售出這兩種紀念品獲得的總利潤比按原