考點(diǎn)03配方法、根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的9考點(diǎn)歸類-原卷版+解析

考點(diǎn)03配方法、根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的9考點(diǎn)歸類1，配方法的應(yīng)用的方法技巧（1）比較大?。号浞椒ú坏梢越庖辉畏匠蹋夷芮蟠鷶?shù)式的最值，還能用于比較代數(shù)式的大小.用配方法比較代數(shù)式的大小，主要是用作差法將代數(shù)式作差后得到的新代數(shù)式配方，根據(jù)新代數(shù)式與0的關(guān)系確定代數(shù)式的大?。?）求最值：用配方法求代數(shù)式的最值是將代數(shù)式配方為完全平方式與常數(shù)的和的形式，根據(jù)完全平方式的非負(fù)性確定代數(shù)式的最值；（3）未知系數(shù)的取值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．（4）用配方法構(gòu)造“非負(fù)數(shù)之和”解決問(wèn)題：通過(guò)配完全平方式，利用“非負(fù)性”解決問(wèn)題。2，根的判別式的應(yīng)用的方法【技巧】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．（1）判斷根的情況：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范圍：根據(jù)判別式，確定與0的關(guān)系，直接代入解不等式即可。（3）與三角形結(jié)合：一般會(huì)把根與三角形的邊進(jìn)行結(jié)合考察，考慮到三角形的三邊關(guān)系能否構(gòu)成三角形即可，有時(shí)候還會(huì)與等腰三角形結(jié)合。（4）與一次函數(shù)結(jié)合：通過(guò)一次函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系，觀察圖像即可。3，根與系數(shù)的關(guān)系方法根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2考點(diǎn)1比較大小考點(diǎn)2求最值考點(diǎn)3未知系數(shù)的取值考點(diǎn)4用配方法構(gòu)造“非負(fù)數(shù)之和”解決問(wèn)題考點(diǎn)5判斷根的情況考點(diǎn)6求字母的值或取值范圍考點(diǎn)7與三角形結(jié)合考點(diǎn)8與一次函數(shù)結(jié)合考點(diǎn)9根與系數(shù)的關(guān)系求變形式子考點(diǎn)1利用配方法比較大小1．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)校聯(lián)考期中）“”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：(1)填空：因?yàn)椋玙_____，所以當(dāng)______時(shí)，代數(shù)式有最______（填“大”或“小”）值，這個(gè)最值為_(kāi)_____；(2)比較代數(shù)式與的大小．2．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來(lái)求一些多項(xiàng)式的最小值．例如，求的最小值問(wèn)題．解：∵，又∵，∴，∴的最小值為．請(qǐng)應(yīng)用上述思想方法，解決下列問(wèn)題：(1)探究：；(2)求的最小值．(3)比較代數(shù)式：與的大?。?．（2022春·安徽合肥·八年級(jí)校考階段練習(xí)）“”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，，，．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：(1)填空：因?yàn)?；所以當(dāng)_______時(shí)，代數(shù)式有最（填“大”或“小”）值，這個(gè)最值為；(2)比較代數(shù)式與的大?。?．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們知道，對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)a，具有非負(fù)性，即“”．這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用．很多情況下我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，然后利用“”來(lái)解決問(wèn)題．例如：∵∴∴(1)填空：

_______；(2)請(qǐng)用作差法比較與的大小，并寫(xiě)出解答過(guò)程；(3)填空：的最大值為_(kāi)______．考點(diǎn)2利用配方法求最值5．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法．我們已學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法還能解決二次三項(xiàng)式的最值問(wèn)題．閱讀如下材料，完成下列問(wèn)題：材料：對(duì)于二次三項(xiàng)式求最值問(wèn)題，有如下示例：．因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為2．完成問(wèn)題：(1)求的最小值；(2)若實(shí)數(shù)滿足．求的最大值．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）“”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：(1)求代數(shù)式最值；(2)已知，求的值；(3)比較代數(shù)式與的大?。?．（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：．解：原式：②，利用配方法求M的最小值．解：∴當(dāng)時(shí)，M有最小值4．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)用配方法因式分解；(2)若，求M的最小值．8．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)我們知道：任何數(shù)的平方都是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即：對(duì)于任何數(shù)a，都成立，據(jù)此請(qǐng)回答下列問(wèn)題．應(yīng)用：代數(shù)式有值(填“最大”或“最小”)這個(gè)值是．探究：求代數(shù)式的最小值，小明是這樣做的：∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為1請(qǐng)你按照小明的方法，求代數(shù)式的最小值，并求此時(shí)x的值，拓展：求多項(xiàng)式的最小值及此時(shí)x，y的值考點(diǎn)3利用配方法未知系數(shù)的取值9．（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谀┯门浞椒▽⒎匠袒傻男问?，則的值是（

）A． B． C． D．10．（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程，若配方后結(jié)果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．911．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．0 D．212．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最大值為7，則m的值可能是（）A．2 B．4 C．3 D．5考點(diǎn)4用配方法構(gòu)造“非負(fù)數(shù)之和”解決問(wèn)題13．（2023春·安徽宿州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知三角形的三條邊為，且滿足，則這個(gè)三角形的最大邊的取值范圍是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜1314．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，那么（

）A．－16 B．16 C．－8 D．815．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）不論x、y為什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2x-4y+9的值（

）A．總不小于4 B．總不小于9C．可為任何實(shí)數(shù) D．可能為負(fù)數(shù)16．（2021秋·湖北恩施·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知、、是的三邊且滿足，則的面積是（）A．60 B．30 C．65 D．32.5考點(diǎn)5利用根的判別式判斷根的情況17．（2023春·北京昌平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（

）A． B． C． D．18．（2023春·上海徐匯·八年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谀┫铝蟹匠讨?，有實(shí)數(shù)根的方程是（）A． B． C． D．19．（2020秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)期末）一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根20．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若是一元二次方程的一個(gè)根，那么方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)根是C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根考點(diǎn)6利用根的判別式求字母的值或取值范圍21．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）．A． B．且 C． D．且22．（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且23．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且24．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)7利用根的判別式與三角形結(jié)合25．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程(1)求證：無(wú)論取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰的一邊長(zhǎng)，另兩邊、恰好是該方程的兩個(gè)根，求三角形另外兩邊的長(zhǎng)．26．（2023春·廣東河源·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且a，b，c是三角形ABC的三邊，證明此三角形是等腰三角形．27．（2023秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：設(shè)三角形的三邊a，b，c為方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且a，b，c滿足(1)求證：是等邊三角形．(2)若a，b為方程的兩根，求k的值．28．（2011秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試證明以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形．考點(diǎn)8利用根的判別式與一次函數(shù)結(jié)合29．（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限30．（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既＃┮辉畏匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根a，b，那么一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過(guò)的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限31．（2020秋·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的大致圖象可能是（

）A．B．C．D．32．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考點(diǎn)9利用根與系數(shù)的關(guān)系求變形式子33．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（k為常數(shù)）．(1)求證：無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，求的值．34．（2023春·江西宜春·八年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求代數(shù)式的最大值；35．（2023春·安徽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求a的取值范圍；(2)若滿足，求a的值．36．（2022秋·湖北隨州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程．(1)當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，求的取值范圍；(2)當(dāng)方程的兩個(gè)根滿足時(shí)，求的值．

考點(diǎn)03配方法、根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的9考點(diǎn)歸類1，配方法的應(yīng)用的方法技巧（1）比較大?。号浞椒ú坏梢越庖辉畏匠蹋夷芮蟠鷶?shù)式的最值，還能用于比較代數(shù)式的大小.用配方法比較代數(shù)式的大小，主要是用作差法將代數(shù)式作差后得到的新代數(shù)式配方，根據(jù)新代數(shù)式與0的關(guān)系確定代數(shù)式的大?。?）求最值：用配方法求代數(shù)式的最值是將代數(shù)式配方為完全平方式與常數(shù)的和的形式，根據(jù)完全平方式的非負(fù)性確定代數(shù)式的最值；（3）未知系數(shù)的取值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．（4）用配方法構(gòu)造“非負(fù)數(shù)之和”解決問(wèn)題：通過(guò)配完全平方式，利用“非負(fù)性”解決問(wèn)題。2，根的判別式的應(yīng)用的方法【技巧】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．（1）判斷根的情況：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范圍：根據(jù)判別式，確定與0的關(guān)系，直接代入解不等式即可。（3）與三角形結(jié)合：一般會(huì)把根與三角形的邊進(jìn)行結(jié)合考察，考慮到三角形的三邊關(guān)系能否構(gòu)成三角形即可，有時(shí)候還會(huì)與等腰三角形結(jié)合。（4）與一次函數(shù)結(jié)合：通過(guò)一次函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系，觀察圖像即可。3，根與系數(shù)的關(guān)系方法根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2考點(diǎn)1比較大小考點(diǎn)2求最值考點(diǎn)3未知系數(shù)的取值考點(diǎn)4用配方法構(gòu)造“非負(fù)數(shù)之和”解決問(wèn)題考點(diǎn)5判斷根的情況考點(diǎn)6求字母的值或取值范圍考點(diǎn)7與三角形結(jié)合考點(diǎn)8與一次函數(shù)結(jié)合考點(diǎn)9根與系數(shù)的關(guān)系求變形式子考點(diǎn)1利用配方法比較大小1．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)校聯(lián)考期中）“”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：(1)填空：因?yàn)椋玙_____，所以當(dāng)______時(shí)，代數(shù)式有最______（填“大”或“小”）值，這個(gè)最值為_(kāi)_____；(2)比較代數(shù)式與的大?。敬鸢浮?1)，2，2，小，2(2)大于【分析】（1）把原式利用平方法化為完全平方算與一個(gè)常數(shù)的和的形式，利用偶次方的非負(fù)性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．【詳解】（1），所以當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，這個(gè)最值為2，故答案為：；2；2；??；2；（2）則【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握配方法的一般步驟是解題的關(guān)鍵，注意偶次方的非負(fù)性的應(yīng)用．2．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來(lái)求一些多項(xiàng)式的最小值．例如，求的最小值問(wèn)題．解：∵，又∵，∴，∴的最小值為．請(qǐng)應(yīng)用上述思想方法，解決下列問(wèn)題：(1)探究：；(2)求的最小值．(3)比較代數(shù)式：與的大?。敬鸢浮?1)，1(2)(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方式的特征求解．（2）先配方，再求最值．（3）作差后配方比較大小即可．【詳解】（1）解：．（2），∵，∴當(dāng)即時(shí)，原式有最小值．（3），∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，“熟練的利用配方法求解代數(shù)式的最值以及比較代數(shù)式的值的大小”是解本題的關(guān)鍵．3．（2022春·安徽合肥·八年級(jí)校考階段練習(xí)）“”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，，，．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：(1)填空：因?yàn)?；所以當(dāng)_______時(shí)，代數(shù)式有最（填“大”或“小”）值，這個(gè)最值為；(2)比較代數(shù)式與的大?。敬鸢浮?1)，，，小，(2)【詳解】（1）∵∴時(shí)，代數(shù)式有最小值，這個(gè)最小值為；故答案為：，，，小，（2）∵，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用作差法比較大?。?．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們知道，對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)a，具有非負(fù)性，即“”．這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用．很多情況下我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，然后利用“”來(lái)解決問(wèn)題．例如：∵∴∴(1)填空：

_______；(2)請(qǐng)用作差法比較與的大小，并寫(xiě)出解答過(guò)程；(3)填空：的最大值為_(kāi)______．【答案】(1)(2)(3)的最大值為4【分析】（1）由，再配方即可；（2）由，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）由，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：故答案為：（2）解：（3）解：∴的最大值為4．【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握“配方法的步驟與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2利用配方法求最值5．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法．我們已學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法還能解決二次三項(xiàng)式的最值問(wèn)題．閱讀如下材料，完成下列問(wèn)題：材料：對(duì)于二次三項(xiàng)式求最值問(wèn)題，有如下示例：．因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為2．完成問(wèn)題：(1)求的最小值；(2)若實(shí)數(shù)滿足．求的最大值．【答案】(1)的最小值是(2)最大值是【分析】（1）根據(jù)題意計(jì)算得，根據(jù)得，即可得；（2）將代入得，根據(jù)即可得．【詳解】（1）解：，∵，∴，∴的最小值是；（2）解：將代入得：∵∴最大值是．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握多配方法．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）“”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：(1)求代數(shù)式最值；(2)已知，求的值；(3)比較代數(shù)式與的大?。敬鸢浮?1)有最小值2(2)(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比較大?。驹斀狻浚?）解：故當(dāng)，即時(shí)，代數(shù)式最小值為2；（2）∵，則，∴，即，，∴，，∴；（3），∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，正確配方，充分利用平方的非負(fù)性是求解本題的關(guān)鍵．7．（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：．解：原式：②，利用配方法求M的最小值．解：∴當(dāng)時(shí)，M有最小值4．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)用配方法因式分解；(2)若，求M的最小值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，M有最小值【分析】（1）應(yīng)用配方法以及平方差公式，把因式分解即可．（2）應(yīng)用配方法，把化成，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性質(zhì)，求出M的最小值是多少即可．【詳解】（1）．（2），

∴當(dāng)時(shí)，M有最小值【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用平方差公式和完全平方式進(jìn)行因式分解，以及偶次方的非負(fù)性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．8．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)我們知道：任何數(shù)的平方都是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即：對(duì)于任何數(shù)a，都成立，據(jù)此請(qǐng)回答下列問(wèn)題．應(yīng)用：代數(shù)式有值(填“最大”或“最小”)這個(gè)值是．探究：求代數(shù)式的最小值，小明是這樣做的：∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為1請(qǐng)你按照小明的方法，求代數(shù)式的最小值，并求此時(shí)x的值，拓展：求多項(xiàng)式的最小值及此時(shí)x，y的值【答案】應(yīng)用：最小，；探究：，此時(shí)；拓展：，此時(shí)，．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；先把給出的式子化成完全平方加常數(shù)的形式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：應(yīng)用：∵，，∴代數(shù)式有最小值，這個(gè)值是，此時(shí)；故答案為：最小，；探究：，當(dāng)，即時(shí)，代數(shù)式的最小值為；拓展：，當(dāng)，時(shí)，即，，多項(xiàng)式的最小值是．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把給出的式子化成完全平方加常數(shù)的形式進(jìn)行解答．考點(diǎn)3利用配方法未知系數(shù)的取值9．（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中校考期末）用配方法將方程化成的形式，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將將方程化成的形式，進(jìn)而可得的值．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟練一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程，若配方后結(jié)果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．9【答案】B【分析】利用配方法將方程配成，然后求出n的值即可．【詳解】∵，∴，

∴，即，

．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】由，配方可得，進(jìn)而可得的值，然后代入，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于正確的配方求出的值．12．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最大值為7，則m的值可能是（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】A【分析】將多項(xiàng)式配方后解答即可．【詳解】解：，因?yàn)殛P(guān)于的多項(xiàng)式的最大值為7，所以，解得：，所以可能為2．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查配方法的運(yùn)用，關(guān)鍵是將多項(xiàng)式配方后解答．考點(diǎn)4用配方法構(gòu)造“非負(fù)數(shù)之和”解決問(wèn)題13．（2023春·安徽宿州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知三角形的三條邊為，且滿足，則這個(gè)三角形的最大邊的取值范圍是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13【答案】C【分析】先利用配方法對(duì)含a的式子和含有b的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得出a和b的值，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案．【詳解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，∴（a-5）2+（b-8）2=0，∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三條邊為a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵這個(gè)三角形的最大邊為c，∴8＜c＜13．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在三角形的三邊關(guān)系中的應(yīng)用，熟練掌握配方法、偶次方的非負(fù)性及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，那么（

）A．－16 B．16 C．－8 D．8【答案】B【分析】利用配方法把已知條件變形為（x+2）2+（y-4）2=0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得x+2=0，y-4=0，即可求出x與y的值，進(jìn)一步代入求得答案即可．【詳解】∵x2+4x+y2-8y+20=0，∴x2+4x+4+y2-8y+16=0，∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴x+2=0，y-4=0，∴x=-2，y=4，∴xy=16．故選B.【點(diǎn)睛】此題考查配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握完全平方公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）不論x、y為什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2x-4y+9的值（

）A．總不小于4 B．總不小于9C．可為任何實(shí)數(shù) D．可能為負(fù)數(shù)【答案】A【分析】要把代數(shù)式x2+y2+2x-4y+9進(jìn)行拆分重組湊完全平方式，來(lái)判斷其值的范圍即可．【詳解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2+4≥4，∴x2+y2+2x-4y+9≥4．故選A．【點(diǎn)睛】主要利用拆分重組的方法湊完全平方式，把未知數(shù)都湊成完全平方式，就能判斷該代數(shù)式的值的范圍．要求掌握完全平方公式，并會(huì)熟練運(yùn)用．16．（2021秋·湖北恩施·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知、、是的三邊且滿足，則的面積是（）A．60 B．30 C．65 D．32.5【答案】B【分析】將a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338進(jìn)行配方，求出a，b，c，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀．【詳解】△ABC是直角三角形．理由是：∵a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338，∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，即a=5，b=12，c=13．∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積是×5×12=30．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用及勾股定理逆定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)知識(shí)，比較簡(jiǎn)單．考點(diǎn)5利用根的判別式判斷根的情況17．（2023春·北京昌平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出每一個(gè)方程的判別式Δ的值，找出的方程即可．【詳解】解：A、，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意；C、，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．18．（2023春·上海徐匯·八年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谀┫铝蟹匠讨校袑?shí)數(shù)根的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，立方根的定義，解分式方程的方法步驟，一元二次方程根的判別式，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、因?yàn)樗阈g(shù)平方根為非負(fù)數(shù)，所以A中方程無(wú)解，B、，解得：，所以B中方程有實(shí)數(shù)根，C、由題意得：，當(dāng)時(shí)，分母為，所以C中方程無(wú)解，D、，所以D中方程無(wú)解．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，立方根的定義，解分式方程的方法步驟，一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，一元二次方程時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．19．（2020秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)期末）一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【答案】D【分析】先計(jì)算一元二次方程根的判別式，再根據(jù)判別式的值進(jìn)行判斷即可解答．【詳解】解：∵，∴，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．20．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若是一元二次方程的一個(gè)根，那么方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)根是C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根【答案】B【分析】先將代入中得到，再根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個(gè)根，∴，即，對(duì)于方程，∵，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，即是方程的一個(gè)根，故選項(xiàng)B正確，符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和根的判別式，解答的關(guān)鍵是理解一元二次方程的解的意義，掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．考點(diǎn)6利用根的判別式求字母的值或取值范圍21．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）．A． B．且 C． D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，原方程是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．22．（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，且，可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，∴且．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．23．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】A【分析】討論：當(dāng)時(shí)，方程化為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，根據(jù)判別式的意義得到，解得且，然后綜合兩種情況得到a的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上所述，a的取值范圍為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．24．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得出且，求出k的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：由題意知，且，解得：，且則k的取值范圍是，且故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，（1）一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：①方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．（2）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0．考點(diǎn)7利用根的判別式與三角形結(jié)合25．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程(1)求證：無(wú)論取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰的一邊長(zhǎng)，另兩邊、恰好是該方程的兩個(gè)根，求三角形另外兩邊的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)三角形另外兩邊長(zhǎng)為2，2【分析】（1）檢驗(yàn)根的判別式的正負(fù)情況即可得證．（2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即=0，解出k后代入方程，解方程可得另外兩邊長(zhǎng)；若a是腰，則a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一個(gè)解，檢驗(yàn)是否符合三角形三邊關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：所以此方程總有實(shí)根．（2）解：①若，則此方程有兩個(gè)相等實(shí)根此時(shí)，則，原方程為：，，∴另外兩邊長(zhǎng)為2和2，②若，則是方程的根，∴，∴，原方程為，解得：，，而1、1、2為邊不能構(gòu)成三角形．所以，三角形另外兩邊長(zhǎng)為2，2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．26．（2023春·廣東河源·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且a，b，c是三角形ABC的三邊，證明此三角形是等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出△=0，再得出b、c的關(guān)系即可．【詳解】解:Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．∵方程有兩個(gè)相等實(shí)根．∴Δ=0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．∵a，b，c是三角形的三邊，∴b+c≠0，a2+b2≠0，只有b-c=0，解得b=c．∴此三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．27．（2023秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：設(shè)三角形的三邊a，b，c為方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且a，b，c滿足(1)求證：是等邊三角形．(2)若a，b為方程的兩根，求k的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出，即，代入可得，代入得；（2）根據(jù)題意知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，據(jù)此得，即，解之可得或，代回方程求得的值，判斷是否符合題意即可．【詳解】（1）解：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△，即，，，即，將代入得：，，是等邊三角形；（2）、為方程兩根，且，△，即，解得：或，當(dāng)時(shí)，方程為，解得：（舍）；當(dāng)時(shí)，方程為，解得：，（符合題意）；故．【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式和解一元二次方程的能力、等邊三角形的判定，根據(jù)方程的根的情況得出判別式的值的情況，從而得到關(guān)于、、及的等式是解題的關(guān)鍵．28．（2011秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試證明以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形．【答案】【詳解】考點(diǎn)：根的判別式；勾股定理的逆定理．分析：先把方程變?yōu)橐话闶剑海╟-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，則有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形．解答：證明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括號(hào)，整理為一般形式為：（c-a）x2+2bx+a+c=0，∵關(guān)于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．∴△=0，即△=△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．∴以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的根的判別式和勾股定理的逆定理等知識(shí)．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．考點(diǎn)8利用根的判別式與一次函數(shù)結(jié)合29．（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根得且，即可得，又∵，可得一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限，即可得．【詳解】解：∵一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴且，，，，又∵，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限，∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，一次函數(shù)的圖像性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．30．（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)校考三模）一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a，b，那么一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過(guò)的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出與的值，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，∴∴一次函數(shù)解析式為：，故一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過(guò)第四象限．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．31．（2020秋·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的大致圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先根據(jù)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根確定k，b的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定其圖象的位置．【詳解】解：∵方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴，解得：，即同號(hào)，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象過(guò)一，二，三象限，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象過(guò)二，三，四象限，故選：A．【