第05講二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)(原卷版+解析)

第05講二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開(kāi)口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．簡(jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，二、求二次函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄈ绻宰兞康娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大（或最小）值，即當(dāng)時(shí)，．要點(diǎn)：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．例1．二次函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值例2．已知二次函數(shù)，則下列關(guān)于這個(gè)函數(shù)圖象和性質(zhì)的說(shuō)法，正確的是（

）A．圖象的開(kāi)口向上 B．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大 D．圖象與軸有唯一交點(diǎn)例3．已知二次函數(shù)，若點(diǎn)，，在此二次函數(shù)圖象上，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．例4．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，c），則c的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6例5．下表是二次函數(shù)（，均為整數(shù)）的自變量與因變量的部分對(duì)應(yīng)值．自變量0.071.33因變量7.00890.16641.40253.284910.0889給出下列判斷，其中錯(cuò)誤的是（

）A．該拋物線的對(duì)稱軸是直線 B．該二次函數(shù)的最小值為C．當(dāng)、時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，例6．拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，則當(dāng)y＜0，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1例7．已知二次函數(shù)（m為常數(shù)，且），（

）A．若，則，y隨x的增大而增大 B．若，則，y隨x的增大而減小C．若，則，y隨x的增大而增大 D．若，則，y隨x的增大而減小例8．已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）（

）A．若時(shí)，y隨x的增大而增大，則或B．若時(shí)，y隨x的增大而增大，則C．若時(shí)，y隨x的增大而減小，則或D．若時(shí)，y隨x的增大而減小，則例9．已知，兩點(diǎn)均在拋物線上點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，若，則的取值范圍為_(kāi)__________．例10．已知拋物線y=-x2+mx+2m，當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值是6，則m的值是___________．例11．當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5有最大值m，則m＝_____．例12．已知二次函數(shù)中函數(shù)y與自變量x之間部分對(duì)應(yīng)值如下表所示，點(diǎn)在函數(shù)圖象上x(chóng)…0123…y…mn3n…則表格中的m＝______；當(dāng)時(shí)，和的大小關(guān)系為_(kāi)_____．一、單選題1．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的取值是（）A．0 B． C．3 D．2．當(dāng)二次函數(shù)有最大值時(shí)，可能是（

）A．1 B．2 C． D．33．已知拋物線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線開(kāi)口向上 B．拋物線的對(duì)稱軸為直線C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小4．如圖，已知與相交于兩點(diǎn)，則的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或5．若點(diǎn)，，都是二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，則（

）．A． B．C． D．6．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩個(gè)點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．且 B．且 C． D．8．對(duì)于題目“一段拋物線L：與直線l：有唯一公共點(diǎn)．若c為整數(shù)，確定所有c的值．”甲的結(jié)果是，乙的結(jié)果是的整數(shù)，丙的結(jié)果是的整數(shù)，則（

）A．甲、乙的結(jié)果合在一起才正確 B．乙、丙的結(jié)果合在一起才正確C．甲、丙的結(jié)果合在一起才正確 D．甲、乙、丙的結(jié)果合在一起才正確9．已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，下列結(jié)論中正確的序號(hào)是（

）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象總過(guò)定點(diǎn)：③當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度大于；④若函數(shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④10．若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)，若在二次函數(shù)(m為常數(shù)）的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，，且，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知拋物線有最大值，那么該拋物線的開(kāi)口方向是_____．12．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象，試寫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象都具有的一個(gè)性質(zhì)______．13．已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且頂點(diǎn)在y軸上，那么m的值為_(kāi)____．14．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)時(shí)或時(shí)，______0．15．已知、是二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則與的大小關(guān)系為_(kāi)____．16．若，則的最大值為_(kāi)_____．17．選你喜歡的、、的值，使二次函數(shù)的圖象同時(shí)滿足下列條件:①它的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限；②圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，這樣的二次函數(shù)的表達(dá)式可以是__________．18．如圖，二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖像上，則；⑤若方程的兩根為，，且，則．其中正確的結(jié)論有__________（只填序號(hào)）三、解答題19．已知二次函數(shù)．(1)寫出拋物線的開(kāi)口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，隨的增大而減小？(3)把此拋物線向左移動(dòng)3個(gè)單位，再向下移動(dòng)7個(gè)單位后，得到的新拋物線是否過(guò)點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．已知二次函數(shù)部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下表所示：…………(1)求二次函數(shù)解析式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是____________．21．用描點(diǎn)法畫出的圖像（1）根據(jù)對(duì)稱性列表：…-3-2-101………（2）在下列平面直角坐標(biāo)系中描出表中各點(diǎn)，并把這些點(diǎn)連成平滑的曲線：（3）觀察圖像：①拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是；②拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是；③當(dāng)x滿足時(shí)，y＜0；④它的對(duì)稱軸是；⑤當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小22．已知二次函數(shù)．（1）將其化成的形式；（2）寫出開(kāi)口方向，對(duì)稱軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）求圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（4）畫出函數(shù)圖象；（5）說(shuō)明其圖象與拋物線的關(guān)系；（6）當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x增大而減??；（7）x取何值時(shí)，；（8）當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最值？并求出最值？（9）時(shí)，y的取值范圍；（10）求函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)所圍成的三角形面積．23．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：（1）寫出方程的根；（2）寫出不等式的解集；（3）若方程無(wú)實(shí)數(shù)根，寫出的取值范圍．24．已知拋物線的頂點(diǎn)在直線上，直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)與的值；(2)求的面積．25．已知拋物線交軸于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．點(diǎn)A，B為坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)，其坐標(biāo)為，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接，若拋物線向下平移個(gè)單位時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍．26．在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值8，求c的值．27．若關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)（，為常數(shù)，）時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差恰為，我們稱函數(shù)是在上的“和諧函數(shù)”．(1)在下列關(guān)于的函數(shù)中，是在上的“和諧函數(shù)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“√”，不是在上的“和諧函數(shù)”的打“×”．①（）；②（）；③（）；(2)若一次函數(shù)（為常數(shù)，）是在上的“和諧函數(shù)”，求的值；(3)若二次函數(shù)（，為常數(shù)，）是在上的“和諧函數(shù)”，與一次函數(shù)交于，兩點(diǎn)，且滿足，求這個(gè)“和諧函數(shù)”的解析式，并寫出的取值范圍．一、單選題1．（2017·湖北隨州·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．它的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn) B．方程的兩根之積為C．它的圖像的對(duì)稱軸在軸的右側(cè) D．時(shí)，隨的增大而減小2．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的敘述中，正確的是（

）A．點(diǎn)在函數(shù)圖像上 B．開(kāi)口方向向上C．對(duì)稱軸是直線 D．與直線有兩個(gè)交點(diǎn)3．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有；③當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，方程的兩根為，（），則，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；

③；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線有3個(gè)交點(diǎn)．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④二、填空題6．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（、為常數(shù)，）的最大值為2，寫出一組符合條件的和的值：________．7．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)到軸的距離小于2，則的取值范圍是____________．8．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為_(kāi)______．三、解答題9．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)為和諧點(diǎn)，例如：點(diǎn)，，，……都是和諧點(diǎn)．(1)判斷函數(shù)的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)．①求，的值；②若時(shí)，函數(shù)的最小值為－1，最大值為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍．第05講二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開(kāi)口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，二、求二次函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄈ绻宰兞康娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大（或最?。┲担串?dāng)時(shí)，．要點(diǎn)：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．例1．二次函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】C【解析】【分析】直接把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式即可排除選項(xiàng)．解：由二次函數(shù)可得：，∵，∴當(dāng)x=1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為-4；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．已知二次函數(shù)，則下列關(guān)于這個(gè)函數(shù)圖象和性質(zhì)的說(shuō)法，正確的是（

）A．圖象的開(kāi)口向上 B．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大 D．圖象與軸有唯一交點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】先利用配方法得到，可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)、、進(jìn)行判斷；通過(guò)解方程可對(duì)進(jìn)行判斷．解：，拋物線的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，令，則，解方程解得，，△，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．已知二次函數(shù)，若點(diǎn)，，在此二次函數(shù)圖象上，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意易得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而可得點(diǎn)，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可排除選項(xiàng)．解：∵二次函數(shù)，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，∵點(diǎn)，，∴根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得：，∴，∵3＞0，∴二次函數(shù)的開(kāi)口向上，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，c），則c的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6【答案】B【解析】【分析】把點(diǎn)（4，c）代入y＝x2+bx+c即可得b＝-4，再把y＝x2+bx+c，化成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得c．解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，c），∴c＝16+4b+c，∴b＝-4．∴，∵最小值是﹣6∴-4+c=-6∴c=-2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)y＝x2+bx+c的解析式化成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．例5．下表是二次函數(shù)（，均為整數(shù)）的自變量與因變量的部分對(duì)應(yīng)值．自變量0.071.33因變量7.00890.16641.40253.284910.0889給出下列判斷，其中錯(cuò)誤的是（

）A．該拋物線的對(duì)稱軸是直線 B．該二次函數(shù)的最小值為C．當(dāng)、時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】【分析】利用待定系數(shù)法求出該二次函數(shù)解析式，并改為頂點(diǎn)式，即可判斷A和B選項(xiàng)．利用二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性即可判斷C和D選項(xiàng)．根據(jù)表格將和代入二次函數(shù)解析式，得：，解得：．故該二次函數(shù)解析式為，且改為頂點(diǎn)式為．∴該拋物線的對(duì)稱軸是直線，故A正確，不符合題意；該二次函數(shù)的最小值為?1，故B正確，不符合題意；∵關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱為，∴，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴，即．故C正確，不符合題意；∵，∴，∴，，∴，故D錯(cuò)誤，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)．根據(jù)表格利用待定系數(shù)法求出該函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．例6．拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，則當(dāng)y＜0，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1【答案】C【解析】【分析】先利用拋物線的對(duì)稱性求解拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為：再利用圖像得到y(tǒng)＜0時(shí)，函數(shù)圖像在軸的下方，從而可得答案．解：由拋物線的對(duì)稱軸為：且過(guò)所以拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為：當(dāng)y＜0時(shí)，函數(shù)圖像在軸的下方，所以：＜＜故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線的對(duì)稱性，利用拋物線的圖像寫不等式的解集，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例7．已知二次函數(shù)（m為常數(shù)，且），（

）A．若，則，y隨x的增大而增大 B．若，則，y隨x的增大而減小C．若，則，y隨x的增大而增大 D．若，則，y隨x的增大而減小【答案】D【解析】【分析】先求出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，然后根據(jù)m的符號(hào)分類討論，結(jié)合圖象的特征即可得出結(jié)論．該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，若，對(duì)于無(wú)法判斷其符號(hào)，故A、B選項(xiàng)不一定正確；若，則，即，且拋物線的開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是分類討論確定對(duì)稱軸的位置，再結(jié)合開(kāi)口方向進(jìn)行綜合分析．例8．已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）（

）A．若時(shí)，y隨x的增大而增大，則或B．若時(shí)，y隨x的增大而增大，則C．若時(shí)，y隨x的增大而減小，則或D．若時(shí)，y隨x的增大而減小，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和題意，可以求得的取值范圍，本題得以解決．解：二次函數(shù)為常數(shù)，且，若時(shí)，隨的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；若時(shí)，隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．例9．已知，兩點(diǎn)均在拋物線上點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，若，則的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】或【解析】【分析】先判斷出拋物線開(kāi)口方向上，進(jìn)而求出對(duì)稱軸即可求解．解：∵點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，且，∴該函數(shù)有最小值，則函數(shù)開(kāi)口向上，∴，∵，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、C重合，則，不符合題意；∴的取值范圍為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性與對(duì)稱性，根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大確定出拋物線開(kāi)口方向是解題的關(guān)鍵．例10．已知拋物線y=-x2+mx+2m，當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值是6，則m的值是___________．【答案】【解析】【分析】求出拋物線的對(duì)稱軸，分，，三種情況進(jìn)行討論即可．拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=①當(dāng)時(shí)，即m<-2時(shí)，x=-1時(shí)，y最大=-1+m=6，解得m=7（舍）；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，x=時(shí)，y最大=，解得，（舍）；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，x=2時(shí)，y最大=，解得m=（舍）.綜上所述：故答案為．【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注意分類討論，不要漏解．例11．當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5有最大值m，則m＝_____．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得m的值，本題得以解決．∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴該函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x＝2，∵當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5有最大值m，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，該函數(shù)取得最大值，此時(shí)m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．例12．已知二次函數(shù)中函數(shù)y與自變量x之間部分對(duì)應(yīng)值如下表所示，點(diǎn)在函數(shù)圖象上x(chóng)…0123…y…mn3n…則表格中的m＝______；當(dāng)時(shí)，和的大小關(guān)系為_(kāi)_____．【答案】

-1

【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性確定其對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸公式求出b的值，代入表格中的坐標(biāo)求出c的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性及增減性判斷和的大小關(guān)系．根據(jù)圖表知，當(dāng)x=1和x=3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的y值都是n，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，∴，b=4∴把(2，3）代入得：c=-1∴把x=0代入得：m=-1又∵對(duì)稱軸是直線x=2，∵，關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)在4和5之間，∵該二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口方向是向下，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴y1＜y2，故答案為：-1；y1＜y2【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性判斷兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小是解此題的關(guān)鍵．一、單選題1．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的取值是（）A．0 B． C．3 D．【答案】C【分析】把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式解析式的形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答，即可得出答案．【解析】，，，∴當(dāng)時(shí)，的值最小故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式的形式是解題的關(guān)鍵．2．當(dāng)二次函數(shù)有最大值時(shí)，可能是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)有最大值，即可得出結(jié)論．【解析】解：二次函數(shù)有最大值，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．已知拋物線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線開(kāi)口向上 B．拋物線的對(duì)稱軸為直線C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及增減性對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可．【解析】解：由拋物線，可知：，拋物線開(kāi)口向上，因此A選項(xiàng)正確；拋物線的對(duì)稱軸為直線，因此B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，y的值最小，最小值是2，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，因此C選項(xiàng)正確；因?yàn)椋瑨佄锞€開(kāi)口向上，拋物線的對(duì)稱軸為直線，因此時(shí)，y隨x的增大而增大，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知與相交于兩點(diǎn)，則的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】只需要根據(jù)函數(shù)圖象找到二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍即可得到答案．【解析】解：由函數(shù)圖象可知當(dāng)或時(shí)，，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖象法求不等式的解集，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．5．若點(diǎn)，，都是二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可以將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到，，的大小關(guān)系．【解析】解：∵，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．6．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩個(gè)點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】先求得拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和增減性即可解答．【解析】解：二次函數(shù)，拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)若，兩個(gè)點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸的右邊，隨的增大而增大，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；若，點(diǎn)比點(diǎn)更接近拋物線的對(duì)稱軸，則，故B選項(xiàng)正確，符合題意；若，不能確定兩個(gè)點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸的右邊或左邊，不能判定拋物線的增減性，則不能確定的大小，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；若，兩個(gè)點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸的左邊，隨的增大而減小，則，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性和增減性，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．已知二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．且 B．且 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義二次項(xiàng)系數(shù)非0，與x軸有交點(diǎn)，分別求解不等式取公共解即可．【解析】依題意得：，解得，，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、根的判別式以及解一元一次不等式組，根據(jù)根的判別式結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)非零找出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．8．對(duì)于題目“一段拋物線L：與直線l：有唯一公共點(diǎn)．若c為整數(shù)，確定所有c的值．”甲的結(jié)果是，乙的結(jié)果是的整數(shù)，丙的結(jié)果是的整數(shù)，則（

）A．甲、乙的結(jié)果合在一起才正確 B．乙、丙的結(jié)果合在一起才正確C．甲、丙的結(jié)果合在一起才正確 D．甲、乙、丙的結(jié)果合在一起才正確【答案】C【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)拋物線與直線相切，求得，②當(dāng)拋物線與直線不相切，但在上只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，找到兩個(gè)臨界值點(diǎn)，可得c的取值范圍．【解析】解：∵拋物線L：與直線l：y＝－x＋5有唯一公共點(diǎn)．∴①如圖1，拋物線與直線相切，聯(lián)立解析式得解得：，當(dāng)時(shí)，相切時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，和題目相符所以不用舍去；②如圖2，拋物線與直線不相切，但在上只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)在拋物線下方和在拋物線上或上方時(shí)，拋物線與直線不相切，但在上只有一個(gè)交點(diǎn)．∴，∴，又∵c為整數(shù)，∴，綜上，甲、丙的結(jié)果合在一起才正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一元二次方程的根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解此題的關(guān)鍵．9．已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，下列結(jié)論中正確的序號(hào)是（

）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象總過(guò)定點(diǎn)：③當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度大于；④若函數(shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷①；當(dāng)m≠0時(shí)，二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的值與m無(wú)關(guān)，求出x的值，即可得到定點(diǎn)，即可判斷②；求出，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度大于；即可判斷③；當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為，則拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，只有當(dāng)對(duì)稱軸在右側(cè)時(shí)，y才隨x的增大而減小，即成立，即可判斷④．【解析】解：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，此時(shí)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故①正確；當(dāng)m≠0時(shí)，二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的值與m無(wú)關(guān)，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)圖象總過(guò)定點(diǎn)，：故②正確；當(dāng)時(shí)，，∵，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，∴，∴函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度大于；故③正確；函數(shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為，∴拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，只有當(dāng)對(duì)稱軸在右側(cè)時(shí)，y才隨x的增大而減小，即成立，故④錯(cuò)誤，綜上可知，正確的是①②③，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等坐標(biāo)的求法及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．10．若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)，若在二次函數(shù)(m為常數(shù)）的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，，且，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得出縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍總在直線上，、是方程的兩個(gè)解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，根據(jù)根的判別式得出，根據(jù)，得出m取任意實(shí)數(shù)時(shí)，總成立，根據(jù)，得出，，即，得出，求出m的值即可．【解析】解：∵縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍總在直線上，∴點(diǎn)，一定在直線上，又∵點(diǎn)，在二次函數(shù)(m為常數(shù)）的圖象上，∴、是方程的兩個(gè)解，即，∴，，，∵，又∵，∴，∴m取任意實(shí)數(shù)時(shí)，總成立，∵，∴，，∴，即，∴，解得：，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出、是方程的兩個(gè)解，且．二、填空題11．已知拋物線有最大值，那么該拋物線的開(kāi)口方向是_____．【答案】向下【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【解析】解：∵拋物線有最大值，∴拋物線的其他值都是小于，∴拋物線開(kāi)口向下，故答案為：向下．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象，試寫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象都具有的一個(gè)性質(zhì)______．【答案】對(duì)稱軸都為（答案不唯一）【分析】首先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象求解即可．【解析】如圖所示，由圖象可得，兩個(gè)函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸都為，故答案為：對(duì)稱軸都為（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．13．已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且頂點(diǎn)在y軸上，那么m的值為_(kāi)____．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且頂點(diǎn)在y軸上得到，解得m的值即可．【解析】解：由題意可知，解得，故m的值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義和性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)時(shí)或時(shí)，______0．【答案】【分析】根據(jù)或，可得拋物線的圖象在軸的下方，從而可得答案．【解析】解：當(dāng)時(shí)或時(shí)，拋物線的圖象在軸的下方，∴此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用二次函數(shù)的圖象確定不等式的解集，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是解本題的關(guān)鍵．15．已知、是二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則與的大小關(guān)系為_(kāi)____．【答案】【分析】將A，B代入二次函數(shù)關(guān)系式得出，即可比較大?。窘馕觥拷猓簩，B代入二次函數(shù)得：，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，直接求出函數(shù)值比較大小，屬于基礎(chǔ)題．16．若，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】2【分析】根據(jù)題意可得，代入可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【解析】解：∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．17．選你喜歡的、、的值，使二次函數(shù)的圖象同時(shí)滿足下列條件:①它的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限；②圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，這樣的二次函數(shù)的表達(dá)式可以是__________．【答案】(答案不唯一)【分析】首先由①得到；由③得到對(duì)稱軸為，即；由②得到頂點(diǎn)，即可得出答案．【解析】解：二次函數(shù)，①它的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，故對(duì)稱軸為，即；②得到頂點(diǎn)，故可設(shè)頂點(diǎn)式為；可取，二次函數(shù)的解析式是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．此題是一道開(kāi)放型的題目．18．如圖，二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖像上，則；⑤若方程的兩根為，，且，則．其中正確的結(jié)論有__________（只填序號(hào)）【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)拋物線對(duì)稱軸為直線，則有；觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，則，即；由于，，則，易得，所以，再根據(jù)拋物線開(kāi)口可知：所以；利用拋物線的對(duì)稱性得到，然后利用二次函數(shù)的增減性求解即可．【解析】①有對(duì)稱軸可知：，∴，故①正確．②由圖可知：時(shí)，∴，即，故②正確．③令，，∴，∵，∴，∴，由開(kāi)口可知：∴，故③正確．④由拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∵，∴，故④錯(cuò)誤．⑤有題意可知：關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴二次函數(shù)，令，∴直線與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，∴，故⑤正確．故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．已知二次函數(shù)．(1)寫出拋物線的開(kāi)口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時(shí)，隨的增大而減??？(3)把此拋物線向左移動(dòng)3個(gè)單位，再向下移動(dòng)7個(gè)單位后，得到的新拋物線是否過(guò)點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)(3)拋物線不過(guò)點(diǎn)，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）二次函數(shù)中，，，，根據(jù)的判斷拋物線的開(kāi)口，將一般式化成頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)；（2）由（1）可知，對(duì)稱軸左邊是隨的增大而減小，對(duì)稱軸右邊是隨的增大而增大，由此即可求解；（3）拋物線向左移動(dòng)3個(gè)單位，再向下移動(dòng)7個(gè)單位得到新的函數(shù)解析式，把代入計(jì)算，若，則點(diǎn)在函數(shù)上，否則不在．【解析】（1）解：二次函數(shù)中，，，，∵，∴拋物線開(kāi)口向上，將一般式化成頂點(diǎn)式得：，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：∵拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸直線，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨著自變量的增大而減?。?）解：拋物線向左移動(dòng)3個(gè)單位，再向下移動(dòng)7個(gè)單位得，，化簡(jiǎn)得，∴當(dāng)時(shí)，，∴拋物線不過(guò)點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，平移是解題的關(guān)鍵．20．已知二次函數(shù)部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下表所示：…………(1)求二次函數(shù)解析式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是____________．【答案】(1)(2)畫圖見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，用描點(diǎn)法即可求解；（3）根據(jù)自變量的取值范圍，結(jié)合圖示，即可確定函數(shù)值的取值范圍．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，解方程得，∴二次函數(shù)解析式為．（2）解：二次函數(shù)解析式為，圖像如圖所示，函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，，與軸的交點(diǎn)是，對(duì)稱軸為，符合題意．（3）解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（2）中圖示可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖形，根據(jù)函數(shù)自變量求函數(shù)取值范圍，掌握待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．用描點(diǎn)法畫出的圖像（1）根據(jù)對(duì)稱性列表：…-3-2-101………（2）在下列平面直角坐標(biāo)系中描出表中各點(diǎn)，并把這些點(diǎn)連成平滑的曲線：（3）觀察圖像：①拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是；②拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是；③當(dāng)x滿足時(shí)，y＜0；④它的對(duì)稱軸是；⑤當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1④直線x=-1；⑤x<-1【分析】（1）把對(duì)應(yīng)的x值代入求出對(duì)應(yīng)的y值填表即可；（2）根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)、連線即可；（3）根據(jù)畫的圖象回答問(wèn)題即可．【解析】解：（1）根據(jù)對(duì)稱性列表：…-3-2-101……0-3-4-30…（2）描點(diǎn)、連線，函數(shù)圖像如圖所示：（3）觀察圖像：①拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-3）；②拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，0），（1，0）；③當(dāng)-3<x<1時(shí)，y＜0；④它的對(duì)稱軸是直線x=-1；⑤當(dāng)x<-1時(shí)，隨的增大而減小．故答案為：①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1④直線x=-1；⑤x<-1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象的畫法和二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想準(zhǔn)確解題．22．已知二次函數(shù)．（1）將其化成的形式；（2）寫出開(kāi)口方向，對(duì)稱軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）求圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（4）畫出函數(shù)圖象；（5）說(shuō)明其圖象與拋物線的關(guān)系；（6）當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x增大而減??；（7）x取何值時(shí)，；（8）當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最值？并求出最值？（9）時(shí)，y的取值范圍；（10）求函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)所圍成的三角形面積．【答案】（1）；（2）開(kāi)口向上，直線，頂點(diǎn)；（3）與x軸交點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)；（4）見(jiàn)解析；（5）將拋物線向左平移1個(gè)單位，向下平移8個(gè)單位；得到的圖象；（6）；（7）當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（8）時(shí)，；（9）；（10）．【分析】（1）將函數(shù)表達(dá)式配方成頂點(diǎn)式形式即可；（2）由a值的正負(fù)可判斷開(kāi)口方向，頂點(diǎn)式可得出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）分別讓x=0，y=0可分別求出圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（4）可根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，圖像與x、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸方程畫出函數(shù)圖像的簡(jiǎn)圖；（5）將拋物線y＝2x2先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)＝2(x＋1)2－8；（6）根據(jù)函數(shù)圖像可判斷函數(shù)的增減性；（7）根據(jù)函數(shù)圖像可判x取何值時(shí)，；（8）根據(jù)函數(shù)圖像可得當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最值，以及最值的結(jié)果；（9）根據(jù)圖像的開(kāi)口方向及x的值離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近即可求解；（10）根據(jù)圖像可求線段長(zhǎng)度，利用三角形面積公式即可求解．【解析】解：（1）∵===∴化成的形式為；（2）由可得：開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝－1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－8)；（3）由y=0得，，解得或，由x=0得：∴與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)，(1，0)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－6)；（4）由（1）（2）（3）可得函數(shù)簡(jiǎn)圖如下：（5）將拋物線先向左平移1個(gè)單位，可得的圖象，然后再向下平移8個(gè)單位得到的圖像；（6）由圖像可得：當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減??；（7）由圖像可得：當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（8）由圖像可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，且最小值為；（9）∵，∴當(dāng)時(shí)取得最小值為，當(dāng)時(shí)離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，此時(shí)，∴y的取值范圍為；（10）由圖可得，三角形底的長(zhǎng)度為，高的長(zhǎng)度為6，∴三角形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．23．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：（1）寫出方程的根；（2）寫出不等式的解集；（3）若方程無(wú)實(shí)數(shù)根，寫出的取值范圍．【答案】（1），；（2）或；（3）【分析】（1）找到拋物線與x軸的交點(diǎn)，即可得出方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根；（2）找出拋物線在x軸下方時(shí)，x的取值范圍即可；（3）根據(jù)圖象可以看出k取值范圍．【解析】解：（1）觀察圖象可知，方程的根，即為拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴，．（2）觀察圖象可知：不等式的解集為或．（3）由圖象可知，時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與方程和不等式的關(guān)系，求方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，即為拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；判斷y＞0，y=0，y＜0時(shí)，x的取值范圍，要結(jié)合開(kāi)口方向，圖象與x軸的交點(diǎn)而定；方程ax2+bx+c=k有無(wú)實(shí)數(shù)根，看頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)即可．24．已知拋物線的頂點(diǎn)在直線上，直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)與的值；(2)求的面積．【答案】(1)；3(2)3【分析】（1）根據(jù)所給的二次函數(shù)解析式，易求頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，再把代入，可求，于是可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，再把代入，易求；（2）畫圖后，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）解：，此函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把代入，可得，二次函數(shù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，把代入，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）解：如圖，．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)．25．已知拋物線交軸于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．點(diǎn)A，B為坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)，其坐標(biāo)為，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接，若拋物線向下平移個(gè)單位時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為，求出b的值，將代入求出c的值即可得出拋物線的解析式，將拋物線化為頂點(diǎn)式，即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出拋物線向下平移個(gè)單位后解析式為，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再分別求出當(dāng)拋物線頂點(diǎn)落在上時(shí)，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，k的值，即可得出結(jié)果．【解析】（1）解：∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，∴，將代入得，解得，∴，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：拋物線向下平移個(gè)單位后解析式為，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)落在上時(shí)，，解得，此時(shí)拋物線與只有1個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，，解得，

根據(jù)圖象可知，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，拋物線與有2個(gè)交點(diǎn)，再向下平移拋物線與有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，拋物線與有1個(gè)交點(diǎn)，再向下平移拋物線與無(wú)交點(diǎn)，∴時(shí)，滿足題意；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確計(jì)算．26．在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件得到，，，，進(jìn)而求解即可；（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向下，分、、三種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）解：當(dāng)，時(shí)，，∴當(dāng)，時(shí)，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，則，∵該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向下，∵，∴當(dāng)即時(shí)，該函數(shù)的最大值為，即，解得，，不合題意，舍去；當(dāng)即時(shí)，時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為，不合題意，舍去；當(dāng)即時(shí)，時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為，解得，符合題意，綜上，滿足條件的c的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用分類討論思想求解第（3）問(wèn)是解答的關(guān)鍵．27．若關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)（，為常數(shù)，）時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差恰為，我們稱函數(shù)是在上的“和諧函數(shù)”．(1)在下列關(guān)于的函數(shù)中，是在上的“和諧函數(shù)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“√”，不是在上的“和諧函數(shù)”的打“×”．①（）；②（）；③（）；(2)若一次函數(shù)（為常數(shù)，）是在上的“和諧函數(shù)”，求的值；(3)若二次函數(shù)（，為常數(shù)，）是在上的“和諧函數(shù)”，與一次函數(shù)交于，兩點(diǎn)，且滿足，求這個(gè)“和諧函數(shù)”的解析式，并寫出的取值范圍．【答案】(1)√；×；√(2)(3)【分析】（1）根據(jù)給出的“和諧函數(shù)”的新定義逐一進(jìn)行計(jì)算判斷即可；（2）在和兩種情況下，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)在最大值和最小值情況下，根據(jù)新定義計(jì)算求解即可；（3）首先求出對(duì)稱軸，根據(jù)函數(shù)的增減性，表示出最大值和最小值，根據(jù)有兩個(gè)交點(diǎn)，用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求出最后結(jié)果即可．【解析】（1）解：①，在上為減函數(shù)，最大值為當(dāng)時(shí)，，最小值為當(dāng)時(shí)，，，，是在上的“和諧函數(shù)”；②，在上為增函數(shù)，最大值為當(dāng)時(shí)，，最小值為當(dāng)時(shí)，，，，不是在上的“和諧函數(shù)”；③，對(duì)稱軸為，在上為減函數(shù)，最大值為當(dāng)時(shí)，，最小值為當(dāng)時(shí)，，，，是在上的“和諧函數(shù)”，故答案為：√；×；√；（2）①若，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，②若，隨增大而減小，，解得：，綜上所述，；（3）對(duì)稱軸為：，，，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，聯(lián)立，得：，

，，，，，，，解得：，（舍），．【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)的綜合題，理解函數(shù)的新定義，涉及反比例函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，能夠?qū)⒑瘮?shù)性質(zhì)和新定義相結(jié)合，利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2017·湖北隨州·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．它的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn) B．方程的兩根之積為C．它的圖像的對(duì)稱軸在軸的右側(cè) D．時(shí)，隨的增大而減小【答案】C【分析】直接利用二次函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與方程之間關(guān)系分別分析得出答案．【解析】解：A、∵，∴二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，該選項(xiàng)結(jié)論正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、方程，即的兩根之積=，該選項(xiàng)結(jié)論正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵的值不能確定，∴它的圖像的對(duì)稱軸位置無(wú)法確定，該選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵，對(duì)稱軸，∴時(shí)，隨的增大而減小，該選項(xiàng)結(jié)論正確，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．正確掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的敘述中，正確的是（

）A．點(diǎn)在函數(shù)圖像上 B．開(kāi)口方向向上C．對(duì)稱軸是直線 D．與直線有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】D【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函數(shù)值再與點(diǎn)的縱坐標(biāo)進(jìn)行比較；B、化簡(jiǎn)二次函數(shù)：y＝﹣3x2+3x+6，根據(jù)a的取值判斷開(kāi)口方向；C、根據(jù)對(duì)稱軸公式計(jì)算；D、把函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問(wèn)題，根據(jù)判別式的取值來(lái)判斷．【解析】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A錯(cuò)誤；B、化簡(jiǎn)二次函數(shù)：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函數(shù)的圖象開(kāi)口方向向下，∴B錯(cuò)誤；C、∵二次函數(shù)對(duì)稱軸是直線x∴C錯(cuò)誤；D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函數(shù)y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象與直線y＝3x有兩個(gè)交點(diǎn)，∴D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，其中函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問(wèn)題是解題關(guān)鍵．3．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將函數(shù)表達(dá)式寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)開(kāi)口方向和對(duì)稱軸即可判斷．【解析】解：∵∵開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=1，∴x＞1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，需要熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．4．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有；③當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，方程的兩根為，（），則，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用拋物線開(kāi)口方向得到a＞0，利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到，利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到c＜0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)當(dāng)x=-1時(shí)有最小值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于二次函數(shù)與直線y=3的一個(gè)交點(diǎn)為（1，3），利用對(duì)稱性得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=3的另一個(gè)交點(diǎn)為（-3，3），從而得到x1=-3，x2=1，則可對(duì)③進(jìn)行判斷．【解析】∵拋物線開(kāi)口向上，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，∴，∵拋物線與y