第二十四章圓(壓軸題專練)(原卷版+解析)-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練(人教版)

第二十三章旋轉(zhuǎn)（壓軸題專練）一、填空題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是上一定點(diǎn)，點(diǎn)B是上一動點(diǎn)、連接、、，分別將線段、繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到、，連接、、、，下列結(jié)論：①點(diǎn)在上；②；③；④當(dāng)時，與相切．正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2023春·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以直角三角形的斜邊為邊在三角形的同側(cè)作正方形，正方形的對角線，相交于點(diǎn)，連接，如果，，則正方形的面積為（

）

A．20 B．22 C．24 D．263．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？级＃┤鐖D，的半徑是5，點(diǎn)A是圓周上一定點(diǎn)，點(diǎn)B在上運(yùn)動，且，，垂足為點(diǎn)C，連接，則的最小值是（）A． B． C． D．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個動點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，在上截取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．5．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，且，以為直徑的第一象限作半圓，交線段于點(diǎn)E、F，則線段的最大值為（

）

A． B． C． D．6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)切于正方形，邊、分別與切于點(diǎn)、，點(diǎn)、分別在線段、上，且與相切．若的面積為6，則的半徑為（

）

A． B． C． D．二、填空題7．（2023·浙江溫州·?？既＃┖贾輮W體網(wǎng)球中心以極度對稱的“蓮花”造型驚艷眾人．該建筑底部是由24片全等“花瓣”組成的“固定花環(huán)”，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣”均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展開．小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識，模擬“小蓮花”變化狀態(tài)．穹頂合攏時，如圖①，正二十四邊形頂點(diǎn)，正八邊形頂點(diǎn)與圓心O共線，正二十四邊形頂點(diǎn)，與正八邊形頂點(diǎn)，共線，則的值為；穹頂開啟時，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時繞著固定點(diǎn)，，…，逆時針同速旋轉(zhuǎn)．圓心O繞旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為，以此類推，當(dāng)落在上時，若米，則的值為米．

8．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動點(diǎn)M在線段上，動點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

9．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在延長線上，且，如果過點(diǎn)A，過點(diǎn)D，若與有公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是．10．（2023秋·廣東梅州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為的直徑，且，點(diǎn)C在半圓上，，垂足為點(diǎn)O，P是上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作于點(diǎn)E，M是的內(nèi)心，連接，當(dāng)點(diǎn)P在弧上從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長．11．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）如圖，矩形中，，．動點(diǎn)E在邊上，以點(diǎn)E為圓心，以為半徑作弧，點(diǎn)G是弧上一動點(diǎn)．（1）如圖①，若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，且點(diǎn)F在上，當(dāng)與弧相切于點(diǎn)G時，則的值是；（2）如圖②，若連結(jié)，，分別取、的中點(diǎn)P、Q，連接，M為的中點(diǎn)，則CM的最小值為．

12．（2023·江蘇蘇州·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校校考二模）如圖，矩形，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為直線上動點(diǎn)，點(diǎn)B、G關(guān)于對稱，連接，點(diǎn)P為平面上的動點(diǎn)，，則的最小值是．

三、解答題13．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）綜合與探究問題情境：如圖，已知為的直徑，點(diǎn)C為上異于A，B的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，連接．

(1)探究發(fā)現(xiàn)：證明：無論點(diǎn)C在何處，將沿折疊，點(diǎn)D一定落在直徑上；(2)探究引申：如圖2，勤奮小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若是等腰三角形且對稱軸經(jīng)過點(diǎn)D，此時，與存在數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；(3)探究規(guī)律：如圖3，智慧小組在勤奮小組的啟發(fā)下發(fā)現(xiàn)當(dāng)為正三角形時，與存在的數(shù)量關(guān)系是：______．14．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【問題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，請你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，連結(jié)，，作于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形對角線上時，線段的長度為；（2）如圖③，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為．15．（2023春·湖北恩施·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，等圓與相交于C，M兩點(diǎn)，經(jīng)過的圓心，直線交于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，連接．

(1)求證：為的切線；為的切線；(2)連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)H為線段上的點(diǎn)，點(diǎn)E為延長線上的點(diǎn)，直線交于點(diǎn)D，直線交于點(diǎn)F．若，探求是否為定值；(4)如圖3，當(dāng)H為延長線上的點(diǎn)，E為線段上的點(diǎn)，其它條件不變，則（3）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．要求幫小明完成探究．

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，C是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)E，則．請證明此結(jié)論；(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．C是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)E，則．可以通過延長、相交于點(diǎn)F，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；(3)如圖3，，組成的一條折弦．C是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)E，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．17．（2023·河北廊坊·校考三模）在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊以的速度向點(diǎn)移動（點(diǎn)可以與點(diǎn)重合），同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動（點(diǎn)可以與點(diǎn)重合），其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒．(1)如圖1，幾秒后，的長度等于?(2)如圖1，幾秒后，的面積等于四邊形面積的?(3)若以為圓心，為半徑作．如圖2，若與四邊形的邊有三個公共點(diǎn)，則的取值范圍為_____．（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）18．（2023·廣東深圳·?？级＃径x】在平面內(nèi)的三個點(diǎn)，，，滿足．若，則將點(diǎn)稱為，的三倍直角點(diǎn)：若，則將點(diǎn)稱為，的三倍銳角點(diǎn)．

(1)如圖1，已知中，，，若點(diǎn)是，的三倍直角點(diǎn)，則的長度為___________；若點(diǎn)是點(diǎn)，的三倍銳角點(diǎn)，則的長度為___________；(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，以為圓心長為半徑作，點(diǎn)在上．①若點(diǎn)是，的三倍銳角點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)②若點(diǎn)是，的三倍直角點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，延長到點(diǎn)，使，延長到點(diǎn)，使．以點(diǎn)為圓心，分別以為半徑作大小兩個半圓，連接．

(1)求證：；(2)設(shè)小半圓與相交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時，求其最大值以及的長；②當(dāng)恰好與小半圓相切時，直接寫出弧的長．20．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，，．點(diǎn)P為射線上一動點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn)E，連接，使．作的外接圓，設(shè)圓心為O．

(1)當(dāng)圓心O在上時，______；(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊上時，①判斷與的位置關(guān)系，并證明：②當(dāng)為何值時，有最大值？并求出最大值；(3)如圖，連接，若，直接寫出值；將優(yōu)弧沿PE翻折交射線于點(diǎn)Q，直接寫出弧的長．21．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長交于點(diǎn)，連接，若，，，求的長．22．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）問題提出：（1）如圖1所示，已知A為上一點(diǎn)，P為外一點(diǎn)，若，的半徑為2，則的最小值為_________；問題探究：（2）如圖2所示，P為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，若，求的最小值；問題解決：（3）由于網(wǎng)購的方便與快捷，極大地促進(jìn)了物流行業(yè)的發(fā)展，如圖3所示，一條半圓形公路連接著A，B兩座城市．物流公司沿半圓形公路在A，B兩地之間進(jìn)行物流運(yùn)送．點(diǎn)D為一輛等在半圓形公路上的物流車，隨時接收從外地運(yùn)來的貨物以便及時送到A，B兩地．為了節(jié)約資金，提高物流中轉(zhuǎn)的效率，現(xiàn)需在這個區(qū)域內(nèi)建一個物流中轉(zhuǎn)站P，要求物流中轉(zhuǎn)站P到A，B兩城市及半圓形公路上點(diǎn)D的距離之和最小，請幫物流公司求出這個距離和的最小值．

23．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）矩形中，，點(diǎn)O是邊BC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接，將沿折疊，得到，再以O(shè)為圓心，長為半徑作半圓，交射線于G，連接并處長交射線于F，連接，設(shè)．

(1)求證：是半圓O的切線；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在上時，求x的值；(3)當(dāng)半圓O與的邊有兩個交點(diǎn)時，求x的取值范圍．24．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：如圖1，是的直徑，若弦，則稱弦為的緯線．

(1)如圖1，弦是的緯線，求證：；(2)弦和弦都是半徑為5的的緯線，，，，求這兩條緯線之間的距離；(3)如圖2，弦和弦是直徑兩側(cè)的緯線，連接、、、、、，的半徑為，記四邊形，，的面積依次為，，，若同時滿足下列兩個條件時，求的最大值（用含的式子表示）．①；②其中的一條緯線長不超過半徑．25．（2023秋·廣東廣州·九年級廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谡叫沃?，邊長為點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，其中交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)如圖，①若時，求線段的長；②當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，求證：．(2)如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作所在的直線于點(diǎn)，求的最小值．26．（2023·北京·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．對于直線l和線段，給出如下定義：若將線段關(guān)于直線l對稱，可以得到的弦(，分別是B，C的對應(yīng)點(diǎn))，則稱線段是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．例如，圖1中線段是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．

(1)如圖2，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①在線段，，中，以直線：為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”是；②在線段，，中，存在以直線：為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，求b的值；(2)已知直線：交x軸于點(diǎn)A．在中，，，若線段是以直線為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出m的最大值與最小值，以及相應(yīng)的的長．27．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于圖形M給出如下定義；將M上的一點(diǎn)變換為點(diǎn)，M上所有的點(diǎn)按上述變換后得到的點(diǎn)組成的圖形記為N，稱N為M的變換圖形．(1)①點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為______；②直線的變換圖形上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______；(2)求直線的變換圖形與y軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知⊙O的半徑為1，若的變換圖形與直線有公共點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍．28．（2023·江蘇鹽城·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，對于點(diǎn)，我們稱直線為點(diǎn)的友好直線．例如，點(diǎn)的友好直線為．(1)已知點(diǎn)，①則點(diǎn)的友好直線為______；②若與點(diǎn)的友好直線相切，求的半徑；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)（原點(diǎn)除外），點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)是時，求點(diǎn)到點(diǎn)的友好直線的距離的最大值；②以為圓心，3為半徑作．在點(diǎn)運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)的友好直線與交于兩點(diǎn)時，的最小值為4，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．29．（2023春·江西贛州·八年級瑞金第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E在射線上運(yùn)動，將沿翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，連接交于點(diǎn)F．(1)【初步探究】當(dāng)點(diǎn)G落在邊上時，求的長；(2)【深入探究】在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在射線上運(yùn)動過程中，求長的最大值．30．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接，，．(1)當(dāng)時，求證：；(2)如圖3，當(dāng)時，延長交于點(diǎn)F，求的度數(shù)；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，探究的面積的是否存在最小值，若存在寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)和面積最小值，若不存在，請說明理由．31．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察下圖，直線l1l2，點(diǎn)A，B在直線l2上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關(guān)系？請說明理由?！净A(chǔ)鞏固】如圖1，正方形內(nèi)接于，直徑，求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在半徑為5的中，，，，用含x的代數(shù)式表示；【拓展提高】如圖3，是的直徑，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作弦于點(diǎn)P，點(diǎn)F是上的點(diǎn)，且滿足，連接交于點(diǎn)E，若，，求的半徑．32．（2023·河南開封·一模）劉老師在“矩形的折疊”活動課上引導(dǎo)學(xué)生對矩形紙片進(jìn)行折疊．如圖，將矩形紙片折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，將紙片展開，折痕為，在邊上找一點(diǎn)，沿將折疊，得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)問題提出：若點(diǎn)落在上，，連接．①是______三角形；②若是等邊三角形，則的長為______．(2)深入探究：在（1）的條件下，當(dāng)時，判斷的形狀并證明；(3)拓展延伸：若，，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)落在矩形內(nèi)部包括邊時，連接，直接寫出的取值范圍．33．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？寄M預(yù)測）為的直徑，為圓上一點(diǎn)，，垂足為，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，連接，，且．(1)如圖，求證：；(2)如圖，連接，求證：；(3)如圖，在（2）的條件下，連接并延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，，求的長．34．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）【問題思考】如圖1，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線，以為邊向右側(cè)作正方形，連接，直線與直線交于點(diǎn)P，則線段與之間的關(guān)系為______．【問題類比】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是正方形外的一點(diǎn)時，【問題思考】中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；【拓展延伸】如圖3，點(diǎn)E是邊長為6的正方形所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，【問題思考】中其他條件不變，則動點(diǎn)P到邊的最大距離為______（直接寫出結(jié)果）．35．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考三模）（1）如圖1，的半徑為1，，點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)，則的最小值為；（2）如圖2，已知矩形，點(diǎn)E為上方一點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)F，點(diǎn)P是的內(nèi)心，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若矩形的邊長，，，求此時的最小值．36．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）【結(jié)論理解】“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．(1)【問題探究】如圖1，在矩形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊上，做經(jīng)過F、E、C三點(diǎn)的圓，請根據(jù)以上結(jié)論判斷點(diǎn)B點(diǎn)______（填“在”或“不在”）該圓上；(2)如圖2，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，求四邊形的面積．(3)【問題解決】如圖3，四邊形是某公園的一塊空地，現(xiàn)計劃在空地中修建與兩條小路，（小路寬度不計），將這塊空地分成四部分，記兩條小路的交點(diǎn)為P，其中與空地中種植草坪，與空地中分別種植郁金香和牡丹花．已知，且點(diǎn)C到的距離是，求種植牡丹花的地塊的面積比種植郁金香的地塊的面積多多少？37．（2023·廣西柳州·?？家荒＃┤鐖D1，在中，，以線段為直徑作交于點(diǎn)D，E為中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：直線是的切線；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)如圖2，連接交于點(diǎn)P，連接交于點(diǎn)Q，若D為中點(diǎn)，，求的長．38．（2022秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是正方形，是的直徑，點(diǎn)E是上的一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若為的切線，連接交于點(diǎn)F，求證：；(3)若，過點(diǎn)A作的垂線交射線于點(diǎn)M，求的最小值．39．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，的半徑為，的頂點(diǎn)，，在上，．(1)求證：是的切線；(2)若也與相切，求證：四邊形是菱形；(3)如圖2，與相交于點(diǎn)，連接于，當(dāng)時，求的對角線的長及陰影部分圖形的面積．40．（2023·河北邢臺·統(tǒng)考一模）在等邊三角形中，于點(diǎn)D，半圓O的直徑開始在邊上，且點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，．將半圓O繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，半圓O與相切于點(diǎn)P．如圖1所示．(1)求的長度；(2)如圖2．當(dāng)，分別與半圓O交于點(diǎn)M，N時，連接，，．①求的度數(shù)；②求的長度；(3)當(dāng)時，將半圓O沿邊向左平移，設(shè)平移距離為x．當(dāng)與的邊一共有兩個交點(diǎn)時，直接寫出x的取值范圍．41．（2022秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）已知等邊內(nèi)接于點(diǎn)P為弧上的一個動點(diǎn)，連結(jié)、、．(1)如圖1，當(dāng)線段經(jīng)過點(diǎn)O時，寫出線段，，滿足的等量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，點(diǎn)P為弧的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），試探究線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖3，在中，，，的外角平分線交的外接圓于點(diǎn)P，于E，求的長．42．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎獮榈耐饨訄A，．(1)如圖1，連接交于點(diǎn)，過作的垂線交延長線于點(diǎn)．①求證：平分；②設(shè)，請用含的代數(shù)式表示；(2)如圖2，若，為上的一點(diǎn)，且點(diǎn)位于兩側(cè)，作關(guān)于對稱的圖形，連接，試猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．43．（2022秋·廣東廣州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：是的外接圓，且，，D為上一動點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，等于多少？(2)過點(diǎn)B作直線的垂線，垂足為點(diǎn)E．①如圖2，若點(diǎn)D在上，求證：．②若點(diǎn)D在上，當(dāng)它從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動且滿足時，求的最大值．44．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）小明在學(xué)習(xí)了《圓周角定理及其推論》后，有這樣的學(xué)習(xí)體會：在中，，當(dāng)長度不變時．則點(diǎn)C在以為直徑的圓上運(yùn)動（不與A、B重合）．【探索發(fā)現(xiàn)】小明繼續(xù)探究，在中，，長度不變．作與的角平分線交于點(diǎn)F，小明計算后發(fā)現(xiàn)的度數(shù)為定值，小明猜想點(diǎn)F也在一個圓上運(yùn)動．請你計算的度數(shù)，并簡要說明小明猜想的圓的特征．【拓展應(yīng)用】在【探索發(fā)現(xiàn)】的條件下，若，求出面積的最大值．【靈活運(yùn)用】在等邊中，，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在和邊上，且，連接交于點(diǎn)F，試求出周長的最大值．45．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖半徑為r，銳角內(nèi)接于，連并延長交于D，過點(diǎn)D作于E．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，若，求的長；(3)如圖2，當(dāng)時，，求r的值；(4)如圖3，若，直接寫出的值（用含r的代數(shù)式表示）

第二十三章旋轉(zhuǎn)（壓軸題專練）一、填空題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是上一定點(diǎn)，點(diǎn)B是上一動點(diǎn)、連接、、，分別將線段、繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到、，連接、、、，下列結(jié)論：①點(diǎn)在上；②；③；④當(dāng)時，與相切．正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證和是等邊三角形，得到，即可判斷①結(jié)論；逆用等邊三角形性質(zhì)，即可證明，判斷②結(jié)論；利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，得到，再利用等邊三角形的性質(zhì)，得到，然后根據(jù)圓周角定理，即可判斷③結(jié)論；利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得到，再利用等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的定義，得到，進(jìn)而得到，然后利用切線的判定定理可判斷④結(jié)論．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，和是等邊三角形，，點(diǎn)在上，①結(jié)論正確；，在和中，，，②結(jié)論正確；，，，，，，和是等邊三角形，，，，，，，③結(jié)論正確；，，，，，，當(dāng)時，∵，，∴，∴在上，，，，，與相切，④結(jié)論正確，綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④，共4個，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定定理等知識，靈活運(yùn)用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．2．（2023春·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以直角三角形的斜邊為邊在三角形的同側(cè)作正方形，正方形的對角線，相交于點(diǎn)，連接，如果，，則正方形的面積為（

）

A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D【分析】將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，證明是等腰直角三角形，求出，，證明點(diǎn)A、C、O、B四點(diǎn)共圓，得出，證明，得出點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出正方形的邊長為，最后求出正方形的面積即可．【詳解】解：將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，如圖所示：

∴，，，∴是等腰直角三角形，∴，，∵正方形的對角線，相交于點(diǎn)，∴，∵，∴點(diǎn)A、C、O、B四點(diǎn)共圓，∴，∴，∵，∴點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，∵，是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴正方形的邊長為，∴正方形的面積為，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握正方形的性質(zhì)．3．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)校考二模）如圖，的半徑是5，點(diǎn)A是圓周上一定點(diǎn)，點(diǎn)B在上運(yùn)動，且，，垂足為點(diǎn)C，連接，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)交于，連接、、，過作于，連接，由題意易證明是等邊三角形，即得出，，從而由勾股定理可求出．再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可知，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】設(shè)交于，連接、、，過作于，連接，，，，是等邊三角形，，，由勾股定理得：．，．，，在中，，，的最小值是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個動點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，在上截取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，即點(diǎn)在圓心為的半圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到連線上時，的值最小，根據(jù)題意可證，由此可證是直角三角形，可得點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動，可求出半圓的半徑，在中，可求出的長，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于，連接，如圖所示：

∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴四邊形是矩形，則，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即是直角三角形，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動，設(shè)圓心為，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到連線上時，的值最小，∵，∴，則半圓的半徑，在中，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到連線上時，的值最小，∴的最小值為，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形與圓的結(jié)合求最值，理解動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，且，以為直徑的第一象限作半圓，交線段于點(diǎn)E、F，則線段的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過的中點(diǎn)G作的垂線與交于點(diǎn)M，過點(diǎn)O作于H，連接，先求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)等面積法求出，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，由垂徑定理得到，由，可知當(dāng)最小時，最大，即最大，再由，得到，則，即可得到．【詳解】解：過的中點(diǎn)G作的垂線與交于點(diǎn)M，過點(diǎn)O作于H，連接∵，∴，∴，∵，∴；∵，G為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)最小時，最大，即最大，∵，∴，∴，即，∴，∴，故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)切于正方形，邊、分別與切于點(diǎn)、，點(diǎn)、分別在線段、上，且與相切．若的面積為6，則的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)與相切與點(diǎn)K，設(shè)正方形的邊長為．因?yàn)槭乔芯€，可得，，設(shè)，在中，以為，則，推出，根據(jù)，構(gòu)建方程求出a即可解決問題；【詳解】解：如圖所示，設(shè)與相切與點(diǎn)K，由題意得，由切線長定理可知，

設(shè)正方形邊長為，，則∴，由勾股定理得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴（負(fù)值舍去），∴，∴的半徑為，故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形內(nèi)切圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、勾股定理切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．二、填空題7．（2023·浙江溫州·?？既＃┖贾輮W體網(wǎng)球中心以極度對稱的“蓮花”造型驚艷眾人．該建筑底部是由24片全等“花瓣”組成的“固定花環(huán)”，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣”均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展開．小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識，模擬“小蓮花”變化狀態(tài)．穹頂合攏時，如圖①，正二十四邊形頂點(diǎn)，正八邊形頂點(diǎn)與圓心O共線，正二十四邊形頂點(diǎn)，與正八邊形頂點(diǎn)，共線，則的值為；穹頂開啟時，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時繞著固定點(diǎn)，，…，逆時針同速旋轉(zhuǎn)．圓心O繞旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為，以此類推，當(dāng)落在上時，若米，則的值為米．

【答案】/【分析】如圖：過O作,連接，運(yùn)用正多邊形的性質(zhì)說明,,進(jìn)而得到、，然后代入計算即可；如圖：由題意可得,，，運(yùn)用勾股定理可求得，再運(yùn)用計算即可．【詳解】解：如圖：過O作,連接，∴，,∵，∴,,∴，∴,,∴，∵∴，∴，∴，∴,∴．

由題意可知：,，，∴，即，解得：，∴．故答案為，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理等知識點(diǎn)，理解題意、正確計算是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動點(diǎn)M在線段上，動點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

【答案】或【分析】如圖，由是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得在以為直徑的圓上，，可得是圓與直線的交點(diǎn)，當(dāng)重合時，符合題意，可得，當(dāng)N在的上方時，如圖，過作軸于，延長交于，則，，證明，設(shè)，可得，，而，則，再解方程可得答案．【詳解】解：如圖，∵是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴在以為直徑的圓上，，∴是圓與直線的交點(diǎn)，

當(dāng)重合時，∵，則，∴，符合題意，∴，當(dāng)N在的上方時，如圖，過作軸于，延長交于，則，，∴，

∵，，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，而，∴，解得：，則，∴，∴；綜上：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．9．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在延長線上，且，如果過點(diǎn)A，過點(diǎn)D，若與有公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是．【答案】【分析】先畫出圖形，連接，利用勾股定理可得，，從而可得，再根據(jù)與有公共點(diǎn)可得一個關(guān)于的不等式組，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：由題意畫出圖形如下：連接，

過點(diǎn)，且，的半徑為7，過點(diǎn)，它的半徑為，且，，，，，在邊上，點(diǎn)在延長線上，，即，，與有公共點(diǎn)，，即，不等式①可化為，解方程得：或，畫出函數(shù)的大致圖象如下：

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，即不等式①的解集為，同理可得：不等式②的解集為或，則不等式組的解集為，又，半徑r的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)與不等式，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系正確建立不等式組是解題關(guān)鍵．10．（2023秋·廣東梅州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為的直徑，且，點(diǎn)C在半圓上，，垂足為點(diǎn)O，P是上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作于點(diǎn)E，M是的內(nèi)心，連接，當(dāng)點(diǎn)P在弧上從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長．【答案】【分析】首先證明，推出當(dāng)點(diǎn)P在弧上從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)M在以為弦，并且所對的圓周角為的劣弧上（），利用弧長公式計算即可解決問題．【詳解】∵的內(nèi)心為M，∴，，∴，∵，即，∴．∵，而，∴，∴，所以當(dāng)點(diǎn)P在弧BC上從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)M在以為弦，并且所對的圓周角為的劣弧上（），點(diǎn)M在扇形內(nèi)時，過C、M、O三點(diǎn)作，連，在優(yōu)弧取點(diǎn)D，連，∵，∴，∴，而，∴，∴弧的長=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計算公式、三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．11．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）如圖，矩形中，，．動點(diǎn)E在邊上，以點(diǎn)E為圓心，以為半徑作弧，點(diǎn)G是弧上一動點(diǎn)．（1）如圖①，若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，且點(diǎn)F在上，當(dāng)與弧相切于點(diǎn)G時，則的值是；（2）如圖②，若連結(jié)，，分別取、的中點(diǎn)P、Q，連接，M為的中點(diǎn)，則CM的最小值為．

【答案】【分析】（1）如圖，連接,則,，勾股定理得，由切線長定理得，設(shè)，由勾股定理得解得，即；（2）如圖，連接、，取的中點(diǎn)H，連接，由中位線性質(zhì)得，，連接，取的中點(diǎn)I，連接，同理，；易證四邊形是平行四邊形，得，由中位線性質(zhì)得，求得；取的中點(diǎn)J，可證四邊形是平行四邊形，得，確定點(diǎn)M在以J為圓心，2.5為半徑的圓弧上，由兩點(diǎn)之間線段最短得，C，M，J三點(diǎn)共線時，最短，即最小值；延長，交于點(diǎn)K，L，求得，由勾股定理得中，，得解最小值．【詳解】（1）如圖，連接,則,，

∴，∵，∴與弧相切于點(diǎn)B，∴，設(shè)，則中，即解得，即，（2）如圖，連接、，取的中點(diǎn)H，連接，則，，連接，取的中點(diǎn)I，連接，同理，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵P、Q是、的中點(diǎn)，∴，∴，

取的中點(diǎn)J，由，∴四邊形是平行四邊形，∴，即點(diǎn)M在以J為圓心，2.5為半徑的圓弧上，∴當(dāng)C，M，J三點(diǎn)共線時，最短，即最小值，延長，交于點(diǎn)K，L，則，∴點(diǎn)K，點(diǎn)L分別是的中點(diǎn)，∴，，，∴，，中，，∴最小值．故答案為：2，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，圓的定義，圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離的最值問題，勾股定理解直角三角形、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等，結(jié)合題設(shè)條件確定動點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇蘇州·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校?？级＃┤鐖D，矩形，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為直線上動點(diǎn)，點(diǎn)B、G關(guān)于對稱，連接，點(diǎn)P為平面上的動點(diǎn)，，則的最小值是．

【答案】/【分析】由翻折的性質(zhì)可得，，由題意得，，則，，由，可得，由，可知，如圖，在上截取使，連接，則，過作于，則，，，可得在以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動，如圖，連接，與的交點(diǎn)即為最小時的點(diǎn)，過作于，則是等腰直角三角形，則，，由勾股定理得，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可得，，∵E為中點(diǎn)，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，如圖，在上截取使，連接，則，過作于，則，

∵，∴，∴在以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動，如圖，連接，與的交點(diǎn)即為最小時的點(diǎn)，過作于，則是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，圓等知識．解題的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡．三、解答題13．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）綜合與探究問題情境：如圖，已知為的直徑，點(diǎn)C為上異于A，B的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，連接．

(1)探究發(fā)現(xiàn)：證明：無論點(diǎn)C在何處，將沿折疊，點(diǎn)D一定落在直徑上；(2)探究引申：如圖2，勤奮小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若是等腰三角形且對稱軸經(jīng)過點(diǎn)D，此時，與存在數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；(3)探究規(guī)律：如圖3，智慧小組在勤奮小組的啟發(fā)下發(fā)現(xiàn)當(dāng)為正三角形時，與存在的數(shù)量關(guān)系是：______．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析(3)【分析】（1）先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再證明得到，加上，所以，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可判斷將沿折疊，點(diǎn)一定落在直徑上；（2）由于是等腰三角形且對稱軸經(jīng)過點(diǎn)，則根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，再證明，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則可計算出，然后證明四邊形為矩形，則，從而得到；（3）先根據(jù)正三角形的性質(zhì)得到，，再計算，則利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，則，從而得到．【詳解】（1）證明：為的切線，，，，，，，，無論點(diǎn)在何處，將沿折疊，點(diǎn)一定落在直徑上；（2）解：．理由如下：是等腰三角形且對稱軸經(jīng)過點(diǎn)，，，為的切線，，，，，，四邊形為矩形，，；（3）解：為正三角形，，，，，，，，，而，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．14．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【問題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，請你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，連結(jié)，，作于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形對角線上時，線段的長度為；（2）如圖③，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為．【答案】問題情境：見解析；問題解決：（1）；（2）【分析】[問題情境]連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，以此即可證明；[問題解決]（1）根據(jù)題意可得，由[問題情境]結(jié)論可知、、、四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理以及正方形的性質(zhì)可得，則為等腰直角三角形，設(shè)長為，則長為，根據(jù)勾股定理列出方程，求解即可；（2）由[問題情境]結(jié)論可知、、、四點(diǎn)共圓，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得四邊形為矩形，則要求的最小值，即求的最小值，根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義可得為的中位線，得，，同理可證四邊形為矩形，以此得到，，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得，以此即可求出的最小值，從而求得的最小值．【詳解】[問題情境]證明：如圖，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，，為的中點(diǎn)，，、、、四點(diǎn)共圓；[問題解決]（1）四邊形為正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，由[問題情境]結(jié)論可知，、、、四點(diǎn)共圓，如圖，，為正方形的對角線，，，為等腰直角三角形，設(shè)長為，則長為，，即，解得：，（不合題意，舍去），線段的長度為；故答案為：；（2）由[問題情境]結(jié)論可知，、、、四點(diǎn)共圓，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，，四邊形為矩形，，要求的最小值，即求的最小值，由（1）知，，，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，，為的中位線，，，，，四邊形為矩形，，，，在中，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得，，，的最小值為，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查四點(diǎn)共圓、正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，屬于圓的綜合題，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．（2023春·湖北恩施·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，等圓與相交于C，M兩點(diǎn)，經(jīng)過的圓心，直線交于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，連接．

(1)求證：為的切線；為的切線；(2)連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)H為線段上的點(diǎn)，點(diǎn)E為延長線上的點(diǎn)，直線交于點(diǎn)D，直線交于點(diǎn)F．若，探求是否為定值；(4)如圖3，當(dāng)H為延長線上的點(diǎn)，E為線段上的點(diǎn)，其它條件不變，則（3）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形是菱形，理由見解析(3)定值(4)成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)切線的判定即可證得結(jié)論；（2）作輔助線如解析圖，先證明四邊形為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定即可證明四邊形是菱形；（3）連接，證明，得出，進(jìn)而可得結(jié)論；（4）連接，同（3）的方法證明即可．【詳解】（1）證明：連接如圖，∵是的直徑，是的直徑，∴，∴為的切線；為的切線；

（2）四邊形是菱形.證明：如圖，連接已知等圓與相交于C,M兩點(diǎn)，∴，即四邊形為菱形，∴，，又，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形；

（3）解：連接，已知等圓與相交于C,M兩點(diǎn)，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，同理，為等邊三角形，∴，∴①，∴∴②，由①②可得，，∴，又，∴；

（4）仍然成立；證明：連接，如圖，已知等圓與，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵四點(diǎn)在上，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，又，∴．

【點(diǎn)睛】本題是圓和圓的綜合題，主要考查了切線的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)，熟練掌握圓的相關(guān)知識、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，C是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)E，則．請證明此結(jié)論；(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．C是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)E，則．可以通過延長、相交于點(diǎn)F，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；(3)如圖3，，組成的一條折弦．C是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)E，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先證，再證為等腰三角形，進(jìn)一步證得，從而證得結(jié)論．（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進(jìn)而求得．【詳解】（1）如圖1，連接，，

∵C是劣弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴；（2）如圖2，延長、相交于點(diǎn)F，再連接，

∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵C是劣弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴∵∴∴∴，，∴，∴，∴（3）．理由如下：連接，，，與相交于點(diǎn)F，

∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，∴，

∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理及其推論，全能三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，掌握并熟練運(yùn)用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023·河北廊坊·?？既＃┰诰匦沃校?，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊以的速度向點(diǎn)移動（點(diǎn)可以與點(diǎn)重合），同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動（點(diǎn)可以與點(diǎn)重合），其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒．(1)如圖1，幾秒后，的長度等于?(2)如圖1，幾秒后，的面積等于四邊形面積的?(3)若以為圓心，為半徑作．如圖2，若與四邊形的邊有三個公共點(diǎn)，則的取值范圍為_____．（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）【答案】(1)后的長度等于(2)1秒或2秒后，的面積等于四邊形面積的(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得，則，由勾股定理可得，進(jìn)行計算即可得到答案；（2）表示出，計算出，由的面積等于四邊形面積的，可得，進(jìn)行計算即可得到答案；（3）當(dāng)時，如圖，與四邊形有兩個公共點(diǎn)，如圖，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，與四邊形有兩個公共點(diǎn)，則，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，，，，解得：或（舍去），后的長度等于；（2）解：根據(jù)題意可得：，，，，，，的面積等于四邊形面積的，，解得：或，1秒或2秒后，的面積等于四邊形面積的；（3）解：當(dāng)時，如圖，與四邊形有兩個公共點(diǎn)，，如圖，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，與四邊形有兩個公共點(diǎn)，則，，根據(jù)題意可得：，，，，，，，，解得：（舍）或，當(dāng)時，與四邊形的邊有三個公共點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式、一元二次方程的應(yīng)用、圓的基本性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．18．（2023·廣東深圳·?？级＃径x】在平面內(nèi)的三個點(diǎn)，，，滿足．若，則將點(diǎn)稱為，的三倍直角點(diǎn)：若，則將點(diǎn)稱為，的三倍銳角點(diǎn)．

(1)如圖1，已知中，，，若點(diǎn)是，的三倍直角點(diǎn)，則的長度為___________；若點(diǎn)是點(diǎn)，的三倍銳角點(diǎn)，則的長度為___________；(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，以為圓心長為半徑作，點(diǎn)在上．①若點(diǎn)是，的三倍銳角點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)②若點(diǎn)是，的三倍直角點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①，②或【分析】（1）根據(jù)定義可得，勾股定理求得，即可求解；（2）①根據(jù)題意求得，根據(jù)新定義得出，設(shè)，)則，解方程即可求解，當(dāng))時，，應(yīng)舍去；②延長交于，連接，作于．設(shè)，，證明，得出，即，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是，的三倍直角點(diǎn)，∴，由勾股定理得，，故答案是，∵點(diǎn)是點(diǎn)，的三倍銳角點(diǎn)，∴，且，由勾股定理得，故答案是：（2）①當(dāng)時，∴∴，，∵點(diǎn)是，的三倍銳角點(diǎn)，∴，設(shè)，∴∴，當(dāng)，∴當(dāng)，∴當(dāng)時，，應(yīng)舍去．綜上所述：②如圖4，

延長交于，連接，∵點(diǎn)是的三倍直角點(diǎn)，∴，∴是的直徑，∴，作于．設(shè)，∴，∴=∵∴∵，∴，∴∴∵，∴，當(dāng)，當(dāng)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，勾股定理，直角所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握新定義是解題的關(guān)鍵．19．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，延長到點(diǎn)，使，延長到點(diǎn)，使．以點(diǎn)為圓心，分別以為半徑作大小兩個半圓，連接．

(1)求證：；(2)設(shè)小半圓與相交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時，求其最大值以及的長；②當(dāng)恰好與小半圓相切時，直接寫出弧的長．【答案】(1)證明見解析(2)①，；②或【分析】（1）根據(jù)題中條件，利用兩個三角形全等的判定定理即可得到，再由全等三角形性質(zhì)即可得證；（2）①根據(jù)三角形面積公式知，是個定值，在以為圓心、為半徑的圓上運(yùn)動，從而得到當(dāng)時，取得最大值，代入面積公式求解即可得到答案；②當(dāng)恰好與小半圓相切時，，根據(jù)，得到，根據(jù)點(diǎn)的位置分兩種情況，利用弧長公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴；（2）解：①根據(jù)三角形面積公式知，，在以為圓心、為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)時，取得最大值，；由（1）知，則在中，，∴；②如圖所示：

當(dāng)恰好與小半圓相切時，，，在中，，即，則，分兩種情況討論如下：①當(dāng)在右側(cè)時，，則，此時弧的長為；②當(dāng)在左側(cè)時，，此時弧的長為；綜上所述，弧的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合問題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、圓中動點(diǎn)最值問題、切線性質(zhì)、含直角三角形及弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)及圓綜合問題的求法是解決問題的關(guān)鍵．20．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，，．點(diǎn)P為射線上一動點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn)E，連接，使．作的外接圓，設(shè)圓心為O．

(1)當(dāng)圓心O在上時，______；(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊上時，①判斷與的位置關(guān)系，并證明：②當(dāng)為何值時，有最大值？并求出最大值；(3)如圖，連接，若，直接寫出值；將優(yōu)弧沿PE翻折交射線于點(diǎn)Q，直接寫出弧的長．【答案】(1)1(2)①與的位置關(guān)系是相切，見解析；②當(dāng)時，有最大值，為1(3)，【分析】（1）可證得，進(jìn)而解直角三角形和直角三角形，從而求得結(jié)果；（2）①連接，，利用圓周角定理推出，繼而推出，再根據(jù)，推出，從而得到與的位置關(guān)系是相切；②連接，可證得，從而得到，設(shè)得方程，故，利用二次函數(shù)得最值，得到當(dāng)，即時，有最大值，最大值為1；（3）可推出，進(jìn)而得出，，，故，四邊形是菱形，可推出點(diǎn)A是對稱后的優(yōu)弧的圓心，根據(jù)弧長公式得出結(jié)果．【詳解】（1）解：菱形中，，∵是的直徑，∴，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∵，，，∴，故答案為：1；（2）①與的位置關(guān)系是相切，理由如下：證明：如圖1，連接，，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即與的位置關(guān)系是相切；②如圖2，連接．

∵，，，∴，在菱形中，，，∴是等邊三角形，∴，∴，得到∴，設(shè)，∴，則，∴，∵，∴當(dāng)，即時，有最大值，最大值為1．（3）∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，，∴，，又∵將優(yōu)弧沿翻折交射線于點(diǎn)，∴，∴四邊形是菱形，

∴點(diǎn)A，O關(guān)于對稱，∴弧在以A為圓心，長為半徑的圓上．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．21．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長交于點(diǎn)，連接，若，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)作，如圖所示，由垂徑定理可知：，再由得到，即可得證；（2）延長交于，如圖所示，由（1）知，從而由等腰三角形“三線合一”得到，且，從而得到，即可有，由內(nèi)錯角相等兩直線平行得到，進(jìn)而，即；（3）連接，延長交于點(diǎn)，證明，利用勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作，如圖所示：

由垂徑定理可知，，在和中，，，，；（2）證明：延長交于，如圖所示：

由（1）知，根據(jù)，從而由等腰三角形“三線合一”得到，且，，，，，，，，，即；（3）解：如圖，連接，延長交于點(diǎn)，

根據(jù)（2）中可得，，，，，，，，在與中，，，，，，，，，，且為直徑，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）問題提出：（1）如圖1所示，已知A為上一點(diǎn)，P為外一點(diǎn)，若，的半徑為2，則的最小值為_________；問題探究：（2）如圖2所示，P為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，若，求的最小值；問題解決：（3）由于網(wǎng)購的方便與快捷，極大地促進(jìn)了物流行業(yè)的發(fā)展，如圖3所示，一條半圓形公路連接著A，B兩座城市．物流公司沿半圓形公路在A，B兩地之間進(jìn)行物流運(yùn)送．點(diǎn)D為一輛等在半圓形公路上的物流車，隨時接收從外地運(yùn)來的貨物以便及時送到A，B兩地．為了節(jié)約資金，提高物流中轉(zhuǎn)的效率，現(xiàn)需在這個區(qū)域內(nèi)建一個物流中轉(zhuǎn)站P，要求物流中轉(zhuǎn)站P到A，B兩城市及半圓形公路上點(diǎn)D的距離之和最小，請幫物流公司求出這個距離和的最小值．

【答案】（1）4；（2）；（3）【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）如圖所示，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，則是等邊三角形，可得，則，連接，則的最小值就是的長，證明四邊形為菱形且，，求出的長即可；（3）如圖所示，連接，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至位置，連接、，則都是等邊三角形，則此時為定點(diǎn)，D為半圓上一動點(diǎn)；取的中點(diǎn)O，連接并延長交半圓于點(diǎn)，此時的長即為的最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，連接，∵，∴，∴的最小值為4，故答案為：4；

（2）如圖所示，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，∴，，∴是等邊三角形，∴，

∴，連接，∵A，為定點(diǎn)，∴的最小值就是的長，∵為等邊形三角形，∴∴四邊形為菱形且，，設(shè)交于T，則，∴，∴，即的最小值為；（3）如圖所示，連接，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至位置，連接、，∴，∴都是等邊三角形，

∴此時為定點(diǎn)，D為半圓上一動點(diǎn)，取的中點(diǎn)O，連接并延長交半圓于點(diǎn)，此時的長即為的最小值．∵為等邊三角形，，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值問題等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）矩形中，，點(diǎn)O是邊BC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接，將沿折疊，得到，再以O(shè)為圓心，長為半徑作半圓，交射線于G，連接并處長交射線于F，連接，設(shè)．

(1)求證：是半圓O的切線；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在上時，求x的值；(3)當(dāng)半圓O與的邊有兩個交點(diǎn)時，求x的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)x的值為3(3)綜上所述，當(dāng)或時，半圓O與的邊有兩個交點(diǎn)【分析】（1）通過翻折的性質(zhì)，證明即可解答；（2）畫出圖形，在中根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程，即可解答；（3）將臨界情況，即當(dāng)半圓O與相切時；當(dāng)半圓O與相切時；當(dāng)半圓O經(jīng)過點(diǎn)D時；當(dāng)半圓O的圓心與點(diǎn)C重合時；求出此時的長度，即可解答．【詳解】（1）證明：是矩形，，∵沿折疊，得到，，，是半圓O的半徑，是半圓O的切線．（2）解：當(dāng)點(diǎn)E落在上時，如圖2所示：

∵沿折疊，得到，，，∴，∵在中，，∴∴∵由（1）知是半圓O的切線，，∴在中，∴，解得：，答：x的值為3．（3）分情況進(jìn)行討論：①如圖2，當(dāng)半圓O與相切時，根據(jù)（2）中解答，可得；

如圖3，當(dāng)半圓O與相切時，．

∴當(dāng)時，半圓O與的邊和各有一個交點(diǎn)；②如圖4，當(dāng)半圓O經(jīng)過點(diǎn)D時，連接，設(shè)圓的半徑為a，

在中，可得，即解得：如圖5，當(dāng)半圓O的圓心與點(diǎn)C重合時，此時，，∴當(dāng)時，半圓O與的邊和各有一個交點(diǎn)，∴綜上所述，當(dāng)或時，半圓O與的邊有兩個交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的證明，翻折的性質(zhì)，圓與直線的位置關(guān)系，勾股定理，畫出正確的圖形是解題的關(guān)鍵．24．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：如圖1，是的直徑，若弦，則稱弦為的緯線．

(1)如圖1，弦是的緯線，求證：；(2)弦和弦都是半徑為5的的緯線，，，，求這兩條緯線之間的距離；(3)如圖2，弦和弦是直徑兩側(cè)的緯線，連接、、、、、，的半徑為，記四邊形，，的面積依次為，，，若同時滿足下列兩個條件時，求的最大值（用含的式子表示）．①；②其中的一條緯線長不超過半徑．【答案】(1)見解析(2)1或7(3)【分析】（1）連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理即可證明；（2）作交于，則，連接，；根據(jù)勾股定理可得，，分類討論：當(dāng)弦和弦在圓心的同一側(cè)時；，即可求得；當(dāng)弦和弦在圓心的兩側(cè)時；，即可求得；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，，，分別求出，，，根據(jù)，可得，，故，根據(jù)勾股定理可得，令，故，分析該二次函數(shù)可得當(dāng)時，，即可求得．【詳解】（1）如圖，連接∵

和所對的弧相等（2）弦和弦都是的緯線，作交于，則，連接，

，，根據(jù)勾股定理可得，，分類討論：當(dāng)弦和弦在圓心的同一側(cè)時；當(dāng)弦和弦在圓心的兩側(cè)時；∴和的距離是1或7（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)

設(shè)，，，則，，即或若，則若，則則在中，則令則對稱軸為當(dāng)時【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)等，運(yùn)用分類討論思想和借助二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．25．（2023秋·廣東廣州·九年級廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谡叫沃?，邊長為點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，其中交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)如圖，①若時，求線段的長；②當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，求證：．(2)如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作所在的直線于點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)①；②見解析(2)【分析】（1）①由可證≌，可得，，即可求解；由可證≌，可得，，由可證≌，可得，由余角的性質(zhì)可求解；（2）先求的長，由可證≌，可得，則點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，有最小值，即可求解．【詳解】（1）解：①過點(diǎn)作直線于，是等腰直角三角形，，，，，，∴，，，，，又，是等腰直角三角形，；證明：如圖，延長至，使，連接，，，，∴，，，，，，又，∴，，，；（2）解：如圖，連接，，，，由（1）可知，，四邊形是正方形，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，又，∴，，點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓上，點(diǎn)在線段上時，有最小值，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．26．（2023·北京·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．對于直線l和線段，給出如下定義：若將線段關(guān)于直線l對稱，可以得到的弦(，分別是B，C的對應(yīng)點(diǎn))，則稱線段是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．例如，圖1中線段是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．

(1)如圖2，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①在線段，，中，以直線：為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”是；②在線段，，中，存在以直線：為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，求b的值；(2)已知直線：交x軸于點(diǎn)A．在中，，，若線段是以直線為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出m的最大值與最小值，以及相應(yīng)的的長．【答案】(1)①；②1或3(2)m的最大值為，；m的最小值為，．【分析】（1）①根據(jù)題中定義即可畫圖得出；②通過判斷直線，的最長的弦即直徑為4，可排除，，所以成為的弦，根據(jù)圓的對稱性，分兩種情況討論；（2）畫與關(guān)于直線：對稱，以點(diǎn)A為圓心，6為半徑畫，則與至少有一個交點(diǎn)，才能滿足題目條件，畫出圖形即可求出m的最大值和最小值，通過勾股定理即可求出．【詳解】（1）解：①如圖所示：

∴以直線：為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”是；②∵直線：與x軸夾角為，∴線段直線，∴線段關(guān)于直線的對稱線段還在直線上，不可能是的弦，∵的最長的弦即直徑為4，，∴線段的對稱線段不可能是的弦；∵線段直線，且，∴線段的對稱線段可以是的弦．線段的對稱線段，且．如圖，平移線段使之成為的弦，有兩種情況：

(ⅰ)，的坐標(biāo)分別為，，此時；(ⅱ)，的坐標(biāo)分別為，，此時．綜上所述，或3．（2）解：畫與關(guān)于直線：對稱，∵，以點(diǎn)A為圓心，6為半徑畫，則與至少有一個交點(diǎn)，才能滿足題目條件，∵與關(guān)于直線對稱，則與至少有一個交點(diǎn)，如圖所示，

此時m取得最小值；

此時m取得最大值；把代入直線：得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∵與至少有一個交點(diǎn)，∴，解得：，∴m的最大值為，m的最小值為；連接、、，過點(diǎn)C作，如圖所示，

∵，的半徑為2，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴；連接、、，過點(diǎn)C作如圖所示，

∵，的半徑為2，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了圓的幾何問題，難度較大，正確理解新定義和考慮到以點(diǎn)A為圓心，6為半徑畫，則與至少有一個交點(diǎn)，才能滿足題目條件，是關(guān)鍵．27．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于圖形M給出如下定義；將M上的一點(diǎn)變換為點(diǎn)，M上所有的點(diǎn)按上述變換后得到的點(diǎn)組成的圖形記為N，稱N為M的變換圖形．(1)①點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為______；②直線的變換圖形上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______；(2)求直線的變換圖形與y軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知⊙O的半徑為1，若的變換圖形與直線有公共點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)①；②；(2)；(3)且．【分析】（1）①按定義操作即可得出答案；②設(shè)直線的圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，然后按定義操作即可得出答案；（2）設(shè)直線的圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，求出該點(diǎn)的變換點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系求出直線的變換圖形的解析式即可得出答案；（3）設(shè)⊙O上點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，然后求出其變換點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，可得的變換圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，再根據(jù)直線恒過點(diǎn)，求出直線與的變換圖形相切時的k值即可．【詳解】（1）解：①按定義操作：，，∴點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；②設(shè)直線的圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，按定義操作：，∴直線的變換圖形上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：設(shè)直線的圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則該點(diǎn)的變換點(diǎn)坐標(biāo)為，令，得：，∴，當(dāng)時，，∴直線的變換圖形與y軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：設(shè)⊙O上點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵⊙O的半徑為1，∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，∴，∵⊙O上的點(diǎn)的變換點(diǎn)坐標(biāo)為，∴其變換點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：，∴的變換圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，又∵直線，∴直線恒過點(diǎn)，如圖，點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)直線與的變換圖形相切于點(diǎn)B時，可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴此時直線過點(diǎn)，∴，解得：，同理，當(dāng)直線與的變換圖形相切于x軸的下方時，可得，∴若的變換圖形與直線有公共點(diǎn)，k的取值范圍為且．

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，一次函數(shù)的應(yīng)用，圓的基本概念，切線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，勾股定理等知識，正確理解變換圖形的定義，能夠準(zhǔn)確表示出變換點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．28．（2023·江蘇鹽城·校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，我們稱直線為點(diǎn)的友好直線．例如，點(diǎn)的友好直線為．(1)已知點(diǎn)，①則點(diǎn)的友好直線為______；②若與點(diǎn)的友好直線相切，求的半徑；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)（原點(diǎn)除外），點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)是時，求點(diǎn)到點(diǎn)的友好直線的距離的最大值；②以為圓心，3為半徑作．在點(diǎn)運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)的友好直線與交于兩點(diǎn)時，的最小值為4，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)①點(diǎn)A的友好直線為；②的半徑為(2)①點(diǎn)到點(diǎn)的友好直線的距離最大值為；②點(diǎn)D的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)題意求出點(diǎn)A的友好直線，描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像，用面積相等法即可求出的半徑；（2）先求出直線的解析式，再設(shè)出點(diǎn)的友好直線，當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)N重合時，點(diǎn)到點(diǎn)的友好直線的距離最大，即可求解；當(dāng)N與重合時，最大，即可求解．【詳解】（1）解：①由題意可得：點(diǎn)A的友好直線為；②當(dāng)時，，當(dāng)時，，切點(diǎn)為E，如圖所示，

∴，，∴，即解得：，即的半徑為；（2）①解：由題意可得：設(shè)直線的解析式為，把、代入得：，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，則點(diǎn)的友好直線為，∴點(diǎn)的友好直線經(jīng)過定點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)O作直線的垂線，垂足為H，連接，

∴，∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)N重合時，最大，即點(diǎn)到點(diǎn)的友好直線的距離最大，∴點(diǎn)到點(diǎn)的友好直線的距離最大值為；②∵點(diǎn)，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)（原點(diǎn)除外），∴設(shè)，設(shè)直線的解析式為，把、代入得：，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，∴點(diǎn)的友好直線為，∴點(diǎn)的友好直線經(jīng)過定點(diǎn)，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)N，連接，則，如圖所示，

要想使最小，∵是定值，則最大，由①可得：當(dāng)N與重合時，最大，∵，則，解得：或；∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或；【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，兩點(diǎn)的距離公式，新定義，熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，理解定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．29．（2023春·江西贛州·八年級瑞金第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E在射線上運(yùn)動，將沿翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，連接交于點(diǎn)F．(1)【初步探究】當(dāng)點(diǎn)G落在邊上時，求的長；(2)【深入探究】在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在射線上運(yùn)動過程中，求長的最大值．【答案】(1)(2)在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，存在最小值，的最小值為(3)點(diǎn)在射線上運(yùn)動過程中，長的最大值為【分析】（1）由翻折得：，根據(jù)勾股定理可得，再由，即可求得答案；（2）以為圓心，長為半徑作，可得點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，最小，此時，，由勾股定理可得，即可求得的最小值為；（3）以為圓心，長為半徑作，延長至，使，連接，根據(jù)三角形中位線定理可得，則最大時，最大，由于點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，最大，即可求得答案．【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時，如圖1，四邊形是矩形，，，，由翻折得：，在中，，；（2）如圖2，以為圓心，長為半徑作，由翻折得：，點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，最小，此時，，在中，，，故在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，存在最小值，的最小值為；（3）如圖3，以為圓心，長為半徑作，延長至，使，連接，

，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，則最大時，最大，

由翻折得：，點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，最大，如圖4，在中，，，，故點(diǎn)在射線上運(yùn)動過程中，長的最大值為．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，圓的有關(guān)性質(zhì)，點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離的最大值和最小值的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形中位線定理和圓中的最值．30．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接，，．(1)當(dāng)時，求證：；(2)如圖3，當(dāng)時，延長交于點(diǎn)F，求的度數(shù)；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，探究的面積的是否存在最小值，若存在寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)和面積最小值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)存在；；面積的最小值為【分析】（1）利用“”證得即可得到結(jié)論；（2）先證明為等邊三角形，得出，由，得出，求出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可；（3）根據(jù)中，邊的長是定值，得出邊上的高取最小值時的面積有最小值，根據(jù)點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓上，根據(jù)垂線段最短，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)H時，點(diǎn)到的距離最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，利用三角形的面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵，，，在和中，，，；（2）解：∵，，∴為等邊三角形，∴，根據(jù)解析（1）可知，，∴，∴，∴，∴．（3）解：存在；；面積的最小值為；中，邊的長是定值，則邊上的高取最小值時的面積有最小值，∵，∴點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，以為半徑的圓上，∵垂線段最短，∴過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)H時，點(diǎn)到的距離最小，根據(jù)解析（2）可知，為等邊三角形，∴，，∵，，∴，，∴此時旋轉(zhuǎn)角，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂線段最短，勾股定理，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，正確尋找全等三角形，利用性質(zhì)求解．31．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察下圖，直線l1l2，點(diǎn)A，B在直線l2上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關(guān)系？請說明理由?！净A(chǔ)鞏固】如圖1，正方形內(nèi)接于，直徑，求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在半徑為5的中，，，，用含x的代數(shù)式表示；【拓展提高】如圖3，是的直徑，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作弦于點(diǎn)P，點(diǎn)F是上的點(diǎn)，且滿足，連接交于點(diǎn)E，若，，求的半徑．【答案】[教材呈現(xiàn)]：面積相等，理由見解析；[基礎(chǔ)鞏固]：；[嘗試應(yīng)用]：；[拓展提高]：6【分析】[教材呈現(xiàn)]根據(jù)平行線與三角形的面積公式解答即可；[基礎(chǔ)鞏固]連接，設(shè)的半徑為，利用正方形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形面積公式得，同理，，可得即可求出陰影面積與圓面積的比；[嘗試應(yīng)用]連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，由可得，得出，即可得，由可得，再由得出，從而可得，利用勾股定理求出，最后求得結(jié)果；[拓展提高]連接，先由垂徑定理得出，，從而可得，設(shè)，則，由勾股定理求出的長，最后求得結(jié)果．【詳解】∵，，，同底等高∴[基礎(chǔ)鞏固]連接∵∴同理，∴∴陰影面積與圓面積的比為；[嘗試應(yīng)用]連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H∵∴∴∴∵∴∴∴，∴，，，∴[拓展提高]連接∵為直徑，于點(diǎn)P∴，又∵∴∴，∴，設(shè)，則∵∴∴，∵∴∴∴∴∴，在中，，設(shè)半徑為r，則解得∴的半徑為6【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形的面積公式，垂徑定理、弧、弦、圓心角的關(guān)系及勾股定理等知識點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握兩條平行線之間的距離處處相等．32．（2023·河南開封·一模）劉老師在“矩形的折疊”活動課上引導(dǎo)學(xué)生對矩形紙片進(jìn)行折疊．如圖，將矩形紙片折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，將紙片展開，折痕為，在邊上找一點(diǎn)，沿將折疊，得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)問題提出：若點(diǎn)落在上，，連接．①是______三角形；②若是等邊三角形，則的長為______．(2)深入探究：在（1）的條件下，當(dāng)時，判斷的形狀并證明；(3)拓展延伸：若，，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)落在矩形內(nèi)部包括邊時，連接，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①等腰；②1(2)是等腰直角三角形，證明見解析(3)的取值范圍是【分析】（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得出垂直平分，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得出是等腰三角形；②由折疊得，若是等邊三角形，則，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，（2）由得，根據(jù)勾股定理的逆定理得出，證明是直角三角形，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（3）連接，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得出，即點(diǎn)在上運(yùn)動，連接、、，則，當(dāng)點(diǎn)落在矩形內(nèi)部包括邊時，則．【詳解】（1）如圖1，①將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，垂直平分，，是等腰三角形，故答案為：等腰．②由折疊得，若是等邊三角形，則，四邊形是矩形，，故答案為：．（2）是等腰直角三角形，證明：如圖，由得，∴，∵，∴∴，是直角三角形，，是等腰直角三角形．（3）如圖，連接，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)在上運(yùn)動，連接、、，則，，四邊形是矩形，，，，，當(dāng)點(diǎn)落在矩形內(nèi)部包括邊時，則，即，∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，圓外一點(diǎn)到圓的最值問題，軸對稱的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．33．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？寄M預(yù)測）為的直徑，為圓上一點(diǎn)，，垂足為，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，連接，，且．(1)如圖，求證：；(2)如圖，連接，求證：；(3)如圖，在（2）的條件下，連接并延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)5【分析】（1）連接，設(shè)，則，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出結(jié)論；（2）延長交圓于點(diǎn)，連接，結(jié)合題意可證得，可得，進(jìn)而再證得結(jié)論；（3）在上截取一點(diǎn)，使，作，先證出，再證得，，，再證，設(shè)，因此，，再利用勾股定理得出，進(jìn)而算出結(jié)論．【詳解】（1）連接，設(shè)，（2）延長交圓于點(diǎn)，連接，，是的直徑，，，，（3），而，，，，，，，在上截取一點(diǎn)，使，作，，設(shè)，因此，，，，（負(fù)根舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)與判定，勾股定理等知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造合適的三角形全等是解本題的關(guān)鍵．34．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）【問題思考】如圖1，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線，以為邊向右側(cè)作正方形，連接，直線與直線交于點(diǎn)P，則線段與之間的關(guān)系為______．【問題類比】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是正方形外的一點(diǎn)時，【問題思考】中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證