第08講中考熱點(diǎn)01二次函數(shù)與方程、不等式求參數(shù)范圍(原卷版+解析)

第08講中考熱點(diǎn)01二次函數(shù)與方程、不等式，求參數(shù)范圍一、解答題1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）在二次函數(shù)中，(1)若它的圖象過(guò)點(diǎn)，則t的值為多少？(2)當(dāng)時(shí)，y的最小值為，求出t的值：(3)如果都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．(1)當(dāng)時(shí)，求和的值；(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)求證：．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值8，求c的值．4．（2023·浙江寧波·?？既＃┤鐖D，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在該二次函數(shù)圖像上，當(dāng)時(shí)，n的最大值為，最小值為1，請(qǐng)根據(jù)圖像直接寫出m的取值范圍．5．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b，c是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)B．點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．(1)求此拋物線的解析式．(2)若時(shí)，，則d的取值范圍是______．(3)點(diǎn)P和點(diǎn)A之間（包括端點(diǎn)）的函數(shù)圖象稱為圖象G，當(dāng)圖象G的最大值和最小值差是5時(shí)，求m的值．6．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)(a是常數(shù))．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．(2)若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求證：．(3)已知函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，點(diǎn)，若對(duì)于任意的都滿足，求a的取值范圍．7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．8．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)．(1)二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于x軸上同一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)不是原點(diǎn)．①求證：；②若兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，求m的值．9．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學(xué)校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)和時(shí)，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等．(1)若該函數(shù)的最大值為，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若該函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求，的值．(3)記（2）中的拋物線為，將拋物線向上平移個(gè)單位得到拋物線，當(dāng)時(shí)，拋物線的最大值與最小值之差為，求的值．10．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)且．(1)當(dāng)，且時(shí)，①求，的值②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為，求的值；(2)若，求證：．11．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)（a，b為常數(shù)，）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸（結(jié)果用含a的代數(shù)式示）(2)若該函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)；①求函數(shù)的表達(dá)式，并求該函數(shù)的最值．②設(shè)是該二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)，其中是實(shí)數(shù)．若，求證：12．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)與x軸交于兩點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求m的值．(2)當(dāng)時(shí)，①求證：．②點(diǎn)在該拋物線上，且，試比較與的大?。?3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)求該拋物線的對(duì)稱軸（用含t的式子表示）；(2)若點(diǎn)，在拋物線上，試比較m，n的大?。?3)，是拋物線上的任意兩點(diǎn)，若對(duì)于且，都有，求t的取值范圍；(4)，是拋物線上的兩點(diǎn)，且均滿足，求t的最大值．14．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線存在兩點(diǎn)，．(1)求拋物線的對(duì)稱軸；（用含的式子表示）(2)記拋物線在，之間的部分為圖象（包括，兩點(diǎn)），軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若點(diǎn)也是拋物線上的點(diǎn)，記拋物線在，之間的部分為圖象（包括，兩點(diǎn)），記圖形上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為，若，求的取值范圍．二、填空題(共0分15．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）拋物線與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是___________________．16．（2020秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）拋物線y＝x2+8x﹣4與直線x＝﹣4的交點(diǎn)坐標(biāo)是______．17．（2023·安徽淮北·?？家荒＃┤魧?duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則一元二次方程的根是_________．18．（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）拋物線（為常數(shù)）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______．19．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)均在該圖象上，則；④若關(guān)于的方程的兩根都是整數(shù)，則這樣的值有3個(gè)．其中正確的結(jié)論有________（填序號(hào)）．三、單選題(共0分20．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)為二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)（不為頂點(diǎn)），則以下判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若：，則 D．若，則21．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，，（a，b為常數(shù)，且），則下列判斷正確的是（

）A．若，當(dāng)時(shí)，則 B．若，當(dāng)時(shí)，則C．若，當(dāng)時(shí)，則 D．若，當(dāng)時(shí)，則22．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，針對(duì)n的不同取值，存在點(diǎn)P的個(gè)數(shù)不同，甲乙兩位同學(xué)分別得到如下結(jié)論：甲：若P的個(gè)數(shù)為1，則；乙：若P的個(gè)數(shù)為2，則則下列判斷中正確的是（）A．甲正確，乙正確 B．甲正確，乙錯(cuò)誤C．甲錯(cuò)誤，乙正確 D．甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤23．（2023·浙江寧波·?？级＃┮阎c(diǎn)，在拋物線（m是常數(shù)）上．若，，則下列大小比較正確的是（

）A． B． C． D．24．（2023·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)．記，，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則25．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，下列結(jié)論中正確的序號(hào)是（

）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象總過(guò)定點(diǎn)：③當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度大于；④若函數(shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④26．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)，在拋物線上，存在正數(shù)，使得且時(shí)，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或27．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)，在拋物線上，存在正數(shù)m，使得且時(shí)，都有，則m的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或28．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，若，則下列表達(dá)式正確的是（

）A． B． C． D．29．（2022·浙江寧波·?？既＃┤鐖D，二次函數(shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸為直線，則下列說(shuō)法中正確的有（

）①；②；③；④；⑤方程其中一個(gè)解的取值范圍為．A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)

第08講中考熱點(diǎn)01二次函數(shù)與方程、不等式，求參數(shù)范圍一、解答題1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）在二次函數(shù)中，(1)若它的圖象過(guò)點(diǎn)，則t的值為多少？(2)當(dāng)時(shí)，y的最小值為，求出t的值：(3)如果都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將坐標(biāo)代入解析式，求解待定參數(shù)值；（2）確定拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)待定參數(shù)分類討論，若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，求得，若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，解得（不合題意，舍去）；（3）由關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得，且A在對(duì)稱軸左側(cè)，C在對(duì)稱軸右側(cè)；確定拋物線與y軸交點(diǎn)，此交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為；由且解得；分類討論：當(dāng)A，B都在對(duì)稱軸左邊時(shí)，，解得，當(dāng)A，B分別在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，，解得．【解析】（1）將代入中，得，解得，；（2）拋物線對(duì)稱軸為．若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，，解得．，若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，，解得（不合題意，舍去）綜上所述．（3）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且A在對(duì)稱軸左側(cè)，C在對(duì)稱軸右側(cè)拋物線與y軸交點(diǎn)為，拋物線對(duì)稱軸為直線，此交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為且，解得．當(dāng)A，B都在對(duì)稱軸左邊時(shí)，，解得，當(dāng)A，B分別在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)到對(duì)稱軸的距離大于A到對(duì)稱軸的距離，解得綜上所述或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、極值問題；存在待定參數(shù)的情況下，對(duì)可能情況作完備的分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．(1)當(dāng)時(shí)，求和的值；(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)求證：．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）由可得圖像過(guò)點(diǎn)和，然后代入解析式解方程組即可解答；（2）先確定函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線，則拋物線過(guò)點(diǎn)，即，然后再結(jié)合即可解答；（3）根據(jù)圖像的對(duì)稱性得，即，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；將點(diǎn)和分別代入表達(dá)式并進(jìn)行運(yùn)算可得；則，進(jìn)而得到，然后化簡(jiǎn)變形即可證明結(jié)論．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，圖像過(guò)點(diǎn)和，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)和，∴函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．∵圖像過(guò)點(diǎn)，∴根據(jù)圖像的對(duì)稱性得．∵，∴．（3）解：∵圖像過(guò)點(diǎn)和，∴根據(jù)圖像的對(duì)稱性得．∴，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．將點(diǎn)和分別代人表達(dá)式可得①②得，∴．∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對(duì)稱性、解不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件得到，，，，進(jìn)而求解即可；（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，開口向下，分、、三種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）解：當(dāng)，時(shí)，，∴當(dāng)，時(shí)，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，則，∵該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，開口向下，∵，∴當(dāng)即時(shí)，該函數(shù)的最大值為，即，解得，，不合題意，舍去；當(dāng)即時(shí)，時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為，不合題意，舍去；當(dāng)即時(shí)，時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為，解得，符合題意，綜上，滿足條件的c的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用分類討論思想求解第（3）問是解答的關(guān)鍵．4．（2023·浙江寧波·?？既＃┤鐖D，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在該二次函數(shù)圖像上，當(dāng)時(shí)，n的最大值為，最小值為1，請(qǐng)根據(jù)圖像直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)該二次函數(shù)表達(dá)式；頂點(diǎn)坐標(biāo)：(2)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）把代入拋物線解析式求得對(duì)應(yīng)的x的值，再根據(jù)函數(shù)最大值和最小值，即可得答案．【解析】（1）解：二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，，解得，該二次函數(shù)為，，頂點(diǎn)為；（2）讓，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，n的最大值為，最小值為，．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b，c是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)B．點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．(1)求此拋物線的解析式．(2)若時(shí)，，則d的取值范圍是______．(3)點(diǎn)P和點(diǎn)A之間（包括端點(diǎn)）的函數(shù)圖象稱為圖象G，當(dāng)圖象G的最大值和最小值差是5時(shí)，求m的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出函數(shù)的最小值為，把代入求出，，根據(jù)時(shí)，，得出時(shí)，函數(shù)能夠取到最小值，從而得出d的取值范圍；（3）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)的右側(cè)，即時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)與點(diǎn)A之間，即時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，即時(shí)，分別求出m的值即可．【解析】（1）解：把點(diǎn)，點(diǎn)B，代入拋物線得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴的最小值為，把代入得，解得：，，∵時(shí)，，∴時(shí)，函數(shù)能夠取到最小值，∴；故答案為：．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)的右側(cè)，即時(shí)，

此時(shí)函數(shù)能夠取到最小值，∵圖象G的最大值和最小值差是5，∴此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，把代入得，，解得：或（舍去）；當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)與點(diǎn)A之間時(shí)，即，圖象G的最大值和最小值差不可能是5；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，即時(shí)，

此時(shí)函數(shù)的最小值為0，∵圖象G的最大值和最小值差是5，∴此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，把代入得，，解得：或（舍去）；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求拋物線的解析式，拋物線的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．6．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)(a是常數(shù))．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．(2)若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求證：．(3)已知函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，點(diǎn)，若對(duì)于任意的都滿足，求a的取值范圍．【答案】(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸為直線(2)見解析(3)或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可求頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸；（2）將，，代入得，，，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（3）由題意知，二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，則在對(duì)稱軸右側(cè)，由對(duì)于任意的都滿足，則點(diǎn)A，B，C存在如下情況：情況1，如圖1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及，列不等式，，求解集即可；情況2，如圖2，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，；，分別求解滿足要求的解集即可．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸為直線；（2）證明：將，，代入得，，，∴，∴；（3）解：由題意知，二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，則在對(duì)稱軸右側(cè)，∵對(duì)于任意的都滿足，∴點(diǎn)A，B，C存在如下情況：情況1，如圖1，

由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，解得，，解得，∴；情況2，如圖2，

由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，解得，又∵，，解得或，∴；綜上所述，a的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合．7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出函數(shù)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則，且在函數(shù)的圖象上，由此把代入解析式中求出k的值即可；②先求出拋物線的對(duì)稱軸在定點(diǎn)的左側(cè)，再結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值要大于等于二次函數(shù)的函數(shù)值，由此建立不等式求解即可．【解析】（1）解：把代入中得：，解得，∴；（2）解：①在中，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，∵函數(shù)的圖象始終經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)M，∴，且在函數(shù)的圖象上，∴，∴；②∵，拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴拋物線的對(duì)稱軸在定點(diǎn)的左側(cè)，由①得，∵，當(dāng)時(shí)，總有，∴如圖所示，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值要大于等于二次函數(shù)的函數(shù)值∴

∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．8．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)．(1)二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于x軸上同一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)不是原點(diǎn)．①求證：；②若兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，求m的值．【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為；(2)①證明見解析，②【分析】（1）待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式即可．（2）①先求出二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入一次函數(shù)，即可得出結(jié)論；②求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入一次函數(shù)即可得出結(jié)果．【解析】（1）解：∵二次函數(shù)過(guò)，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，得，∴；∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）①∵當(dāng)時(shí)，解得：，∴二次函數(shù)與x軸交于和點(diǎn)，又一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于x軸上同一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)不是原點(diǎn)，∴一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，∴，∴；②∵，∴，∵兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，∴過(guò)，∴∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學(xué)校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)和時(shí)，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等．(1)若該函數(shù)的最大值為，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若該函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求，的值．(3)記（2）中的拋物線為，將拋物線向上平移個(gè)單位得到拋物線，當(dāng)時(shí)，拋物線的最大值與最小值之差為，求的值．【答案】(1)，；(2)，；(3)．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)稱軸即可解答；（2）根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；（3）根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【解析】（1）解：∵當(dāng)和時(shí)，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，，∵該函數(shù)的最大值為，∴該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴由①②可得：，∴函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：∵該函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴一元二次方程，該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，∴由①②可得（舍去），，∴，；（3）解：由（2）可得的解析式為：，∵將拋物線向上平移個(gè)單位得到拋物線，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∵的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且當(dāng)時(shí)，拋物線的最大值與最小值之差為，∴，隨的增大而增大，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)且．(1)當(dāng)，且時(shí)，①求，的值②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為，求的值；(2)若，求證：．【答案】(1)①，；②或(2)見解析【分析】（1）①依題意，，解方程組即可求解；②根據(jù)①得出解析式，對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而分，，，三種情況求得最小值，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求解；（2）由題意得：，，將代入，得出

，得出，代入得，進(jìn)而，即可得證．【解析】（1）解：①依題意，解得，②若，即，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）或；若，即，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）；若，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）或；綜上所述：或．（2）∵，

∴

∴由題意得：，，∴，∴

∴∵∴即∴把，代入得；∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)（a，b為常數(shù)，）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸（結(jié)果用含a的代數(shù)式示）(2)若該函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)；①求函數(shù)的表達(dá)式，并求該函數(shù)的最值．②設(shè)是該二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)，其中是實(shí)數(shù)．若，求證：【答案】(1)(2)①，最大值為3；②見解析【分析】（1）首先將點(diǎn)代入表達(dá)式，然后利用對(duì)稱軸公式求解即可；（2）①將點(diǎn)代入求出函數(shù)的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求出該函數(shù)的最值；②首先根據(jù)得到，然后表示出利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）將點(diǎn)代入得，，∴，∴二次函數(shù)，∴對(duì)稱軸為；（2）①將代入得，，∴解得，∴二次函數(shù)，∴，∵，∴拋物線開口向下，∴該函數(shù)的最大值為3；②∵∴，∴∵，∴的最大值為，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)對(duì)稱性求對(duì)稱軸，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)與x軸交于兩點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求m的值．(2)當(dāng)時(shí)，①求證：．②點(diǎn)在該拋物線上，且，試比較與的大?。敬鸢浮?1)；(2)①見解析；（2）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，把代入求得，得到，把代入得，，解方程即可得到答案；（2）①把代入得，，由得到，進(jìn)一步得，則，由解方程求出m，即可判斷．②由①得，，則，把代入得，，則，由，得到,，進(jìn)一步即可得到答案．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，把代入得，，解得，∴，把代入得，，解得或；∵二次函數(shù)與x軸交于兩點(diǎn)，∴；（2）①把代入得，，，∵，∴，，由得到，則，∴，∴（舍去），，∵∴．②由①得，，∴，把代入得，，，∴，∵，∴,∵∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次方程、比較函數(shù)值大小等知識(shí)，讀懂題意并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)求該拋物線的對(duì)稱軸（用含t的式子表示）；(2)若點(diǎn)，在拋物線上，試比較m，n的大?。?3)，是拋物線上的任意兩點(diǎn)，若對(duì)于且，都有，求t的取值范圍；(4)，是拋物線上的兩點(diǎn)，且均滿足，求t的最大值．【答案】(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線；(2)；(3)；(4)t的最大值為5．【分析】（1）把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可判斷；（3）分3種情況求解即可；（4）分兩種情況討論，根據(jù)題意列出關(guān)于t的不等式，解不等式即可解決問題．【解析】（1）解：∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線；（2）解：∵點(diǎn)，在拋物線上，∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，又∵，，，∴點(diǎn)離拋物線的對(duì)稱軸距離較大，∴；（3）解：∵拋物線的開口向上，∴離拋物線的對(duì)稱軸距離較大，函數(shù)值越大．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意得，，解得，∴時(shí)，都有；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，都有．綜上，當(dāng)時(shí)，都有．（4）解：∵拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，∵，①當(dāng)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸的右側(cè)或在對(duì)稱軸上，且在點(diǎn)P的左側(cè)或與點(diǎn)P重合時(shí)滿足條件，∴且，解得；②當(dāng)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸的左側(cè)，且點(diǎn)Q到拋物線對(duì)稱軸的距離小于或等于點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離時(shí)滿足條件，∴，，解得，綜上所述：當(dāng)時(shí)，滿足題意．∴t的最大值為5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線存在兩點(diǎn)，．(1)求拋物線的對(duì)稱軸；（用含的式子表示）(2)記拋物線在，之間的部分為圖象（包括，兩點(diǎn)），軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若點(diǎn)也是拋物線上的點(diǎn)，記拋物線在，之間的部分為圖象（包括，兩點(diǎn)），記圖形上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可得解；（2）將，代入解析式，求出，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可；（3）分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)；點(diǎn)的右側(cè)，對(duì)稱軸的左側(cè)；以及對(duì)稱軸的右側(cè)，結(jié)合圖象進(jìn)行分類討論求解即可．【解析】（1）解：，∴對(duì)稱軸為：；（2）解：由可知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，當(dāng)時(shí)：，當(dāng)時(shí)：，∴，∵，∴過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線：，如圖：由圖象可知：當(dāng)或時(shí)，直線與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴的取值范圍為：或；（3）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴①當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)，即：，時(shí)：在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨的增大而減小，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小，∴，解得：或（舍掉）；②當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)，對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，此時(shí)，不符合題意；③當(dāng)對(duì)稱軸的右側(cè)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，拋物線的頂點(diǎn)處的縱坐標(biāo)最?。翰环项}意；③當(dāng)對(duì)稱軸的右側(cè)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，拋物線的頂點(diǎn)處的縱坐標(biāo)最小，∴，解得：（舍），或；∴；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．二、填空題(共0分15．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）拋物線與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是___________________．【答案】且【分析】直接利用根的判別式進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合，即可得到答案．【解析】解：∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，∴k的取值范圍是且；故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)的問題，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式求參數(shù)的取值范圍．16．（2020秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）拋物線y＝x2+8x﹣4與直線x＝﹣4的交點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】（﹣4，﹣20）【解析】解：∵當(dāng)x=-4時(shí)，y=（-4）2+8×（-4）-4=-20，∴拋物線y=x2+8x-4與直線x=-4的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-4，-20）．故答案為（-4，-20）．17．（2023·安徽淮北·?？家荒＃┤魧?duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則一元二次方程的根是_________．【答案】，【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出的對(duì)稱點(diǎn)，即可得到答案；【解析】解：∵對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是：，即，∴方程的根是，，故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性求出對(duì)稱點(diǎn)．18．（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）拋物線（為常數(shù)）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______．【答案】3個(gè)【分析】先令y=0，得出關(guān)于x的一元二次方程，由△＞0得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)．【解析】解：∵拋物線y=2x2+2（k-1）x-k（k為常數(shù)），∴當(dāng)y=0時(shí)，0=2x2+2（k-1）x-k，∴△=[2（k-1）]2-4×2×（-k）=4k2+4＞0，∴0=2x2+2（k-1）x-k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴拋物線y=2x2+2（k-1）x-k（k為常數(shù)）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴拋物線y=2x2+2（k-1）x-k（k為常數(shù)）與y軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以，拋物線（為常數(shù)）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)有3個(gè)，故答案為：3個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x、y軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．19．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)均在該圖象上，則；④若關(guān)于的方程的兩根都是整數(shù)，則這樣的值有3個(gè)．其中正確的結(jié)論有________（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】根據(jù)圖象對(duì)稱軸為直線，可得；可判斷①；設(shè)，可得，再由，可得當(dāng)時(shí)，w取得最大值，最大值為a，可判斷②；根據(jù)，可得，可判斷③；根據(jù)題意可得關(guān)于的方程的根即為拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可判斷④，即可．【解析】解：①∵圖象對(duì)稱軸為直線，∴，∴即，故①正確；②設(shè)，∴，∵二次函數(shù)的圖象開口向下，∴，∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值，最大值為a，∴當(dāng)時(shí)，，故②正確；③∵點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)均在該圖象上，且，∴，故③正確；④∵圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，∴拋物線的解析式為，∴關(guān)于的方程的根即為拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴當(dāng)且拋物線與直線的有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，這樣的點(diǎn)P有1個(gè)，∴關(guān)于的方程的兩根都是整數(shù)，則這樣的值有1個(gè)，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、單選題(共0分20．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)為二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)（不為頂點(diǎn)），則以下判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若：，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【解析】解：∵，，對(duì)稱軸為軸，∴在軸左側(cè)，隨的增大而增大，在軸右側(cè)，隨的增大而減小，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越??；A、，不一定大于，例如時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，但是；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、，不一定小于，例如時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，但是；故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C、當(dāng)，不一定大于，例如時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，但是；故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D、當(dāng)，即：，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；故選項(xiàng)D正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．本題可以利用特殊值法進(jìn)行排除，進(jìn)行判斷．21．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，，（a，b為常數(shù)，且），則下列判斷正確的是（

）A．若，當(dāng)時(shí)，則 B．若，當(dāng)時(shí)，則C．若，當(dāng)時(shí)，則 D．若，當(dāng)時(shí)，則【答案】B【分析】先計(jì)算，再根據(jù)各選項(xiàng)給定的條件逐一分析即可得到答案．【解析】解：∵，，∴，，，∴，∴；∴；故A不符合題意；∵，，∴，，，∴；∴；故B符合題意；∵，，∴，，，∴；∴；故C不符合題意；∵，，∴，，，∴可以比0大，也可以比0??；∴，的大小不確定；故D不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的函數(shù)值的大小比較，因式分解的應(yīng)用，熟練的利用作差的方法比較大小是解本題的關(guān)鍵．22．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，針對(duì)n的不同取值，存在點(diǎn)P的個(gè)數(shù)不同，甲乙兩位同學(xué)分別得到如下結(jié)論：甲：若P的個(gè)數(shù)為1，則；乙：若P的個(gè)數(shù)為2，則則下列判斷中正確的是（）A．甲正確，乙正確 B．甲正確，乙錯(cuò)誤C．甲錯(cuò)誤，乙正確 D．甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)時(shí)，P的個(gè)數(shù)為1，當(dāng)不是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)時(shí)，P的個(gè)數(shù)為2，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，只有1個(gè)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2；∴甲正確，乙錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握拋物線的對(duì)稱性，是解題的關(guān)鍵．23．（2023·浙江寧波·?？级＃┮阎c(diǎn)，在拋物線（m是常數(shù)）上．若，，則下列大小比較正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，有最大值為，對(duì)稱軸為直線，根據(jù)，，設(shè)的對(duì)稱點(diǎn)為，得出，則在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，．【解析】解：∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，∴拋物線開口向下，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，設(shè)的對(duì)稱點(diǎn)為，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)的圖象為拋物線，則拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；當(dāng)，拋物線開口向下；對(duì)稱軸為直線，在對(duì)稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減小．24．（2023·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)．記，，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)題意求出m和n，再計(jì)算，再分別分析各選項(xiàng)即可得出真命題．【解析】解：由題意可得：∴，若，則，∴或，故A是假命題；若，則，∴，故B是假命題；若，則，故C為真命題；若，則，即，故D為假命題，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，最值，解題的關(guān)鍵是將對(duì)應(yīng)點(diǎn)代入，計(jì)算并化簡(jiǎn)得到．25．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，下列結(jié)論中正確的序號(hào)是（

）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象總過(guò)定點(diǎn)：③當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度大于；④若函數(shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷①；當(dāng)m≠0時(shí)，二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的值與m無(wú)關(guān)，求出x的值，即可得到定點(diǎn)，即可判斷②；求出，函數(shù)圖象在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度大于；即可判斷③；當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為，則拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，只有當(dāng)對(duì)稱軸在右側(cè)時(shí)，y才隨x的增大而減小，即成立，即可判斷④．【解析】解：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，此時(shí)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故①正確；當(dāng)m≠0時(shí)，二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的