高中物理競賽及自主招生考試機械能

高中物理競賽機械能專題

一、復習基礎知識點

一、考點內(nèi)容

1.功，功率；動能，動能定理

2.重力勢能，重力做功與重力勢能改變的關系；彈性勢能

3.功和能，動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化

4.機械能守恒定律及簡單應用

二、知識結(jié)構(gòu)

1故功的兩個必要因素

功某一恒力做功的公式

、合力做功的求解：定義式；動能定理

"物理意義

基本概念功率平均功率的計算：P=—=FV

t

機械能、瞬時功率的計算:P=/Vsin。

動能

重力勢能：表達式；重力做功與重力勢能改變的關系

勢能

彈性勢能

動能定理：2

W=^-mv2-mv^=AEK

基本規(guī)律

〔機械能守恒定律：內(nèi)容條件；公式

三、復習思路

功和能是兩個重要的概念，它們在力學乃至整個物理學中都占有重要地

位。逐步加深理解功和能的概念，以及功和能的關系，是學習本單元的基本

線索，結(jié)合具體問題逐步理解這一線索，將有助于今后從能量的觀點學習其

他部分的知識。這一單元可視為牛頓力學的進一步展開，通過引入功和能的

概念，在牛頓運動定律的基礎上，得出有關能的規(guī)律，特別是機械能守恒定

律，使人們對自然的認識更加深入，并為解決力學問題開辟了新的途徑。但

同學們往往習慣于運用牛頓運動定律和運動學知識，以為這樣具體可信，而

不習慣于用能量的觀點和守恒的觀點來分析。因此通過學習本單元知識要學

會從功和能的途徑來探究機械運動的規(guī)律，豐富、擴充解決機械運動的方法。

在運用動能定理、機械能守恒定律等規(guī)律時，首先要掌握定律成立的條件，

定律所反映的物理內(nèi)容及對應的物理過程，只有這樣才能熟練地正確地使用

這些定律解決有關問題。

四、配套訓練（單項選擇題）

1.一物體作變速運動時，以下說法中正確的是：

A、物體所受合外力一定不為零B、合外力一定對物體做功，物體動能

一定改變

C、物體可能處于（共點力的）平衡狀態(tài)

D、合外力可能對物體不做功,但物體動能一定改變

2.物體受到兩個互相垂直的作用力而運動，已知力G做功12J,物體克

服力B做功16J,則力片、工的合力對物體做功為：A、28JB、20JC、

4JD、-4J

如圖所示，質(zhì)量為機的小球用長L的細線懸掛而靜止在豎

直位置。在下列三種情況下，分別用水平拉力R將小球拉到細

線與豎直方向成夕角的位置。在此過程中，用如下兩種方式來

拉，拉力R做的功是：

3.用R緩慢地拉時

A、FLcosAB、F￡sin6?

C、fz（l-cos^）D、mgL（l-cos3）

4.R為恒力時：

A、FLcos。B、FLsin。

C、EL（l-cos6＞）D、mgL（l-cos0）

5.（2002年全國高考理綜）質(zhì)點所受的力F隨時

間變化的規(guī)律如圖所示，力的方向始終在一直線上。

已知t=0時質(zhì)點的速度為零。在圖示tl、t2、t3和t4

各時刻中，哪一時刻質(zhì)點的動能最大：

A、tlB、t2C、t3D、t4

6.質(zhì)量為加的物體，從地面上方高〃處無初速度釋放，不計空氣阻力,

落在地面后，出現(xiàn)一個深度為//的坑。在此過程中的有關描述不正確的是:

A、重力對物體做功為mgHB、物體重力勢能減少了7咫（"+〃）

C、外力對物體做的總功為零D、地面對物體的平均阻力為mg("+〃)/〃

7.跳傘運動員在剛跳離飛機、其降落傘尚未打開的一段時間內(nèi)，下列說法正

確的是：

A、空氣阻力做正功B、重力勢能增加

C、動能減少D、空氣阻力做負功

8.跳高運動在如右圖所示的四種過桿姿勢中，重心最能接近甚至低于橫桿的

是:

9.一質(zhì)量分布均勻的不可伸長的繩索重為G,A、B兩i---------

在水平天花板上，如圖所示，今在繩的最低點C施加一豎直廬

力F將緩慢繩繃直，在此過程中：

A、力F對繩索做負功B、繩索的重心降低IF

C、繩索的重力勢能減少D、繩索的機械能增加

10.(2005年廣州一摸大綜合)面臨石油資源枯竭、石油價格高企的大環(huán)

境，氫作為一種清潔能源，正日益受到重視.一種設想是利用太陽能使水分

解得到氫氣，然后以氫代替汽油作為汽車能源，許多汽車廠商正努力研究生

產(chǎn)21世紀的“環(huán)?！毙滦推?某公司設計了一種汽車，質(zhì)量為6000kg,最

大輸出功率為60kW,在水平公路上行駛時阻力是車重的0.05倍(g取10m/

s2).

(1)設此汽車發(fā)動機的效率為30%,以最大輸出功率行駛1.5X10%,需要

多少千克的氫氣作為燃料？已知單位質(zhì)量的氫氣完全燃燒放熱q=241.8kJ/

mol(結(jié)果保留一位小數(shù))

(2)若汽車在水平公路上以a=0.5m/s?的加速度從靜止啟動，最多可以勻加速

運動多長時間?這段時間內(nèi)最大行駛速度可達到多少？

11.一把質(zhì)量為機的剁骨刀，刀刃呈楔形，夾角約為29,刀刃尖端的

厚度大約d,某人用此刀要將防于案板上的骨頭剁開，先將刀舉起s,然后

用力向下剁去，刀在下落過程中，此人作用于刀的平均力約為P，不計空氣

阻力。用有關符號表示以下待求量：

(1)、刀在下落過程中，假設作勻加速下降，設刀的加速度大小為a,

則刀下落的時間為o

(2)、刀在碰到骨頭時的速度大小為；人對刀做功

為。

(3)、若刀從接觸骨頭到將骨頭剁開所需的時間為?則刀受到骨頭的平

均作用力0(設該過程為勻變速直線運動)

(4)、在刀剁開骨頭時，刀刃的側(cè)面對骨頭產(chǎn)生的作用力為0

(5)、與刀刃接觸處的骨頭寬約為I,則刀刃產(chǎn)生的壓強為0

12.鐵路提速，要解決許多技術(shù)問題。通常，列車阻力與速度平方成正

比，即￡=&2,k為阻力系數(shù)為定值。列車要跑得快，須用大功率的機車來牽

引。若列車以72km/h的速度勻速行駛時，機車的輸出功率為2.4X106W,現(xiàn)

將列車提速到108km/h勻速行駛，則機動車功率要增加瓦？

二、從高考(X科)到初賽要求知識要點分析

(一)關于功的概念

當物體在力的作用下，沿力的方向移動了一段位移時，我們就說該力對物

體做了功。其定義式是"=Fscosa

功是力在空間的積累效應。因此，功是指力做功。應用時應該把力對物體做

功與物體對物體做功區(qū)分開。例如:正在沿平良軌道

勻速行駛的車廂內(nèi)，一個入用力F推車廂，如圖所示。

若問當車廂發(fā)生位移S的過程中，力F是否對車廂做

了功？

這本是一個不太復雜的問題，但仍有人會說力F

對車廂沒有做功.原因就是混淆了力做功與人做功。

從功的定義看，力尸作用在車廂上，其作用點發(fā)生了位移

5,且位移的方向與力F的方向相同（夾角為0°）.那么，力F對

車廂做功Wh^Fs.

但是，車廂里的人對車廂的作用力不只是力尸一個，同時

還有豎直向下的壓力N，水平向左的靜摩擦力/.其中除r力F

對車廂做正功外，彈力N與位移s方向垂直，而不做功；而摩擦

力/則對車廂做負功卬/=一6，因此，此人對車廂做功為

W=-+W/+WN=（尸一八

又因為「'=/（從人受力平衡可得出）.則印=0.

從公式W=Fscosa還應看出，這一定義式只適用于恒力做

功的情況.即要求力F是大小和方向都不變化的恒力?

這一點可用一個有趣的“驢拉磨”問題來說明?若問拉磨轉(zhuǎn)

一周，對磨做功多少?有人會說:為零;若改問轉(zhuǎn)半圈做功多少?

再轉(zhuǎn)半圈又做功多少？不用【可答，就已經(jīng)看由前面回答為岑是錯

誤的.其錯誤原因，就是沒有注意到驢拉磨的力因方向不斷變

化，而不是恒力，即使力的大小不變，也是變力.不能套用只適用

廣恒力做功的公式：卬=Fscosa.

按功的定義，布些變力功也可以用初等數(shù)學的方法來if?算?

設上述驢拉磨的力為八做半徑為R的勻速圓周運動?若

把整個圓周分割成許多足夠小的小段，對于足夠小的圓弧，其弧

長與對應的弦長值幾乎相等.所以對應每小段弧長Av,.,力廠做

功可用W,=44,來計算.積累起來就是

W=產(chǎn)&）+F&2+尸+…

轉(zhuǎn)1周，則W=F2nR

彈簧的彈力做功問題也是變力的實例?

例一個倔強系數(shù)為K的輕質(zhì)彈簧，一端固定，另一端連

接一個物體，放在光滑水平面上，。點為其平衡位置，如圖

所示.現(xiàn)拉物體使彈簧伸長1后，由

崢止釋放物體，待物體返回平衡位4r-i

國的過程中，計算這一過程彈簧彈(吠//尸

力對物體所做的功.°

苜先應認識到在物體返回o國…

點的過程中，彈簧對物體的彈力是不斷變化的.不能簡單地套用

W=〃scosa來計算彈力所做的功.但是，卻可采用卜面兩種方

法來計算功的大小.

方法一由「彈簧對物體所施的力的大小，遵循胡克定律.

即跟彈簧的形變量成正比.

F=kx

所以，在物體返回平衡位置的過程

中，彈力隨力的減小成線性變化,

所以可用其平均力

0H1工2

『=(乩r+0)/2

來計算.于是有圖4-3

W—F.z--^kjcz

方法二若把W^Fscosa)|]

圖4-3所示的圖線來表示，圖中

八一與等于物體在力的方向發(fā)生

的位移大小S,即5=(12—6)?則

發(fā)生位移5,力F所做的功可用圖

線所圍的面積大小來計算：

依照胡克定律丘，力夕隨圖4-4

從。點作為起點的位移大小的變化圖線，如圖4-4所示.不難看

出，力歹對物體所做的功，也可以用圖線所圍的面積大小來表

示：即：W=-kx2

2

關于功的概念，一對作用力和反作用力的功的理解。

物體間的作用力和反作用力，遵循牛頓第三定律，它們大小相等、方向相反。

那么，一對作用力和反作用力若各自對對方的物體做功，它們之間有什么確定

的關系嗎?是否也是大小相等,而且是一正一負呢?請看下面幾個實際的例子：

例：如圖所示，長木板置于光滑水平面上，-一個質(zhì)量為用的物體以水平速度進

入木板的上表面。進入后，物體受與其運動方向相反

--V.

的摩擦力f,木板受物體給的摩擦力/1(=-7)而開小巧|

始做勻加速運動。但是只要物體的速度大于木板的

速度,物體與木板之間就會發(fā)生相對運動，以上過程就會繼續(xù)下去，直到它們的

速度相同為止。這過程中物體對木板的摩擦力做正功，而木板對物體的摩擦力

對物體做負功。而且這兩個功的大小也不相等。

(-)機車起動的兩種過程

(1)一恒定的功率起動

機車以恒定的功率起動后，若運動過程所受阻力f不變，由于牽引力F=P/v隨

v增大,F減小.根據(jù)牛頓第二定律a=(F-f)/m=P/mv-f/m,當速度v增大時,加速

度a減小，其運動情況是做加速度減小的加速運動。直至F=F'時,a減小至零,

此后速度不再增大，速度達到最大值而做勻速運動，做勻速直線運動的速度

是

v尸P/f,下面是這個動態(tài)過程的簡單方框圖

變加速直線運動勻速直線運動

這一過程的v-t關系如圖所示

(2)車以恒定的加速度起動

由a=(F-f)/m知，當加速度a不變時，發(fā)動機牽引力F恒定，再由P=F?v知,F—

定，發(fā)動機實際輸出功P隨v的增大而增大，但當增大到額定功率以后不再增

大，此后，發(fā)動機保持額定功率不變，繼續(xù)增大，牽引力減小，直至F=f時,a=0，車速

達到最大值Vm=P額/f,此后勻速運動

在P增至P額之前，車勻加速運動,其持續(xù)時間為

to=vo/a=P額/F,a=P額/(ma+F')a

(這個VO必定小于Vm,它是車的功率增至P額之時的瞬時速度)計算時，先計算出

F,FF=ma，再求出v=P額/F,最后根據(jù)v=at求t

在P增至P額之后，為加速度減小的加速運動，直至達到Vm.下面是這個動態(tài)過程

的方框圖.

勻加速直線運動變加速直線運動

一點在計算題目中極易出錯。

實際上，飛機，輪船，火車等交通工具的最大行駛速度受到自身發(fā)動機額定功率

P和運動阻力f兩個因素的共同制約，其中運動阻力既包括摩擦阻力，也包括空

氣阻力，而且阻力會隨著運動速度的增大而增大.因此，要提高各種交通工具的

最大行駛速度，除想辦法提高發(fā)動機的額定功率外,還要想辦法減小運動阻力,

汽車等交通工具外型的流線型設計不僅為了美觀，更是出于減小運動阻力的考

慮.

［例］一汽車的額定功率為Po=lOOKW,質(zhì)量為m=10X103,設阻力恒為車重的

0.4倍，取

1、若汽車以額定功率起①所達到的最大速度Vm②當速度v=lm/s時，汽車加速

度為少?③加速度a=5m/s2時，汽車速度為多少?gEOm*

2、若汽車以的加速度a=0.5m/s2起動，求其勻加速運動的最長時間？

［思路分析］1.①汽車以額定功率起動，達到最大速度時，阻力與牽引力相等，依題,

所以vm=Po/F=PO/f=Po/0.1mg=10m/s

②汽車速度Vi=lm/s時,汽車牽引力為Fi

Fi=Po/vi==lX105N

汽車加速度為ai

ai=(Fi-O.lmg)/m=90m/s2

2

③汽車加速度a2=5m/s時，汽車牽引力為F2

F2-O.Img=ma2F2=6X104N

汽車速度V2=Po/F2=1.67m/s

2、汽車勻加速起動時的牽引力為：

F=ma+f=ma+O.lmg=(10X103X0.5+10X103X10)N=1.5X104N

達到額定功率時的速度為:％=P額/F=6.7m/s

%即為勻加速運動的末速度，故做勻加速運動的最長時間

為:t=vt/a=6.7/0.5=13.3s

［總結(jié)］⑴機車起動過程中，發(fā)動機的功率指牽引力的功率，發(fā)動機的額定功

率指的是該機器正常工作時的最大輸出功率，實際輸出功率可在零和額定值之

間取值.所以，汽車做勻加速運動的時間是受額定功率限制的.

⑵飛機、輪船、汽車等交通工具勻速行駛的最大速度受額定功率的限制，所以

要提高最大速度,必須提高發(fā)動機的額定功率，這就是高速火車和汽車需要大

功率發(fā)動機的原因.此外，要盡可能減小阻力.

⑶本題涉及兩個最大速度:一個是以恒定功率起動的最大速度V1,另一個是勻

加速運動的最大速度V2,事實上，汽車以勻加速起動的過程中，在勻加速運動后

還可以做加速度減小的運動，由此可知,V2>V1

［變式訓練］汽車發(fā)動機的額定功率為60kw,汽車質(zhì)量為5t,運動中所受阻力的

大小恒為車重的0.1倍.

(1)若汽車以恒定功率啟動，汽車所能達到的最大速度是多少?當汽車以5m/s

時的加速度多大？

(2)若汽車以恒定加速度0.5m/s2啟動，則這一過程能維持多長時間?這一過

程中發(fā)動機的牽引力做功多少？

［答案］(l)12m/s,1.4m/s2(2)16s,4.8X105J

（三）勢能

1.由物體間的相互作用和物體間的相對位置決定的能量叫做勢能.如重力勢

能、彈性勢能、分子勢能、電勢能等.

2.重力勢能

（1）物體由于受到重力作用而具有重力勢能.一個質(zhì)量為力的物體，被舉高

到高度為力處，具有的重力勢能為：E°=mgh.

（2）重力勢能是相對的，重力勢能表達式中的人是物體的重心到參考平面（零

重力勢能面）的高度.若物體在參考平面以上，則重力勢能為正；若物體在參

考平面以下，則重力勢能為負值.通常選擇地面作為零重力勢能面.

我們所關心的往往不是物體具有多少重力勢能，而是重力勢能的變化量.重力

勢能的變化量與零重力勢能面的選取無關.

（3）重力勢能的變化與重力做功的關系：

重力對物體做多少正功，物體的重力勢能就減少多少.重力對物體做多少負

功，物體的重力勢能就增加多少.即%=—△即

3.彈性勢能：物體因發(fā)生彈性形變而具有的勢能叫做彈性勢能.

同樣,可以得到靠彈簧一類彈力作用的物體間，其有彈性勢能：E=-k^

p2

4.引力勢能：系統(tǒng)內(nèi)萬有引力做功也與路徑無關。習慣規(guī)定質(zhì)量為旭和M

的可視為質(zhì)點的物體間相距無窮遠時,即勢能最大時的勢能為零。利用高等數(shù)

字的方法,可以得出其勢能表達式為：Ep=-^

r

①對于半徑為R的均勻球體（質(zhì)量為M）和距球心為r的質(zhì)點（質(zhì)量為m）

構(gòu)成的系統(tǒng)，因為此時系統(tǒng)的萬有引力與球體質(zhì)量集中于球心時系統(tǒng)的萬有

引力相同，故系統(tǒng)的引力勢能為：與剪％（r叁R）

r

②對于半徑為R的均勻球殼（質(zhì)量為M）和距球心為r的質(zhì)點（質(zhì)量為加）

構(gòu)成的系統(tǒng)，因為在質(zhì)點處于球殼內(nèi)部時，球殼對球殼內(nèi)質(zhì)點的萬有引力等

于零，引力不做功，故系統(tǒng)的引力勢能為：Ep=-9絲絲（r叁R）

GMm

Ep二.(r<R)

R

（四）機械能守恒定律

1.動能和勢能（重力勢能和彈性勢能）統(tǒng)稱為機械能:E=Ek+Ep.

2.在只有重力（和系統(tǒng)內(nèi)彈簧的彈力）做功的情形下,物體的動能和重力勢

能（及彈性勢能）發(fā)生相互轉(zhuǎn)化,但機械能的總量保持不變.這個結(jié)論叫做機

械能守恒定律.

3.判斷機械能守恒的方法一般有兩種：

（1）對某一物體，若只有重力（或系統(tǒng)內(nèi)彈簧的彈力）做功，其他力不做功

（或其他力做功的代數(shù)和為零），則該物體的機械能守恒.

（2）對某一系統(tǒng)，物體間只有動能和重力勢能及彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)跟外

界沒有發(fā)生機械能的傳遞，機械能也沒有轉(zhuǎn)變成其他形式的能（如沒有內(nèi)能產(chǎn)

生），則系統(tǒng)的機械能守恒.

4.應用機械能守恒定律解題的基本步驟：

（1）根據(jù)題意，選取研究對象（物體或系統(tǒng)）.

（2）明確研究對象的運動過程，分析對象在過程中的受力情況，弄清各力做

功情況，判斷是否符合機械能守恒的條件.

（3）恰當?shù)剡x取參考平面，確定研究對象在過程的起始狀態(tài)和末了狀態(tài)的機

械能（包括動能和重力勢能）.

（4）根據(jù)機械能守恒定律列方程，進行求解.

功能關系的總結(jié)

做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能量轉(zhuǎn)化的量度.在本章中，功和

能的關系有以下幾種具體體現(xiàn)：

(1)動能定理反映了合外力做的功和動能改變的關系，即合外力做功的過程,

是物體的動能和其他形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過程，合外力所做的功是物體動能變

化的量度，

即/=耳「心「

(2)重力做功的過程是重力勢能和其他形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過程，重

力做的功量度了重力勢能的變化，即暗與一”「

(3)重力以外的力做功的過程是機械能和其他形式的能轉(zhuǎn)化的過程，重

力以外的力做的功量度了機械能的變化，即吸外=后一瓦

(4)作用于系統(tǒng)的滑動摩擦力和系統(tǒng)內(nèi)物體間相對滑動的位移的乘積，在

數(shù)值上等于系統(tǒng)內(nèi)能的增量.即“摩擦生熱”：相對，所以，尸滑相對量

度了機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的多少.

可見，靜摩擦力即使對物體做功，由于相對位移為零而沒有內(nèi)能產(chǎn)生.

提高題

1.三峽工程是一座具有防洪、發(fā)電、航運以及養(yǎng)殖和供水巨大綜合利用

效益的特大型水利水電工程。其主要數(shù)據(jù)如圖所示。

項目對應指項目對應指

該指標的實

項目項目對應的指標標的表示符標采用的單

際數(shù)據(jù)

號位

壩高Hm185

大壩壩長Lm2335

最大蓄水位hm175

總庫容量Vim33.93OxlO10

水庫防洪庫容量310

V2m2.215xlO

平均年流量311

v3m4.510X10

總裝機數(shù)Ni臺26

總裝機數(shù)容量p1.82OxlO10

電站w

年平均發(fā)電量wj3.048xl017

注意：大壩蓄水采用自動控制裝置，即大壩下邊開閘門放水的瞬間上邊開

始注水，從而幾乎始終保持最大蓄水位。設水的密度為0=1.000X1（）34g/?〃3；

1度電=1KW.h=3.600xl06j；g=9.8根/S2；請根據(jù)表中的有關信息完成下

列三題：

（1）、年平均消耗水能E=（用表中有關符號及「表示）；=

）（保留四位有效數(shù)字）。

（2）、年轉(zhuǎn)化為電能的百分比為%（保留四位有效數(shù)字）。

（3）、年發(fā)電時間約為天（保留四位有效數(shù)字）。

2.如圖所示，一個物體的質(zhì)量為m自A點從靜止開始沿槽4

滑到B點后，離開支持面飛出。若在A至B的過程中8

械能損失為E,物體在B點飛出的水平分速度為V,則、/

物體飛出后到達的最高點與A的高度差為。1/

3.如圖所示，一塊均勻的正方形板的邊長為。重為G,可繞通過.

/_______JO

B

。點的水平軸轉(zhuǎn)動，從A。呈水平位置開始將板釋放，擺動

一定時間后最后靜止，3點在。點的正下方，在這個過程中，

方塊板損失的機械能為

4.人從一定的高度落地容易造成骨折。一般人脛骨的極限抗壓強度約為1.5

XlO^N/n?,脛骨最小橫截面積大多為3.2cm2。假若一質(zhì)量為50kg的人

從某一高度直膝雙足落地，落地時其重心又約下降1cm。試計算一下這

個高度超過多少時，就會導致脛骨骨折。(gMX10m/s2)

5.某地區(qū)的平均風速為6.0m/s,已知空氣的密度為L2kg/m3,此地有一風車,

它的車葉轉(zhuǎn)動時可形成半徑為20m的圓面，假如這具風車能將圓內(nèi)10%

的氣流的動能轉(zhuǎn)化為電能。求：(1)平均每秒鐘有多少體積的氣流沖擊

風車車葉形成圓面？

(2)這些氣流動能為多少？

(3)這臺風車發(fā)電功率P為多少？

6、質(zhì)量為4.0千克的物體A靜止在水平桌面上，另一個質(zhì)量為2.0千克的物

體B以5.0米/秒的水平速度與物體A相撞,碰撞后物體B以1.0米/秒的速度

反向彈回、相撞過程中損失的機械能是—焦

7、在光滑水平面上有一靜止的物體。現(xiàn)以水平恒力甲推這一物體，作用一段

時間后，換成相反方向的水平恒力乙推這一物體。當恒力乙作用時間與恒力

甲作用時間相同時，物體恰好回到原處，此時物體的動能為32焦，則在整個

過程中，恒力甲做的功等于焦，恒力乙做的功等于焦。

8、（30分）如圖所示.一根長為L的細剛性輕桿的兩端分別連結(jié)小球a和b,

它們的質(zhì)量分別為ma和mb.桿可繞距a球為1/4L處的水平定軸。在豎直平

面內(nèi)轉(zhuǎn)動.初始時桿處于豎直位置，小球b幾乎接觸桌面.在桿的右邊水平桌

面上，緊挨著細桿放著一個質(zhì)量為m的立方體勻質(zhì)物塊。圖中ABCD為過立

方體中心且與細桿共面的截面.現(xiàn)用一水平恒力F作用于a球上.使之繞。

軸逆時針轉(zhuǎn)動，求當a轉(zhuǎn)過a角時小球b速度的大小.設在此過程中立方體

物塊沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動，且小球6與立方體物塊始終接觸沒有分離.不計一切摩

擦.

（第二十二屆全國中學生物理競賽預賽試題）

9、（25分）如圖所示，一塊光滑的平板能繞水平固定軸HH'調(diào)節(jié)其與水平

面所成的傾角.板上一根長為/=1.00m的輕細繩，它的一端系住一質(zhì)量為m

的小球P,另一端固定在HH'軸上的O點.當平板的傾角固定在a時，

先將輕繩沿水平軸HH'拉直（繩與HH'重合），然后給小球一沿著平板并

與輕繩垂直的初速度vo=5.Om/s.若小球能保持在板面內(nèi)作圓周運動，問傾

角a的值應在什么范圍內(nèi)（取圖中a處箭頭所示方向為a的正方向）.取重

力加速度g=10m/s2.（第二十四屆全國中學生物理競賽預賽試題）

機械能答案

一、基礎題:

123456789

ADDBBADDD

10.(1)要消耗24.8kg氫氣.⑵20s；10m/5

11.(1),J—(2)>V2^?;Fs

Va

⑶mY2asmY2asmY2as

⑶、(4)、——(3)、~

t2cost/lat

12.5.7X10%

二、提高題:

1.pghNi7.735xlO1739.41193.9

2.解析：物體由A滑到B的過程中，損失的機械能為克服阻力所做的功，

即叼=E。而物體從B點飛出后,它達到最高點時只有水平速度，此時

動能為EK=-mv2；

2

設高度差為心全過程應用動能定理

12

mgh-Wf=Ekmgh-E=—mvh—v~/2g+E/mg

3.Ga(V2-l)/2

4.解析：由題脛骨最小處所受沖擊力超過

F=，S=1.5X1()8X2X3.2X10TN=9.6X104N時會造成骨折。

設下落地安全高度為％,觸地時重心又下降高度為h2,落地者質(zhì)量為m,

落地速度為V,與地碰撞時間為。，由動能定理mg(hi+h2)-Fh2=0所以

h1=—A2-/z2

mg

qio4

代入數(shù)據(jù)得hi=------x0.01m-0.01m=\.9\m

50x10

5.解析：(1)取底面積與車葉轉(zhuǎn)動圓面積相等的圓柱體，取圓柱體的長度為

vxl,則圓柱體內(nèi)的氣體即為每秒鐘沖擊車葉的氣流體積

V=^r2xyxl=^-x202x6xl=7.54x103(m3)

⑵這些氣流的動能為/=1pVv2=|xl,2x7.54xl03x62=1.63X105(J)

⑶這些氣流的動能有10%轉(zhuǎn)化為電能，單位時間內(nèi)產(chǎn)生的電能即為發(fā)電的

功率P=Ek義10%=1.63x104W.

6、6

7、8,24

8、如圖所示，用％表示a轉(zhuǎn)過a角時b

球速度的大小，。表示此時立方體速度的

大小，則有

vbcosa=v(1)

由于b與正立方體的接觸是光滑的，

相互作用力總是沿水平方向，而且兩者在

水平方向的位移相同，因此相互作用的作

用力和反作用力做功大小相同，符號相反,

做功的總和為0.因此在整個過程中推力

/所做的功應等于球a、人和正立方體機械能的增量.現(xiàn)用%表示此時。球速

度的大小，因為a、6角速度相同，Oa=-l,Ob=-l,所以得

44

%=：%⑵

根據(jù)功能原理可知

42(44J2(44)2

(3)

將(1)、(2)式代入可得

2

II112

F--sma^-ma-mn2\-------cosa

42"(4422

9l[Fsina+\m-3叫)g(l—cosa)]

解得a(4)

%=2

2ma+18%+18mcosa

9、

當光滑平板與水平面的做角為。時,無論小球P處在斜面上什么位置.它受的重力在制而上的

投影總是*1［于〃川,大小總是等于psina.以他作為重力的一個分力,財重力的另一個分力即孽

直于斜面的分力“sea總是與斜面對小球P的支持力平做.這樣.小MP在斜倚內(nèi)只受上述重力

的分量pan。和制繩拉力的作用.

當小球P運動到第周的?高點時,韁怪垂立于而,”的拉力與小理所受重力的分量Npina

沿M—血紋.這時只要細嵬不松也.小單就能保持怦面內(nèi)作照明運動?設小球到達■周或育點時

的速度為。,繩的拉力為7.有r

°的速度為明繩的技力為兀有6。1

⑴

由能量關系.杳

(2)

由⑴<2)式得

(3)

細繩不松弛的條件是

(4)

O由(3)、(4)式得

⑸

代人有關數(shù)據(jù),得

(6)

當傾角a<0時,經(jīng)相同的分析可得

a?一?rcsin(卷)⑺

由(6)、(7)網(wǎng)式,可知a的取值范圖為

⑻

評分標準：本題25分.

動力學考試

1、長為2L的輕桿豎直地立在光滑地面上，桿上固

定著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B,A與B、B與

地面的距離均為L。現(xiàn)給它們一個輕微的擾動，使桿

沿順時針方向倒下。不計一切阻力，并設桿與地面始終

保持接觸，試求A球運動的軌跡方程。

777777777T7777777777

2、一輛郵車以u=10m/s的速度沿平直公路勻速行駛，在離公路d=5.0m

處有一郵遞員，當他與郵車的連線和公路的夾角a=arctg：時沿直線勻速奔

跑。試問：(1)如果他的速度大小v=5.0m/s,他應朝什么方向跑，才能與

郵車相遇？(2)如果速度v大

小不限定，他可以選擇的v的最T

小值是多少？匕

3、在豎直平面內(nèi)建立圖示直角坐標，在坐標系中有光滑的拋物線軌道，

軌道對應方程y=Ax2。軌道的頂點O處有一小球，受輕微擾動后無初速沿

軌道右方滑下。試問：小球是否會中途脫離軌

道？_x

4、與水平面成a角的鋼絲兩端固定，其上套有一質(zhì)量為mi的小環(huán)，小環(huán)

借助一根輕繩與質(zhì)量為m2的小球相連。不計一切摩擦，試問：（1）當環(huán)和球

的系統(tǒng)從鉛直位置開始釋放時，繩子的內(nèi)張力多大？（2）繩子與鉛直方向成

多大角度開始釋放時，可以確保系統(tǒng)滑

動時不會發(fā)生擺動？

5、質(zhì)量為m、傾角分別為a和p的雙斜面體放在水平面上，另有質(zhì)量分

別為mi和m2的滑塊通過輕滑輪跨過雙斜面（兩邊的繩子和斜面平行）。不計

一切摩擦，靜止釋放整個系統(tǒng)，試求型斜面體的加速度。

《動力學考試》提示與答案

I、提示：整體質(zhì)心無水平位移。建右圖所示的坐標，并引入?yún)?shù)0,然

后消去即可。

27

答案：f+二、=1,軌跡為橢圓。

Av(2L)2

2、提示——

(1)對圖示的灰色三角形用正弦定理，有

ut_vt

sinpsina

得0二arcsina叵__

17一__a____—,______x________I___________________

(2)以p為未知，看v(°)……'?、、缶

函數(shù)吧

sinp

顯然Vmin=usina

答案：(1)與公路夾角0=arctgl+arcsinH歹(約14.0°+29.0°=

417

43.0°)；(2)2.43m/s。

3、提示

在小球未脫離軌道時，設一個一般的末態(tài)

P：其坐標為(x,y)、對應該點的軌跡切線

傾角為e,如右圖。

則p點的速率用能量關系可求

V=72gy=V2gAx

但拋物線在P點得切線斜率為k=tgO=

2Ax

考查Vx=vcos。=-2gA,可見，隨x的

rA2v

增加，Vx單調(diào)增加，而Vx的增加必以軌道支持力(水平分量)存在為前提。

答案：否。

評說：此題較偏，且作為動力學考試題，只考查了運動學知識。

4、提示

(1)在該瞬時，球體m2的加速度a2方向只會豎直向下。

ni]gsina+Tsina=

環(huán)和球的隔曷方程、加速度約束方程為＜m2g-T=m2a2,解出張力T

a2=a】sina

即可。

（2）毋須列隔離方程。“不擺動”意味著mi和m2有共同加速度a,由

它們的整體方程得a=gsina,再看m2時，亍必須垂直5的方向。

答案：（1）mdgcos%；（2）0。

ni]+m2sina

5、提不

此題的關鍵在于

加速度矢量分析，這

里只是思路提示），相

關結(jié)論：

ain=asina

a2n=asinp

aii-acosa=a2x-acosp

列mi和m2之n向、T向方程后可解得:

Ni=mi(gcosa-asina)

N2=m2(gcosp+asinp)

T=血10(g(sina+sin。)+a(cosa-cosB))

mi+m2

最后列m之隔離方程Nisina+Tcosp-Tcosa—N2sinP=ma即可解

出a(但化簡工作至為艱苦，要有充分耐心…)

里安.(ni]sina-m2sinP)(ni]cosa+m2cosp)

2

(m(+m2)(m+nil+m2)-gcosa+m2cosp)

全國物理競賽預賽模擬試題

說明：本試卷分I卷(選擇題)和II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考

試時間120分鐘.

第I卷(選擇題共40分)

一、本題共10小題，每小題4分，共40分,在每小題給出的4個

選項中，有的小題只有一個選項正確，有的小題有多個選項正確，全部選對

的得4分，選不全的得2分，有錯選或不答的得0分.

1.如圖1-2所示，甲乙兩物體在同一光滑水平軌道上相向運動，乙上連

有一段輕彈簧，甲乙相互作用過程中無機械能損失，下

列說法正確的有——

A.若甲的初速度比乙大，則甲的速度后減到0廚

B.若甲的初動量比乙大，則甲的速度后減到0■〃〃加力

C.若甲的初動能比乙大，則甲的速度后減到0

D.若甲的質(zhì)量比乙大，則甲的速度后減到0

2.置于水平面的支架上吊著一只裝滿細砂的漏斗，讓漏斗左、右擺動，于

是桌面上漏下許多砂子，經(jīng)過一段時間形成一砂堆，砂堆的縱剖面最接近下

圖1-1中的哪一種形狀

3.特技演員從高處跳下，要求落地時必須腳先著地，為盡量保證安全，他

落地時最好是采用哪種方法

A.讓腳尖先著地，且著地瞬間同時下蹲B.讓整個腳板著地，且著地瞬間

同時下蹲

C.讓整個腳板著地，且著地瞬間不下蹲D.讓腳跟先著地，且著地瞬間同

時下蹲

4.動物園的水平地面上放著一只質(zhì)量為M的籠子，

籠內(nèi)有一只質(zhì)量為m的猴子.當猴以某一加速度沿豎直||||門

柱子加速向上爬時，籠子對地面的壓力為B；當猴以同

樣大小的加速度沿豎直柱子加速下滑時，籠子對地面的出

壓力為F2(如圖1-3),關于Fi和F2的大小，下列判叫

斷中正確的是||||||

A,F]=F2>(M+m)g

B.Fi>(M+ni)g,F2〈(M+m)g

C.Fi>F2>(M+m)g

D.Fi<(M+m)g,尸2>(M+rri)g

5.下列說法中正確的是

A.布朗運動與分子的運動無關

B.分子力做正功時，分子間距離一定減小

C.在環(huán)繞地球運行的空間實驗室里不能觀察熱傳遞的對流現(xiàn)象

D.通過熱傳遞可以使熱轉(zhuǎn)變?yōu)楣?/p>

6.如圖1-4所示，虛線a、b、c代表電場中的三個等勢面，相鄰等勢面之

間的電勢差相等，即Uab=Ubc,實線為一帶正電的質(zhì)點僅在電場力作用下通過

該區(qū)域時的運動軌跡，P、Q是這條軌跡上的兩點，據(jù)此可知

A.三個等勢面中，。的電勢最高

B.帶電質(zhì)點通過P點時電勢能較大

C.帶電質(zhì)點通過尸點時的動能較大

D.帶電質(zhì)點通過尸點時的加速度較大

7.如圖I-5所示，L為電阻很小的線圈，Gi和G為內(nèi)門三

阻不計、零點在表盤中央的電流計.當開關K處于閉合狀態(tài)一

時，兩表的指針皆偏向右方，那么，當K斷開時，將出現(xiàn)⑥

A.G1和G2的指針都立即回到零點3

B.Gi的指針立即回到零點，而G的指針緩慢地回到

零占

C.Gi的指針緩慢地回到零點，而G2的指針先立即偏向左方，圖1.5慢

地回到零點

D.Gi的指針先立即偏向左方，然后緩慢地回到零點，而G2的指針緩慢

地回到零點

8.普通磁帶錄音機是用一個磁頭來錄音和放音的，磁頭結(jié)構(gòu)示意如圖I-6

(a)所示，在一個環(huán)形鐵芯上繞一個線圈，鐵芯有一個縫隙，工作時磁帶就

貼著這個縫隙移動，錄音時磁頭線圈跟話筒、放大電路(亦稱微音器)相連

(如圖I-6(b)所示)；放音時，磁頭線圈改為跟揚聲器相連(如圖I-6(c)

所示).磁帶上涂有一層磁粉，磁粉能被磁化且留下剩磁.微音器的作用是把聲

音的變化轉(zhuǎn)化為電流的變化；揚聲器的作用是把電流的變化轉(zhuǎn)化為聲音的變

化.由此可知①錄音時線圈中的感應電流在磁帶上產(chǎn)生變化的磁場，②放音時

線圈中的感應電流在磁帶上產(chǎn)生變化的磁場，③錄音時磁帶上變化的磁場在

線圈中產(chǎn)生感應電流，④放音時磁帶上變化的磁場在線圈中產(chǎn)生感應電流.以

上說法正確的是

圖I-6

A.②③B.①④C.③④D.①②

9.下列說法中正確的是

A.水中的氣泡有時看上去顯得格外明亮，這是由于光從空氣射向水時發(fā)

生了全反射的緣故

B.凸透鏡成虛像時，物的移動方向與像的移動方向相反

C.當物體從兩倍焦距以外沿主光軸向凹透鏡靠近時，物體與像之間的距

離不斷變小，而像則不斷變大

D.紅光和紫光在同一種玻璃中傳播時，紅光的傳播速度比紫光的大

10.經(jīng)典波動理論認為光的能量是由光的強度決定的，而光的強度又是由

波的振幅決定的，跟頻率無關，因此，面對光電效應，這種理論無法解釋以

下哪種說法

A.入射光頻率（極限頻率）時，不論入射光多強，被照射的金屬不

會逸出電子

B.光電子的最大初動能只與入射光頻率有關，而與入射光強度無關

C.從光照射金屬到金屬逸出電子的時間一般不超過10-9s

D.當入射光頻率v>v0時，光電流強度與入射光強度成正比

第II卷（非選擇題共110分）

二、本題共3小題，每小題5分，共15分.

11.起重機以恒定功率從地面豎直提升一重物，經(jīng)t時間物體開始以速度

v勻速運動，此時物體離地面高度h=.

12.如圖圖I-7所示，足夠大的方格紙PQ水平放置，每個方格邊長為I,

在其正下方水平放置一寬度為L的平面鏡MN,在方格紙上有兩小孔A和

B,AB寬度為d,d恰為某人兩眼間的距離，此人通過A、B孔從平面鏡里

觀察方格紙，兩孔的中點。和平面鏡中的點01在同一豎直線上，則人眼

能看到方格紙的最大寬度是,人眼最多能看到同一直線上的方格數(shù)

是.

AB

3

卜卜

用o'X

77777177*

圖I-7圖I-8

13.如圖I-8所示，固定于光滑絕緣水平面上的小球A帶正電，質(zhì)量為2

m,另一個質(zhì)量為m,帶負電的小球B以速度vo遠離A運動時，同時釋

放小球A,則小球A和3組成的系統(tǒng)在此后的運動過程中，其系統(tǒng)的電勢

能的最大增量為.

三、本題共3小題，共20分，把答案填在題中的橫線上或按題目要求

作圖.

14.（6分）在"測定玻璃磚折射率"的實驗中，已畫3

好玻璃磚界面的兩條直線aa'和bb',無意中將玻璃

b

磚平移到圖I-9中的虛線所示位置.若其他操作正確，則測得的折射率將

（填“偏大”“偏小”或“不變”）.

15.（6分）在“研究電磁感應現(xiàn)象”實驗中：

（1）首先要確定電流表指針偏轉(zhuǎn)方向和電流方向間

的關系.實驗中所用電流表量程為100〃A,電源電動勢為

1.5V,待選的保護電阻有：=100kQ,&=lkQ,

&=10Q,應選用作為保護電阻.

（2）實驗中已得出電流表指針向右偏轉(zhuǎn)時，電流是

"+"接線柱流入的，那么在如圖1-10所示的裝置中，若

將條形磁鐵S極朝下插入線圈中，則電流表的指針應向圖I-10

16.（8分）一種供儀器使用的小型電池標稱電壓為9V,允許電池輸出

的最大電流為50mA,為了測定這個電池的電動勢和內(nèi)電阻，可用如

下器材：電壓表?內(nèi)阻很大，R為電阻箱，阻值范圍為0-99990；Ro為保

護電阻，有四個規(guī)格，即：

A.10Q,5WB.190Q,-WC.200Q,-WD.L