2024年典韋杯暑期聯(lián)考高三7月數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁絕密★啟用前2024年“典韋杯”暑期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷時間：120分鐘滿分：150分2024.7注意事項：1答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】變形可得集合，都是空集，所以根據(jù)集合的并集運算可得答案.【詳解】，解之可得不存在，所以集合是空集，，解之可得不存在，所以集合是空間.所以故選：A2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算、模的運算等知識求得正確答案.【詳解】依題意，所以，所以.故選：D3.若向量，單位向量與向量垂直，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題設(shè)條件和向量數(shù)量積的運算律，求出，再利用向量的夾角計算公式化簡計算即得.【詳解】因單位向量與向量垂直，則，，則因，則，于是，．故選：A.4.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)遞推式子直接計算即可；方法二：對于遞推式子，一般構(gòu)造成等比數(shù)列，即，求出通項再求解即可.【詳解】方法一：因為所以故選：B.方法二：構(gòu)造等比數(shù)列設(shè)，即對照系數(shù)可得，所以所以所以數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列所以，即因此故選：B.5.若正實數(shù)滿足，則的最小值為（）A.9 B.6 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】通過配湊，直接利用基本不等式即可求解.【詳解】由為正實數(shù)，且則利用基本不等式可得：，當且僅當，即時等號成立.因此的最小值為3.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由倍角公式可得，即，分和兩種情況，求的值，運算求解即可.【詳解】因為，由可得，又因為，若，則，可得，所以；若，則，可得，所以；綜上所述：.故選：B.7.設(shè)橢圓的右焦點為，動點在橢圓上，點是直線上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合兩點間線段最短、點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)題意知橢圓的右焦點坐標為F1,0，左焦點坐標為，根據(jù)橢圓的定義可知，所以，則，所以最小時，即最小，定點到直線最短距離是過定點直線的垂線段，根據(jù)點到直線的距離公式可得，所以.故選：C8.定義，不超過的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作，為的小數(shù)部分，記作，這一規(guī)定最早為數(shù)學(xué)家高斯所用，因此稱為高斯函數(shù)，稱為小數(shù)函數(shù)，下列說法正確的是（）A. B.函數(shù)所有零點和為0C.的值域為 D.是的充要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)，計算判斷A；由零點的意義構(gòu)造函數(shù)，作出圖象，結(jié)合對稱性求解判斷B；利用指數(shù)型函數(shù)的值域判斷C；舉例說明判斷D.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，由，得，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，令，令，則，，，于是，即函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱，則函數(shù)與的圖象，除交點外，其他交點都關(guān)于點成中心對稱，這些交點的橫坐標和為0，所以函數(shù)所有零點和為，B錯誤；對于C，，而，則，，，函數(shù)的值域為，C正確；對于D，當時，取，而，D錯誤.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.拋出一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，得到正反兩面的概率相同．事件次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中最多有一次正面朝上，下列說法正確的是（）A.當時，A，B相互獨立 B.當時，A，B相互獨立C.時， D.時，【答案】BC【解析】【分析】由相互獨立事件概率乘法公式及對立事件概率公式依次判斷即可．【詳解】拋出兩次，有正反，反正，正正，反反，共四種情況，又因為，故A錯誤，拋出三次：正正正，正正反，正反正，正反反，反反反，反反正，反正反，反正正，共八種情況，則，，，故B正確，拋出n次有種組合，次全為正面向上或n次全為反面向上，則，因此，故C正確，，故D項錯誤．故選：BC10.在正八面體中，所有棱長均為1，點為正方形中心，點為正八面體內(nèi)切球球面上的任意一點，下列說法正確的是（）A.正八面體內(nèi)切球的表面積B.正八面體的體積為C.的范圍是D.若,，二面角的平面角為，則為定值【答案】ACD【解析】【分析】A.根據(jù)正四棱錐的特征，結(jié)合切點的位置，構(gòu)造幾何關(guān)系，即可求解；B.根據(jù)錐體的體積公式，即可求解；C.根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量求數(shù)量積，并結(jié)合直線于球的位置關(guān)系，求最值；D.構(gòu)造二面角的平面角，再結(jié)合勾股定理和余弦定理建立等量關(guān)系，即可求解.【詳解】A.由題意得，可以只分析正四棱錐，易得正四棱錐的高為，側(cè)面正三角形的高為，因此由等面積法可得，解得，所以表面積為，故A正確；B．正四面體的體積為兩個正四棱錐的體積之和，因此，故B錯誤；C．取中點，，而點到的距離為，因此的最小值為，最大值為，，代入數(shù)據(jù)可得的范圍是，故C正確；D．過點作，交于點，交于點,因此,即為二面角的平面角，在三角形中，，在三角形中，，所以，化簡可知因此，因此D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的難度選項是D，關(guān)鍵是構(gòu)造二面角的平面角，同時注意邊長的比值于正切值的關(guān)系.11.已知，下列說法正確的是（）A.當時，單調(diào)遞增B.當時，單調(diào)遞減C.當時，D.當時，【答案】AD【解析】【分析】當時，由與的單調(diào)性可得的單調(diào)性，可判斷；當時，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，可判斷；當時，，可得在上的單調(diào)性，從而得到，可判斷；對于D，即證：，當，會隨著的增大而越來越大，因此只需要證明時的情況即可，即證，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可判斷.【詳解】當時，與都單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞增，即當時，單調(diào)遞增，故正確；當時，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯誤；當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故錯誤；當時，，即證：，易證，（證明：令，則，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當且僅當時，取等號，即，當且僅當時，取等號）.當，會隨著的增大而越來越大，因此只需要證明時的情況即可.即只需證明恒成立，令，則，令，解得或，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，，即，故正確.故選：.【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題中，最常見的就是與與其他代數(shù)式結(jié)合的難題，對于這類題，可以先對與進行放縮，使問題簡化，便于化簡或判斷函數(shù)的正負，常見的放縮公式如下：（1），當且僅當時取等號；（2），當且僅當時取等號；（3）當時，，當且僅當時取等號.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.二項式展開后的第三項是___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)通項公式計算即可.【詳解】因為所以.故答案為：13.將函數(shù)向右平移個單位長度，則平移后圖象中與y軸最接近的對稱中心的坐標是_________【答案】【解析】【分析】首先求出平移后的解析式，再根據(jù)對稱中心結(jié)合距離y軸距離可得.【詳解】首先求出平移后的解析式，可得，而正弦函數(shù)的對稱中心就是正弦函數(shù)時的所有點，因此我們令因此令，從而進而距離y軸更近，所以對稱中心的坐標為.故答案為：14.設(shè)函數(shù)的極值點為,數(shù)列滿足,若,則________________【答案】?2【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的極值點為得出等式，再根據(jù)數(shù)列化簡，計算可得值.詳解】由題設(shè)，令，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，而時，恒成立，且，所以，存在，使，即，因此，由已知，而，故，所以①，即，由，有，，有，所以時遞增，時遞減，即為題設(shè)中極值點，故，由①，得，因此，所以.故答案為：?2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.在銳角三角形中，分別為角所對的邊，.（1）證明：.（2）求的范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）因為，由正弦定理得，化簡得，則可得；（2）在銳角三角形中，由，可得的范圍為，則，將化簡得，設(shè)，利用換元法令，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得到，即為的范圍【小問1詳解】因在銳角中，，由正弦定理得，則，所以，則，所以或（舍去），所以.【小問2詳解】因為是銳角三角形，又，所以，所以的范圍為，則，又則，設(shè)，令，則，，所以，在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即，所以的取值范圍是.16.如圖為三棱錐的高，點在三角形內(nèi)，為中點（圖中未畫），，平面.（1）求直線與平面所成角；（2）若，且，求二面角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意即為直線與平面所成的角，計算可得為等邊三角形，即可得出結(jié)果；（2）如圖，延長交于點，連接，證得即為二面角的平面角，由線面平行的性質(zhì)可得，則，從而得到二面角的大小.【小問1詳解】因為為三棱錐的高，故平面.又平面，故.因為點為的中點，則又，故，則為等邊三角形，故.又平面，則即為直線與平面所成角，故與平面所成角的大小為.【小問2詳解】如圖，延長交于點，連接.由平面,平面，故，又，則.在與中，故，.又在與中，故，故，即為的平分線，又，則，且為的中點，又，則，則即為二面角的平面角，由平面，平面，平面平面，故.，由（1）知，，即二面角的大小為.17.王者榮耀是騰訊天美工作室推出的英雄競技手游，不是一個人的王者，而是團隊的榮耀！5v5王者峽谷PVP對戰(zhàn)，領(lǐng)略英雄競技的酣暢淋漓！在游戲中，打野玩家可以選擇紅開或藍開，不依賴藍條的英雄可以優(yōu)先選擇紅開．在一把人機對決游戲中，坤坤選出了他的成名英雄典韋，看到敵方陣容前期較弱后，決定入侵敵方的藍buff．已知人機所選擇的英雄紅開的概率為且人機只能紅開或藍開，若敵方打野選擇藍開，典韋入侵野區(qū)成功的概率為，若敵方選擇紅開，典韋入侵野區(qū)成功的概率為，回答下列問題（1）坤坤連續(xù)進行了三場對局，且每場對局敵我陣容完全相同，求坤坤至少一局，最多兩局成功入侵敵方野區(qū)的概率（2）在某場單挑對決中，敵方選取老夫子并準備向坤坤的典韋發(fā)起進攻．已知典韋與老夫子的距離為，老夫子的大招指可以將典韋控制在一定范圍內(nèi)無法移動，為了避免被控制，坤坤迅速釋放一技能位移（位移方向與老夫子大招方向的位移方向相同），已知典韋一技能位移可看作為加速度為，初速度的勻加速直線運動，老夫子的大招位移可看作速度為的勻速直線運動，且最大位移距離為8，若要求典韋能夠躲開老夫子大招的控制，則典韋的加速度的最小值為？(參考公式：①勻加速直線運動，位移與初速度，加速度和時間的關(guān)系：；②勻速直線運動，末速度與初速度，時間和加速度的關(guān)系為：【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式，求出每一局游戲典韋成功入侵和入侵失敗的概率，再求三局全部成功和三局全部失敗的概率，最后運用間接法即可求得；（2）設(shè)二者經(jīng)過秒后速度相同，依題意，只需使在時恒成立，即使在上恒成立，求出函數(shù)的最大值即得，接著檢驗老夫子在2秒內(nèi)得，可以追到典韋，故情況不成立，即得.【小問1詳解】不妨求三局全部成功（事件A）或三局全部失?。ㄊ录﨎）的概率，若敵方紅開，則成功入侵的概率為：，若敵方藍開，則成功入侵的概率為：，因此由互斥事件的概率加法公式知，每一局游戲典韋成功入侵的概率都是，每一局游戲典韋失敗的概率是，則，.因此即坤坤至少一局，最多兩局成功入侵敵方野區(qū)的概率為.【小問2詳解】設(shè)二者經(jīng)過秒后速度相同，在這段時間內(nèi)只要沒被老夫子追上，那么典韋在這之后仍然會加速，而老夫子一直保持勻速，則老夫子會永遠追不上典韋.典韋的速度為，由，可得.這段時間內(nèi)典韋的位移為老夫子的位移為，依題意，需使恒成立，因時顯然成立，故不等式等價于，記，由可知，故得，.下面來討論另一種情況：老夫子的最大位移為8，也就是2秒后會停止.由能成立，得，但此時，若運動1秒，典韋的位移為，而老夫子的位移為4，因此這種情況不滿足.綜上，的最小值為.18.若點為雙曲線上一點，，點A為雙曲線的右頂點，過點P作直線l交雙曲線C于點Q，l于y軸相交于點B，點D為y軸上一動點，O為原點.（1）求雙曲線的方程．（2）若四點共圓.①求的值；②若，求直線的斜率.【答案】（1）（2）①；②或0【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求得，即可得方程；（2）①設(shè)，求點的坐標，根據(jù)結(jié)合斜率關(guān)系分析求得，即可得結(jié)果；②根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合題意可知三點共線，求得，結(jié)合方程運算求解即可.【小問1詳解】由題意可得：4a2?所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】由（1）可知：雙曲線的方程為，則，①因為四點共圓，則，由題意可知：直線l的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，解得或，可知，則，又因為B的坐標為，則，又因為，則，且，則，所以；②如圖，四點共圓，，連接，因為四點共圓，則，可知，可得，即.因為，則，可知三點共線，且，可得，則直線，則，由可知，則，可得直線，代入可得：，解得或，因此直線的斜率為或0.【點睛】方法點睛：．與弦端點相關(guān)問題的解法解決與弦端點有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點的坐標關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解.19.如果和除以所得余數(shù)相同，則稱對模同余，記作，若集合，集合，現(xiàn)從集合中的個數(shù)中抽出個數(shù)，（）且，使這個數(shù)平均分為組，若存在一組數(shù)對(三者不相等）且滿足恰好能被整除，對模同余，則為“靈魂蓮華集合”，為“靈魂蓮華數(shù)對”（1）判斷為“靈魂蓮華集合”（2）若，判斷有多少組數(shù)對為靈魂蓮華數(shù)對（3）現(xiàn)從素數(shù)集合中任取三個不同的數(shù)，若構(gòu)成公差為8的等差數(shù)列，求證：無論且為任何集合，最多有一對滿足條件的為靈魂蓮華數(shù)對．【答案】（1）是靈魂蓮華集合（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)靈魂蓮華集合定義判斷可得答案；（2）不妨設(shè)這組數(shù)為，且，第一種情況：模5只能余，分余0、1、2、3、4討論可得答案；第二種情況：只能是，分模2只能余0或1討論可得答案；（3）設(shè)為偶數(shù)，不滿足題意，此時不存在，若為奇數(shù)，，則只能為3證明即可.【小問1詳解】是靈魂蓮華集