廣東省2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月統(tǒng)一調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁2024年6月廣東省高二年級統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用，黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號?考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為（）A.7 B.7.5 C.8 D.8.5【答案】B【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可.【詳解】題設(shè)數(shù)據(jù)共有10個數(shù)，因?yàn)?，故?0百分位數(shù)為.故選:B.2.的虛部為（）A.-5 B.5 C.-1 D.1【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)虛部的概念即可得解.【詳解】依題意，，故所求虛部為-5.故選：A.3.已知橢圓的離心率為，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】先分別表示出，結(jié)合離心率公式列出方程即可求解.【詳解】，解得.故選：C.4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合正項(xiàng)等比數(shù)列求出最后的結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，顯然，則，解得或（舍去）.故選C.5.函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】由于函數(shù)的零點(diǎn)就是對應(yīng)方程的根，解方程即可求得零點(diǎn)的個數(shù).【詳解】令，解得，由于，則，共5個零點(diǎn).故選：A.6.已知函數(shù)，其中且，則的單調(diào)性（）A.與有關(guān)，與有關(guān) B.與有關(guān)，與無關(guān)C.與無關(guān)，與有關(guān) D.與無關(guān)，與無關(guān)【答案】D【解析】【分析】的單調(diào)性與無關(guān)，思路一：分大于1、小于1討論即可判斷；思路二：直接求導(dǎo)也可判斷.【詳解】易知的單調(diào)性與無關(guān)，解法一：當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故的單調(diào)性與無關(guān)，與無關(guān).故選：D.解法二：依題意，，因?yàn)榍?，故，故，則不論取何值，函數(shù)單調(diào)遞減.故選：D.7.建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺，已知該圓臺的上?下底面積分別為和，高超過，該圓臺上?下底面圓周上的各個點(diǎn)均在球的表面上，且球的表面積為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，首先根據(jù)球的表面積公式計(jì)算得球的半徑為，通過勾股定理得的值，進(jìn)而得圓臺的高，結(jié)合圓臺的體積公式即可得解.【詳解】設(shè)球的半徑為，上?下底面分別為圓（這里上底面是指大的那個底面），依題意，，解得，因?yàn)?，則，同理可得，，因?yàn)閳A臺的高超過，則該圓臺的高為，該圓臺的體積為.故選：B.8.過圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為，若，則的最大值為（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】先確定動點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合基本（均值）不等式或直線與圓的位置關(guān)系求最大值.【詳解】如圖：依題意，，即.解法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為.故選：B解法二：設(shè)，由題意知直線與圓：有公共點(diǎn)，令，解得，故的最大值為.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知全集，集合，若有4個子集，且，則（）A. B.集合有3個真子集C. D.【答案】ACD【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合，結(jié)合已知得出，由此即可逐一判斷各個選項(xiàng).【詳解】依題意，，而有4個子集，，故，故集合有7個真子集，B錯誤，，，，ACD均正確.故選：ACD.10.已知中，角所對的邊分別為的面積記為，若，則（）A.B.的外接圓周長為C.的最大值為D.若為線段的中點(diǎn)，且，則【答案】AC【解析】【分析】由三角形面積公式和向量數(shù)量積定義可判斷A正確，由正弦定理可得B錯誤；利用基本不等式可求得的最大值為，可得C正確；根據(jù)C中的結(jié)論可知當(dāng)時面積，可得D錯誤.【詳解】依題意，，故A正確；記外接圓的半徑為，則，則的外接圓周長為，故B錯誤；由余弦定理，，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；由C可知，當(dāng)時，為等邊三角形，此時，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且，則（）A. B.無最小值C. D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱【答案】BCD【解析】【分析】對于A，令即可；對于BC，令得，通過遞推計(jì)算即可；對于D，令，得即可判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.詳解】對于A，令，得，解得，故A錯誤；對于B，令，則，且，即可知函數(shù)無最小值，故B正確；對于C，由B知，，所以，，則，故C正確；對于D，令，則原式化為，令，所以，即，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】先利用二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系構(gòu)造齊次分式，再分子分母同時除以轉(zhuǎn)化為正切的運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?，所?故答案：.13.學(xué)校安排甲?乙等5名學(xué)生作為社區(qū)組織的“中老年趣味體育大賽”的項(xiàng)目志愿者，已知該比賽有這3個項(xiàng)目，每名學(xué)生只去1個項(xiàng)目做志愿者，且每個項(xiàng)目的志愿者至少有1人，則不同的安排方法有__________種.（用數(shù)字作答）【答案】150【解析】【分析】先將5名學(xué)生分成3組有2、2、1和3、1、1兩種分法，然后這3組學(xué)生在3個項(xiàng)目全排列，即可得到答案.【詳解】依題意，將5名學(xué)生分成3組有2、2、1和3、1、1兩種分法，然后安排這3組去3個項(xiàng)目做志愿者，所以不同的安排方法有種.故答案為：150.14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.記點(diǎn)的軌跡為曲線，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則直線的斜率為__________.【答案】##0.5【解析】【分析】設(shè)直線，則，結(jié)合已知用表示出的坐標(biāo)，消去參數(shù)即可得曲線的方程，由點(diǎn)差法即可得解.【詳解】顯然斜率均存在，設(shè)直線，則，聯(lián)立，得，同理，設(shè)，則，化簡可得，曲線.設(shè)，則，兩式相減可得，，則.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，.（1）證明：平面；（2）求與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，只需依次證明，和平面即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的直線的方向向量與平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式即可得解.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，故四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以平面，而平面，故平?【小問2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，故，令，得，則是平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成的角的正弦值為.16.已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若曲線在處的切線與直線垂直，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行討論，求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)即可判斷單調(diào)性；（2）通過題意可知，即可求出的值，通過作差法來進(jìn)行比較大小，令，求導(dǎo)后通過判斷即可得正.【小問1詳解】依題意，，令，解得.若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，若在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】證明：由（1）可知，，而，解得.令，故，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，即，故.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．17.為了回饋長期以來的顧客群體，某健身房在五周年慶活動期間設(shè)計(jì)出了一種游戲活動，顧客需投擲一枚骰子三次，若三次投擲的數(shù)字都是奇數(shù)，則該顧客獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券5張，且有2次終極抽獎機(jī)會（2次抽獎結(jié)果互不影響）；若三次投擲的數(shù)字之和是6，12或18，則該顧客獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券5張，且有1次終極抽獎機(jī)會；其余情況顧客均獲得該健身房的免費(fèi)團(tuán)操券3張，不具有終極抽獎機(jī)會.已知每次在終極抽獎活動中的獎品和對應(yīng)的概率如下表所示.獎品一個健身背包一盒蛋白粉概率（1）已知某顧客有兩次終極抽獎機(jī)會，求該顧客獲得一個健身背包和一盒蛋白粉的概率；（2）求一位參加游戲活動的顧客獲得蛋白粉的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立重復(fù)性試驗(yàn)求概率公式得到答案；（2）事件“顧客有兩次終極抽獎機(jī)會”，事件“顧客有一次終極抽獎機(jī)會”，求出，，利用全概率公式得到答案【小問1詳解】記該顧客獲得一個健身背包和一盒蛋白粉為事件，則.【小問2詳解】記事件“顧客有兩次終極抽獎機(jī)會”，事件“顧客有一次終極抽獎機(jī)會”，事件“獲得蛋白粉”，故，，，事件包括的事件是：“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為6"“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為12”“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為18”，①若“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為6”，則有“”、“”、“”三種情形，故共有種；②若“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則有“”、“”、“”、“”、“”、“”六種情形，故共有種；③若“3次投擲的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則只有“”一種情形，故，故.18.已知雙曲線的離心率為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，.（1）求方程；（2）若分別在的左?右兩支，點(diǎn)，探究：是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，.【解析】【分析】（1）由離心率得出，由求出可得答案；（2）由和已知得，設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入，整理得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得答案【小問1詳解】依題意，直線，，故，聯(lián)立得，設(shè)，則，則，解得，故的方程為；【小問2詳解】存在，使得，且，理由如下，因?yàn)?，故，故，所以，又，故，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，其中，由得，故，因?yàn)?，所以，代入，所以，整理得，可得，整理得，此時，經(jīng)檢驗(yàn)，存在，使得，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的直線與曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于參數(shù)的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時，常根據(jù)動點(diǎn)或動直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).19.定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對值為1，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)1”.已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)1”.（1）若，且，寫出所有可能的的值；（2）若，證明：“”是“”的充要條件；（3）若，證明：或.【答案】（1）；；（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由數(shù)列的性質(zhì)得出，進(jìn)一步結(jié)合的定義即可得解；（2）結(jié)合新定義，分必要性、充分性兩方面證明即可；（3）由數(shù)列的性質(zhì)，得出4整除，即或，然后回過頭去檢驗(yàn)是否滿足