河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高二數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)第一章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.2.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的充要條件,列方程求解即得.【詳解】由可得，，因，故，解得.故選：D.3.若是空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間基底的概念對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，是空間的一個(gè)基底，A選項(xiàng)，由于，所以共面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于不存在實(shí)數(shù)，使得，所以不共面，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由于，所以共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由于，所以共面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B4.已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)到平面的距離（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由點(diǎn)到平面的距離的向量法公式直接計(jì)算求解即可.【詳解】由題得.故選：A.5.續(xù)航能力關(guān)乎無(wú)人機(jī)的“生命力”，太陽(yáng)能供能是實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)長(zhǎng)時(shí)續(xù)航的重要路徑之一.某大學(xué)科研團(tuán)隊(duì)利用自主開發(fā)的新型靜電電機(jī)，成功研制出僅重克的太陽(yáng)能動(dòng)力微型無(wú)人機(jī)，實(shí)現(xiàn)純自然光供能下的持續(xù)飛行.為激發(fā)同學(xué)們對(duì)無(wú)人機(jī)的興趣，某校無(wú)人機(jī)興趣社團(tuán)在校內(nèi)進(jìn)行選拔賽，8名參賽學(xué)生的成績(jī)依次為，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（也叫第75百分位數(shù)）為（）A.93 B.92 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解的方法步驟即可計(jì)算求解.【詳解】8名學(xué)生的成績(jī)從低到高依次為，且，故上四分位數(shù)為.故選：D.6.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合整體代入思想求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，而，在中，，所以，故，由余弦定理得，代入得，，故，故，故B正確.故選：B7.某人忘記了一位同學(xué)電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，但確定這個(gè)數(shù)字一定是奇數(shù)，隨意撥號(hào)，則撥號(hào)不超過(guò)兩次就撥對(duì)號(hào)碼的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，事件可表示為第一次撥對(duì)和第一次沒(méi)撥對(duì)第二次撥對(duì)的互斥事件的和，再由互斥事件概率加法公式及古典概型求解.【詳解】設(shè)第次撥號(hào)撥對(duì)號(hào)碼.撥號(hào)不超過(guò)兩次就撥對(duì)號(hào)碼可表示，所以撥號(hào)不超過(guò)兩次就撥對(duì)號(hào)碼的概率為.故選：B8.已知圓錐在正方體內(nèi)，，且垂直于圓錐的底面，當(dāng)該圓錐的底面積最大時(shí)，圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析出當(dāng)圓錐底面與正六邊形相內(nèi)切時(shí)，圓錐體積最大，結(jié)合正方體性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】取的中點(diǎn)，分別記為，連接，，如圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形為正六邊形，此時(shí)的中點(diǎn)為該正六邊形的中心，且平面，當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時(shí)，該圓錐的底面積最大.設(shè)此時(shí)圓錐的底面圓半徑為，因?yàn)?，所以，所以，圓錐的底面積，圓錐的高，所以圓錐的體積.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題為真命題的有（）A.若，則B.若，則C.若，則或D.若，相交，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的平行的判定與性質(zhì)判定A，由線面垂直的性質(zhì)判斷B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷C，由線面平行的判定判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，則直線可能相交或平行或異面，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若，則，故B正確.對(duì)于C，若，則或，故C正確.對(duì)于D，若相交，則或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知事件兩兩互斥，若，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭录蓛苫コ?，所以，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，由，得，故B正確.對(duì)于D，由，得，故D正確.對(duì)于C，因?yàn)椋訡正確.故選：BCD11.已知厚度不計(jì)的容器是由半徑為，圓心角為的扇形以一條最外邊的半徑為軸旋轉(zhuǎn)得到的，下列幾何體中，可以放入該容器中的有（）A.棱長(zhǎng)為的正方體B.底面半徑和高均為的圓錐C.棱長(zhǎng)均為的四面體D.半徑為的球【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)所得圖形，數(shù)形結(jié)合，可判斷A，再由圖形內(nèi)接正四面體可判斷C，由C求三角形外接圓半徑判斷B，根據(jù)截面圖計(jì)算可判斷D.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，對(duì)于A，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，如圖，則可容納的最長(zhǎng)對(duì)角線，解得，故A正確.對(duì)于C，如圖，取三段圓弧的中點(diǎn)，則四面體的棱長(zhǎng)均為2m，所以可以容納，故C正確.對(duì)于B，如圖，同選項(xiàng)C的分析，的外接圓半徑為，所以不可以容納，故B錯(cuò)誤.對(duì)于D，如圖，設(shè)球的半徑為，按正中間剖開所得的軸截面，如圖，可知圓與圓內(nèi)切，，解得，所以不可以容納，故D錯(cuò)誤.故選：AC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.《九章算術(shù)》中將正四棱臺(tái)稱為方亭，現(xiàn)有一方亭，體積為13，則該方亭的高是______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的高為.因?yàn)?，所以方亭的體積，解得.故答案為：313.在空間直角坐標(biāo)系中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______.【答案】##0.2【解析】【分析】求出，結(jié)合向量夾角余弦公式得到異面直線所成角的余弦值.【詳解】依題意可得，則，故異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：14.在中，點(diǎn)在邊上，，則的外接圓的半徑為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則由題以及正弦定理形式的面積公式結(jié)合可得，進(jìn)而可求出，再由即可得解.【詳解】設(shè)，則，由，得，即，又，所以，即，又，所以，所以，則，所以，所以，則外接圓的半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特征可知解決本題的關(guān)鍵是利用即求出.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.某高中為了解本校高二年級(jí)學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每天體育鍛煉的時(shí)間，并以此作為樣本，按照進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知樣本中體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生有10人.（1）求頻率分布直方圖中和的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)，同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.【答案】（1），（2）中位數(shù)是72分鐘；平均數(shù)是72分鐘【解析】【分析】（1）求出在[50，60）內(nèi)的頻率即可求出，根據(jù)頻率之和為1即可列式求.（2）先求出前3組的頻率之和以及前4組的頻率之和得樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)x在第4組，再依據(jù)頻率分布直方圖所給數(shù)據(jù)列出等量關(guān)系式求解即可；由平均數(shù)的定義和公式直接計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，學(xué)生每天體育鍛煉的時(shí)間在[50，60）內(nèi)的頻率為，則，由各組頻率之和為1，可知，解得.【小問(wèn)2詳解】前3組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)為，所以，解得，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是72分鐘；估計(jì)平均數(shù)分鐘.16.在中，角的對(duì)邊分別是，已知.（1）證明：.（2）若的面積為1，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)和差角公式可得，即可利用正弦定理邊角互化求解，（2）根據(jù)面積公式可得，進(jìn)而可得，由余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由可得，故，,即,由正弦定理可得，故【小問(wèn)2詳解】由可得，故結(jié)合得,故，又,故，故，由余弦定理可得17.如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，且平面，垂足為.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由線面垂直得到，結(jié)合正三角形，故，并得到為等邊三角形，，故，即，結(jié)合，得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式得到答案.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，，由勾股定理得，，因?yàn)?，所?又四邊形是菱形，，所以是正三角形，所以.由，得是正三角形，.所以，即.由平面，平面，可得.因?yàn)椋矫?，所以平?【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)?，所以，則，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得取，可得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.在正四棱柱中，已知，點(diǎn)分別在棱上，且四點(diǎn)共面，.（1）若，記平面與底面的交線為，證明：.（2）若，記四邊形的面積為，求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理得線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行即可；（2）利用平行四邊形面積公式得出關(guān)于關(guān)系式，再由兩角和正切公式及變形，結(jié)合均值不等式，二次函數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)椋?，則.在正四棱柱中，易知，所以四邊形是平行四邊形，從而.又平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.【小問(wèn)2詳解】由正四棱柱對(duì)面平行，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，即四邊形為平行四邊形.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.，則，，，化簡(jiǎn)可得.因?yàn)?，所以，整理?由，可得.，易知在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.19.給定平面上一個(gè)圖形D，以及圖形D上的點(diǎn)，如果對(duì)于D上任意的點(diǎn)P，為與P無(wú)關(guān)的定值，我們就稱為關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).（1）已知為圖形D，判斷點(diǎn)是不是關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)；（2）若圖形D是邊長(zhǎng)為2的正方形，是它的4個(gè)頂點(diǎn)，P為該正方形上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若給定單位圓及其內(nèi)接正2024邊形為該單位圓上的任意一點(diǎn)，證明是關(guān)于圓的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，并求的值.【答案】（1）不是（2）（3）證明見解析，4048【解析】【分析】（1）分別計(jì)算與重合和與重合時(shí)這兩種情況下的結(jié)果，再依據(jù)一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)的定義得解.（2）根據(jù)向量運(yùn)算法則得，再結(jié)合正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)可得的最大值和最小值，進(jìn)而得解.（3）先轉(zhuǎn)化，從而得，再結(jié)合和偶數(shù)邊正多邊形圖形結(jié)構(gòu)性質(zhì)即可得解.【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)不是關(guān)于的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，理由如下：當(dāng)與重合時(shí)，有，當(dāng)與重合時(shí)，有，故不是關(guān)于的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，故由正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)得：當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值；當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值0.所以的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)單位圓的圓心為，則，所以，因