河南省新鄉(xiāng)市封丘縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)檢測考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

封丘一中高二上期開學(xué)檢測考試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.）1已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求解兩個集合，再結(jié)合兩集合交集定義求解答案；【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】∵，∴，故選：C3.已知是夾角為的單位向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用投影向量定義及數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)椋蔬x：B．4.若直線的傾斜角為，則直線的一個法向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求直線斜率，得到方向向量，再取到法向量.【詳解】直線的傾斜角為，直線的斜率，直線的一個方向向量為，則直線的一個法向量為．故選：B.5.下列四個函數(shù)中,以為最小正周期,且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像分析周期性和單調(diào)性選出答案即可.【詳解】解:由題知關(guān)于選項(xiàng)A,最小正周期為,所以選項(xiàng)A錯誤;關(guān)于選項(xiàng)B,畫函數(shù)圖像如下:根據(jù)圖像可知選項(xiàng)B正確;關(guān)于選項(xiàng)C,畫函數(shù)圖像如下:根據(jù)圖像可知周期為,選項(xiàng)C錯誤;關(guān)于選項(xiàng)D,畫函數(shù)圖像如下:根據(jù)圖像可知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),選項(xiàng)D錯誤.故選:B6.冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，且，則的值（）A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.無法判斷【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)冪函數(shù)的定義和函數(shù)單調(diào)性求出m的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性和奇偶性即可判斷．【詳解】冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴，解得m＝2，∴，∴在R上為奇函數(shù)，由，得，∵在R上為單調(diào)增函數(shù)，∴，∴恒成立．故選：A．7.一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸，軸，則四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形可得，則可得四邊形面積，后可得四邊形的面積.【詳解】設(shè)軸與交點(diǎn)為D，因軸，軸，則，又軸，則四邊形為平行四邊形，故.又，結(jié)合A′B′⊥x′軸，則，故.則四邊形面積為，因四邊形面積是四邊形的面積的倍，則四邊形OABC的面積為.故選：B8.已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為且，若滿足以上條件的點(diǎn)有且只有一個，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】連接，結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，再由題意可知該圓與直線相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得答案.【詳解】連接，則.又，所以四邊形為正方形，，于是點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.又由滿足條件的點(diǎn)有且只有一個，則圓與直線相切，所以點(diǎn)到直線的距離，解得.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則不可能使的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ABC【解析】【分析】由題意得只需即可，然后逐個分析判斷.【詳解】若，則需，即，對于A，，所以A正確，對于B，，所以B正確，對于C，，所以C正確，對于D，，所以D錯誤.故選：ABC10.銳角三角形中，角，，所對應(yīng)的邊分別是，，，下列結(jié)論一定成立的有（）.A. B.C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】由為銳角三角形，正弦定理及余弦定理即可判斷A；由誘導(dǎo)公式即可判斷B；由為銳角三角形及三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；由為銳角三角形及列出不等式組求解即可判斷D．【詳解】對于A，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故C正確；對于D，由得，，由為銳角三角形得，，即，解得，故D正確；故選：BCD．11.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說法中正確的是（）A.與是互斥事件 B.與是對立事件C. D.與是相互獨(dú)立事件【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概念以及事件的概率求法判斷即可.【詳解】由事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，可知兩事件互不影響，即M與N相互獨(dú)立，易得，，所以,且，綜上，選項(xiàng)C和選項(xiàng)D正確.故選：CD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.某校在高一、高二、高三三個年級中招募志愿者50人，現(xiàn)用分層抽樣的方法分配三個年級的志愿者人數(shù)，已知高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為4:3:3，則應(yīng)從高三年級抽取______名志愿者．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的特征可知，抽取人數(shù)等于樣本容量乘以抽樣比，即可求出．【詳解】高三年級抽取的人數(shù)為．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的特征的理解和運(yùn)用，屬于容易題．13.從、、、任取兩個不同的數(shù)字，分別記為、，則為整數(shù)的概率是______【答案】【解析】【分析】由利用列舉法先求出基本事件總數(shù)，再判斷為整數(shù)滿足的基本事件個數(shù)，由此能求出為整數(shù)的概率．【詳解】從、、、中任取兩個數(shù)記為，作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)：，共12個不同的基本事件，其中為整數(shù)的只有兩個基本事件，所以其概率．故答案為：.14.如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，，平面平面ABCD，中BC邊上的高，則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】【分析】先補(bǔ)全多面體ABCDEF，得到三棱柱，然后求出三棱錐的體積，從而求解．【詳解】在多面體中，由，平面，平面，得平面，延長FE到G，使得，連接DG、AG，如圖：顯然，，幾何體為三棱柱，由平面平面，平面平面，平面，得平面，則三棱柱為直三棱柱，于是三棱錐的體積為：，所以原幾何體的體積為：.故答案為：四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知，，．（1）求與的夾角；（2）求與．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開已知條件，將，代入求解可得；（2）利用向量平方等于模的平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【小問1詳解】由，得，即，求得，再由，可得．【小問2詳解】；．16.2024年5月15日是第15個全國公安機(jī)關(guān)打擊和防范經(jīng)濟(jì)犯罪宣傳日，某市組織了多個小分隊(duì)走進(jìn)社區(qū)，走進(jìn)群眾，開展主題為“與民同心，為您守護(hù)”的宣傳活動，為了讓宣傳更加全面有效，某個分隊(duì)隨機(jī)選擇了200位市民進(jìn)行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：（1）請估計(jì)這200位市民的平均年齡（同組數(shù)據(jù)用組中值代替）；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從年齡在區(qū)間和兩組市民中一共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（2）首先求出年齡在區(qū)間和中抽取的人數(shù)，再列出所有可能結(jié)果，最后由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得這200位市民的平均年齡為：；【小問2詳解】樣本中年齡在區(qū)間的頻率為，年齡在區(qū)間的頻率為，則年齡區(qū)間抽取人，分別記作、、、，年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、，從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪可能結(jié)果有、、、、、、、、、、、、、、共個，其中滿足抽取2人的年齡差大于10歲的有、、、、、、、共個，所以“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.17.甲?乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響．（1）求甲?乙各射擊一次，至少擊中目標(biāo)一次的概率；（2）若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)2次未擊中目標(biāo)就會被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.（2）根據(jù)“第次擊中，后兩次未擊中”求得乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．【小問1詳解】甲?乙各射擊一次，至少擊中目標(biāo)一次的概率為：.【小問2詳解】乙恰好射擊4次后被終止射擊，則“第次擊中，后兩次未擊中”，故所求概率為：.18.在以下三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題中并作答.①；②；③的面積為（如多選，則按選擇的第一個記分）問題：在中，角，，的對邊分別為，，，且

.（1）求角；（2）若，求面積的最大值；（3）在（2）的條件下，若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）3（3）【解析】【分析】（1）選①：由正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡得到求解；選②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；選③利用三角形面積公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.（2）利用余弦定理和基本不等式即可解題；（3）由正弦定理得到，從而有求解.【小問1詳解】若選①：由正弦定理得，則，，，．若選②：，切化弦，得到，則由正弦定理得，，即，，，若選③：，則，由正弦定理得，，.【小問2詳解】由余弦定理得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時，取“＝”號，即．，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時取得最大值．【小問3詳解】由正弦定理得，則，，由于為銳角三角形，則，..19.如圖，在矩形中，，，是線段AD上的一動點(diǎn)，將沿著BM折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段BC上．（1）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時，①證明：平面；②求二面角的余弦值；（2）設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值．【答案】（1）①證明見解析；②（2）【解析】【分析】（1）①由題意可得，，，則平面，從而有，再由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；②過E作EO⊥BD于點(diǎn)O，連接，可證得為二面角的平面角，然后在中求解即可；（2）過點(diǎn)做交于，所以直線與平面所成的角,即為直線與平面所成的角，過E作EO⊥BM于點(diǎn)O，連接，連接，是直線與平面所成的角，是二面角平面角，設(shè)，然后表示出化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.【小問1詳解】①當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時，由可知，由題意知平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以因?yàn)椋矫?，平面，所以平面；②過E作EO⊥BD于點(diǎn)O，連接.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)镋O⊥BD，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以為二面角的平面?且在四邊形ABCD中，A、O、E三點(diǎn)共線.因?yàn)樗?，所以，所以，所以，所以，所以在中，，即二面角的余弦值?【小問2詳解】過點(diǎn)做交于，所以直線與平面所成的角,即為直線與平面所成的