2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)二十一第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.1.2函數(shù)的最大值最小值含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)二十一函數(shù)的最大值、最小值(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.函數(shù)y=x-QUOTE在[1,2]上的最大值為 ()A.0 B.QUOTE C.2 D.3【解析】選B.函數(shù)y=x在[1,2]上是單調(diào)遞增的,函數(shù)y=-QUOTE在[1,2]上是單調(diào)遞增的,所以函數(shù)y=x-QUOTE在[1,2]上是單調(diào)遞增的.當(dāng)x=2時(shí),ymax=2-QUOTE=QUOTE.2.函數(shù)f(x)=QUOTE的最大值為 ()A.1 B.2 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)f(x)=QUOTE是單調(diào)遞減的,此時(shí)f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=1;當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)f(x)=-x2+2在x=0處取得最大值,最大值為f(0)=2.綜上可得,f(x)的最大值為2.3.若函數(shù)y=ax+1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)a的值是()A.2 B.-2 C.2或-2 D.0【解析】選C.當(dāng)a>0時(shí),由題意得2a+1-(a+1)=2,即a=2;當(dāng)a<0時(shí),a+1-(2a+1)=2,所以a=-2.綜上a=±2.4.已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,則f(x)的最大值為()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選C.因?yàn)閒(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a,所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2.所以f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒(x)min=-2,所以f(0)=-2,即a=-2.所以f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.5.函數(shù)f(x)=2x2-mx+3,當(dāng)x∈[-2,+∞)時(shí)是單調(diào)遞增的,當(dāng)x∈(-∞,-2]時(shí)是單調(diào)遞減的,則f(1)= ()A.10 B.-3 C.13 D.1【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-∞,-2]上是單調(diào)遞減的,在[-2,+∞)上是單調(diào)遞增的,所以x=-QUOTE=QUOTE=-2,所以m=-8,故f(x)=2x2+8x+3,所以f(1)=13.6.(多選題)若函數(shù)f(x)=x2-3x-4的定義域?yàn)閇0,m],值域?yàn)?QUOTE,-4,則m可以取()A.QUOTE B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】選A、B、C.因?yàn)閷?duì)稱軸為x=QUOTE,對(duì)應(yīng)函數(shù)值為-QUOTE,所以m≥QUOTE;當(dāng)y=-4時(shí),x=0,3,因此m≤3,綜合可得,m的取值范圍是QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)7.若函數(shù)f(x)=x2-6x+m在區(qū)間[2,+∞)上的最小值是-3,則實(shí)數(shù)m的值為________.

【解析】函數(shù)f(x)=x2-6x+m的對(duì)稱軸是直線x=3,開口向上,所以函數(shù)f(x)在[2,3]上單調(diào)遞減,在(3,+∞)上單調(diào)遞增,故函數(shù)在x=3處取得最小值,由f(3)=32-6×3+m=-3,解得m=6.故實(shí)數(shù)m的值為6.答案:68.用長(zhǎng)度為24m的材料圍成一矩形場(chǎng)地,并且中間加兩道與邊平行的隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長(zhǎng)度為________m.

【解析】設(shè)隔墻的長(zhǎng)為xm,矩形面積為Sm2,則S=x·QUOTE=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,所以當(dāng)x=3時(shí),S有最大值18.答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=QUOTE.(1)證明:函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上是單調(diào)遞減的.(2)求函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最值.【解題指南】(1)運(yùn)用單調(diào)性的定義證明,留意取值、作差、變形、定符號(hào)和下結(jié)論幾個(gè)步驟.(2)運(yùn)用(1)的結(jié)論,即可得到最值.【解析】(1)取?x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=QUOTE由于1<x1<x2,則x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,則f(x1)-f(x2)>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是單調(diào)遞減的.(2)由(1)可得,f(x)在區(qū)間[2,4]上遞減,則f(2)為最大值,且為2,f(4)為最小值,且為QUOTE.10.已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.(2)若y=f(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1.因?yàn)閤∈[-5,5],故當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值為1,當(dāng)x=-5時(shí),f(x)取得最大值為37.(2)函數(shù)f(x)=(x+a)2+2-a2圖象的對(duì)稱軸為直線x=-a.因?yàn)閒(x)在[-5,5]上是單調(diào)的,故-a≤-5或-a≥5,解得a≤-5或a≥5.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-5或a≥5.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.四個(gè)函數(shù):①y=3-x;②y=QUOTE;③y=x2+2x-10;④y=QUOTE其中值域?yàn)镽的函數(shù)有 ()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選B.留意到分段函數(shù)的值域是每支函數(shù)值域的并集,明顯①④值域?yàn)镽,②的值域?yàn)?0,1],③的值域?yàn)閇-11,+∞).2.函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在區(qū)間[-2,+∞)上是單調(diào)遞增的,設(shè)f(x),x∈R最小值為t,則 ()A.t≤-11B.t=-11C.t≥11D.t≤11【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=QUOTE,所以f(x)在QUOTE上是單調(diào)遞增的,所以QUOTE≤-2,所以m≤-16.f(x)min=QUOTE,t=QUOTE=5-QUOTE≤-11.3.若函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇1,3],則函數(shù)F(x)=1-2f(x+2)的值域是 ()A.[-9,-5] B.[-5,-1]C.[-1,3] D.[1,3]【解析】選B.由于函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇1,3],則1≤f(x+2)≤3,-6≤-2f(x+2)≤-2,所以-5≤1-2f(x+2)≤-1.4.(多選題)已知y=f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),令F(x)=f(1-x)-f(3+x),則F(x)在R上可能是 ()A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.先增加后削減 D.先削減后增加【解析】選A、B.設(shè)隨意的x1,x2∈R,且x1<x2,則F(x2)-F(x1)=f(1-x2)-f(3+x2)-f(1-x1)+f(3+x1)=f(1-x2)-f(1-x1)+f(3+x1)-f(3+x2),因?yàn)閤1<x2,所以1-x1>1-x2,3+x2>3+x1,若y=f(x)是R上的減函數(shù),則F(x2)-F(x1)>0,即F(x)在R上是增函數(shù).若y=f(x)是R上的增函數(shù),則F(x2)-F(x1)<0,即F(x)在R上是減函數(shù).二、填空題(每小題5分,共20分)5.函數(shù)y=|x+1|-|2-x|的單調(diào)遞增區(qū)間是________,值域是________.

【解析】y=|x+1|-|2-x|=QUOTE其圖象如圖所示,可知單調(diào)遞增區(qū)間是[-1,2],值域是[-3,3].答案:[-1,2][-3,3]6.將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí),能賣出500個(gè),已知這種商品每漲價(jià)1元,其銷售量就削減10個(gè),為得到最大利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)為________元.

【解析】設(shè)售價(jià)為x元,利潤(rùn)為y元,單個(gè)漲價(jià)(x-50)元,銷量削減10(x-50)個(gè).所以y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9000≤9000.故當(dāng)x=70時(shí),ymax=9000.答案:707.設(shè)f(x)為y=-x+6和y=-x2+4x+6中較小者,則函數(shù)f(x)的最大值為________.

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),作出兩函數(shù)的圖象,由圖可知f(x)的圖象是圖中的實(shí)線部分,視察圖象可知此函數(shù)的最大值為6.答案:68.已知函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在區(qū)間[2,10]上具有單調(diào)性,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

【解析】依據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性知:f(x)在QUOTE上為單調(diào)遞減的,在QUOTE上為單調(diào)遞增的,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x2-kx-8在區(qū)間[2,10]上具有單調(diào)性,所以QUOTE≥10或QUOTE≤2解得k≥80或k≤16,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k≤16或k≥80}.答案:{k|k≤16或k≥80}【補(bǔ)償訓(xùn)練】求函數(shù)f(x)=x2+2x在[t,1]上的值域.【解析】函數(shù)f(x)=x2+2x的對(duì)稱軸為x=-1,則(1)當(dāng)-1<t<1時(shí),[t,1]是單調(diào)增區(qū)間,值域?yàn)閇f(t),f(1)],即[t2+2t,3].(2)當(dāng)-3≤t≤-1時(shí),函數(shù)在x=-1處取最小值,在x=1處取最大值,值域?yàn)閇f(-1),f(1)],即[-1,3].(3)當(dāng)t<-3時(shí),函數(shù)在x=-1處取最小值,在x=t處取最大值,值域?yàn)閇f(-1),f(t)],即[-1,t2+2t].三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間[1,2]上單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】函數(shù)f(x)=x2-2ax-3的圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線x=a,畫出草圖如圖所示.由圖象可知函數(shù)在(-∞,a]和(a,+∞)上分別單調(diào),因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào),只需a≤1或a≥2(其中當(dāng)a≤1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增;當(dāng)a≥2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減),從而a∈(-∞,1]∪[2,+∞).10.已知函數(shù)f(x)對(duì)隨意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-QUOTE.(1)求證:f(x)是R上的減函數(shù).(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.【解析】(1)?x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,因?yàn)閤>0時(shí),f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,又因?yàn)閤2=(x2-x1)+x1,所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<f(x1).所以f(x)是R上的減函數(shù).(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數(shù),所以f(x)在[-3,3]上也是減函數(shù),所以f(x)在[-3,3]上的最小值為f(3).而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×QUOTE=-2.所以函數(shù)f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.11.請(qǐng)先閱讀下面材料,然后回答問(wèn)題.對(duì)應(yīng)問(wèn)題“已知函數(shù)f(x)=QUOTE,問(wèn)函數(shù)f(x)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,說(shuō)明理由.”一個(gè)同學(xué)給出了如下解答:令u=3+2x-x2,則u=-(x-1)2+4,當(dāng)x=1時(shí),u有最大值,umax=4,明顯u沒(méi)有最小值.所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最小值QUOTE,沒(méi)有最大值.(1)你認(rèn)為上述解答是否正確?若不正確,說(shuō)明理由,并給出正確的解答.(2)試探討函數(shù)y=QUOTE的最值狀況.(3)對(duì)于函數(shù)f(x)=QUOTE(a>0),試探討其最值的狀況.【解析】(1)不正確.沒(méi)有考慮到u還可以小于0.正確解答如下:令u=3+2x-x2,則u=-(x-1)2+4≤4.當(dāng)0<u≤4時(shí),QUOTE≥QUOTE,即f(x)≥QUOTE;當(dāng)u<0時(shí),QUOTE<0,即f(x)<0.所以f(x)<0或f(x)≥QUOTE.即f(x)既無(wú)最大值,也無(wú)最小值.(2)因?yàn)閤2+x+2=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,所以0<y≤QUOTE,所以函數(shù)y=QUOTE的最大值為QUOTE,沒(méi)有最小值.(3)對(duì)于函數(shù)f(x)=QUOTE(a>0).令u=ax2+bx+c,①當(dāng)Δ>0時(shí),u有最小值,umin=QUOTE<0;當(dāng)QUOTE≤u<0時(shí).QUOTE≤QUOTE,即f(x)≤QUOTE;當(dāng)u>0時(shí),即f(x)>0.所以f(x)>0或f(x)≤QUOTE,即f(x)既無(wú)最大值,也無(wú)最小值.②當(dāng)Δ=0