專題10類比、拓展探究題

專題10類比、拓展探究題考向1圖形旋轉(zhuǎn)引起的探究【母題來源】2021年中考日照卷【母題題文】問題背景：如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F．實(shí)驗(yàn)探究：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，得到結(jié)論：①Q(mào)UOTE；②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為．（2）小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．拓展延伸：在以上探究中，當(dāng)△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，則△ADE的面積為QUOTEQUOTE．【試題解析】解：（1）如圖1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD，如圖2，設(shè)AB與DF交于點(diǎn)O，AE與DF交于點(diǎn)H，∵△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°，故答案為：，30°；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖3，設(shè)AE與BD交于點(diǎn)O，AE與DF交于點(diǎn)H，∵將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°．拓展延伸：如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB的上方時(shí)，過點(diǎn)D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∠DAB＝90°，∴BE，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三點(diǎn)共線，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE，∵∠DEA＝30°，∴DGDE，由（2）可得：，∴，∴AE，∴△ADE的面積AE×DG；如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在AB的下方時(shí)，過點(diǎn)D作DG⊥AE，交EA的延長線于G，同理可求：△ADE的面積AE×DG；故答案為：或．【命題意圖】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；推理能力?！久}方向】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵，一般為壓軸題型?！镜梅忠c(diǎn)】類比、拓展探究題的解題通法:1.類比、拓展探究題一般會(huì)有三問,每一問都是對前一問的升華和知識(shí)遷移應(yīng)用,解題的一般思路:(1)第一問通過操作發(fā)現(xiàn),找到解決問題的思路和方法;(2)第二問通常是在第一問的基礎(chǔ)上,改變其中的一個(gè)條件,只需觀察改變的條件,即可利用同樣的思路解決問題;(3)第三問通常將原題中的特殊情況推廣到一般情況,利用前兩問的做題思路進(jìn)行求解.2.關(guān)于探究兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系:(1)兩條線段相等,通常通過特殊四邊形和三角形全等來證明.(2)兩條線段有倍數(shù)關(guān)系,通常通過構(gòu)造基本圖形模型來證明:①利用三角形的中位線或含有30°角的直角三角形證明2倍關(guān)系;②利用等腰直角三角形證明倍關(guān)系;③利用含有30°角的直角三角形證明倍關(guān)系.3.關(guān)于探究兩條線段之間的位置關(guān)系:(1)平行,通常用以下方法進(jìn)行證明:①平行線判定定理;②平行四邊形對邊平行;③三角形中位線的性質(zhì).(2)垂直,通常用以下方法進(jìn)行證明:①兩線段所在直線夾角為90°;②兩線段是矩形的鄰邊;③兩線段是菱形的對角線;④勾股定理的逆定理;⑤等腰三角形三線合一的性質(zhì).考向2動(dòng)點(diǎn)引起的探究【母題來源】2021年中考重慶卷【母題題文】在等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF．（1）將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長線過點(diǎn)C時(shí)，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，GF的延長線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，求證：BE+BHBF；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且DN＝2NC，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)NPMP最小時(shí)，直接寫出△DPN的面積．【試題解析】（1）①過D作DH⊥GC于H，如圖：∵線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長線過點(diǎn)C，∴BG＝BF，∠FBG＝60°，∴△BGF是等邊三角形，∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，∵等邊△ABC，AB＝6，BD⊥AC，∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC∠ABC＝30°，CDACAB＝3，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，∴∠BCG＝∠DBC，∴BF＝CF，∴GF＝CF，Rt△FDC中，CF2，∴GF＝2，Rt△CDH中，DH＝CD?sin30°，CH＝CD?cos30°，∴FH＝CF﹣CH，∴GH＝GF+FH，Rt△GHD中，DG；②過E作EP⊥AB交BD于P，過H作MH⊥BC交BD于M，連接PG，作BP中點(diǎn)N，連接EN，如圖：∵EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，∴△EGF是等邊三角形，∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABC+∠EFH＝180°，∴B、E、F、H共圓，∴∠FBH＝∠FEH，而△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，∴∠FEH＝30°，∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，∴EF＝HF＝GF①，∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，∴∠EPF+∠EGF＝180°，∴E、P、F、G共圓，∴∠GPF＝∠GEF＝60°，∵M(jìn)H⊥BC，∠DBC＝30°，∴∠BMH＝60°，∴∠BMH＝∠GPF②，而∠GFP＝∠HFM③，由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），∴PF＝FM，∵EP⊥AB，BP中點(diǎn)N，∠ABD＝30°，∴EPBP＝BN＝NP，∴PF+NP＝FM+BN，∴NFBM，Rt△MHB中，MHBM，∴NF＝MH，∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，Rt△BEP中，EP＝BE?tan30°BE，Rt△MHB中，MH＝BH?tan30°BH，∴BFBEBH，∴BE+BHBF；（2）以M為頂點(diǎn)，MP為一邊，作∠PML＝30°，ML交BD于G，過P作PH⊥ML于H，設(shè)MP交BD于K，如圖：Rt△PMH中，HPMP，∴NPMP最小即是NP+HP最小，此時(shí)N、P、H共線，∵將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，∴F在射線QF上運(yùn)動(dòng)，則P在射線MP上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“瓜豆原理”，F(xiàn)為主動(dòng)點(diǎn)，P是從動(dòng)點(diǎn)，E為定點(diǎn)，∠FEP＝60°，則F、P軌跡的夾角∠QKP＝∠FEP＝60°，∴∠BKM＝60°，∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，而BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四邊形GHND是矩形，∴DN＝GH，∵等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，又DN＝2NC，∴DN＝GH＝2，∵等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，∴BM，BD＝AB?sinA＝6×sin60°＝3，Rt△BGM中，MGBM，BG＝BM?cos30°，∴MH＝MG+GH，GD＝BD﹣BG，Rt△MHP中，HP＝MH?tan30°，∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP，∴S△DPNPN?DN．【命題意圖】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力；模型思想；應(yīng)用意識(shí)【命題方向】本題考查等邊三角形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及旋轉(zhuǎn)變換、解直角三角形、三角形全等的判定及性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，難度較大，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，一般為壓軸位置．考向3圖形變化引起的探究【母題來源】2021年中考赤峰卷【母題題文】數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），點(diǎn)P為平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得線段PD，連接CD、AP點(diǎn)E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，設(shè)直線AP與直線EF相交所成的較小角為β，探究的值和β的度數(shù)與m、n、α的關(guān)系．請你參與學(xué)習(xí)小組的探究過程，并完成以下任務(wù)：（1）填空：【問題發(fā)現(xiàn)】小明研究了α＝60°時(shí)，如圖1，求出了的值和β的度數(shù)分別為，β＝；小紅研究了α＝90°時(shí)，如圖2，求出了的值和β的度數(shù)分別為，β＝；【類比探究】他們又共同研究了α＝120°時(shí)，如圖3，也求出了的值和β的度數(shù)；【歸納總結(jié)】最后他們終于共同探究得出規(guī)律：（用含m、n的式子表示）；β＝（用含α的式子表示）．（2）求出α＝120°時(shí)的值和β的度數(shù)．【試題解析】（1）如圖1，連接AE，PF，延長EF、AP交于點(diǎn)Q，當(dāng)α＝60°時(shí)，△ABC和△PDC都是等邊三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，∵F、E分別是CD、BC的中點(diǎn)，∴，，∴，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝60°，當(dāng)α＝90°時(shí)，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PCCD，ACCB，∵F、E分別是CD、BC的中點(diǎn)，∴，，∴，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，由此，可歸納出，β＝∠ACB；（2）當(dāng)α＝120°，連接AE，PF，延長EF、AP交于點(diǎn)Q，∵AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∠CAE＝60°∴sin60°，同理可得：，∴，∴，又∵∠ECF＝∠ACP，∴△PCA∽△FCE，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．【命題意圖】圖形的相似；模型思想．【命題方向】考查學(xué)生的探究能力，綜合性較強(qiáng)，一般為壓軸題.【得分要點(diǎn)】本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，通過解決本題感受到：圖形在變化但解決問題的方法不變，體會(huì)“變中不變”的思想．1．（2021?范縣模擬）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE，點(diǎn)A，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B，E．（1）如圖1，若A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，則∠CDE＝（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，α＝60°，過點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）圖3中，若CA＝2，CD＝2，將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)α＝90°或270°時(shí)，△CAD的面積最大，最大面積是2．解：（1）如圖1中，∵將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE，∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α，∴CD＝CE，∴∠CDE．故答案為：．（2）AE＝BECF．理由如下：如圖2中，∵將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角60°得到△CBE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等邊三角形，且CF⊥DE，∴DF＝EFCF，∵AE＝AD+DF+EF，∴AE＝BECF．（3）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵S△ACDAC?DFDF，∴當(dāng)DF取得最大值時(shí)，△CAD面積最大，又∵在△CFD中，DF＜CD，∴只有當(dāng)CD旋轉(zhuǎn)到與AC垂直時(shí)，F(xiàn)D才能取得最大值，即FD＝CD＝2，∵旋轉(zhuǎn)角度為0°＜α＜360°，∴當(dāng)α＝90°或270°時(shí)，△CAD的面積最大，最大面積是2，故答案為α＝90°或270°；2．2．（2021?宛城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，把線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到線段EF，連接FC、FB，直線AD與BF相交于點(diǎn)G．（1）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，填空：①的值為；②∠AGB的度數(shù)為；（2）[探究]如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，請寫出的值及∠AGB的度數(shù)，并就圖2的情形給出證明；（3）[應(yīng)用]如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，若AB＝2，∠ACE＝15°，請直接寫出△DFG的面積．解：（1）①∵α＝60°，∴∠BAC＝∠CEF＝60°，∵AB＝AC，線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EF（CE＝EF），∴△ABC和△EFC是等邊三角形，∴BC＝AC，F(xiàn)C＝EC，∠BCA＝∠FCE＝∠ACB＝60°，∴∠FCB＝∠ECA，∴△FCB≌△ECA（SAS），∴BF＝AE，∴1；故答案為：1；②由①得△FCB≌△ECA，∴∠FBC＝∠EAC，∵∠BDG＝∠ADC，∴∠BGD＝∠ACD＝60°，即∠AGB＝60°，故答案為：60°；（2），∠AGB＝30°，證明如下：設(shè)CF與AD交于M，如圖：∵α＝120°，∴∠BAC＝∠CEF＝120°，∵AB＝AC，線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EF（CE＝EF），∴∠BCA＝∠FCE＝30°，，∴∠FCB＝∠ECA，△ABC∽△EFC，∴，∴△FCB∽△ECA，∴，∠BFC＝∠AEC，∵∠FMG＝∠EMC，∴∠AGB＝∠FCE＝30°，在Rt△ACD中，cos30°，∴，∴；（3）①當(dāng)E在線段AD上時(shí)，連接FD，過F作FK⊥AG于K，如圖：∵α＝90°，AB＝AC，線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到線段EF，∴△ABC和△EFC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∵∠ACE＝15°，∴∠DCE＝30°，∵AB＝2，∴AC＝2，，BC＝2，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ECD中，cos30°，∴CE＝2EF，∵∠DEC＝90°﹣∠DCE＝60°，∴∠FEK＝30°，∴FKEF，∵，∠BCF＝45°﹣∠BCE＝∠ACE，∴△BCF∽△ACE，∴∠FBC＝∠EAC＝45°，∵AD⊥BC，∴△BDG時(shí)等腰直角三角形，∴DG＝BD，∴△DFG的面積為DG?FK；②當(dāng)E在DA延長線上時(shí)，連接FD，過F作FT⊥AD于T，如圖：∵∠ACE＝15°，∠ACD＝45°，∴∠ECD＝60°，∴∠DEC＝30°，∠EFD＝60°，∵CD，∴CE＝FE＝2，在Rt△EFT中，F(xiàn)T＝FE?sin60°＝3，∵，∠BCF＝45°﹣∠ACF＝∠ACE＝15°，∴△BCF∽△ACE，∴∠BFC＝∠AEC＝30°，∴∠DGB＝∠BFC+∠BCF＝45°，∴△BDG是等腰直角三角形，∴DG＝BGBC，∴△DFG的面積為DG?FT33；綜上所述，△DFG的面積為或3．3．（2021?南關(guān)區(qū)校級(jí)一模）【教材呈現(xiàn)】華師版九年級(jí)上朋數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，可以猜想：DE∥BC且DEBC．請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖1，寫出證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，在△ABC中AD垂直于∠ABC的平分線BE于點(diǎn)E，且交BC邊于點(diǎn)D，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)．若AB＝5，BC＝9，求EF的長．【拓展廷仲】如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，D為AC中點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到線段AD1，連結(jié)CD1，取CD1的中點(diǎn)E，連結(jié)BE．則△BEC面積的最大值為．解：【教材呈現(xiàn)】如圖1中，作CT∥AD交DE的延長線于點(diǎn)T．∴∠A＝∠ECT，在△AED和△CET中，，∴△AED≌△CET（ASA），∴AD＝CT，DE＝ET，∵AD＝BD，∴BD＝CT，∵BD∥CT，∴四邊形BDTC是平行四邊形，∴DT＝BC，DT∥BC，∵DEDT，∴DEBC，DE∥BC．【結(jié)論應(yīng)用】如圖2中，∵BE⊥AD，∴∠BEA＝∠BED＝90°，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE＝∠DBE，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠BAE＝∠BDE，∴BA＝BD，∴AE＝DE，∵AF＝FC，∴EFCD，∵AB＝BD＝5，BC＝9，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4，∴EFCD＝2．【拓展廷仲】如圖3中，連接DE，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝3，∴AC，∵AD＝DC，∴ADAC，∵DH∥AB，AD＝DC，∴BH＝HC，∴DHAB＝1，∵AD＝DC，ED1＝EC，∴DEAD1，∴點(diǎn)E在以D為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)E到直線BC的最大距離＝DE+DH1，∴△BCE的面積的最大值3×（1）．故答案為：．4．（2021?市南區(qū)校級(jí)二模）如圖，等腰三角形△ABC的腰長AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)沿BC向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CA向A運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P'是點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)，連接PP′和P′Q，P′P和AC相交于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）若當(dāng)t的值是多少時(shí)，P'P恰好經(jīng)過點(diǎn)A？（2）設(shè)△P′PQ的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（0＜t≤4）；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ平分∠P′PC？若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在，請說明理由．（4）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)Q在PC的垂直平分線上？若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在，請說明理由．解：（1）如圖1中，作AM⊥BC于M．∵AB＝AC＝5，AM⊥BC，∴BM＝MC＝4，在Rt△ABM中，AM3，當(dāng)PP′恰好經(jīng)過點(diǎn)A，∵cos∠C，∴，∴t．（2）如圖2中，設(shè)PP′交AC于N．當(dāng)0＜t時(shí)，由△PCN∽△ACM，可得PC＝8﹣2t，PN＝P′N（24﹣6t），CN（32﹣8t），∵CQ＝t，∴NQ＝CN﹣CQ（32﹣13t），∴y?PP′?NQ（48﹣12t）（32﹣13t）t2t（0＜t）．當(dāng)t≤4時(shí)，y?PP′?NQ（48﹣12t）（13t﹣32）t2t（t≤4）．綜上所述，y．（3）存在．理由如下：如圖3中，作QE⊥BC于E．∵PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′，∴QN＝QE，∵sin∠C，∴，∴t＝2，∴t＝2時(shí)，PQ平分角∠P′PC．（4）存在．理由：如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q在CP的垂直平分線上時(shí)，PE＝EC＝CQ?cosC，∴（8﹣2t）＝t?，∴t．∴t時(shí)，點(diǎn)Q在CP的垂直平分線上．5．（2021?朝陽二模）如圖：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，經(jīng)過點(diǎn)A的直線MN∥BC，D是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線DB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線AC于點(diǎn)E．（1）若∠ABC＝45°．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，直接寫出線段AB，AE，AD之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長線上時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出正確結(jié)論，并證明．（2）如圖3，若∠ABC＝60°，BC＝8，AE＝2，其他條件不變，直接寫出AD的長．解：（1）①結(jié)論：AB﹣AEAD．理由：如圖1中，過點(diǎn)D作DF⊥MN交AB于點(diǎn)F，設(shè)DE交AB于點(diǎn)O．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵DF⊥AD，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠FAD＝45°，∴DA＝DF，AFAD，∵∠EAO＝∠ODB＝90°，∠AOE＝∠DOB，∴∠AED＝∠FBD，∴△ADE≌△FDB（AAS），∴AE＝BF，∴AB﹣AE＝AB﹣BF＝AFAD．②結(jié)論不成立．結(jié)論：AE﹣ABAD．理由：過點(diǎn)D作DT⊥MN交BA的延長線于T，設(shè)AC交BD于點(diǎn)J．∵BC∥MN，∴∠DAT＝∠ABC＝45°，∵DT⊥DA，∴∠ADT＝90°，∴∠T＝∠DAT＝45°，∴DA＝DT，ATAD，∵∠BDE＝∠ADT＝90°，∴∠ADE＝∠TDB，∵∠EDJ＝∠JAB＝90°，∠DJE＝∠AJB，∴∠DEJ＝∠ABJ，∴△ADE≌△TDB（AAS），∴AE＝BT，∴AE＝AB＝BT﹣AB＝ATAD．（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AD交BA的延長線于點(diǎn)K，設(shè)AE交BD于點(diǎn)Q．∵BC∥MN，∴∠DAK＝∠ABC＝60°，∵DK⊥AD，∴∠ADK＝90°，∴DKAD，∵∠EDB＝∠ADK＝90°，∴∠EDA＝∠KDB，∵∠EQD＝∠BQA，∠EDQ＝∠QAB＝90°，∴∠DEA＝∠DBK，∴△BDK∽△EDA，∴，∴BKAE＝6，∵∠BCA＝90°﹣∠ABC＝30°，BC＝8，∠CAB＝90°，∴ABBC＝4，∴AK＝BK﹣BC＝2，∵∠K＝90°﹣∠DAK＝30°，∴ADAK＝1．當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時(shí)，如圖4中，過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H．∵AB＝4，AE＝2，∠BAE＝90°，∴BE2，∵∠BAE＝∠BED＝90°，∴A，B，D，E四點(diǎn)共圓，∴∠BED＝∠BAD＝60°，∴BD＝BE?sin60°，∵BH＝AB?sin60°＝2，AHAB＝2，∴DH3，∴AD＝AH+DH＝2+3＝5．綜上所述，AD的值為1或5．6．（2021?尋烏縣模擬）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為A′，連接A′B，點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PD，連接A′D，BD．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，線段BP與A′D的數(shù)量關(guān)系為，∠DA′B＝；【拓展探究】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；【問題解決】（3）當(dāng)∠BDA′＝30°時(shí)，求線段AP的長度．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為A′，則∠ABC＝∠A′BC＝30°，AB＝A′B．∴∠ABA′＝60°．∴△ABA′是等邊三角形，∴∠AA′B＝60°．∵∠APD＝60°，∴∠BAP＝∠ABP＝∠PAC＝30°，∴AP＝PB，PCAP，∵AP＝PD，∴PCPD，∴PC＝CD，∵AC＝A′C，∠ACP＝∠A′CD，∴△APC≌△A′DC（SAS），∴DA′＝AP，∠CA′D＝∠PAC＝30°，∴PB＝DA′，∠BA′D＝60°+30°＝90°，故答案為：相等；90°；（2）成立，證明如下：如圖②，連接AD，∵△AA′B是等邊三角形，∴AB＝AA′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴PA＝PD＝AD，∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠A′AD＝∠PAD+∠CAP，∠BAC＝∠PAD，∴∠BAP＝∠A′AD，在△BAP與△A′AD中，∵，∴△BAP≌△A′AD（SAS），∴BP＝A′D，∠AA′D＝∠ABC＝30°．∵∠BA′A＝60°，∴∠DA′B＝∠BA′A+∠AA′D＝90°；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，由（2）知，∠BA′D＝90°∵∠BDA′＝30°，∴∠DBA′＝60°，∴D在BA的延長線上，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴PA＝PD＝AD，∵BA′＝4，∴BD＝8，∴AP＝AD＝4；如圖④，當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)，由（2）知，∠BA′D＝90°，∵∠BDA′＝30°，∵BA′＝4，∴DA′＝4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAA′＝60°，∴∠PAB＝∠DAA′，∵AB＝AA′，∴△ABP≌△AA′D（SAS），∴PB＝DA′＝4，∵AC＝2，BC＝2，∴CP＝6，∴AP4．綜上所述，線段AP的長度為4或4．7．（2021?太原二模）綜合與實(shí)踐問題背景數(shù)學(xué)小組在一次課外學(xué)習(xí)交流時(shí)，組內(nèi)一同學(xué)提出如下問題：在△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，但不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．連接AD，M為AD的中點(diǎn)，連接EM，CM．觀察發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，EM與CM之間的數(shù)量關(guān)系是EM＝CM；思考分享（2）如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立，請證明．小明是這樣思考的：延長DE至點(diǎn)D'，使得ED′＝DE，連接AD′運(yùn)用三角形中位線定理，…，按照他的思路或采用其他方法證明；探究計(jì)算（3）若∠ABC＝30°，AC＝4，DE＝2，在△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)直線DE經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，線段AD的長為．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，M為AD的中點(diǎn)，∴CM＝MD，∵DE⊥AB，∴△AED是直角三角形，∴EM＝MD，∴CM＝EM，故答案為CM＝EM；（2）成立，理由如下：如圖1，延長DE到點(diǎn)D'，使得D'E＝DE，延長AC到點(diǎn)A'，使得A'C＝AC，分別連接D'A，D'B，A'B、A'D，∵DE⊥BE，∴BE為DD'的垂直平分線，∴BD'＝BD，∴∠D'BD＝2∠DBE，同理可得，BA＝BA'，∠ABA'＝2∠ABC，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠D'BD＝∠ABA'∴∠D'BD+∠ABD＝∠ABA'+∠ABD，∴∠D'BA＝∠DBA'，在△D'BA和△DBA中，，∴△D'BA≌△DBA'（SAS），∴D'A＝DA'，∵DE＝D'E，AM＝DM，AC＝A'C，∴ME、MC分別是△D'DA和△ADA'的中位線，∴EMD'A，CMDA'，∴EM＝CM；（3）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于180°時(shí)，∵∠ABC＝30°，AC＝4，ED＝2，∴AB＝8，BC＝4，BD＝4，BE＝2，∵BE⊥ED，∴△ABE是直角三角形，∴AE2＝AB2﹣BE2，即AE2＝64﹣12＝52，∴AE＝2，∴AD＝22；如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于180°時(shí)，∵BE⊥ED，∴△ABE為直角三角形，∴AE2＝AB2﹣BE2，即AE2＝64﹣12＝52，∴AE＝2，∴AD＝22；綜上所述，AD的長為22或22，故答案為22或22．8．（2021?重慶模擬）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，以正方形的邊長BC為斜邊在正方形內(nèi)作Rt△BEC，∠BEC＝90°．（1）求證：BE﹣CEOE；（2）若CE＝3，BE＝4，①△OBE的面積為（直接寫出結(jié)果）；②點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△OPE周長的最小值為（直接寫出結(jié)果）．（1）證明：如圖1中，設(shè)BE交AC于點(diǎn)J，過點(diǎn)O作OT⊥OE交BE于T．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝OA＝OC，∴∠BOC＝∠TOE＝90°，∴∠BOT＝∠COE，∵∠BOJ＝∠CEJ＝90°，∠OJB＝∠CJE，∴∠OBJ＝∠ECJ，∴△OBT≌△OCE（ASA），∴BT＝CE，OT＝OE，∴△OET是等腰直角三角形，∴∠OEB＝45°，∴ETOE，∵BE＝BT+ET，∴BE＝ECOE，∴BE﹣ECOE．（2）解：①如圖2中，過點(diǎn)O作OT⊥BE于T．∵BE＝4，EC＝3，BE﹣ECOE，∴OE，∵∠OME＝90°，∠OEM＝45°，∴OM＝EM，∴S△OBE?BE?OM41．故答案為：1．②如圖3中，作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N，連接ON交BC于R，連接ER，EN，EN交BC于O，連接OP，此時(shí)PE+PO的值最小，△OPE的周長也最?。逴B＝OC，ON⊥BC，∴RB＝RC，∵∠BOC＝∠BEC＝90°，∴OR＝ER＝BR＝CR＝NR，∴B，C，E，O四點(diǎn)共圓，OT是直徑，∴∠OEN＝90°，∵BC5，∴ON＝5，∵OE，∴EN，∴OP+PE的最小值＝EN，∴△POE的周長的最小值為4．故答案為：4．9．（2021?環(huán)翠區(qū)模擬）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P在平面內(nèi)，連接AP并將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AQ，連接BQ．（1）發(fā)現(xiàn)問題如圖1，如果點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，則線段BQ和線段PC的數(shù)量關(guān)系是BQ＝PC；（2）類比探究如圖2，如果點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．請僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明；（3）遷移應(yīng)用如圖3，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，P是線段BC上的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到線段AQ，連接BQ，試求線段BQ長度的最小值．解：（1）由旋轉(zhuǎn)知：AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝PC，故答案為：BQ＝PC；（2）結(jié)論：BQ＝PC依然成立，理由：由旋轉(zhuǎn)知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝PC；（3）如圖3，在AC上取一點(diǎn)E，使AE＝AB，連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，由旋轉(zhuǎn)知，AQ＝AP，∠PAQ＝45°，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，在△ABQ和△AEP中，，∴△ABQ≌△AEP（SAS），∴BQ＝EP，要使BQ最小，則有EP最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)EP⊥BC時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)），EP最小，在Rt△ABC中，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴AB＝AC?sin∠ACB＝2×sin45°，∴AE＝AB，∴CE＝AC﹣AE＝2，∴EF＝CE?sin∠ACB＝（2）1，故線段BQ的長度最小值是1．10．（2021?寧波模擬）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A是y軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AB，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形ABC（點(diǎn)B、A、C按順時(shí)針方向排列），以y軸為對稱軸作等腰三角形ABE，直線CE交y軸于點(diǎn)F．（1）若∠OAB＝20°，求∠ACE的度數(shù)．（2）連結(jié)BF，請你用等式寫出關(guān)于EF，CF和AB的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖（1）加以證明．（3）當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)過程中，若AB，EF?CF＝3，求EC的長，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∵△ABE是等腰三角形，AO⊥BE，∴∠BAO＝∠EAO＝20°，AE＝AB，∴∠EAC＝130°，AE＝AB＝AC，∴∠ACE＝25°；（2）EF2+CF2＝2AB2，理由如下：如圖1，連接BF，∵AO⊥BE，AE＝AB，∴AO垂直平分BE，∴BO＝EO，EF＝BF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，BCAB，∠ACB＝45°，∵△ABE是等腰三角形，AO⊥BE，∴∠BAO＝∠EAO，AE＝AB，∴∠EAC＝90°+2∠BAO，AE＝AB＝AC，∴∠ACE＝45°﹣∠BAO，∴∠BCE＝∠BAO，∴點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)B，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠BAC＝∠BFC＝90°，∴BF2+CF2＝BC2，∴EF2+CF2＝2AB2；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)F上方時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于G，∵EF2+CF2＝2AB2，AB，∴EF2+CF2＝12，∴（EF+CF）2﹣2EF?CF＝12，又∵EF?CF＝3，∴EF+CF＝3，∴EC＝3，∵EF＝BF，∠EFB＝90°，∴∠FEB＝45°，∴∠FEB＝∠ECG＝45°，∴CG＝EG，∴ECCG＝3，∴CG＝EG＝3，在Rt△CBG中，BG，∴BE＝3，∴EO，∴GO＝3，∴點(diǎn)C（，3）；如圖3，當(dāng)點(diǎn)A在OF上時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于G，同理可求點(diǎn)C（，3）；綜上所述：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，3）和（，3）．11．（2021?東麗區(qū)二模）已知點(diǎn)A（4m﹣6，0），B（0，m+3）分別為兩坐標(biāo)軸正半軸上一點(diǎn)，OA＝OB．（Ⅰ）求m的值及點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)：（Ⅱ）若點(diǎn)D為線段OA上一點(diǎn)（不與O，A重合）．①如圖1，將線段BO沿直線BD翻折，使點(diǎn)O落在AB邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)P是直線BD上一動(dòng)點(diǎn)，求△PEA的周長的最小值；②如圖2，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，若AD+OC＝CD，則∠CFD的大小是否發(fā)生改變，若不變，請求出∠CFD度數(shù)；若變化，請說明理由．解：（1）∵OA＝OB，又∵點(diǎn)A（4m﹣6，0），B（0，m+3），∴4m﹣6＝m+3，∴m＝3，∴點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），∴m＝3，A（6，0），B（0，6）；（2）①如圖，連接OP，∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），在Rt△AOB中，AO＝BO＝6，∴AB6，∵將線段BO沿直線BD翻折，使點(diǎn)O落在