專題4一線三等角模型-【壓軸必刷】中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（學(xué)生版）

【壓軸必刷】中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題4一線三等角模型解題策略解題策略在直線AB上有一點(diǎn)P，以A，B，P為頂點(diǎn)的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一條邊在直線AB上，另一條邊在AB同側(cè)，∠3兩邊所在的直線分別交∠1，∠2非公共邊所在的直線于點(diǎn)C，D．1．當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，且∠3兩邊在AB同側(cè)時(shí)．（1）如圖，若∠1為直角，則有△ACP∽△BPD．（2）如圖，若∠1為銳角，則有△ACP∽△BPD．2．當(dāng)點(diǎn)P在AB或BA的延長(zhǎng)線上，且∠3兩邊在AB同側(cè)時(shí)．如圖，則有△ACP∽△BPD．3．當(dāng)點(diǎn)P在AB或BA的延長(zhǎng)線上，且∠3兩邊在AB異側(cè)時(shí)．如圖，則有△ACP∽△BPD．經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：DE=BD+CE．（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．若S△AEG=7，則【例2】．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D,A,E，在直線m上方有AB=AC，且滿足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，猜想線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)0<α<180°時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，∠BAC是鈍角，AB=AC，∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC，直線m與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若BC=3FB，△ABC的面積是12，求△FBD與△ACE的面積之和．【例3】．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中∠B=∠C=30°，∠DEF=30°，且點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)．將∠DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線DE與線段AB相交于點(diǎn)P，射線EF與射線CA相交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA上時(shí)，①求證：△BPE∽△CEQ；②線段BE，BP，CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，求CQBP培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)．①請(qǐng)說明△ADC≌△CEB的理由；②請(qǐng)說明DE=AD+BE的理由；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出等量關(guān)系，并予以證明．(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接在橫線上寫出這個(gè)等量關(guān)系：________．2．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因?yàn)锳CB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠APD=∠B．①求證：△ABP∽②當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BP的長(zhǎng)．4．（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）問題背景：（1）如圖①，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D，E，易證：DE=______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，請(qǐng)求出DE，BD，CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為?2,0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?6,3，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2021·浙江·義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)八年級(jí)階段練習(xí)）（1）模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；（2）模型應(yīng)用：①已知直線y＝34x+3與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC，過點(diǎn)A，C作直線，求直線AC②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為(8，6)，A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)D在第一象限，且是直線y＝2x﹣5上的一點(diǎn)，若△APD是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．6．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的長(zhǎng)”，請(qǐng)直接寫出此題答案：（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求證：ΔABE≌（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面積為15，則ΔACF7．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）8．（2021·北京·東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，①求證：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D（D不與AB點(diǎn)重合），請(qǐng)你探究直線l，EF、AE、BF之間的關(guān)系．（直接寫出）9．（2021·四川達(dá)州·九年級(jí)期中）模型探究：（1）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：BE=CD；模型應(yīng)用：（2）已知直線l1:y=2x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至直線l（3）如圖3，已知點(diǎn)A、B在直線y=12x+4上，且AB=42．若直線與y軸的交點(diǎn)為M，M為AB中點(diǎn)．試判斷在x軸上是否存在一點(diǎn)C，使得10．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，線段AB=6，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊做正方形APCD，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E，使得∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合），（1）求證：△AEP≌△CEP；（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）△AEF的周長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由．11．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當(dāng)∠BDE＝115°時(shí)，∠BAD＝°，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAD逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當(dāng)∠BAD等于多少時(shí)，△ADE是等腰三角形．12．（2022·重慶江北·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(a,0)、B(0,b)分別在坐標(biāo)軸的正半軸上．（1）如圖1，若a、b滿足(a?4)2+b?3=0，以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角（2）如圖2，若a=b，點(diǎn)D是OA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊在第一象限作等腰直角△BDE，連接AE，求證：∠ABD=∠AED；（3）如圖3，設(shè)AB=c，∠ABO的平分線過點(diǎn)D2,?2，直接寫出a?b+c13．（2021·湖北·咸寧市第三初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上．（1）如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，求CDAM（3）如圖③，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,0，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以O(shè)B、AB為邊在第一、第二象限中作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，連接EF交y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)B在y軸上移動(dòng)時(shí)，PB的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變求PB的值；若變化，求PB的取值范圍．14．（2022·江西·豐城九中七年級(jí)期末）綜合與探究：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C點(diǎn)的坐標(biāo)（3）已知AB＝10，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA＝105°時(shí)，∠EDC＝°，∠DEC＝°；點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變．（填“大”或“小”）（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE？請(qǐng)說明理由．（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說明理由．16．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線CB上（不與點(diǎn)B，C重合），連接DB，DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，并截取EF=DE（點(diǎn)D，F(xiàn)在BC同側(cè)），連接BF．（1）如圖1，點(diǎn)E在BC邊上．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點(diǎn)E在CB邊的延長(zhǎng)線上，其他條件均不變，直接寫出線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系．17．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在綜合實(shí)踐課上，李老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學(xué)們開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．已知，在等腰△ABC紙片中，CA=CB=5，∠ACB=120°，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如圖所示放置，頂點(diǎn)P在線段BA上滑動(dòng)（點(diǎn)P不與A，B重合），三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點(diǎn)C，并與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點(diǎn)D．（1）當(dāng)∠BPC=100°時(shí)，α=______°；（2）當(dāng)AP等于何值時(shí)，△APD≌△BCP？請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)P的滑動(dòng)過程中，存在△PCD是等腰三角形嗎？若存在，請(qǐng)求出夾角α的大??；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（2021·河南·舞陽縣教研室八年級(jí)期中）如圖，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，0）．（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸，求OD的長(zhǎng)及點(diǎn)A的坐