2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：空間幾何體截面歸類(lèi)十四種（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)空間幾何體截面歸類(lèi)十四

種含答案

幾何體截面歸類(lèi)十四種

L目錄

重難點(diǎn)題型歸納...........................................................................1

【題型一】截面做法基礎(chǔ)1：平行線(xiàn)法.........................................................1

【題型二】截面做法基礎(chǔ)2：相交線(xiàn)法.........................................................5

【題型三】截面形狀判定...................................................................9

【題型四】求截面周長(zhǎng).....................................................................11

【題型五】求截面面積.....................................................................14

【題型六】截面分兩部分體積...............................................................16

【題型七】與線(xiàn)、面平行的截面.............................................................19

【題型八】與直線(xiàn)、平面垂直的截面........................................................21

【題型九】外接球截面.....................................................................23

【題型十】?jī)?nèi)切球截面.....................................................................25

【題型十一】“動(dòng)點(diǎn)”型截面.................................................................28

【題型十二】截面與角度...................................................................34

【題型十三】與截面有關(guān)的最值.............................................................36

【題型十四】截面綜合應(yīng)用.................................................................39

好題演練................................................................................42

題型一:截面做法基礎(chǔ)1：平行線(xiàn)法

豈【典例分析】

題］已知正方體ABCD-ABGP的體積為1,點(diǎn)〃■在線(xiàn)段BC上(點(diǎn)"■異于B、。兩點(diǎn)),點(diǎn)N在CC、上滿(mǎn)

足CN=GN,若平面⑷WN截正方體ABCD—小馬6。1所得的截面為五邊形，則線(xiàn)段的取值范圍是

()

A.B.(^-,1)C.(〈/)D.

?M

o【變式演練】

題目口已知直四棱柱ABCD—4BQQ1的底面為正方形，441=2AB=2,河為441的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)

。和8的平面截直四棱柱ABCD—4B1GA所得截面的面積為（）

A.2V3B.2V2C.V6D.V3

,題目切如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABGA中，M是AJBJ的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面CDAG上的動(dòng)

點(diǎn)，且M尸〃截面ABiC,則線(xiàn)段MP長(zhǎng)度的取值范圍是（）

A.B.[A/2,V6]C.[-^">^3]D.[V6,3]

題型二:截面做法基礎(chǔ)2:相交線(xiàn)法

2【典例分析】

四I棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-4B1GA中，點(diǎn)E是線(xiàn)段GA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線(xiàn)段3瓦上，=4,則正方

體ABCD-4B1G2被平面AEF所截得的截面面積為（）

27Vl7口21V17仆15V17「13V17

AA.-^―B-^―C.-^―D.-^―

2【變式演練】

版目'在正方體ABCD-AB'C'U中，48=4,E為棱BC的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B）,F為棱40'的四等分

點(diǎn)（靠近點(diǎn)4）,過(guò)點(diǎn)C',E,F作該正方體的截面，則該截面的周長(zhǎng)是（）

A9V2,258V2,250,872,40472,40

A，4+"TRB3+"TJ3+Un'3+~3~

題目團(tuán)在正方體ABCD-A3QQ1，中，M,N分別為正方形AAQQ和ABiGR的中心，AB=3,則平

面CMN截正方體所得截面的周長(zhǎng)是（）

A.10B.40C.V10D.4V10

?M

題型三：截面形狀判定1

O【典例分析】

O【變式演練】

題目Q如圖,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-ABiGQ內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面

上,再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)命題:

①?zèng)]有水的部分始終呈棱柱形；

②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；

③棱42始終與水面所在平面平行；

④當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，是定值.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

???

題目0如圖是一個(gè)底面半徑為1的圓柱被平面截開(kāi)所得的幾何體，截面與底面所成的角為45°,過(guò)圓柱的

軸的平面截該幾何體所得的四邊形ABB'A為矩形，若沿A4將其側(cè)面剪開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖形狀大致為

題型四：求截面周長(zhǎng)

堡【典例分析】

憫］1已知正方體ABCD-4B1GA的棱長(zhǎng)為6,E、F分別是4A、441的中點(diǎn),則平面CEF截正方體所得

O【變式演練】

題目Q如圖，設(shè)正三棱錐P—ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為2,乙4P3=40°,區(qū)尸分別是BP,CP上的點(diǎn)，過(guò)AE,歹作

三棱錐的截面，則截面△AER周長(zhǎng)的最小值為.

題目0正三棱柱4BC-4BG中,所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)E,F分別為棱的中點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)4，E,F

作一截面，則截面的周長(zhǎng)為（）

C.2V5+V13D.2V5+

題型五：求截面面積:

O【典例分析】

?！咀兪窖菥殹?/p>

［題目11〕.在棱長(zhǎng)為V2的正方體ABCD-ABiGA中，”是棱4。的中點(diǎn)，過(guò)G,BM作正方體的截

面,則這個(gè)截面的面積為（

A.5R9c—D-f

B-T。5

題目也棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABQQi中，河，N分別是AB、5。的中點(diǎn),過(guò)平面。皿W做正方體的

截面,則這個(gè)截面的面積為.

???

題型六：截面分兩部分體積:

O【典例分析】

網(wǎng)］1如圖,在四棱錐Q—EFGH中，底面是邊長(zhǎng)為2方的正方形，QE=QF=QG=QH=4,M為QG的中

點(diǎn).過(guò)EN作截面將此四棱錐分成上下兩部分，記上下兩部分的體積分別為%,%，則稱(chēng)的最小值為

A.--B1c-zD-1

O【變式演練】

題目［T］如圖,正方體ABCD-ABGA中，點(diǎn)E,F,分別是AB,BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,E,F的截面將正方

體分割成兩個(gè)部分,記這兩個(gè)部分的體積分別為弘)，則%%=()

D'

H

R3

A.春B-T「25D

O。47-i

?M

題目區(qū)如圖，正四棱錐P—ABCD的底面邊長(zhǎng)和高均為2,同是側(cè)棱PC的中點(diǎn).若過(guò)4W作該正四棱錐

的截面，分別交棱PB、PD于點(diǎn)E、F（可與端點(diǎn)重合），則四棱錐P—AEMF的體積的取值范圍是.

題型七：與線(xiàn)、面平行的截面，

2【典例分析】

題］已知正方體ABCD-ABiGA的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)P在棱AD上,過(guò)點(diǎn)P作該正方體的截面,當(dāng)截面平行于

平面BQi。且該截面的面積為《時(shí)，線(xiàn)段4P的長(zhǎng)為（）

A.卓B.1C.V3D.V2

?M

O【變式演練】

題i口已知長(zhǎng)方體ABCD—AiBiGR中AB=A4=4,BC=3,河為44i的中點(diǎn)，N為GA的中點(diǎn)，過(guò)

8的平面a與ZW，4N都平行，則平面a截長(zhǎng)方體所得截面的面積為（）

A.3V22B.3VnC.4722D.5VH

題目團(tuán)如圖，在正方體ABCD—ABGDi中，AB=2,點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)人與目

E,GF都平行的平面a被正方體ABCD—ABiG。截得的截面面積為（）

D4

10

題型八:與直線(xiàn)、平面垂直的截面i

O【典例分析】

四I在四面體ABCD中,4BCD=90°,ABJ_平面BCD,AC=CE>.過(guò)點(diǎn)B作垂直于平面ACD的平面a截

該四面體，若截面面積存在最大值,則tan乙4cB的最大值為（）

A的B.^2C.V3D.^3

夕【變式演練】

：題目曰己知正方體ABCD—4BQQ1的棱長(zhǎng)為1,P是441中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。1作平面a,滿(mǎn)足CP±平面a,則

平面a截正方體ABCD-ABGA所得截面的周長(zhǎng)為.

題目@在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—4B1GA中，P為棱AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作平面aLCP,則平面a

截正方體所得的截面面積為.

?M

題型九:外接球截面

2【典例分析】

而1正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4,E為棱AB的中點(diǎn)，過(guò)E作此正四面體的外接球的截面,則該截面面積的

取值范圍是（）

A.［4兀，6兀］B.［4兀，12兀］C.［兀，4兀］D.［兀，6兀］

耍【變式演練】

題目［TJ已知球。是正三棱錐4-BCD（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，及7

=3，AB=2四,點(diǎn)E在線(xiàn)段BD上,且3BE.過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是

（）

A.2兀B.3兀C.4兀D.5兀

D

題目0已知三棱錐P—ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，P力，底面ABC,ABLAC,AB=6,AC

=8,D是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且40=5DB.過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之

差為28兀，則球。的表面積為（）

A.128兀B.1327rC.144兀D.1567t??

題型十：內(nèi)切球截面

?！镜淅治觥?/p>

的I已知正四棱錐P—ABCD的底面邊長(zhǎng)為4碗,高為66,其內(nèi)切球與面PAB切于點(diǎn)M,球面上與P距

離最近的點(diǎn)記為N,若平面a過(guò)點(diǎn)N且與平行，則平面a截該正四棱錐所得截面的面積為

2【變式演練】

題目叵如圖，正四面體A—BCD的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)E、F分別是棱BD、BC的中點(diǎn)，則平面AEF截該正四面

體的內(nèi)切球所得截面的面積為.

題目0已知軸截面為正三角形的圓錐,它的內(nèi)切球的半徑為若以圓錐的底面為下底面、用平行于圓錐

底面的平面截圓錐所得的截面為上底面的圓臺(tái)的體積是圓錐的體積與它的內(nèi)切球的體積的差，則該圓臺(tái)的

高為?

?M

題型十一：“動(dòng)點(diǎn)”型截面

耍【典例分析】

才7

網(wǎng)］1如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-45。1人中，P,河，N分別為棱CG,CB,CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不

與點(diǎn)C,G重合），若CP=C朋'=6,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)4到平面PAW的距離為春

O

B.用過(guò)P,M,。三點(diǎn)的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形

C.BDi〃平面PMN

D.用平行于平面PAW的平面a去截正方體,得到的截面為六邊形時(shí)，該六邊形周長(zhǎng)一定為3V2

2【變式演練】

題目切如圖，在正方體ABCD—ABG。中，為棱4B上的動(dòng)點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是（）

A.一

。二十---????[?

Bi

A.RM與平面馬力。所成角的正弦值的范圍為［乎,1］

B.當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)B重合時(shí)，AM，平面

C.當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)3重合時(shí)，若平面a〃平面BA。,則平面a截該正方體所得截面面積最大值為V3

D.當(dāng)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)時(shí),若平面向人。與交于點(diǎn)P,則用=4FM

?M

題目因正方體ABCD—AB。。為棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在棱BC,CG上，過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該

正方體所得的截面記為S,設(shè)BP=2，CQ=g,其中c,夕C[0,2],下列命題正確的是.(寫(xiě)出所有

正確命題的編號(hào))

①當(dāng)，=0時(shí)，S為矩形，其面積最大為4;②當(dāng)必=沙=1時(shí)，S的面積為費(fèi)；③當(dāng)2=1，(1,2)時(shí)，設(shè)S

與棱GA的交點(diǎn)為五，則五。尸4—土④當(dāng)沙=2時(shí)，以目為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐的體積為定值得.

yJ

題型十二:截面與角度

O【典例分析】

o【變式演練】

題目口如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD—ABQQ1中，河，N分別為棱GQ,G。的中點(diǎn)，則下列

A.直線(xiàn)4W■與BN是平行直線(xiàn)B.直線(xiàn)與AC所成的角為60°

C.直線(xiàn)與平面ABCD所成的角為45°D.平面截正方體所得的截面面積為5

題目勿在長(zhǎng)方體ABCD-A.BQQi中，4B=AD=4,AA2=2,過(guò)點(diǎn)A,作平面々與AB,AD分別交于M,

N兩點(diǎn)，若與平面a所成的角為45°,則截面A7W面積的最小值是（）

A.2V3B.4V2C.4V6D.8^/2

16

題型十三：【題型十三】與截面有關(guān)的最值:

/【典例分析】

題I正方體ABCD-4BQQ1為棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在棱BC,CG上，過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體

所得的截面記為S,設(shè)BP=2，CQ=V，其中,，yC[0,2],下列命題正確的是___________________.（寫(xiě)

出所有正確命題的編號(hào)）

①當(dāng)力=0時(shí)，S為矩形，其面積最大為4；②當(dāng)力=9=1時(shí)，S的面積為

9

③當(dāng)立=1,9e（1⑵時(shí)，設(shè)S與棱的交點(diǎn)為凡則ADi=4—右

④當(dāng)g=2時(shí)，以B為頂點(diǎn),S為底面的棱錐的體積為定值.

V/P

B

O【變式演練】

題目]已知正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）ABC—A出1G的體積為6函，AB=2/,D是AG的

中點(diǎn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段4。上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)且與AP垂直的截面a與AP交于點(diǎn)E,則三棱錐P—BCE的體積

的最小值為（）

題目區(qū)知長(zhǎng)方體ABCD—45GA中，AB=BC=等，點(diǎn)E在線(xiàn)段CG上，貴=“OW4W1）,平面

a過(guò)線(xiàn)段AA1的中點(diǎn)以及點(diǎn)場(chǎng)㈤,若平面a截長(zhǎng)方體所得截面為平行四邊形,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

居,引[方,

A.[0,1]B-[i-i]C.D.1]

?M

題型十四：截面綜合應(yīng)用

?！镜淅治觥?/p>

四I在三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面的射影為△ABC的垂心。（。在A(yíng)ABC內(nèi)部），且P。中點(diǎn)為

過(guò)AM作平行于BC的截面a,過(guò)作平行于A(yíng)C的截面8,記*6與底面ABC所成的銳二面角分別為

仇，2,若則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

=

A.若。尸仇，則AC=BCB.若仇片0.2,則tan^ftan02-y

c.?？赡苤禐閺?qiáng)6D.當(dāng)。取值最大時(shí)，仇=。2

經(jīng)【變式演練】

題目切如圖，球內(nèi)切于正方體，B,C為所在棱的中點(diǎn)，過(guò)4B,C三點(diǎn)的截面圖象為（）

題目區(qū)在三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面的射影為4ABC的垂心。（。在4ABC內(nèi)部），且P。中點(diǎn)為

M■，過(guò)AM作平行于BC的截面a,過(guò)■作平行于A(yíng)C的截面6,記a,6與底面ABC所成的銳二面角分別

為夕「名，若。尸之，則遂的值為（）

A.B.1C.;D，；

X2.好題演練

一、單選題

題目0（2023春?廣東深圳高三?？迹┤魣A錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是

A.1：V2B.V2:lC.2:1D.1:272

題目區(qū)（2023?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD—ABQA的棱長(zhǎng)為3,跖N分別為棱AA?CC,的中

點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱42上靠近點(diǎn)Q的三等分點(diǎn),則平面MNQ截該正方體所得截面的面積為（）

A.V34B.2V34C.10D.12

題目回（2023洞南?校聯(lián)考三模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-中，E為481的中點(diǎn)，M是

截面4ACG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含邊界），ABi，則4W+E朋■的最小值為（）

娓

題目⑷（2023?湖南婁底?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱ABC—45G中，441，底面ABC,AB=BC=

CA=AA.,點(diǎn)D是棱44上的點(diǎn)，4。=，若截面BDCi分這個(gè)棱柱為兩部分,則這兩部分的體積比

為（）

A.1:2B.4:5C.4:9D.5:7

題目回（2023春?貴州?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2,其側(cè)面展開(kāi)圖的中心角為血兀,則過(guò)圓

錐頂點(diǎn)的截面面積最大值為（）

A.1B.V3C.2D.2V3

題目回（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐A-BCD中，=AC=BD=CD=4,平面a經(jīng)過(guò)AC

的中點(diǎn)E,并且與BC垂直，當(dāng)a截此三棱錐所得的截面面積最大時(shí)，此時(shí)三棱錐A—BCD的外接球的表

面積為（）

A80盜70c℃n80

A.―--兀Bn.w兀C.20兀D.w兀

JJJ

題目叵〕（2023春?全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2四，SC的中點(diǎn)

為E,過(guò)點(diǎn)E做與SC垂直的平面a,則平面a截正四棱錐S-ABCD所得的截面面積為（）

4V34V64V2八8

ZAA---------------Rr---------------ni，---------------i>—

二、多選題

題目回（2023高三單元測(cè)試）已知正方體ABCD-人力觴口的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是AB,CG的中點(diǎn),則

（）

A.AC\HEF

B.平面截此正方體所得截面的周長(zhǎng)為5函;A/F

C.三棱錐D-BiEF的表面積為2V6+V14

D.三棱錐D-B.EF的體積為1

題目可（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A.B.C.D,中，分別為AB1和

BC的中點(diǎn)，河是截面A/CG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含邊界），若4MLABi，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AM的最小值為彳B.三棱錐A—的體積為定值

C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)“，使得EM■〃平面ABCDD.4W+EA/的最小值為彳

M

題目?（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-4BQQ1中，過(guò)棱BC,CD的中點(diǎn)

作正方體的截面多邊形,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.截面多邊形可能是五邊形

B.若截面與直線(xiàn)4G垂直,則該截而多邊形為正六邊形

C.若截面過(guò)的中點(diǎn)，則該截面不可能與直線(xiàn)小。平行

D.若截面過(guò)點(diǎn)41，則該截面多邊形的面積為邛工

6

［題目兀（2023?浙江溫州?統(tǒng)考三模）如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，為圓柱底面圓弧

BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，為圓柱的母線(xiàn),點(diǎn)P,Q分別為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,P,Q的平面

a與線(xiàn)段EF交于點(diǎn)R,以下結(jié)論正確的是（）

A.QR//PD

B.若點(diǎn)R與點(diǎn)F重合,則直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)

C.若平面a與平面所成角為。，則tanf的最大值為嗎

D.若P,Q分別為線(xiàn)段AB,GH的中點(diǎn)，則平面a與圓柱側(cè)面的公共點(diǎn)到平面

距離的最小值為力

23

題目叵（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體AB。。中，AB=2,R，B，…，Pn

在線(xiàn)段AB上，且以制=1HBi=???=12-21=因日,過(guò)點(diǎn)打作平行于直線(xiàn)AC,BD的平面，截面面積為

外,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.Q尸1

B.｛冊(cè)｝為遞減數(shù)列

C.存在常數(shù)小，使［工+館1為等差數(shù)列

［CLnJ

D.設(shè)Sn為數(shù)列1注［冊(cè)1的前九項(xiàng)和，則S0=空著時(shí)，九=2023

In）ouo

三、填空題

［題目叵（2023春?湖北武漢高三華中師大一附中?？迹┤鐖D，在三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=8,

NAPB=NAPC=/BPC=40°,過(guò)點(diǎn)A作截面,分別交側(cè)棱PB,PC于E,F兩點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小

值為.

24

題目|亙（2023?江蘇常州?江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？级＃┰谡睦馀_(tái)ABCD-A.BCQi中，AB^2A1B1,

44尸26,同為棱BQi的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該正四棱臺(tái)的截面面積是

題目叵］（2023?四川綿陽(yáng)?四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐P—ABCD的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。

的表面上，PA±平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形，AD〃BC,AB=AD=CD=3,/ABC=卷,

PA=2V2,M■是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且4M=/L4_B.過(guò)點(diǎn)M■作球。的截面,所得截面圓面積的最小值為2兀，

貝！I/I=.

題目口可（2022秋?全國(guó)?高二階段練習(xí)）已知正方體ABC?！狝BQQi的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為44］的中點(diǎn)，過(guò)

B,E,。三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為必若PC%則線(xiàn)段BF長(zhǎng)度的最小值為.

???

幾何體截面歸類(lèi)十四種

1.目錄

重難點(diǎn)題型歸納...........................................................................1

【題型一】截面做法基礎(chǔ)1:平行線(xiàn)法.........................................................1

【題型二】截面做法基礎(chǔ)2：相交線(xiàn)法.........................................................5

【題型三】截面形狀判定...................................................................9

【題型四】求截面周長(zhǎng).....................................................................11

【題型五】求截面面積.....................................................................14

【題型六】截面分兩部分體積...............................................................16

【題型七】與線(xiàn)、面平行的截面.............................................................19

【題型八】與直線(xiàn)、平面垂直的截面........................................................21

【題型九】外接球截面.....................................................................23

【題型十】?jī)?nèi)切球截面.....................................................................25

【題型十一】“動(dòng)點(diǎn)”型截面.................................................................28

【題型十二】截面與角度...................................................................34

【題型十三】與截面有關(guān)的最值.............................................................36

【題型十四】截面綜合應(yīng)用.................................................................39

好題演練................................................................................42

題型一:截面做法基礎(chǔ)1：平行線(xiàn)法

"【典例分析】

幽I已知正方體ABCD-ABGP的體積為1,點(diǎn)〃■在線(xiàn)段BC上(點(diǎn)"■異于B、。兩點(diǎn)),點(diǎn)N在CC、上滿(mǎn)

足CN=GN,若平面⑷WN截正方體ABCD—小馬6。1所得的截面為五邊形，則線(xiàn)段的取值范圍是

()

A.B.(^-,1)C.D.(X)

,一口〉-------------------------------------------------------_---_---------------------------------------34、

【答案】B

【分析】由正方體的性質(zhì)及面面平行的性質(zhì)分析截面與上底面的兩條邊4A和GA有交

點(diǎn)，然后作出截面AMNTS,由相似形得出A,S=2CM=2(1-BM)，從而可得3M?的范圍.

【詳解】因?yàn)榻孛孢^(guò)A點(diǎn)，那么它只能與正方體的過(guò)點(diǎn)人的三個(gè)面中兩個(gè)面有交線(xiàn)，因此截面的邊只

能在正方體ABCD-481GA的兩個(gè)側(cè)面ABBXAX和側(cè)面ADDrAx的其中一個(gè)上(已經(jīng)有一條邊

是24A1),從而截面必與上底面ABiGA有交線(xiàn)，由面面平行的性質(zhì)定理知這個(gè)交線(xiàn)與直線(xiàn)4W平

行，?M

如下圖，在BCi上取點(diǎn)P,使得BF=BM,連接PM可得平行四邊形BMPB,,則PM〃BB,且PM

=BBj,而B(niǎo)BX與AAi平行且相等，得PM〃AA1且PM=AAr,從而AMPAX是平行四邊形，所以4

PIIAM,

在人。1上取入您=CF得平行四邊形AFGQ,因此有A.P〃GQ,

如下圖，截面是五邊形/兒WTS,由面面平行的性質(zhì)定理得/S〃皿N,

因?yàn)閮蓚€(gè)角NAp4s和NMNC的兩邊分別平行，且它們都是銳角，所以AA.AS=ZC7W,而ZAA.S

=LNCM=90°,

所以ZVIAS?/\NCM,所以=堯,CN=CiN,因此有CN=3CC產(chǎn)，

所以4S=2CM,

所以4S=2CM=2（1—B7W）,0V2（l—BN）VI,9VBAfVl,

-\r/c

7M

故選：B.

R庶去扇I】誓

】基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn),不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了,再改成任意等

分點(diǎn)。做出過(guò)三E,EG點(diǎn)的截面

特征：1、三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線(xiàn)在表面上。本題如下圖是EF（這類(lèi)型的關(guān)鍵）；2、“第三點(diǎn)”是在外棱上，如

C1,注意:此時(shí)合格點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無(wú)論它在何處,只要在棱上就可以。最后處

有解釋。

?M

方法二:平行線(xiàn)法。

本題用平行線(xiàn)法，并不太快捷，不過(guò)也成立。

平行線(xiàn)法特征：有兩點(diǎn)連線(xiàn)在表面：EF,在前側(cè)面

方法如下：

1、尋找點(diǎn)所在的與線(xiàn)EF的所在紅色表面平行的面:里邊側(cè)面（綠色的）

2、在這個(gè)面內(nèi),過(guò)C1做EF平行線(xiàn),顯然必須擴(kuò)展這個(gè)面了。如第三圖。

3、注意！注意！，E與F分別在右側(cè)面和下側(cè)面上（紅色面就不要用了）

4、注意這任面的相交棱，

5、下邊過(guò)C1做EF平行線(xiàn)，交這倆棱于K,L第二排圖

6、分別連FK與EL,交點(diǎn)為J與H。出截面，與第一種方法一致。

2【變式演練】

、題目①已知直四棱柱ABCD-4BQQ1的底面為正方形，44產(chǎn)2AB=2,同為441的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M,

D和民的平面截直四棱柱ABCD-所得截面的面積為（）

A.2V3B.2V2C.V6D.V3

【答案】。

【分析】作出截面，判斷截面為菱形，即可得出截面面積.

【詳解】如圖，

過(guò)點(diǎn)。作MB1的平行線(xiàn)，交。G于點(diǎn)F,則F為。G的中點(diǎn)，連接FB1,則過(guò)

點(diǎn)、M,D和Bi的平面截直四棱柱ABC。-4BQQ1所得截面即四邊形

DFB.M.

易得。尸=2,所以四邊形OF場(chǎng)M為菱形，連接詆，

則DBi_LMF,又DBi="1+1+4=V6,MF=J\+1=V2,

所以截面面積為xV2xV6=V3,

故選：D.

:題目區(qū)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-4BQQ1中，M是A.B,的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面CDAG上的動(dòng)

點(diǎn)，且M尸〃截面ABC,則線(xiàn)段MP長(zhǎng)度的取值范圍是（）

A.B.[V2,V6]C.D.[V6,3]

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件及三角形的中位線(xiàn)，利用線(xiàn)面平行的判定定理及面面平行的判定定理，結(jié)合直角

三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.

4

【詳解】取CG的中點(diǎn)為凡取CD的中點(diǎn)為N,取BQi的中點(diǎn)為H,如圖所示

因?yàn)镸是45的中點(diǎn)，H是B。］的中點(diǎn)，

所以B。//HR,

因?yàn)橹鷔平面ABQ,BiCu平面AB}C,

所以許〃平面ABQ,

同理可得，［儂〃平面4BQ,

又HRCMH=H,HR,MHc平面MNRH,

所以平面平面MNRH〃人耳。.

及MPu平面MNRH,線(xiàn)段MP掃過(guò)的圖形是△MAR,

由AB=1,得MN=Vl2+12=V2,NR=J（十）+（}）=

7（T）2+12=*MR=/（+川乎7=泮

所以MN2=NR'+MB2,AMRN為直角，

所以線(xiàn)段MP長(zhǎng)度的取值范圍是：［MR,MN］,即［乎,2］.

故選：A.

題型二:截面做法基礎(chǔ)2:相交線(xiàn)法

支【典例分析】__________________________________________________________________

麗I棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD—ABQNi中，點(diǎn)E是線(xiàn)段CR的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線(xiàn)段BB1上，BF=4,則正方

體ABCD-被平面4EF所截得的截面面積為（）

A27VT721vl7「15VT7八13用

A.---Ra.---u.---u.---

、乂

【答案】B

【解析】延長(zhǎng)交直線(xiàn)4F于Q,連接EQ交BG于N,得N是81G的中點(diǎn),延長(zhǎng)A.DX直線(xiàn)EN于

P,連接4P交DDi于河，作出截面AFNEM,利用SAFNEM=S^F+SENFM,即可求解面積.

【詳解】延長(zhǎng)45交直線(xiàn)/斤于Q,

因?yàn)槿?需=春，所以BQ=C閥

連接石。交5G于N,得N是81G的中點(diǎn)，延長(zhǎng)4A直線(xiàn)EN于P,

連接AP交DDi于M■，作出截面AFWE7W如下圖所示，

??

22

則SAFNEM=S段掰+SENFM，4AMF中，AM—AF=A/4+6=2V13,A^F=6A/2,

故△AMF的面積

S—春?MF,h=春x6A/2x(V52—18)—6,17,

四邊形ENFM中，ME=NF=VI+9=V13MF=6gEN=3四，高為‘加_(蝮,研)2

八~ST_V34

*_0一丁

四邊形ENFM的面積

S=y(3V2+6V2)=

故所求截面面積為21^^.

故選B

方法歸納

基礎(chǔ)