2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 三角形（八大易錯(cuò)分析+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（解析版）

易錯(cuò)04三角形

■工角務(wù)一邊關(guān)常、易特點(diǎn)一:息一三角形構(gòu)成條件

，扁不芬航下或荔我，中垂或乂易錯(cuò)點(diǎn)二:混淆各種線的概念及力法

，三■刑利高催■問(wèn)孫、易錯(cuò)點(diǎn)三:時(shí)論不至事.今令aiHfe

=。蘭舟#的4公、易錯(cuò)用四:比例關(guān)系混淆

量04￥黑三角形同窺段.同修小五:討論不全面，需分類討論

證明一等三詢1、易錯(cuò)序六:錯(cuò)用SSA證明

卜》銀三―kj易錯(cuò)點(diǎn)七:書(shū)寫(xiě)妻注重字母對(duì)■度

%上角一前而刊實(shí)際應(yīng)甫K易錯(cuò)點(diǎn)八:混淆角的專業(yè)術(shù)語(yǔ)

易錯(cuò)點(diǎn)一：忽略三角形構(gòu)成條件

三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.

易錯(cuò)提醒：在解題時(shí)，要根據(jù)三角形存在的條件，驗(yàn)證求得的解，否則容易造成多解.

例1.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的周長(zhǎng)為12,則這個(gè)三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.以上三種情況都有可能

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，設(shè)最長(zhǎng)邊為x,另外兩邊之和為y,

則x+y=12；根據(jù)題意求出x的取值范圍是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)最長(zhǎng)邊為X,另外兩邊之和為y,則無(wú)+y=12

由三角形的三邊關(guān)系得：y>x,

Ax+y>2x,即：x<6

??,三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，

12廣

—?x,艮[J]之4,

3

/.4<x<6

.,.尤可以取4或5,

當(dāng)尤=4時(shí)，三邊只能是4,4,4,為等邊三角形；

當(dāng)x=5時(shí)，三邊有兩種情況：①3,4,5,為直角三角形，②5,5,2,為等腰三角形.

故選：D

易錯(cuò)警示：三角形三邊之間的不等關(guān)系，注意其中的“任何兩邊”。求最短距離的方法。

例2.已知等腰ASC的底邊長(zhǎng)為5.其腰長(zhǎng)恰好是方程丁-2（加+1卜+6〃7-2=0的根，貝機(jī)的值是（）

A.2B.4C.1D.3

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，以及三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)一元二次

方程根的判別式，求得m=1或根=3,再將m的分別代入一元二次方程求出腰長(zhǎng)，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，

即可確定m的值.

【詳解】解：X?一2（加+1）尤+6/%一2=0,

a=l,/?=-2（m+l）,c-6m-2,

A=Z?2—4ac=4（m+l）2—4（6m—2）=0,

解得：根=1或〃z=3,

當(dāng)m=1時(shí)，X2—4x+4=0>解得：x=2,

Q2+2<5,不滿足三角形的三邊關(guān)系，

:.m=l（舍去）；

當(dāng)〃z=3時(shí)，X2—8x+16=0,解得：尤=4,

4+4>5,滿足三角形的三邊關(guān)系，

即，”的值是3,

故選：D.

變式L若菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8,邊A3的長(zhǎng)為方程尤2一8》+15=0的一個(gè)根，則菱形A5CZ）的

周長(zhǎng)為（）

A.24B.12C.20D.12或20

【答案】C

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由三

角形的三邊關(guān)系得出A3是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.解方程得出x=3或x=5,分兩種情況：①當(dāng)==3時(shí),

3+3<8,不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)AB=AD=5時(shí)，5+5>8,即可得出菱形A3CD的周長(zhǎng).

【詳解】解：如圖所示：

才

-------fC

?.?四邊形"CD是菱形，

AB=BC=CD=AD,

,/X2-8X+15=0,

因式分解得：（x-3）（彳-5）=0,

解得：x=3或x=5,

分兩種情況：

①當(dāng)AB=AD=3時(shí)，3+3<8,不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)AB=AD=5時(shí)，5+5>8,

菱形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=20.

故選：C

變式2.定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的3倍，這樣的三角形叫做“3倍長(zhǎng)三角形”.若等腰

是“3倍長(zhǎng)三角形"，底邊3C的長(zhǎng)為3,則等腰,ABC的周長(zhǎng)為—.

【答案】21

【分析】本題考查了等腰三角形的定義以及三角形三邊關(guān)系，讀懂題意，理解“3倍長(zhǎng)三角形”是解本題的

關(guān)鍵.由等腰-ABC是“3倍長(zhǎng)三角形”，可知AB=33C或3C=3AB,若AB=33C=9,可得AB的長(zhǎng)為9；

若8c=3鉆=3,因?yàn)?+1<3,故此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；再根據(jù)周長(zhǎng)的多余即可得答案.

【詳解】解：.?等腰,ABC是"3倍長(zhǎng)三角形”，

:.AB=3BC^BC=3AB,

若AB=33C=9,貝kABC三邊分別是9、9、3,符合題意，

等腰三角形A3C的周長(zhǎng)為9+9+3=21；

若BC=3AB=3,則AB=1,ABC三邊分別是1、1、3,

1+1<3,

.?.此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；

綜上所述，等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為21.

故答案為：21.

變式3.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為8,當(dāng)。每取一個(gè)值時(shí)，該等腰三角形都只有一個(gè)，則。的取值范圍

是.

【答案】0<?<4

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形中兩腰相等，以及三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)三角形三邊

關(guān)系列出不等式，通過(guò)解不等式即可得到答案

【詳解】解：若。是腰長(zhǎng)，則2。>8,即°>4；

若。是底邊長(zhǎng)，貝|0<a<16.

因?yàn)閍不能既是腰長(zhǎng)又是底邊長(zhǎng)，所以0<aV4.

故答案為：0<aV4.

變式4.已知關(guān)于尤的方程，x1-(k+2)x+2k=0.

(1)求證：無(wú)論左為任意實(shí)數(shù)值方程，總有實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰三角形ABC的一邊a=l,另兩邊氏c恰是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求三角形ABC的周長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵5

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的

條件：

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；

(2)分當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為1時(shí)，則是方程r-(％+2)%+2左=0的一個(gè)根，當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為1時(shí)，則

原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，兩種情況求出k的值進(jìn)而求出另一個(gè)根，再根據(jù)構(gòu)成三角形的條件求解即可.

【詳解】⑴證明：由題意得，A=[-住+2)7-8左

=k2+4k+4-8k

二左2一4左+4

=(Jt-2)2>0,

無(wú)論人為任意實(shí)數(shù)值方程，總有實(shí)數(shù)根；

(2)解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為1時(shí)，則x=l是方程/-化+2.+2%=0的一個(gè)根，

，1一（左+2）+2左=0,

:.k=l,

.?.原方程為V-Bx+ZnO,

解得x=1或x=2,

...底邊長(zhǎng)為2,

V1+1=2,

.?.此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為1時(shí)，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

；.△=（左-2）2=0,

/.k=2,

.,?原方程為

=

解得xAx1=1,

Vl+2>2,

此時(shí)能構(gòu)成三角形,

ABC的周長(zhǎng)為2+2+1=5.

1.等腰三角形ABC中，底邊3c=10,S.\AB-BC\=3,則鉆=.

【答案】13或7/7或13

【分析】本題考查等腰三角形的定義，絕對(duì)值，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，先根據(jù)3C|=3計(jì)算出的

值，再判斷是否符合三角形三邊關(guān)系即可.

【詳解】解：\AB-BC\=3,

AB-BC=±3,

BC=10,

??.AB=13或7,

當(dāng)AB=13時(shí)，三條邊長(zhǎng)為13,13,10；當(dāng)鉆=7時(shí)，三條邊長(zhǎng)為7,7,10,

均符合三角形三邊關(guān)系，滿足題意，

故答案為：13或7.

2.已知，a、6是等腰三角形的兩邊，且Ja-3+(6-6)2=。,則這個(gè)三角形周長(zhǎng)是.

【答案】15

【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，二次根式和完全平方的非負(fù)性，構(gòu)成三角形三邊關(guān)系.根據(jù)題意先求

出。、6的值，再利用等腰三角形定義分類討論三角形邊的情況即可.

【詳解】解：：V^+(b-6)2=0,

|?—3=0,/

\,八，解得：a=3,b=6,

[6—6=0

6是等腰三角形的兩邊，

①當(dāng)。為腰時(shí)，則6為底，三角形為：3,3,6,

?;3+3=6不符合構(gòu)成三角形三邊關(guān)系，

...此種情況舍去；

②當(dāng)。為底時(shí)，則匕為腰，三角形為：3,6,6,

,此時(shí)符合構(gòu)成三角形三邊關(guān)系，即周長(zhǎng)為：3+6+6=15,

故答案為：15.

3.等腰三角形A8C的周長(zhǎng)為7cm,AB=3cm,則3C的長(zhǎng)為—.

【答案】1cm或2cm或3cm

【分析】本題考查了等腰三角形性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，根據(jù)題干可以分為三種情況：①當(dāng)A3為底邊時(shí)、

②當(dāng)8c為底邊時(shí)、③當(dāng)C4為底邊時(shí)，根據(jù)以上三種情況討論邊的取值即可解題.

【詳解】解：等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為7cm,AB=3cm,

分以下三種情況：

①當(dāng)48為底邊時(shí)，

BC=C4=(7-AB)4-2=2(cm),

此時(shí)三邊長(zhǎng)為別為3cm、2cm、2cm,滿足三角形三邊關(guān)系；

②當(dāng)BC為底邊時(shí)，

AB=CA=3cm,

.?.BC=7—2AB=l(cm),

此時(shí)三邊長(zhǎng)為別為3cm、3cm、1cm,滿足三角形三邊關(guān)系；

③當(dāng)C4為底邊時(shí)，

AB=BC=3cm,

/.G4=7-2AB=l（cm）,

此時(shí)三邊長(zhǎng)為別為3cm、3cm、1cm,滿足三角形三邊關(guān)系；

故答案為1cm或2cm或3cm.

4.如果ABC是等腰三角形，M|AB-4|+|9-AC|=0,貝|ABC的周長(zhǎng)為（）.

A.13B.17C.17或22D.22

【答案】D

【分析】本題考查了絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用，構(gòu)成三角形的條件，等腰三角形的性質(zhì)；由絕對(duì)值非負(fù)性可求

AB=4,AC=9,分類討論①當(dāng)3C=AB=4時(shí)，②當(dāng)BC=AC=9時(shí)，即可求解；理解非負(fù)性，能個(gè)根

據(jù)等腰三角形的腰的不同進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解］解：|AB-4|+|9-AC|=O,

AB-4=0,AC-9=0,

■-AB=4,AC=9,

ABC是等腰三角形，

①當(dāng)3C=AB=4時(shí)，

三邊長(zhǎng)為：4,4,9,

4+4<9,

二不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)8C=AC=9時(shí)，

三邊長(zhǎng)為：4,9,9,

能構(gòu)成三角形，

故三角形的周長(zhǎng)為4+9+9=22；

綜上所述：三角形的周長(zhǎng)為22；

故選：D.

5.已知a、b、c是ABC的三邊，且+ab-62-ac=O，則ABC一定是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，熟練掌握因式分解的方法是

解本題的關(guān)鍵.已知等式變形后分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個(gè)為0,得到6=c,

即可確定出三角形形狀.

【詳解】解：+a6-62-ac=O,

(ab-℃)-(6--c?)=0,

。伍-c)一(b+c)0-c)=O,

(b-c)(a-b-c)=O,

b-c=O<^a-b-c=O,

b=c^a=b+c,

b、c是ABC的三邊，

b+c>a,

a=6+c不成立，只能是6=c,

二，ABC一定是等腰三角形.

故選：C.

6.已知三角形中兩邊邊長(zhǎng)值分別是f-8x+15=0的兩根，設(shè)其剩下的邊邊長(zhǎng)值為加，則加的取值范圍

是一

【答案】2<m<8

【分析】本題考查了解一元二次方程以及三角形三邊關(guān)系，先利用因式分解法解方程，再根據(jù)三角形三邊

關(guān)系可得答案.

【詳解】解：「尤2一8工+15=0,

\(x-5)(x-3)=0,

貝"5=0或x—3=0,

解得玉=5,%=3,

則該三角形第三邊優(yōu)的取值范圍是5-3<帆<5+3,即2<相<8,

故答案為：2<〃z<8.

7.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為30cm.

(1)已知腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求各邊的長(zhǎng)；

(2)已知其中一邊的長(zhǎng)為7cm.求其它兩邊的長(zhǎng).

【答案】(1)這個(gè)等腰三角形的各邊的長(zhǎng)為12cm,12cm,6cm；

(2)另外兩邊的長(zhǎng)為11.5cm,11.5cm.

【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系.

（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為"m,則腰長(zhǎng)為2xcm,根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng)為30cm列方程求出x,即可得出答案；

（2）分情況討論：①當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為7cm時(shí)，②當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm時(shí)，分別根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng)為30cm列式計(jì)

算即可.

【詳解】（1）解：設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm,則腰長(zhǎng)為2xcm,

?.?三角形的周長(zhǎng)是30cm,

2x+2x+x=30,

解得：x—6,則2x=12,

.?.這個(gè)等腰三角形的各邊的長(zhǎng)為12cm,12cm,6cm；

（2）解：①當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為7cm時(shí)，

則腰長(zhǎng)為：（30-7）+2=H.5（cm）,

所以另外兩邊的長(zhǎng)為U.5cm,11.5cm,且符合三角形三邊關(guān)系定理；

②當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm時(shí)，

則底邊長(zhǎng)為：30-7x2=16（cm）,

所以另外兩邊長(zhǎng)為7cm,16cm,7+7<16,不符合三角形三邊關(guān)系定理.

綜上，另外兩邊的長(zhǎng)為11.5cm,11.5cm.

易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆各種線的概念及畫(huà)法

三角形的中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段；

三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段;

三角形的高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段

垂直平分線（中垂線）：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線

易錯(cuò)提醒：一是要對(duì)各種線的概念進(jìn)行熟記；二是能夠根據(jù)題意畫(huà)出規(guī)范圖形

?S?0

例3.如圖，CD,CE,CF分別是，ABC的高、角平分線、中線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

c

A.S=SB.ZACE=-ZACB

ACFBCF2

C.AB=2BED.CDLBE

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形高，中線,角平分線的定義，熟知相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形高,

中線，角平分線的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：是二ABC的中線,

：.AF=BF,

AF

???AFC=^CD=^BFCD=SBFC,A選項(xiàng)正確，不符合題意；

,/CE是4ABe的角平分線，、

：.ZACE^^ZACB,B選項(xiàng)正確，不符合題意；

???CT是11Ase的中線，

:.AB=2BF#2BE,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

8是《ASC的高，

:.CD工BE,D選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選D.

:易錯(cuò)警示：注意三角形的概念以及三角形的角平分線，中線，高線的特征與區(qū)另!J。

例4.在中，已知NC=90。，有一點(diǎn)。同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①在直角邊BC上；②在/C43

的角平分線上；③在直角邊A5的垂直平分線上，則等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用以及角平分線的性質(zhì)，能求出4==是解此

題的關(guān)鍵，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到=得到=根據(jù)角平分線的定義得到

NDAB=NDAC,根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算即可.

【詳解】解：是，ASC的4B邊的垂直平分線，

?*.AD=BD，

ZB=ZDAB,

：AO平分ZBAC,

/.ZDAB^ZDAC,

：.NB=NDAB=NDAC,

VZC=90°,IB?DAB1DAC?C180?

ZB=30°,

故選：B.

變式1.如圖，在ABC中，ZC=90°,D,￡是AC上兩點(diǎn)，S.AE=DE,BD平分NEBC,那么下列說(shuō)

法中不正確的是（）

A.BE是的中線B.BD是,3CE的角平分線

C./l=N2=/3D.BC是聞汨的高

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的高線，三角形的角平分線定義，三角形的中線等知識(shí)點(diǎn)，能熟記知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)

容是解此題的關(guān)鍵.利用己知條件和三角形中線即可判斷出A選項(xiàng)的正誤；利用已知條件和角平分線的定

義即可判斷出B選項(xiàng)的正誤；利用角平分線的性質(zhì)只能得到/2=/3,但沒(méi)有辦法得到4=/2,這樣就

很容易判斷出C選項(xiàng)的錯(cuò)誤；由于NC=90。，結(jié)合“從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫(huà)垂線，頂點(diǎn)到垂

足之間的線段叫做三角形的高”即可判斷出BC是否是△3DE的高，這樣也能得出D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】A、由圖可知：BE是△A&D的中線，正確，不符合題意；

B、由圖可知：BD是3CE的角平分線，正確，不符合題意；

C、Q3D是的角平分線，

.-.Z3=Z2,

BE是中線,

.?.Nlw/2,

N1=N2=N3不正確，符合題意.

D、由圖可知：

ZC=90°

:.BC是ABE的高，正確，不符合題意；

故選C.

變式2.如圖，已知.ABC,按下列要求畫(huà)圖:

(1)畫(huà)出/ABC的平分線，并指出相等的角；

(2)畫(huà)出8C邊上的中線，并指出相等的線段；

(3)畫(huà)出8c邊上的高，并指出圖中所有的直角三角形.

,圖中的直角三角形有△AFB,ZkAEE和△人■?

【詳解】(1)8。是NABC的平分線.ZABD=ZCBD.

(2)AE是BC邊上的中線.BE=CE.

(3)AF是BC邊上的高.：A尸13C,NAFC=90。，...圖中的直角三角形有中，花和

△AFC.

變式3.如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.將ABC經(jīng)過(guò)一

次對(duì)稱后得到A8C',圖中標(biāo)出了點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A.

⑴補(bǔ)全一A'B'C'；

⑵畫(huà)出AC邊上的中線80；

⑶畫(huà)出AC邊上的高線8E；

(4)求JLBC的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

(4)8

【分析】(1)連接A4',作利用格點(diǎn)找出AA的垂線，即為對(duì)稱軸，再作出點(diǎn)5點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)，順次連

接即可得到AB'C；

(2)利用格點(diǎn)找出AC的中點(diǎn)。，連接80即可；

(3)利用格點(diǎn)作△班H,使得AABD^BFH,BH交AD于點(diǎn)E,利用全等三角形的性質(zhì)可證MIAD,

8E即為所求；

(4)利用格點(diǎn)和三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：A'3'C如下圖所示；

(2)解：AC邊上的中線如下圖所示;

(3)解：AC邊上的高線仍如下圖所示;

理由如下：

由格點(diǎn)可知=BF=AB,

又ZHFB=/DBA=90。,

，一ABD^BFH(SAS),

/HBF=/DAB,

ZADB+ZZMB=90°,

AZADB^ZHBF=9Q0,

A/DEB=90。,

???瓦:為AC邊上的高線；

(4)解：SABc=SMD+ScBD=g創(chuàng)24+；創(chuàng)24=8.

即；ABC的面積為8.

【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)作圖，涉及作軸對(duì)稱圖形、作三角形的中線、高線、全等三角形的判定與性質(zhì)等，

第3問(wèn)有一定難度，解題的關(guān)鍵是利用格點(diǎn)構(gòu)造一.

變式4.如圖所示，AE為ABC的角平分線，8為.ABC的高，若/B=30。，ZACB=75°,求NAPC的

度數(shù).

【答案】127.5°

【分析】首先根據(jù)三角形高的定義可知/ADC=90。，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理解得/54C的值，結(jié)合AE

為的角平分線，可得/及花=37.5。，然后根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”，

由/AFC=N54E+/ADC求解即可.

【詳解】解：為cABC的高，

/.ZADC=90°,

VZB=30°,ZACB=75°,

：.ZBAC=180°-ZB-ZACB=180°—30°-75°=75°,

?；AE為ABC的角平分線，

/.ZBAE=-ZBAC=37.5°,

2

：.ZAFC=ZBAE+ZADC=37.5°+90°=127.5°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義和性質(zhì)、三角形的角平分線和三角形的高

等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

1.如圖，A、B、C分別為某經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)中的三地，每?jī)傻刂g都修建了一條筆直的公路，現(xiàn)在要在A、B、

C三地之間建一個(gè)加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)建在（）.

A.AC、8C兩邊高線的交點(diǎn)處B.NA、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處

C.AC,BC兩邊中線的交點(diǎn)處D.AC,BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處

【答案】B

【分析】本題考查角平分線性質(zhì).角平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，利用性質(zhì)即可得到本題答案.

【詳解】解：：要在A、B、C三地之間建一個(gè)加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，

,將加油站建在么4兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處即可到三邊的距離相等，

故選：B.

2.如圖，三條公路把A、8、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)

集貿(mào)市場(chǎng)，使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在（）

A.在AC、兩邊高線的交點(diǎn)處B.在—A、23兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處

C.在AC、8c兩邊中線的交點(diǎn)處D.在AC、3c兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等即可選擇.

【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在/A、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線性質(zhì)，掌握三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三

條邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在ABC中，AC^BC,AB=6,ASC的面積為12,于點(diǎn)。，直線所垂直平分BC

交A8于點(diǎn)E,交3C于點(diǎn)RP是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△尸3D的周長(zhǎng)的最小值是（）

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間連線段最短等；連接尸C,由

三角形面積得CD=4,由等腰三角形的性質(zhì)得比）=：AB=3,由線段垂直平分線的性質(zhì)得PC=PB,由

兩點(diǎn)之間連線段最短當(dāng)C、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PD最小，

止匕時(shí)PC+PD=CD=4,即可求解；掌握相關(guān)的性質(zhì)，“將軍飲馬''典型問(wèn)題的解法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接尸C,

A5=6,ABC的面積為12,CDLAB,

:.-ABCD=n,

2

:.-x6CD=n,

2

解得：CD=4,

AC=BC,

:.BD=-AB=3,

2

直線EF垂直平分3c交AB于點(diǎn)E,

:.PC=PB,

當(dāng)C、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PD最小，

止匕時(shí)尸C+PD=CD=4,

.?.PB+PD的最小值為4,

△尸5￡＞的周長(zhǎng)的最小值為：

BD+PB+PD

=3+4

=7；

故選：B.

4.如圖，在ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,AD是高，BE是中線，CF是角平分

線，CF交AD于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)、H,下面結(jié)論：①./腿的面積的面積；②ZAFG=ZAGF；

③NFAG=2ZACF；④AD=2.4.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②③

【分析】本題考查了三角形的中線、高、角平分線；根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量

關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定qAfiE和cBCE的面積關(guān)系以及求出4。的長(zhǎng)度.

【詳解】解：是ABC的中線

:.AE=EC

的面積等于.3CE的面積

故①正確；

ZBAC=90°,AD是的高

:.ZAFG+ZACG=90。,ZDCG+ZDGC^90°

CF是ABC的角平分線

ZACG=/DCG

:.ZAFG=ZDGC

又：ZDGC=ZAGF

:.ZAFG=ZAGF

故②正確；

ZFAG+ADAC=ZDAC+ZACD=9Q°

:.ZFAG^ZACD

ZACD=ZACF+NDCF=2ZACF

:.ZFAG^2ZACF

故③正確；

2sABC=ABAC=BCAD

ABAC6x8,0

AD=-----=4.8

BC10

故④錯(cuò)誤;

故答案為：①②③.

5.如圖，是由小正方形組成的6x6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅

用無(wú)刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖.(畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線表示).

(1)如圖1,請(qǐng)畫(huà)出ABC的高CO和中線4E；

⑵如圖2,AD是ABC的角平分線，請(qǐng)畫(huà)出ASC的角平分線防，并在射線3E上畫(huà)點(diǎn)/，使BE=2AF.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】⑴連接CM,與43相交于點(diǎn)D,8即為ABC的高，連接FH,與BC相交于點(diǎn)E,連接AE,

AE即為..ABC中線；

(2)找到格點(diǎn)連接S交于點(diǎn)T,連接并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,BE即為，ABC的角平分線；找到格

點(diǎn)N,連接7VE交4。于點(diǎn)連接O"并延長(zhǎng)，交BE千點(diǎn)F,則點(diǎn)廠即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示，

(2)解：如圖所示，找到格點(diǎn)連接CH交于點(diǎn)T,連接5T并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,BE即為/ABC的角

平分線；

找到格點(diǎn)N,連接AE交AD于點(diǎn)連接并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)、F,則點(diǎn)尸即為所求；

B

圖2

理由如下：???，ABC是等腰直角三角形，

???ZBAC=45°,

??,四邊形AC即/是正方形，貝i]NAC”=N5C"=45。，

則CH是NACB的角平分線，

???T是角平分線的交點(diǎn)，

則仍是NABC的角平分線；

???AD是/B4c的角平分線，

???ZBAD=22.5°

???ZADN=22.5°+45°=67.5°

又AAQV是等腰直角三角形，

???ZANC=45°

：.ZNAD=67.5°=ZADN,

/.NA=ND

?.,BE,NE關(guān)于AC對(duì)稱，

:.ZENC=ZEBC=22.5°

：.ZNMC=180°-ADC-MND=90°,

**?AM=MD,

???。，M分別是A氏AD的中點(diǎn)，

：.OF//BC

：.ZMFE=ZEBC=225。,/FME=ZENC=22.5°,即ZEMF=ZFME

：.ME=FE,

???BF=NM

在二4VM中，

AB=AN

<ZANF=ZABF

BF=NM

:?.ABF,一ANM

：.ZAFB=ZAMN=90°

：.OF=-AB=OA

2

???ZAOF=ZABC=45°

：.ZAFM=1(180°-45°)=67.5°

又,：MF〃BC

：.ZAMF=ZADC=61.5°

：.ZAMF=ZAFM

：.AF=AM=-AD

2

在，ADC,BCE中,

ADAC=ZCBE=22.5°

ZACD=ZBCE=90°

AC=BC

△AD8ABCE

：.AD=BE

：.BE=2AF.

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)刻度直尺作圖，作三角形的中線，高線，角平分線，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸

對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在ABC中，為BC邊上的高，/ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)廠.若

ZZMC=24°,ZABC=50°,求NAFB的度數(shù).

【答案】ZAFB=91。

【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，由角平分線的

定義得出/CBP=25。，由三角形內(nèi)角和定理得出NC=66。，最后由三角形外角的定義及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即

可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：ZABC=50°,BE平分NABC,

ZCBF=-ZABC=1x50°=25°,

22

AD為3C邊上的高，

:.ZADC^90°,

ZDAC=24°,

..NC=90。—ZZMC=90?！?4。=66。，

ZAFB=NCBF+NC=25°+66°=91°.

7.如圖，在，ABC中，AD,AF分別為，ABC的中線和高，BE為△AB。的角平分線.

⑴若/BED=60。,/BAD=40。，求NBAF的大小.

⑵若ASC的面積為40,BD=5,求AF的長(zhǎng).

【答案】⑴50。

⑵8

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)和三角形面積公式.本題的關(guān)鍵是充分應(yīng)用三角形

的角平分線、高和中線的定義.

(1)先利用三角形的外角性質(zhì)計(jì)算出NABE=20。，再利用角平分線定義得到加C=2ZABE=4O。，然后根

據(jù)高的定義和互余兩角的性質(zhì)求出入BA尸的度數(shù)；

(2)先根據(jù)三角形中線定義得到8C=2即=10,然后利用三角形面積公式求"的長(zhǎng).

【詳解】(1)解：ZBED=ZABE+ZBAE,

.-.ZABE=60°-40°=20°,

BE平分/ABC,

ZABC=2ZABE=40°,

AF為高，

ZAFB=90°,

ZBAF=90°-ZABF=90°-40°=50°；

(2)解：為中線，

:.BC=2BD=10,

；^AABC=-^AFBC,

10

易錯(cuò)點(diǎn)三：討論不全面，需分類討論

易錯(cuò)提醒：不同的三角形，高的位置也不同，所以要分類討論，可以按照銳角三角形、直角三角形和鈍角

三角形三種情況討論，以免漏解.

@0??

例5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40。，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.130°D.50°或130°

【答案】D

【分析】首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)不可能出現(xiàn)題中

所說(shuō)情況所以舍去不計(jì)，我們可以通過(guò)畫(huà)圖來(lái)討論剩余兩種情況.

【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)可以畫(huà)圖，

高與另一邊腰成40。夾角，由三角形內(nèi)角和為180。可得，三角形頂角為50°

②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)可以畫(huà)圖，

此時(shí)垂足落到三角形外面，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°,

由圖可以看出等腰三角形的頂角的補(bǔ)角為50。，

則三角形的頂角為130°.

綜上，等腰三角形頂角度數(shù)為50°或130。

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問(wèn)題要全面，必要的時(shí)候

可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中.

例6.若等腰三角形腰上的高是腰長(zhǎng)的一半，則這個(gè)等腰三角形的底角是（）

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°

【答案】A

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，分別進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖：

在.ABC中，AB=AC,BDVAC,

.\ZBDA=9Q0,

BD=-AB,

2

ABAD=30°,

AB=AC,

:.ZABC=ZC,

ZABC+ZC+ZA=180°,

.”g/cJ8。。心二18。。-3。。

22

??.這個(gè)等腰三角形的底角是75。；

當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，如圖：

:.ZBDA=90°,

BD=-AB,

2

:.ZBAD=30°,

AB=AC,

:.ZABC=ZC,

ZABC-^-ZC=ZBAD,

ZABC=ZC=-/BAD=15°,

2

■■這個(gè)等腰三角形的底角是15。；

綜上所述：這個(gè)等腰三角形的底角是75?；?5。，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形

外角的定義及性質(zhì)，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵.

變式1.已知在1Ase中，ZA=50°,高50和高CE所在的直線交于P點(diǎn)，則33PC的度數(shù)為一.

【答案】130?；?0°

【分析】本題考查了三角形高的定義，直角三角形兩銳角互余，三角形的外角定理，熟練掌握三角形高的

定義，直角三角形兩銳角互余，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點(diǎn)尸在ABC內(nèi)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在ABC外時(shí)，即可求解.

【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)尸在〈ABC內(nèi)時(shí)，如圖1：

,:BD、CE為一帥C的高，ZA=50°,

ZABD=90°-50°=40°,ZCEB=90°,

ZBPC=ZABD+ZCEB=40°+90°=130°；

②當(dāng)點(diǎn)P在ABC外時(shí)，如圖2：

,:BD、CE為ABC的高，ZA=50°,

/.ZABD=90°-50°=40°,ZCEB=90°,

：.ZBPC=90°-ZABD=50°；

故答案為：130?；?0°.

變式2.在ABC中，80是AC邊上的高，ZABD=30°,求/B4C的度數(shù).

【答案】N54C的度數(shù)為60?；?20。.

【分析】分/B4c是銳角和/B4C是鈍角兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：當(dāng)—54C是銳角時(shí)，如圖（1）,

是高,

?.ZBAC=90°-ZABD=90°-30°=60°；

當(dāng)/區(qū)4c是鈍角時(shí)，如圖(2),

/./BAD=90°-ZABD=90°-30°=60°,

貝UZBAC=180°-/BAD=180°-60°=120°.

綜上，/BAC的度數(shù)為60。或120。.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，正確分兩種情況進(jìn)行討論是關(guān)鍵.

變式3.在ABC中，AB=13,AC=15,高4）=12,則8c的長(zhǎng)是（）

A.14B.4C.14或4D.14或6

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，分①當(dāng)高AD在，ASC的內(nèi)部時(shí)②當(dāng)高AO在“WC的外部時(shí),

然后由勾股定理即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的應(yīng)用及分類討論思想.

【詳解】①當(dāng)高AD在ABC的內(nèi)部時(shí)，如圖1,

圖1

???8C邊上的高，AD=12,

Z.ZADB=ZADC=90°,

在RtZkABD中，AB=13,根據(jù)勾股定理得，BD=^AB2-AD2=7132-122=5(cm),

在Rt^ACD中，AC=15,根據(jù)勾股定理得，CD=yjAC2-AD2=V152-122=9(cm),

BC=BD+CD=5+9=14(cm)；

②當(dāng)高AD在ABC的外部時(shí)，如圖2,

圖2

；8C邊上的高4)=12,

ZADB=ZADC=90°,

在RtZkABD中，AB=13,根據(jù)勾股定理得，BD-^AB2-AD2=A/132-122=5(cm),

在Rt^ACD中，AC=15,根據(jù)勾股定理得，CD=^AC2-AD2=7152-122=9(cm)

BC=CD-BD=9-5=4(cm),

綜上所述，8c的長(zhǎng)為14cm或4cm,

故選：C.

變式4.在ABC中，AD為邊BC上的高，ZABC=50°,ZGW=30°,則/BAC的度數(shù)是一度.

【答案】10或70

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，角的和差，分A￡＞位于A3C內(nèi)部和外部?jī)煞N情況討論，進(jìn)行運(yùn)

算即可求解，掌握分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)AD位于ABC內(nèi)部時(shí)，

圖1

■:AD1BC,

：.ZADB=90°,

ZABC=50°,

???ZBAD=90°-50°=40°,

?.ABAC=/BAD+ACAD=40°+30°=70°；

如圖2,當(dāng)AD位于ASC外部時(shí),

圖2

??,AD1BC,

：.ZADB=90°f

?：ZABC=50°f

：.ZBAD=90°-50°=40°,

???ZBAC=ZBAD-ACAD=40°-30°=10°；

???ZBAC的度數(shù)是10°或70°,

故答案為：10或70.

1.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35。，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于()

A.55?；?25。B.55°C.125°D.35?；?5。

【答案】A

【分析】分別從-ABC是銳角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案.

【詳解】解：如圖(1),當(dāng)是銳角三角形時(shí)，

AB=AC,BDVAC,

:.ZADB=90°,

ZABD=35°,

ZA=90?！猌AB。=90?！?5。=55。；

如圖(2),當(dāng),ABC是鈍角三角形時(shí)，

AB=AC,BD1AC,

:"BDC=9伊,

ZABD=35°f

/.ABAD=90°-ZABD=90°-35°=55°,/.ABAC=180°-ZBAD=180。一55°=125°；

綜上所述，它的頂角度數(shù)為：55?；?25。,

故選：A.

(1)(2)

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

2.若等腰三角形一腰上的高與另一個(gè)腰的夾角為60。,則這個(gè)等腰三角形的底角是()

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°或30°

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求出答案.

(2)

根據(jù)題意得：AB=AC,BD±AC

如圖(1),ZABD=60°

則ZA=30°

.../ABC=NC=75°

如圖(2),ZABD=60°

ZBAD=30°

ZABC=ZC=1ZBAD=15°

故這個(gè)等腰三角形的底角是75?；?5°

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是本題的關(guān)鍵.

3.直角三角形的兩邊分別為2和3,則斜邊上的高為

【答案】正或處

【分析】本題主要考查了勾股定理，求三角形的高的長(zhǎng)，設(shè)斜邊上的高為九分當(dāng)長(zhǎng)為3的邊為斜邊時(shí)，

當(dāng)長(zhǎng)為3的邊為直角邊時(shí)，兩種情況利用勾股定理求出第三邊的長(zhǎng)，再利用等面積法求出h的長(zhǎng)即可得到

答案.

【詳解】解：設(shè)斜邊上的高為九

當(dāng)長(zhǎng)為3的邊為斜邊時(shí)，則第三邊長(zhǎng)為反方=6，

由三角形面積公式可得1x2x石=1x3/,

22

2君

當(dāng)長(zhǎng)為3的邊為直角邊時(shí)，則第三邊的長(zhǎng)為律涯=屈,

由三角形面積公式可得；x2x3=；；x而

22

6713

綜上所述，斜邊上的高為2或5叵,

故答案為：拽或5叵.

313

4.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50。，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為_(kāi)；已知等腰三角

形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊BC的長(zhǎng)為

【答案】40?；?40。11cm或7cm

【分析】（1）分兩種情況討論：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)；先求出頂

角NB4C,即可求出底角的度數(shù).

（2）分兩種情況討論：當(dāng)AB+AO=12,BC+OC=15或AB+A。=15,BC+DC=12,所以根據(jù)等腰三角形

的兩腰相等和中線的性質(zhì)可求得，三邊長(zhǎng)為8,8,11或10,10,7.所以BC的長(zhǎng)為7cm或11cm.

【詳解】（1）當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖1,

VZABD^50°,BD±AC,

???ZA=90°-50°=40°,

???三角形的頂角為40。；

當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，如圖2,

ZBAD=90°-50°=40°,

VZBAD+ZBAC=180°,

140°

???三角形的頂角為140°；

綜上，三角形的頂角為40?；?40。；

設(shè)AZ)=xcm,則當(dāng)2x+x=12時(shí)，x=4,即AB=AC=8cm,

???周長(zhǎng)是12+15=27cm,

當(dāng)2x+x=15時(shí)，x=5,即A8=AC=10cm,

???周長(zhǎng)是12+15=27cm,

.\BC=lcmf

綜上可知，底邊3c的長(zhǎng)為7cm或11cm.

故答案為40。或140。；7cm或11cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問(wèn)題要全面，必要的時(shí)候

可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中.

5.在.ABC中，已知BC邊上的高AD=8cm,fiD=15cm,CD=6cm,貝UABC的面積為.

【答案】84cm2或36cm*

【分析】本題考查了三角形的高，利用分類討論的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵.分兩種情況討論：①AD在

ABC內(nèi)部；②AD在〈ABC外部，分別求出BC的長(zhǎng)，即可求出ABC的面積.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)AO在ABC內(nèi)部時(shí)，BC=BD+CD=21cm,

11,

2

SABC=-BC-Ar)=-x21x8=84(cm)；

②如圖，當(dāng)AD在ABC外部時(shí)，BC=BD—CD=9cm,

11,

2

SABC=-BC-AZ)=-x9x8=36(cm)；

綜上可知，ABC的面積為84cm2或36cm2,

答案：84cm2或36cm2.

6.已知AABC的面積為20cm2,AD為BC邊上的高，且AD=8cm,CD=2cm,求BD的長(zhǎng)度.

【答案】BD的長(zhǎng)度為3或7

【分析】分兩種情況，利用三角形面積公式即可求得.

【詳解】解：如圖1,

Z.ADXBC,

.,.SAABC=|BC?AD=1(BD+CD)?AD,

A20=1-(BD+2)x8,

；.BD=3；

如圖2,

：AD為BC邊上的高，

；.AD_LBC,

.,.SAABC=|BC?AD=1(BD-CD)?AD,

，20=g(BD-2)x8,

.\BD=7；

故BD的長(zhǎng)度為3或7.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，注意分類討論.

易錯(cuò)點(diǎn)四：比例關(guān)系混淆

三角形的重心：三角形三條邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍.

易錯(cuò)提醒：比例關(guān)系要記熟，線段位置容易寫(xiě)相反導(dǎo)致比例出錯(cuò)

例7.如圖，點(diǎn)P是，ASC的重心，點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，PE〃AC交于點(diǎn)E,DF〃BC交EP于點(diǎn)

F.若四邊形CDEE的面積為6,則ABC的面積為()

A.12B.14C.18D.24

【答案】c

【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，連接根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可

知：尸在上，由三角形中線平分三角形的面積可知以