2025年中考數(shù)學復習 三角形（八大易錯分析+舉一反三+易錯題通關）（解析版）

易錯04三角形

■工角務一邊關常、易特點一:息一三角形構成條件

，扁不芬航下或荔我，中垂或乂易錯點二:混淆各種線的概念及力法

，三■刑利高催■問孫、易錯點三:時論不至事.今令aiHfe

=。蘭舟#的4公、易錯用四:比例關系混淆

量04￥黑三角形同窺段.同修小五:討論不全面，需分類討論

證明一等三詢1、易錯序六:錯用SSA證明

卜》銀三―kj易錯點七:書寫妻注重字母對■度

%上角一前而刊實際應甫K易錯點八:混淆角的專業(yè)術語

易錯點一：忽略三角形構成條件

三角形的三邊關系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.

易錯提醒：在解題時，要根據(jù)三角形存在的條件，驗證求得的解，否則容易造成多解.

例1.一個三角形的三邊長都是整數(shù)，它的周長為12,則這個三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.以上三種情況都有可能

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的三邊關系，勾股定理的逆定理等知識點，設最長邊為x,另外兩邊之和為y,

則x+y=12；根據(jù)題意求出x的取值范圍是解題關鍵.

【詳解】解：設最長邊為X,另外兩邊之和為y,則無+y=12

由三角形的三邊關系得：y>x,

Ax+y>2x,即：x<6

??,三角形的三邊長都是整數(shù)，

12廣

—?x,艮[J]之4,

3

/.4<x<6

.,.尤可以取4或5,

當尤=4時，三邊只能是4,4,4,為等邊三角形；

當x=5時，三邊有兩種情況：①3,4,5,為直角三角形，②5,5,2,為等腰三角形.

故選：D

易錯警示：三角形三邊之間的不等關系，注意其中的“任何兩邊”。求最短距離的方法。

例2.已知等腰ASC的底邊長為5.其腰長恰好是方程丁-2（加+1卜+6〃7-2=0的根，貝機的值是（）

A.2B.4C.1D.3

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，以及三角形的三邊關系.根據(jù)一元二次

方程根的判別式，求得m=1或根=3,再將m的分別代入一元二次方程求出腰長，結合三角形的三邊關系，

即可確定m的值.

【詳解】解：X?一2（加+1）尤+6/%一2=0,

a=l,/?=-2（m+l）,c-6m-2,

A=Z?2—4ac=4（m+l）2—4（6m—2）=0,

解得：根=1或〃z=3,

當m=1時，X2—4x+4=0>解得：x=2,

Q2+2<5,不滿足三角形的三邊關系，

:.m=l（舍去）；

當〃z=3時，X2—8x+16=0,解得：尤=4,

4+4>5,滿足三角形的三邊關系，

即，”的值是3,

故選：D.

變式L若菱形ABCD的一條對角線長為8,邊A3的長為方程尤2一8》+15=0的一個根，則菱形A5CZ）的

周長為（）

A.24B.12C.20D.12或20

【答案】C

【分析】本題考查了菱形的性質、一元二次方程的解法、三角形的三邊關系；熟練掌握菱形的性質，由三

角形的三邊關系得出A3是解決問題的關鍵.解方程得出x=3或x=5,分兩種情況：①當==3時,

3+3<8,不能構成三角形；②當AB=AD=5時，5+5>8,即可得出菱形A3CD的周長.

【詳解】解：如圖所示：

才

-------fC

?.?四邊形"CD是菱形，

AB=BC=CD=AD,

,/X2-8X+15=0,

因式分解得：（x-3）（彳-5）=0,

解得：x=3或x=5,

分兩種情況：

①當AB=AD=3時，3+3<8,不能構成三角形；

②當AB=AD=5時，5+5>8,

菱形ABCD的周長=4AB=20.

故選：C

變式2.定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的3倍，這樣的三角形叫做“3倍長三角形”.若等腰

是“3倍長三角形"，底邊3C的長為3,則等腰,ABC的周長為—.

【答案】21

【分析】本題考查了等腰三角形的定義以及三角形三邊關系，讀懂題意，理解“3倍長三角形”是解本題的

關鍵.由等腰-ABC是“3倍長三角形”，可知AB=33C或3C=3AB,若AB=33C=9,可得AB的長為9；

若8c=3鉆=3,因為1+1<3,故此時不能構成三角形，這種情況不存在；再根據(jù)周長的多余即可得答案.

【詳解】解：.?等腰,ABC是"3倍長三角形”，

:.AB=3BC^BC=3AB,

若AB=33C=9,貝kABC三邊分別是9、9、3,符合題意，

等腰三角形A3C的周長為9+9+3=21；

若BC=3AB=3,則AB=1,ABC三邊分別是1、1、3,

1+1<3,

.?.此時不能構成三角形，這種情況不存在；

綜上所述，等腰三角形ABC的周長為21.

故答案為：21.

變式3.等腰三角形的兩邊長為8,當。每取一個值時，該等腰三角形都只有一個，則。的取值范圍

是.

【答案】0<?<4

【分析】本題考查等腰三角形的性質，等腰三角形中兩腰相等，以及三角形的三邊關系.根據(jù)三角形三邊

關系列出不等式，通過解不等式即可得到答案

【詳解】解：若。是腰長，則2。>8,即°>4；

若。是底邊長，貝|0<a<16.

因為a不能既是腰長又是底邊長，所以0<aV4.

故答案為：0<aV4.

變式4.已知關于尤的方程，x1-(k+2)x+2k=0.

(1)求證：無論左為任意實數(shù)值方程，總有實數(shù)根；

(2)若等腰三角形ABC的一邊a=l,另兩邊氏c恰是這個方程的兩個根，求三角形ABC的周長.

【答案】(1)證明見解析

⑵5

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的定義和構成三角形的

條件：

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式進行求解即可；

(2)分當?shù)妊切蔚难L為1時，則是方程r-(％+2)%+2左=0的一個根，當?shù)走呴L為1時，則

原方程有兩個相等的實數(shù)根，兩種情況求出k的值進而求出另一個根，再根據(jù)構成三角形的條件求解即可.

【詳解】⑴證明：由題意得，A=[-住+2)7-8左

=k2+4k+4-8k

二左2一4左+4

=(Jt-2)2>0,

無論人為任意實數(shù)值方程，總有實數(shù)根；

(2)解：當?shù)妊切蔚难L為1時，則x=l是方程/-化+2.+2%=0的一個根，

，1一（左+2）+2左=0,

:.k=l,

.?.原方程為V-Bx+ZnO,

解得x=1或x=2,

...底邊長為2,

V1+1=2,

.?.此時不能構成三角形，不符合題意；

當?shù)走呴L為1時，則原方程有兩個相等的實數(shù)根,

；.△=（左-2）2=0,

/.k=2,

.,?原方程為

=

解得xAx1=1,

Vl+2>2,

此時能構成三角形,

ABC的周長為2+2+1=5.

1.等腰三角形ABC中，底邊3c=10,S.\AB-BC\=3,則鉆=.

【答案】13或7/7或13

【分析】本題考查等腰三角形的定義，絕對值，三角形三邊關系的應用，先根據(jù)3C|=3計算出的

值，再判斷是否符合三角形三邊關系即可.

【詳解】解：\AB-BC\=3,

AB-BC=±3,

BC=10,

??.AB=13或7,

當AB=13時，三條邊長為13,13,10；當鉆=7時，三條邊長為7,7,10,

均符合三角形三邊關系，滿足題意，

故答案為：13或7.

2.已知，a、6是等腰三角形的兩邊，且Ja-3+(6-6)2=。,則這個三角形周長是.

【答案】15

【分析】本題考查等腰三角形性質，二次根式和完全平方的非負性，構成三角形三邊關系.根據(jù)題意先求

出。、6的值，再利用等腰三角形定義分類討論三角形邊的情況即可.

【詳解】解：：V^+(b-6)2=0,

|?—3=0,/

\,八，解得：a=3,b=6,

[6—6=0

6是等腰三角形的兩邊，

①當。為腰時，則6為底，三角形為：3,3,6,

?;3+3=6不符合構成三角形三邊關系，

...此種情況舍去；

②當。為底時，則匕為腰，三角形為：3,6,6,

,此時符合構成三角形三邊關系，即周長為：3+6+6=15,

故答案為：15.

3.等腰三角形A8C的周長為7cm,AB=3cm,則3C的長為—.

【答案】1cm或2cm或3cm

【分析】本題考查了等腰三角形性質和三角形三邊關系，根據(jù)題干可以分為三種情況：①當A3為底邊時、

②當8c為底邊時、③當C4為底邊時，根據(jù)以上三種情況討論邊的取值即可解題.

【詳解】解：等腰三角形ABC的周長為7cm,AB=3cm,

分以下三種情況：

①當48為底邊時，

BC=C4=(7-AB)4-2=2(cm),

此時三邊長為別為3cm、2cm、2cm,滿足三角形三邊關系；

②當BC為底邊時，

AB=CA=3cm,

.?.BC=7—2AB=l(cm),

此時三邊長為別為3cm、3cm、1cm,滿足三角形三邊關系；

③當C4為底邊時，

AB=BC=3cm,

/.G4=7-2AB=l（cm）,

此時三邊長為別為3cm、3cm、1cm,滿足三角形三邊關系；

故答案為1cm或2cm或3cm.

4.如果ABC是等腰三角形，M|AB-4|+|9-AC|=0,貝|ABC的周長為（）.

A.13B.17C.17或22D.22

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值非負性的應用，構成三角形的條件，等腰三角形的性質；由絕對值非負性可求

AB=4,AC=9,分類討論①當3C=AB=4時，②當BC=AC=9時，即可求解；理解非負性，能個根

據(jù)等腰三角形的腰的不同進行分類討論是解題的關鍵.

【詳解］解：|AB-4|+|9-AC|=O,

AB-4=0,AC-9=0,

■-AB=4,AC=9,

ABC是等腰三角形，

①當3C=AB=4時，

三邊長為：4,4,9,

4+4<9,

二不能構成三角形；

②當8C=AC=9時，

三邊長為：4,9,9,

能構成三角形，

故三角形的周長為4+9+9=22；

綜上所述：三角形的周長為22；

故選：D.

5.已知a、b、c是ABC的三邊，且+ab-62-ac=O，則ABC一定是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】此題考查了因式分解的應用，三角形三邊關系，等腰三角形的定義，熟練掌握因式分解的方法是

解本題的關鍵.已知等式變形后分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為0,得到6=c,

即可確定出三角形形狀.

【詳解】解：+a6-62-ac=O,

(ab-℃)-(6--c?)=0,

。伍-c)一(b+c)0-c)=O,

(b-c)(a-b-c)=O,

b-c=O<^a-b-c=O,

b=c^a=b+c,

b、c是ABC的三邊，

b+c>a,

a=6+c不成立，只能是6=c,

二，ABC一定是等腰三角形.

故選：C.

6.已知三角形中兩邊邊長值分別是f-8x+15=0的兩根，設其剩下的邊邊長值為加，則加的取值范圍

是一

【答案】2<m<8

【分析】本題考查了解一元二次方程以及三角形三邊關系，先利用因式分解法解方程，再根據(jù)三角形三邊

關系可得答案.

【詳解】解：「尤2一8工+15=0,

\(x-5)(x-3)=0,

貝"5=0或x—3=0,

解得玉=5,%=3,

則該三角形第三邊優(yōu)的取值范圍是5-3<帆<5+3,即2<相<8,

故答案為：2<〃z<8.

7.一個等腰三角形的周長為30cm.

(1)已知腰長是底邊長的2倍，求各邊的長；

(2)已知其中一邊的長為7cm.求其它兩邊的長.

【答案】(1)這個等腰三角形的各邊的長為12cm,12cm,6cm；

(2)另外兩邊的長為11.5cm,11.5cm.

【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形的三邊關系.

（1）設底邊長為"m,則腰長為2xcm,根據(jù)等腰三角形的周長為30cm列方程求出x,即可得出答案；

（2）分情況討論：①當?shù)走呴L為7cm時，②當腰長為7cm時，分別根據(jù)等腰三角形的周長為30cm列式計

算即可.

【詳解】（1）解：設底邊長為xcm,則腰長為2xcm,

?.?三角形的周長是30cm,

2x+2x+x=30,

解得：x—6,則2x=12,

.?.這個等腰三角形的各邊的長為12cm,12cm,6cm；

（2）解：①當?shù)走呴L為7cm時，

則腰長為：（30-7）+2=H.5（cm）,

所以另外兩邊的長為U.5cm,11.5cm,且符合三角形三邊關系定理；

②當腰長為7cm時，

則底邊長為：30-7x2=16（cm）,

所以另外兩邊長為7cm,16cm,7+7<16,不符合三角形三邊關系定理.

綜上，另外兩邊的長為11.5cm,11.5cm.

易錯點二：混淆各種線的概念及畫法

三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段；

三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段;

三角形的高線：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段

垂直平分線（中垂線）：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線

易錯提醒：一是要對各種線的概念進行熟記；二是能夠根據(jù)題意畫出規(guī)范圖形

?S?0

例3.如圖，CD,CE,CF分別是，ABC的高、角平分線、中線，則下列結論錯誤的是（）

c

A.S=SB.ZACE=-ZACB

ACFBCF2

C.AB=2BED.CDLBE

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形高，中線,角平分線的定義，熟知相關定義是解題的關鍵.根據(jù)三角形高,

中線，角平分線的定義進行逐一判斷即可.

【詳解】解：是二ABC的中線,

：.AF=BF,

AF

???AFC=^CD=^BFCD=SBFC,A選項正確，不符合題意；

,/CE是4ABe的角平分線，、

：.ZACE^^ZACB,B選項正確，不符合題意；

???CT是11Ase的中線，

:.AB=2BF#2BE,C選項錯誤，符合題意；

8是《ASC的高，

:.CD工BE,D選項正確，不符合題意；

故選D.

:易錯警示：注意三角形的概念以及三角形的角平分線，中線，高線的特征與區(qū)另!J。

例4.在中，已知NC=90。，有一點。同時滿足以下三個條件：①在直角邊BC上；②在/C43

的角平分線上；③在直角邊A5的垂直平分線上，則等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了線段垂直平分線性質的應用以及角平分線的性質，能求出4==是解此

題的關鍵，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到=得到=根據(jù)角平分線的定義得到

NDAB=NDAC,根據(jù)三角形內角和計算即可.

【詳解】解：是，ASC的4B邊的垂直平分線，

?*.AD=BD，

ZB=ZDAB,

：AO平分ZBAC,

/.ZDAB^ZDAC,

：.NB=NDAB=NDAC,

VZC=90°,IB?DAB1DAC?C180?

ZB=30°,

故選：B.

變式1.如圖，在ABC中，ZC=90°,D,￡是AC上兩點，S.AE=DE,BD平分NEBC,那么下列說

法中不正確的是（）

A.BE是的中線B.BD是,3CE的角平分線

C./l=N2=/3D.BC是聞汨的高

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的高線，三角形的角平分線定義，三角形的中線等知識點，能熟記知識點的內

容是解此題的關鍵.利用己知條件和三角形中線即可判斷出A選項的正誤；利用已知條件和角平分線的定

義即可判斷出B選項的正誤；利用角平分線的性質只能得到/2=/3,但沒有辦法得到4=/2,這樣就

很容易判斷出C選項的錯誤；由于NC=90。，結合“從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點到垂

足之間的線段叫做三角形的高”即可判斷出BC是否是△3DE的高，這樣也能得出D選項的正誤.

【詳解】A、由圖可知：BE是△A&D的中線，正確，不符合題意；

B、由圖可知：BD是3CE的角平分線，正確，不符合題意；

C、Q3D是的角平分線，

.-.Z3=Z2,

BE是中線,

.?.Nlw/2,

N1=N2=N3不正確，符合題意.

D、由圖可知：

ZC=90°

:.BC是ABE的高，正確，不符合題意；

故選C.

變式2.如圖，已知.ABC,按下列要求畫圖:

(1)畫出/ABC的平分線，并指出相等的角；

(2)畫出8C邊上的中線，并指出相等的線段；

(3)畫出8c邊上的高，并指出圖中所有的直角三角形.

,圖中的直角三角形有△AFB,ZkAEE和△人■?

【詳解】(1)8。是NABC的平分線.ZABD=ZCBD.

(2)AE是BC邊上的中線.BE=CE.

(3)AF是BC邊上的高.：A尸13C,NAFC=90。，...圖中的直角三角形有中，花和

△AFC.

變式3.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形網格中，ABC的三個頂點均在格點上.將ABC經過一

次對稱后得到A8C',圖中標出了點A的對應點A.

⑴補全一A'B'C'；

⑵畫出AC邊上的中線80；

⑶畫出AC邊上的高線8E；

(4)求JLBC的面積.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

(4)8

【分析】(1)連接A4',作利用格點找出AA的垂線，即為對稱軸，再作出點5點C的對稱點，順次連

接即可得到AB'C；

(2)利用格點找出AC的中點。，連接80即可；

(3)利用格點作△班H,使得AABD^BFH,BH交AD于點E,利用全等三角形的性質可證MIAD,

8E即為所求；

(4)利用格點和三角形面積公式計算即可.

【詳解】⑴解：A'3'C如下圖所示；

(2)解：AC邊上的中線如下圖所示;

(3)解：AC邊上的高線仍如下圖所示;

理由如下：

由格點可知=BF=AB,

又ZHFB=/DBA=90。,

，一ABD^BFH(SAS),

/HBF=/DAB,

ZADB+ZZMB=90°,

AZADB^ZHBF=9Q0,

A/DEB=90。,

???瓦:為AC邊上的高線；

(4)解：SABc=SMD+ScBD=g創(chuàng)24+；創(chuàng)24=8.

即；ABC的面積為8.

【點睛】本題考查格點作圖，涉及作軸對稱圖形、作三角形的中線、高線、全等三角形的判定與性質等，

第3問有一定難度，解題的關鍵是利用格點構造一.

變式4.如圖所示，AE為ABC的角平分線，8為.ABC的高，若/B=30。，ZACB=75°,求NAPC的

度數(shù).

【答案】127.5°

【分析】首先根據(jù)三角形高的定義可知/ADC=90。，再結合三角形內角和定理解得/54C的值，結合AE

為的角平分線，可得/及花=37.5。，然后根據(jù)“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和”，

由/AFC=N54E+/ADC求解即可.

【詳解】解：為cABC的高，

/.ZADC=90°,

VZB=30°,ZACB=75°,

：.ZBAC=180°-ZB-ZACB=180°—30°-75°=75°,

?；AE為ABC的角平分線，

/.ZBAE=-ZBAC=37.5°,

2

：.ZAFC=ZBAE+ZADC=37.5°+90°=127.5°.

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理、三角形外角的定義和性質、三角形的角平分線和三角形的高

等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵.

1.如圖，A、B、C分別為某經濟開發(fā)區(qū)中的三地，每兩地之間都修建了一條筆直的公路，現(xiàn)在要在A、B、

C三地之間建一個加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應建在（）.

A.AC、8C兩邊高線的交點處B.NA、兩內角平分線的交點處

C.AC,BC兩邊中線的交點處D.AC,BC兩邊垂直平分線的交點處

【答案】B

【分析】本題考查角平分線性質.角平分線上的點到線段兩端的距離相等，利用性質即可得到本題答案.

【詳解】解：：要在A、B、C三地之間建一個加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，

,將加油站建在么4兩內角平分線的交點處即可到三邊的距離相等，

故選：B.

2.如圖，三條公路把A、8、C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內修建一個

集貿市場，使集貿市場到三條公路的距離相等，則這個集貿市場應建在（）

A.在AC、兩邊高線的交點處B.在—A、23兩內角平分線的交點處

C.在AC、8c兩邊中線的交點處D.在AC、3c兩邊垂直平分線的交點處

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形三個內角的角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等即可選擇.

【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質，集貿市場應建在/A、兩內角平分線的交點處.

故選：B.

【點睛】本題考查三角形的角平分線性質，掌握三角形三個內角的角平分線相交于一點，并且這一點到三

條邊的距離相等是解答本題的關鍵.

3.如圖，在ABC中，AC^BC,AB=6,ASC的面積為12,于點。，直線所垂直平分BC

交A8于點E,交3C于點RP是線段EF上的一個動點，則△尸3D的周長的最小值是（）

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，兩點之間連線段最短等；連接尸C,由

三角形面積得CD=4,由等腰三角形的性質得比）=：AB=3,由線段垂直平分線的性質得PC=PB,由

兩點之間連線段最短當C、P、。三點共線時，PC+PD最小，

止匕時PC+PD=CD=4,即可求解；掌握相關的性質，“將軍飲馬''典型問題的解法是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接尸C,

A5=6,ABC的面積為12,CDLAB,

:.-ABCD=n,

2

:.-x6CD=n,

2

解得：CD=4,

AC=BC,

:.BD=-AB=3,

2

直線EF垂直平分3c交AB于點E,

:.PC=PB,

當C、P、O三點共線時，PC+PD最小，

止匕時尸C+PD=CD=4,

.?.PB+PD的最小值為4,

△尸5￡＞的周長的最小值為：

BD+PB+PD

=3+4

=7；

故選：B.

4.如圖，在ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,AD是高，BE是中線，CF是角平分

線，CF交AD于點G,交BE于點、H,下面結論：①./腿的面積的面積；②ZAFG=ZAGF；

③NFAG=2ZACF；④AD=2.4.其中正確結論的序號是.

【答案】①②③

【分析】本題考查了三角形的中線、高、角平分線；根據(jù)三角形角平分線和高的性質可確定角之間的數(shù)量

關系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定qAfiE和cBCE的面積關系以及求出4。的長度.

【詳解】解：是ABC的中線

:.AE=EC

的面積等于.3CE的面積

故①正確；

ZBAC=90°,AD是的高

:.ZAFG+ZACG=90。,ZDCG+ZDGC^90°

CF是ABC的角平分線

ZACG=/DCG

:.ZAFG=ZDGC

又：ZDGC=ZAGF

:.ZAFG=ZAGF

故②正確；

ZFAG+ADAC=ZDAC+ZACD=9Q°

:.ZFAG^ZACD

ZACD=ZACF+NDCF=2ZACF

:.ZFAG^2ZACF

故③正確；

2sABC=ABAC=BCAD

ABAC6x8,0

AD=-----=4.8

BC10

故④錯誤;

故答案為：①②③.

5.如圖，是由小正方形組成的6x6網格，每個小正方形的頂點叫做格點，ABC的三個頂點都是格點，僅

用無刻度直尺在給定網格中完成畫圖.(畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示).

(1)如圖1,請畫出ABC的高CO和中線4E；

⑵如圖2,AD是ABC的角平分線，請畫出ASC的角平分線防，并在射線3E上畫點/，使BE=2AF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】⑴連接CM,與43相交于點D,8即為ABC的高，連接FH,與BC相交于點E,連接AE,

AE即為..ABC中線；

(2)找到格點連接S交于點T,連接并延長交AC于點E,BE即為，ABC的角平分線；找到格

點N,連接7VE交4。于點連接O"并延長，交BE千點F,則點廠即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示，

(2)解：如圖所示，找到格點連接CH交于點T,連接5T并延長交AC于點E,BE即為/ABC的角

平分線；

找到格點N,連接AE交AD于點連接并延長，交BE于點、F,則點尸即為所求；

B

圖2

理由如下：???，ABC是等腰直角三角形，

???ZBAC=45°,

??,四邊形AC即/是正方形，貝i]NAC”=N5C"=45。，

則CH是NACB的角平分線，

???T是角平分線的交點，

則仍是NABC的角平分線；

???AD是/B4c的角平分線，

???ZBAD=22.5°

???ZADN=22.5°+45°=67.5°

又AAQV是等腰直角三角形，

???ZANC=45°

：.ZNAD=67.5°=ZADN,

/.NA=ND

?.,BE,NE關于AC對稱，

:.ZENC=ZEBC=22.5°

：.ZNMC=180°-ADC-MND=90°,

**?AM=MD,

???。，M分別是A氏AD的中點，

：.OF//BC

：.ZMFE=ZEBC=225。,/FME=ZENC=22.5°,即ZEMF=ZFME

：.ME=FE,

???BF=NM

在二4VM中，

AB=AN

<ZANF=ZABF

BF=NM

:?.ABF,一ANM

：.ZAFB=ZAMN=90°

：.OF=-AB=OA

2

???ZAOF=ZABC=45°

：.ZAFM=1(180°-45°)=67.5°

又,：MF〃BC

：.ZAMF=ZADC=61.5°

：.ZAMF=ZAFM

：.AF=AM=-AD

2

在，ADC,BCE中,

ADAC=ZCBE=22.5°

ZACD=ZBCE=90°

AC=BC

△AD8ABCE

：.AD=BE

：.BE=2AF.

【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，作三角形的中線，高線，角平分線，全等三角形的性質與判定，軸

對稱的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

6.如圖，在ABC中，為BC邊上的高，/ABC的平分線交AD于點E,交AC于點廠.若

ZZMC=24°,ZABC=50°,求NAFB的度數(shù).

【答案】ZAFB=91。

【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形內角和定理、三角形外角的定義及性質，由角平分線的

定義得出/CBP=25。，由三角形內角和定理得出NC=66。，最后由三角形外角的定義及性質進行計算即

可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：ZABC=50°,BE平分NABC,

ZCBF=-ZABC=1x50°=25°,

22

AD為3C邊上的高，

:.ZADC^90°,

ZDAC=24°,

..NC=90。—ZZMC=90。—24。=66。，

ZAFB=NCBF+NC=25°+66°=91°.

7.如圖，在，ABC中，AD,AF分別為，ABC的中線和高，BE為△AB。的角平分線.

⑴若/BED=60。,/BAD=40。，求NBAF的大小.

⑵若ASC的面積為40,BD=5,求AF的長.

【答案】⑴50。

⑵8

【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形外角性質和三角形面積公式.本題的關鍵是充分應用三角形

的角平分線、高和中線的定義.

(1)先利用三角形的外角性質計算出NABE=20。，再利用角平分線定義得到加C=2ZABE=4O。，然后根

據(jù)高的定義和互余兩角的性質求出入BA尸的度數(shù)；

(2)先根據(jù)三角形中線定義得到8C=2即=10,然后利用三角形面積公式求"的長.

【詳解】(1)解：ZBED=ZABE+ZBAE,

.-.ZABE=60°-40°=20°,

BE平分/ABC,

ZABC=2ZABE=40°,

AF為高，

ZAFB=90°,

ZBAF=90°-ZABF=90°-40°=50°；

(2)解：為中線，

:.BC=2BD=10,

；^AABC=-^AFBC,

10

易錯點三：討論不全面，需分類討論

易錯提醒：不同的三角形，高的位置也不同，所以要分類討論，可以按照銳角三角形、直角三角形和鈍角

三角形三種情況討論，以免漏解.

@0??

例5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40。，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.130°D.50°或130°

【答案】D

【分析】首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當為等腰直角三角形時不可能出現(xiàn)題中

所說情況所以舍去不計，我們可以通過畫圖來討論剩余兩種情況.

【詳解】解：①當為銳角三角形時可以畫圖，

高與另一邊腰成40。夾角，由三角形內角和為180?？傻?，三角形頂角為50°

②當為鈍角三角形時可以畫圖，

此時垂足落到三角形外面，因為三角形內角和為180°,

由圖可以看出等腰三角形的頂角的補角為50。，

則三角形的頂角為130°.

綜上，等腰三角形頂角度數(shù)為50°或130。

故選：D.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，做題時，考慮問題要全面，必要的時候

可以做出模型幫助解答，進行分類討論是正確解答本題的關鍵，難度適中.

例6.若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個等腰三角形的底角是（）

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°

【答案】A

【分析】分兩種情況：當?shù)妊切螢殇J角三角形時；當?shù)妊切螢殁g角三角形時，分別進行計算即可.

【詳解】解：當?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖：

在.ABC中，AB=AC,BDVAC,

.\ZBDA=9Q0,

BD=-AB,

2

ABAD=30°,

AB=AC,

:.ZABC=ZC,

ZABC+ZC+ZA=180°,

.”g/cJ8。。心二18。。-3。。

22

??.這個等腰三角形的底角是75。；

當?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖：

:.ZBDA=90°,

BD=-AB,

2

:.ZBAD=30°,

AB=AC,

:.ZABC=ZC,

ZABC-^-ZC=ZBAD,

ZABC=ZC=-/BAD=15°,

2

■■這個等腰三角形的底角是15。；

綜上所述：這個等腰三角形的底角是75。或15。，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、含30。角的直角三角形的性質、三角形內角和定理、三角形

外角的定義及性質，采用分類討論的思想解題，是解此題的關鍵.

變式1.已知在1Ase中，ZA=50°,高50和高CE所在的直線交于P點，則33PC的度數(shù)為一.

【答案】130?；?0°

【分析】本題考查了三角形高的定義，直角三角形兩銳角互余，三角形的外角定理，熟練掌握三角形高的

定義，直角三角形兩銳角互余，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和是解題的關鍵.根

據(jù)題意進行分類討論：①當點尸在ABC內時，②當點P在ABC外時，即可求解.

【詳解】解：①當點尸在〈ABC內時，如圖1：

,:BD、CE為一帥C的高，ZA=50°,

ZABD=90°-50°=40°,ZCEB=90°,

ZBPC=ZABD+ZCEB=40°+90°=130°；

②當點P在ABC外時，如圖2：

,:BD、CE為ABC的高，ZA=50°,

/.ZABD=90°-50°=40°,ZCEB=90°,

：.ZBPC=90°-ZABD=50°；

故答案為：130?；?0°.

變式2.在ABC中，80是AC邊上的高，ZABD=30°,求/B4C的度數(shù).

【答案】N54C的度數(shù)為60?；?20。.

【分析】分/B4c是銳角和/B4C是鈍角兩種情況進行討論，利用三角形的內角和定理即可求解.

【詳解】解：當—54C是銳角時，如圖（1）,

是高,

?.ZBAC=90°-ZABD=90°-30°=60°；

當/區(qū)4c是鈍角時，如圖(2),

/./BAD=90°-ZABD=90°-30°=60°,

貝UZBAC=180°-/BAD=180°-60°=120°.

綜上，/BAC的度數(shù)為60?；?20。.

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，正確分兩種情況進行討論是關鍵.

變式3.在ABC中，AB=13,AC=15,高4）=12,則8c的長是（）

A.14B.4C.14或4D.14或6

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理的運用，分①當高AD在，ASC的內部時②當高AO在“WC的外部時,

然后由勾股定理即可求解，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的應用及分類討論思想.

【詳解】①當高AD在ABC的內部時，如圖1,

圖1

???8C邊上的高，AD=12,

Z.ZADB=ZADC=90°,

在RtZkABD中，AB=13,根據(jù)勾股定理得，BD=^AB2-AD2=7132-122=5(cm),

在Rt^ACD中，AC=15,根據(jù)勾股定理得，CD=yjAC2-AD2=V152-122=9(cm),

BC=BD+CD=5+9=14(cm)；

②當高AD在ABC的外部時，如圖2,

圖2

；8C邊上的高4)=12,

ZADB=ZADC=90°,

在RtZkABD中，AB=13,根據(jù)勾股定理得，BD-^AB2-AD2=A/132-122=5(cm),

在Rt^ACD中，AC=15,根據(jù)勾股定理得，CD=^AC2-AD2=7152-122=9(cm)

BC=CD-BD=9-5=4(cm),

綜上所述，8c的長為14cm或4cm,

故選：C.

變式4.在ABC中，AD為邊BC上的高，ZABC=50°,ZGW=30°,則/BAC的度數(shù)是一度.

【答案】10或70

【分析】本題考查了直角三角形的性質，角的和差，分A￡＞位于A3C內部和外部兩種情況討論，進行運

算即可求解，掌握分類討論是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖1,當AD位于ABC內部時，

圖1

■:AD1BC,

：.ZADB=90°,

ZABC=50°,

???ZBAD=90°-50°=40°,

?.ABAC=/BAD+ACAD=40°+30°=70°；

如圖2,當AD位于ASC外部時,

圖2

??,AD1BC,

：.ZADB=90°f

?：ZABC=50°f

：.ZBAD=90°-50°=40°,

???ZBAC=ZBAD-ACAD=40°-30°=10°；

???ZBAC的度數(shù)是10°或70°,

故答案為：10或70.

1.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35。，那么這個等腰三角形的頂角等于()

A.55?；?25。B.55°C.125°D.35?；?5。

【答案】A

【分析】分別從-ABC是銳角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案.

【詳解】解：如圖(1),當是銳角三角形時，

AB=AC,BDVAC,

:.ZADB=90°,

ZABD=35°,

ZA=90?！猌AB。=90?！?5。=55。；

如圖(2),當,ABC是鈍角三角形時，

AB=AC,BD1AC,

:"BDC=9伊,

ZABD=35°f

/.ABAD=90°-ZABD=90°-35°=55°,/.ABAC=180°-ZBAD=180。一55°=125°；

綜上所述，它的頂角度數(shù)為：55?；?25。,

故選：A.

(1)(2)

【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，采用分類討論的思想是解此題的關鍵.

2.若等腰三角形一腰上的高與另一個腰的夾角為60。,則這個等腰三角形的底角是()

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°或30°

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求出答案.

(2)

根據(jù)題意得：AB=AC,BD±AC

如圖(1),ZABD=60°

則ZA=30°

.../ABC=NC=75°

如圖(2),ZABD=60°

ZBAD=30°

ZABC=ZC=1ZBAD=15°

故這個等腰三角形的底角是75?；?5°

故選A

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，分類討論是本題的關鍵.

3.直角三角形的兩邊分別為2和3,則斜邊上的高為

【答案】正或處

【分析】本題主要考查了勾股定理，求三角形的高的長，設斜邊上的高為九分當長為3的邊為斜邊時，

當長為3的邊為直角邊時，兩種情況利用勾股定理求出第三邊的長，再利用等面積法求出h的長即可得到

答案.

【詳解】解：設斜邊上的高為九

當長為3的邊為斜邊時，則第三邊長為反方=6，

由三角形面積公式可得1x2x石=1x3/,

22

2君

當長為3的邊為直角邊時，則第三邊的長為律涯=屈,

由三角形面積公式可得；x2x3=；；x而

22

6713

綜上所述，斜邊上的高為2或5叵,

故答案為：拽或5叵.

313

4.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50。，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為_；已知等腰三角

形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15cm兩部分，則這個等腰三角形的底邊BC的長為

【答案】40?；?40。11cm或7cm

【分析】（1）分兩種情況討論：當?shù)妊切螢殇J角三角形時；當?shù)妊切螢殁g角三角形時；先求出頂

角NB4C,即可求出底角的度數(shù).

（2）分兩種情況討論：當AB+AO=12,BC+OC=15或AB+A。=15,BC+DC=12,所以根據(jù)等腰三角形

的兩腰相等和中線的性質可求得，三邊長為8,8,11或10,10,7.所以BC的長為7cm或11cm.

【詳解】（1）當?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖1,

VZABD^50°,BD±AC,

???ZA=90°-50°=40°,

???三角形的頂角為40。；

當?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖2,

ZBAD=90°-50°=40°,

VZBAD+ZBAC=180°,

140°

???三角形的頂角為140°；

綜上，三角形的頂角為40?；?40。；

設AZ)=xcm,則當2x+x=12時，x=4,即AB=AC=8cm,

???周長是12+15=27cm,

當2x+x=15時，x=5,即A8=AC=10cm,

???周長是12+15=27cm,

.\BC=lcmf

綜上可知，底邊3c的長為7cm或11cm.

故答案為40?；?40。；7cm或11cm.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，做題時，考慮問題要全面，必要的時候

可以做出模型幫助解答，進行分類討論是正確解答本題的關鍵，難度適中.

5.在.ABC中，已知BC邊上的高AD=8cm,fiD=15cm,CD=6cm,貝UABC的面積為.

【答案】84cm2或36cm*

【分析】本題考查了三角形的高，利用分類討論的思想解決問題是關鍵.分兩種情況討論：①AD在

ABC內部；②AD在〈ABC外部，分別求出BC的長，即可求出ABC的面積.

【詳解】解：①如圖，當AO在ABC內部時，BC=BD+CD=21cm,

11,

2

SABC=-BC-Ar)=-x21x8=84(cm)；

②如圖，當AD在ABC外部時，BC=BD—CD=9cm,

11,

2

SABC=-BC-AZ)=-x9x8=36(cm)；

綜上可知，ABC的面積為84cm2或36cm2,

答案：84cm2或36cm2.

6.已知AABC的面積為20cm2,AD為BC邊上的高，且AD=8cm,CD=2cm,求BD的長度.

【答案】BD的長度為3或7

【分析】分兩種情況，利用三角形面積公式即可求得.

【詳解】解：如圖1,

Z.ADXBC,

.,.SAABC=|BC?AD=1(BD+CD)?AD,

A20=1-(BD+2)x8,

；.BD=3；

如圖2,

：AD為BC邊上的高，

；.AD_LBC,

.,.SAABC=|BC?AD=1(BD-CD)?AD,

，20=g(BD-2)x8,

.\BD=7；

故BD的長度為3或7.

【點睛】本題考查了三角形的面積，注意分類討論.

易錯點四：比例關系混淆

三角形的重心：三角形三條邊中線的交點，重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.

易錯提醒：比例關系要記熟，線段位置容易寫相反導致比例出錯

例7.如圖，點P是，ASC的重心，點。是邊AC的中點，PE〃AC交于點E,DF〃BC交EP于點

F.若四邊形CDEE的面積為6,則ABC的面積為()

A.12B.14C.18D.24

【答案】c

【分析】本題考查了三角形重心的性質和相似三角形的判定與性質，連接根據(jù)三角形重心的性質可

知：尸在上，由三角形中線平分三角形的面積可知以