直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（6題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題34直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6題型分類

彩題如工總

題型6：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用題型1:線面垂直關(guān)系的判斷

題型5：證面面垂直題型2：證線線垂直

直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6題

型分類

題型4：面面垂直關(guān)系的判斷題型3：證線面垂直

彩先也寶庫

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

如果一條直線與一個(gè)平mUa、

1

nUa

面內(nèi)的兩條相交直線垂

判定定理加「1幾=初

直，那么該直線與此平7

ILm

面垂直/_L〃J

ab

垂直于同一個(gè)平面的兩a-La\

性質(zhì)定理

條直線平行27

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂

直于平面，我們說它們所成的角是鱉；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是

TT

(2)范圍：0,2.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如圖，在二面角a一/一/的棱/上任取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為垂足，在半平面a和6內(nèi)分

別作垂直于棱)的射線OA和則射線OA和OB構(gòu)成的ZAOB叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍：［0,兀］.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

如果一個(gè)平面過另一個(gè)

判定定理平面的垂線,那么這兩

〃_1_川〃

個(gè)平面垂直

兩個(gè)平面垂直，如果一

a工B、

個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直

aG6'='a

性質(zhì)定理于這兩個(gè)平面的交線,0/_La

l-La

那么這條直線與另一個(gè)

平面垂直

常用結(jié)論

1.三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

3.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

彩他題海籍

(一)

證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(〃〃。，Q_La=b_La);③面面平行

的性質(zhì)(a_La,a〃④面面垂直的性質(zhì).

（2）證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

題型1：線面垂直關(guān)系的判斷

1-1.（2024?廣西南寧?三模）已知/，機(jī)，w是三條不同的直線，a，夕是不同的平面，則下列條件中能推出a，4

的是（）

A.Iua,mu（3,且

B.lea,mu/3,〃u/?,且ILn

C.mua,nu0,mUn,且/_L“z

D.Iua,IIIm,且機(jī)_L￡

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合線面垂直、面面垂直判定逐項(xiàng)判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,Iua，mu（3,且/，〃?，a,夕可以平行、相交不垂直、垂直，A不正確；

對(duì)于B,/ua,“zu分，nu0,且/Zin,當(dāng)私”不相交時(shí)，/不一定與￡垂直，則a不一定與用垂

直，B不正確；

對(duì)于C,mua,n^/3,mlln,且/，加，顯然直線/與a,6無關(guān)系，a,夕可以平行、相交不垂直、垂直，

C不正確；

對(duì)于D,由〃/m，得/，乃，又/ua,根據(jù)面面垂直的判定知D正確.

故選：D

1-2.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知/,切，〃表示不同的直線，a,夕，/表示不同的平面，則下列四個(gè)命題

正確的是（）

A.若〃/<z,_1.mlla,貝B.若mlla,nV（3,則就/〃

C.若mill,且機(jī)_La,貝！|/_LaD.若加_L〃，mLa,nll/3,則aJL#

【答案】C

【分析】根據(jù)線、面位置關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若〃/a,且〃〃/夕，則/,機(jī)可能平行、相交或異面，并不一定垂直，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：若al/3,m"a,"工。，貝心小〃可能平行、相交或異面，并不一定平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：若加///,且根,c,根據(jù)線面垂直可得：/_La,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若根_1_〃，mLa,但不能得到〃_Le,

所以雖然〃//,不能得到C分，故D錯(cuò)誤；

故選：c.

1-3.（2024?甘肅天水?一模）設(shè)〃7，”是兩條不同的直線，夕,尸是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若根_!_〃,〃〃a,則

B.若m〃/3,0La,則

C.若機(jī)_Lw,〃_L夕,￡_Le,則mJ_tz

D.若機(jī)_!_/?,〃_L/?,〃_La,則〃?J_a

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對(duì)于A,若機(jī)_1_"，〃〃媛，則根ua或者加〃Q；或者相交，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,若〃?〃/?,0上a,則mua或者m//=或者相交，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,若mJ_〃，77,萬，/3La,則mua或者機(jī)//以或者相交，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,若m工0,及工0,則“〃M，又"_La,所以mJ_a,故D正確，

故選：D.

題型2:證線線垂直

2-1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為矩形，24,平面

ABCD,PA=AD=y/2AB,點(diǎn)/是PD的中點(diǎn)，證明：AMA.PC.

【分析】

先利用面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理推得CD_1_平面PAD,再利用線面垂直的判定定理證得AM1平面

PCD,從而得解.

【詳解】因?yàn)閰?AD,點(diǎn)M是尸。的中點(diǎn)，所以AVfLQD.

因?yàn)镻A_L平面ABCD,PAu平面PAD,所以平面R4￡>_L平面ABCD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以CDJ_AD,

因?yàn)槠矫鍱4￡）c平面ASCD=AD,CDu平面A5CD,

所以CD_L平面PAD,又AMu平面PAD,所以CO_LAM,

因?yàn)镻DcCD=D,PD,CDu平面尸CD,

所以AM2平面PCD,

因?yàn)镻Cu平面尸CD,所以A〃_LPC.

2-2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-AB?中，AB=BC,AB}=BtC.證明：AC1BtB

B

【答案】證明見解析

【分析】取AC的中點(diǎn)。，利用等腰三角形結(jié)合線面垂直判定定理先證明AC1,平面然后由線面垂

直性質(zhì)可得AC，與2.

【詳解】取AC的中點(diǎn)。，連接80,BQ,

AB=BC,AB】=B?,:.AC±BD,AC±B,D,

又BDBXD=D,BRBQu平面BBQ,

二4。4平面8瓦。，

又因?yàn)?瓦u平面BBQ,

AC±B,B,

B

2-3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知三棱柱ABC-4用6中，A8=AC=2,AA==AC=2,ABAC=90°,E

是BC的中點(diǎn)，尸是線段AG上一點(diǎn).求證：AB±EF；

【答案】證明見解析

【分析】先證平面ABC,由線面垂直的性質(zhì)可得AE_LAB,然后結(jié)合/BAC=90。可證平面

AGE,然后可證AB_LEF.

【詳解】證明：連接AE,AE,E￡

ABAC=9Q°,AS=AC=2,E是BC的中點(diǎn)，

:.AELBC,

:.BC=y/2AB=2y/2,AE=BE=EC=-BC=s/2,

2

AA=A8=AC=2,E是BC的中點(diǎn)，

.-.\EVBC,.?.4石=4笈-砥=j4-2=夜,

222

A.A=AE+A1E,AE±AtE,

AEoBC=E,AE,BCu平面ABC,

AEJ■平面ABC,

ABu平面ABC,^ElAB,

v在三棱柱ABC-ABC1中，AG〃AC,

AB±AC,AB1,

；AEcAC|=A,AE，AGU平面AGE

平面AGE,

￡Fu平面AGE,

.\AB±EF.

2-4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在梯形ABC。中，ABHDC,ZDAB=90°,CD=2,AC=AB=4,如圖

1.沿對(duì)角線AC將△D4C折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P的位置，E為BC的中點(diǎn)，如圖2.證明：PELAC.

圖1圖2

【答案】證明見解析

【分析】由題意，結(jié)合圖1,連接OE交AC于點(diǎn)。，可證明COLDE,根據(jù)折起后ACLOP,AC1OE,

結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明.

【詳解】因?yàn)锳B//DC,ZDAB=90°,所以44DC=90。，

DC1

所以cosNACO=—=—,所以NACD=60。，則/C4B=ZACD=60。，

AC2

XAC=AB=4,所以.ABC為等邊三角形，所以3。=4,又E為BC的中點(diǎn)，

連接DE交AC于點(diǎn)0,貝ljDC=CE=2,ZDCO=ZECO=60°,

所以DCO咨ECO,所以/COD=NCOE=90。，即CO1.DE,

則折起后，如圖，ACYOP,ACrOE,又OEOP=O,OE,。尸u平面尸OE,

題型3：證線面垂直

3-1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖,在三棱柱ABC-4與G中，平面ACQA，平面ABC,AC=BC=CCVD

是AA的中點(diǎn)，且，ACB=90,/D4c=60.證明：44,_L平面C3D；

【答案】證明見解析

【分析】由等邊三角形得COLAA，由面面垂直的性質(zhì)定理得3C1平面ACGA，從而得BC_LAA，再由

線面垂直的判定定理得證線面垂直.

【詳解】連接CA，

由題意可知：△AC41為等邊三角形，且。是AA的中點(diǎn)，

所以COLA4,,

因?yàn)槠矫鍭CC0_L平面ABC,平面ACGA1平面ABC=AC,ACIBC,3Cu平面ABC,

所以BC-L平面ACC〕A,

且A4,u平面ACGA，可得BCJ.AA，

CDcBC=C,CD,8Cu平面CBD,

所以44,，平面CBD.

3-2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐尸-ABC中，已知PAL平面ABC,平面平面

PBC.證明：平面加B；

【答案】證明見解析

【分析】過點(diǎn)A作先證明AE_LBC,再證明PA_L3C,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.

【詳解】過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,

P

因?yàn)槠矫嫔掀矫鍼BC,且平面RIBc平面P8C=PB,AEu平面R鉆，

所以平面PBC,

又BCu平面P3C,所以AE_LBC,

又B4_L平面ABC,3Cu平面P5C,

所以E4JL3C,

又因?yàn)锳EPA=A,AE,R4u平面承B,

所以3cl平面R鉆.

3-3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖1,在五邊形至3中，四邊形ABCE為正方形，CDIDE,CD=DE,

如圖2,將,ABE沿BE折起，使得A至A處，且其臺(tái)上同。.證明：平面

圖1圖2

【答案】證明見解析

【分析】先證明"ELBE,繼而證明48,平面AE。，可得。E，A8,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明

結(jié)論.

【詳解】由題意四邊形ABCE為正方形，CDLDE,CD=DE,

TTTT

得/BEC=/CED=—,則ZBEE>=—,故

42

因?yàn)锳BLAE,則A3_LAiE,

又A8，A。，AR4。=A,AE,ADu面AED,所以人由，平面，

又DEu面AED,則。EL

又DE_LBE,A]BBE=B,A]Bu平面ABE,BEu平面ABE,

所以DE1平面ABE.

3-4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在三棱錐C-ABO中，平面AB。，E為A8的中點(diǎn)，

AB=BC=AC=2,CG=2EG.證明：45/平面?！?。；

【分析】按線垂直于面的判斷定理，需證CDLAB,CE1AB.

【詳解】因?yàn)镃D_L平面AB￡),ABu平面AB￡),所以CD_LAB,

又因?yàn)锳B=BC=AC,E為AB的中點(diǎn)，所以CE是ABC的中線，

所以CEIAB,且CEcCD=C,CE,C￡>u平面CEO,

所以平面CED.

彩他題秘籍(_)

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.②若兩個(gè)

相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

題型4:面面垂直關(guān)系的判斷

4-L（2024?陜西咸陽?二模）已知加，〃是兩條不同的直線，夕是兩個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題：

①若加回〃，nua,則加國(guó)a,②若加ua,ml/?,則。_14，

③若m_La,ml/?,則。團(tuán)/，④若al■尸，加ua,〃ua,則機(jī)

其中正確的命題是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

【答案】A

【分析】對(duì)于①，由線面平行的判定定理分析判斷，對(duì)于②，由面面垂直的判定定理分析判斷，對(duì)于③,

由線面垂直的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于④，舉例判斷

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)機(jī)［aw,wua時(shí)，機(jī)|aa或加ua,所以①錯(cuò)誤，

對(duì)于②，當(dāng)加ua,時(shí)，由面面垂直的判定定理可得a,所以②正確，

對(duì)于③，當(dāng)相，尸時(shí)，有a團(tuán)廣，所以③正確，

對(duì)于④，當(dāng)。，尸，機(jī)ua,"ua時(shí)，如圖所示，加回"，所以④錯(cuò)誤，

故選：A

42（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的菱形ABCD中，AB=2,/胡。=60,對(duì)角線AC,M交于點(diǎn)0,

將△ABD沿BD折到一A'3￡＞位置，使平面AfiDJ_平面BCD.以下命題：

①3D_LAC；

②平面AOC_L平面BCD；

③平面ABC，平面ACD；

④三棱錐A'-BCD體積為1.

其中正確命題序號(hào)為（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】通過證班）上面AOC可判斷①②；求兩平面所成的二面角可判斷③；得到三棱錐的高后可判斷

④.

【詳解】如圖：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，Z.BAD=60°,

所以ABMADMBCMCDMBD,。為30的中點(diǎn)，

所以3D_LAO,BD1CO,4OcCO=O,4'0,。。＜=面4。。，

所以面A0C,又HCu面A0C,所以8DJ.AC,即①正確；

由①知面A0C,又BDu面BCD,所以平面A'0C_L平面BCD,即②正確;

如圖：

取AC的中點(diǎn)為E,連接BE,DE,依題意，A'B=BC=A'D=CD,

所3E1AE,DELAC,所以乙BED是二面角3—4C—D的平面角，

又因?yàn)槠矫鍭BD_L平面BCD,平面A'flD）平面BCD=3。，BD_LA'O

所以面BCD,一ABD和△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

所以A0=OC=V?二？=百，且有AOJ_OC,

所以在Rt^AOC中，AC=布,

又A3C和是兩全等的等腰三角形，AB=BC=AD=CD=2,

AC的中點(diǎn)為E,所以BE=DE=

由已知可得△"二）是邊長(zhǎng)為2的正三角形，得BD=2,

則在△BDE中，容易算得a=2,BE=DE=—,BD2^BE2+DE2>

2

所以NBSDW90,所以二面角3-A'C-O不是直二面角，故③錯(cuò)誤；

由已知可得△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，又由上得A0_1面5CZ）,

所以三棱錐A-i3co的高即為AO,AO=6△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

所以三棱錐A—38的體積為:SBC/AO=；X；X2X2X爭(zhēng)白=1,故④正確.

故選：D.

4-3.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知名夕是兩個(gè)不同的平面，相，”是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是

（）

A.若a_L尸，相_La,相_1_"，則〃_L，B.若a〃/3,mua,nu。,則加〃”

C.若mLn,mua,nu0,則（z_L,D.若m工a,m〃n,n〃/3,則夕_1_尸

【答案】D

【分析】

根據(jù)線面位置關(guān)系及面面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A,可能會(huì)出現(xiàn)“〃尸，或〃與￡相交但不垂直的情況，所以A不正確；

對(duì)于B,私〃可能平行、可能異面，所以B不正確；

對(duì)于C,若a〃尸，仍然滿足根ua,wuQ且〃z_L〃，所以C不正確；

對(duì)于D,77z_La,7〃//7z,則〃_La,再由〃///?,可得。_1_尸,可知D正確.

故選：D.

題型5:證面面垂直

5-1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知直角梯形ABCD與ADEb,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,

ADVAF,ED//AF,AD^AB,BC//AD,G是線段上一點(diǎn).求證：平面ABCDEI平面ABF

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)線線垂直可證線面垂直，進(jìn)而可得面面垂直.

【詳解】因?yàn)锳D，"1,ADJ.AB,AFr^AB=A,AF,ABu平面A8尸，

所以4￡>EI平面ABF,又ADu平面ABC￡）,

所以平面ABCD團(tuán)平面ABF.

.2兀

5-2.（2024IWJ二,全國(guó),專題練習(xí)）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，A,8為底面圓。上兩點(diǎn)，Z.AOB=—,E為PB

中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段上，且AF=2FB.證明：平面AOP_L平面OEF；

【答案】證明見解析

【分析】證明面面垂直，先證線面垂直，利用勾股定理證明。4_L。尸，再由尸底面。，u底面O,

得出「OLOF,即可得證.

【詳解】設(shè)圓。的半徑為r,

27r7t

在,AQ3中，OA=OB=r/AOB=——,ZOAB=-,

f36

故48=技，又AF=2FB,故生，

3

在，AO尸中，由余弦定理得OP?=QV+A尸2一出0幽4歹ZOAF=^r2,

所以O(shè)T+O尸2=A尸2,即Q4_LO//；

圓錐中，尸。/底面O,OPu底面O,故PO_LOF,

又OAcOP=O,所以O(shè)P,平面AOP,

又Obu平面OEF,所以平面AOP_L平面OEE

5-3.（2024局二,全國(guó),專題練習(xí)）如圖，在二棱柱ABC-AB]G中，側(cè)面BB[C]C為菱形，ACBBt=60°,

AB—BC—2,AC=A4=0.證明：平面ACB]_L平面2片（7。；

【分析】

根據(jù)三角形邊角關(guān)系可得AO^BC，進(jìn)而結(jié)合勾股定理可得80,即可求證線面垂直，進(jìn)而可證面面

垂直.

【詳解】如圖，連接BG，交gC于。，連接49.

因?yàn)閭?cè)面22。。為菱形，所以4CLBG，且。為BG的中點(diǎn).又4?=做=應(yīng)，故A。，片C.

又AB=BC=2,且NCB耳=60。，所以CO=1,BO=VL

所以4。="1C2_CO2=1.又AB=2,所以AB?=3。2+4。2,所以AOJ_3O.

因?yàn)?0,CB|U平面84GC,BOCB]=O,所以AO,平面88。。.

又AOu平面AC4，所以平面AC瓦，平面8片GC.

5-4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在如圖所示的空間幾何體中，ACD與/XACB均是等邊三角形，直線￡DJ_

平面AC。，直線EB_L平面A5C,DELBE.求證：平面ASC/平面AT>C；

D

E

AB

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)線面垂直得線線垂直，進(jìn)而結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得二面角AC-。的平面角為-30D,

由平面四邊形可得/3OD=90。，即可求證.

圖1

如圖1,設(shè)平面與直線AC的交點(diǎn)為0,連接8。，D0.

因?yàn)橹本€￡D_L平面AC￡>,直線EBJ_平面ABC,ACu平面AC。，ACu平面ABC,

所以DE1AC,BELAC.

因?yàn)镈EcBE=E,DEu平面3DE,3Eu平面BDE,

所以AC_L平面

因?yàn)锽Ou平面BDE,DOu平面5DE,

所以301AC,DO±AC.

又因?yàn)?ACO與△ACB均是等邊三角形，

所以0為AC中點(diǎn)，且二面角B-AC—D的平面角為/3OD.

在平面四邊形BODE中，

因?yàn)?BED=ZEDO=ZEBO=90°,

所以/83>=90。，

所以平面ABC，平面ADC.

5-5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示，在幾何體PABCD中，AD_L平面上4B,點(diǎn)C在平面上鉆的投

影在線段尸3上（BC<PC）,BP=6,AB=AP=2拒,DC=2,CD〃平面HU3.證明：平面PCD_L平面尸AD.

【答案】證明見解析

【分析】由題意可知平面BCP_L平面過點(diǎn)C作CE_LP3,如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得AT>_L平面

PAB,進(jìn)而CE〃94,由線面平行的性質(zhì)可得四邊形AECD為平行四邊形，利用正弦定理可得

結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明.

【詳解】由題知，平面3cpl,平面PAB,過點(diǎn)C作必的垂線，垂足為E,連接AE,

又平面BCP）平面上45=尸3,所以CE_L平面R4B.

因?yàn)锳D_L平面PAB,所以CE〃ZM,則C,D,A,E共面.

因?yàn)镃D〃平面CDu平面CZME,平面CD4E平面E4B=E4,

所以C￡）〃E4,則四邊形AECD為平行四邊形，所以AE=OC=2.

因?yàn)锽P=6,AB=AP=2#）,所以cosZS4PE=—尸=――,

2V32

TTTT

因?yàn)镺vNA尸Ev二，所以44尸￡=一，

26

ADAE_2

由正弦定理得「石石=./dpf,即sin/A￡?=T，

sin/AEPsm/APE—

2

所以sinNAEP=立，因?yàn)?</AEP<W，所以/AEP=工，

223

TT

所以/胡尸=-,即AEJLAP.

2

因?yàn)?>_L平面E4B,AEu平面BIB,所以AE_LAD,

又因?yàn)锳DAP=A,AD,APu平面PW,所以AE_L平面AT>P.

由CD〃E4,得C￡>_L平面ADP.

又CDu平面PCD,所以平面PCD_L平面PAO.

彩僻題秘籍(二)

垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

(2)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)

進(jìn)行推理論證.

題型6:垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

6-L(2024?安徽淮北?一模)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，

BC=2AB,ZABC=60°,PB1AC.

BC

⑴求證：面巳4/?_1_面48。。；

⑵設(shè)。為側(cè)棱尸。上一點(diǎn)，四邊形是過8,。兩點(diǎn)的截面，且AC「平面BEQE是否存在點(diǎn)。，使

得平面5EQ尸，平面必。？若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，說明理由.

【答案】⑴證明見解析；

2

(2)存在點(diǎn)。，DQ=-DP.

【分析】(1)結(jié)合余弦定理，勾股定理可得ACLAB,又ACLPB,所以AC,面進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求出平面以。的法向量4,設(shè)。Q=/LDP,求得平面BE0F的

法向量%，由4?%=0得出答案.

【詳解】（1）在ABC中，因?yàn)?c=2AB,ZABC=60°,

所以3=AB?+BC2-2AB-BCcos60°=3AB2,AC=也AB,

所以ACZ+A笈MBC?,則/BAC=90。，即ACLAB,

又AC_LP3,PBcAB=B,PB,ABu面B42,

所以47_1面出8,又ACu面ABC。，

所以面叢8_1面488；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)。，使得平面，平面E4D；

如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AB,AC為x,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

設(shè)AB=2,則4（0,0,0）,5（2,0,0）,D（-2,273,0）,P（LO,#）,

AD=（-2,2A/3,0）,AP=（1,0,A/3）,胡=卜4,2迅,0）,那=（3,-2g,g）,

n.?AD——2x,+2y/3y,=0/廣\

設(shè)%=（占,%,zj是平面以。的法向量，貝i]"__，取4=

“,AP—石+，3Z]—0

設(shè)￡>Q=XDP,其中0W2W1.

則BQ=BD+DQ=BD+WP=02-4,2萬-2技,而）

連接ER因AC.平面8EQEACu平面以C,平面P4C一平面=所，故AC〃EF,

取與同向的單位向量/=（0,1,0）,

設(shè)％=（%2，%/2）是平面BE。尸的法向量，

則]"「'=%=0廠廠，取〃z=（技,0,4-3”.

7

%.BQ=（32-4）X2+2A/3（1-2）%+V32z2=0'

2

由平面BEQ尸，平面B4D,知力，”,有勺?%=3%+32—4=0,解得％=§.

2

故在側(cè)棱尸。上存在點(diǎn)。且當(dāng)。。=；D尸時(shí)，使得平面BEQF，平面PAD.

6-2.（2024?江西贛州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面A41c<是矩形，側(cè)面88。°是菱形,

ZBtBC=60,D、E分別為棱AB、qG的中點(diǎn)，尸為線段的中點(diǎn).

（1）證明：A廠〃平面4。石；

（2）在棱8月上是否存在一點(diǎn)G,使平面ACGL平面若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴證明見解析

（2）存在，且點(diǎn)G為棱B片的中點(diǎn)

【分析】（1）取4G的中點(diǎn)連接A"、EM、FM,證明出平面AW〃平面AOE，再利用面面平行

的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

（2）當(dāng)點(diǎn)G為棱2月的中點(diǎn)時(shí)，推導(dǎo)出8男，平面ACG,再結(jié)合面面垂直的判定定理可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：取AG的中點(diǎn)M，連接AAf、EM、FM,

因?yàn)锳A〃B瓦且A4,=BB1,故四邊形為平行四邊形，所以，AB//4與且AB=A4，

因?yàn)椤锳8的中點(diǎn)，則ADHA{B{且A￡>=g4耳，

因?yàn)镸、E分別為4G、耳￡的中點(diǎn)，所以，EM//A4且，

所以，ACM/EM且A￡>=EM,故四邊形ADEM為平行四邊形，所以，AMHDE,

因?yàn)锳M（Z平面AOE,DEu平面ADE，所以，AM〃平面

因?yàn)镸、尸分別為AG、GE的中點(diǎn)，所以，F(xiàn)M//A.E,

因?yàn)槠矫鍭QE,AEu平面AOE,所以，F(xiàn)M〃平面AQE,

因?yàn)锳Mc引0=",AM,府<=平面”河，所以，平面AR0〃平面4DE,

因?yàn)锳Fu平面AFM,故A尸〃平面HOE.

（2）解：當(dāng)點(diǎn)G為B片的中點(diǎn)時(shí)，平面ACGL平面BBCC，

ClFEBl

A

因?yàn)樗倪呅蜛4CC為矩形，則AC_LCG，因?yàn)锽B'/CG，則BB|_LAC,

因?yàn)樗倪呅蜝BC。為菱形，則BC=84，

因?yàn)镹B|BC=6。，貝UBfC為等邊三角形，

因?yàn)镚為8片的中點(diǎn)，所以，BB.1CG,

因?yàn)锳CcCG=C,AC,CGu平面ACG,所以，2月，平面ACG,

因?yàn)槠矫鍮BCC，所以，平面ACGL平面2片GC,

因此，當(dāng)點(diǎn)G為2月的中點(diǎn)時(shí)，平面ACGL平面B4GC.

6-3.（2024?天津?二模）如圖，在三棱錐A-BCD中，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影。在棱3。上，AB=AD

=母,BC=BD=2,0CB￡>=9O°,E為CD的中點(diǎn).

A

C

（1）求證：AZ?平面ABC；

（2）求二面角8-AE-C的余弦值；

（3）已知尸是平面A3。內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)。為AE中點(diǎn)，且PQ回平面ABE,求線段P。的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）B.

32

【分析】（1）只需證明BCHAZ）及AZBAB,即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用向量公式求解；

（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，依題意「0//相，進(jìn)而求解.

【詳解】（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)A在底面BCD上的投影。在棱8。上，

所以AO0平面BCD,

因?yàn)锳Ou平面ABD,

所以平面ABLCI平面BCD,

因?yàn)榛谻&)=90°,

所以362，

因?yàn)槠矫鍭BDc平面BCD=BD,BCu平面BCD,

所以803平面A8D,

又ADu平面AB。，

所以BCSAD,

由AB=AD=，BD=2,得BZ)?=AB?+AD?，

所以AZMAB,

因?yàn)锳8cBC=B,A8u平面ABC,BCu平面ABC,

所以AIM平面ABC.

(2)連接OE,因?yàn)椤?￡)的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，0￡B8C,所以。瓦2。，

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)E,OD,OA為x軸，y軸，z軸為正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),A(0,0,1),B(0,-1,0),C(2,-1,0),D(0,1,0),E

(1,0,0),

AC-(2,-1,-1),AB=(O,-1,-1),AE=(1,O,-1),

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量加=(x,y,z),

in-AB=—y-z=0

m-AE-x-z-0

取x=l,得加=(1,-1,1),

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量，=(a,b,c),

【答案】⑴證明見解析

(2)存在點(diǎn)。，它就是點(diǎn)8；

【分析】(1)由M、N、P分別是CG，AB,B片的中點(diǎn).利用平行四邊形、三角形中位線定理即可得出

NPUAB,,CPUMB,,再利用線面面面平行的判定定理即可得出結(jié)論.

(2)假設(shè)在線段8耳上存在一點(diǎn)。使A與，平面四邊形AB4A是正方形，因此點(diǎn)。為B點(diǎn).不妨

取3c=2.判斷A3「MQ=0是否成立即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)(1)證明：M、N、P分別是C。，AB,8瓦的中點(diǎn).

.■.NP//AB,,四邊形A/CP4為平行四邊形，可得CP//MA，

因?yàn)镹P仁平面AB,M；ABtu平面AB.M；

.?.NP//平面；

同理可得CP〃平面A4M;

又CPNP=P,0,初＜=平面NPC,

平面NPC〃平面A4M.

(2)假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)。使A與，平面AM。.

四邊形A3與4是正方形，因此點(diǎn)8為點(diǎn)Q.

不妨取3C=2,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則河(0,-1,1),2(0,1,0),A(6,0,0),4(0,1,2),A(6,0,2)

AB,=(-A/3,1,2),MQ=(O,2,-l),AM=(-73-1,-1)

\ABl?MQ=0fA/?1.A"=x]x(-1)+2x(-1)=0.

所以AB,±A,M,又MQ=M,MQ，AMu平面其知。，所以平面AM。,

在線段2片上存在一點(diǎn)Q,使A瓦，平面AMQ,其中點(diǎn)B為。點(diǎn).

B煉習(xí)與梭升

一、單選題

1.（2024高三上?湖北?開學(xué)考試）已知a,6是兩條不重合的直線，a為一個(gè)平面，且曲。,貝1|"舶a"是

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義即可得出選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)加a時(shí)，結(jié)合a回可得a〃6,充分性滿足;

當(dāng)?！?時(shí)，結(jié)合aEla,可得流la,必要性滿足.

故選：C.

2.（2024高三上?山東濰坊?階段練習(xí)）在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABC。-4月6。中,

4

M=2,異面直線A8與A2所成角的余弦值為則直線A2與直線5c的距離為（）

A.2B.1C.J3D.72

【答案】B

【分析】根據(jù)異面直線48與AR所成角的余弦值為|4■求出底面正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求解.

【詳解】

如圖，該四棱柱為長(zhǎng)方體，因?yàn)?/p>

所以為異面直線A.B與AD,所成角，

設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為a,貝ljAC=缶,AD,=CR=y/a2+4，

A￡＞；+CD；_AC284

在，中,cosZAD]C=

2a2+8-5

2ADXCDX

解得a=l,

因?yàn)樵撍睦庵鶠殚L(zhǎng)方體，所以A5工平面BCG瓦，4Cu平面JBCG片,

所以A8L與C,同理ABLAj,

所以直線AR與直線gC的距離為|鉆|=4=1，

故選:B.

3.（2024高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）若平面C平面夕，平面尸，平面乙則（）

A.aPy

B.?-L/

C.。與7相交但不垂直

D.以上都有可能

【答案】D

【分析】以正方體為模型可得D正確.

【詳解】在正方體中，相鄰兩側(cè)面都與底面垂直；相對(duì)的兩側(cè)面都與底面垂直；一側(cè)面和一對(duì)角面都與底

面垂直，故選D.

【點(diǎn)睛】立體幾何中關(guān)于點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的命題的真假問題，可在正方體中考慮它們成立與否，

因?yàn)檎襟w中涵蓋了點(diǎn)、線、面的所有位置關(guān)系，注意有時(shí)需要?jiǎng)討B(tài)地考慮位置關(guān)系.

4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）空間中直線/和三角形的兩邊AC,8C同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的

第三邊A3的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.不確定

【答案】B

【分析】由線面垂直的判定以及線面垂直的定義可判斷結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿切蔚膬蛇匒C，有交點(diǎn)C,

且直線/和AC,BC同時(shí)垂直，

所以該直線垂直平面A3C,故該直線與A3垂直.

故選：B

5.（2024?全國(guó)）在正方體ABCD-A46。中，P為BQ的中點(diǎn)，則直線PB與所成的角為（）

兀

C.D.

4

【答案】D

【分析】平移直線AQ至BC-將直線網(wǎng)與AR所成的角轉(zhuǎn)化為PB與BG所成的角，解三角形即可.

如圖，連接BG，PG，PB,因?yàn)锳RiaBG，

所以NP3G或其補(bǔ)角為直線PB與A'所成的角，

因?yàn)?片J_平面4片GR,所以又PCR,BBqBR=Bi，

所以PG，平面尸7狙，所以PG，尸8,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則BQ=2夜,PQ=g2旦=后，

sinZPBC1=^=1,所以

nCj26

故選：D

6.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知兩條不同的直線/,加及三個(gè)不同的平面a,P，y,下列條件中能推出

a〃〃的是（）

A./與a,0所成角相等B.,）3Ly

C.ILa,mL（3,IIImD.Iua,m<^（3,IIIm

【答案】C

【分析】ABD可舉出反例；C選項(xiàng)，可根據(jù)平行的傳遞性和垂直關(guān)系進(jìn)行證明.

【詳解】對(duì)于A,正方體ABCO-ABCR中，設(shè)邊長(zhǎng)為。，連接的，則NQ明為與平面4班出所成

角，

由勾股定理得到AB]=缶,AQ=瓜，故sinK他=宕=*,

同理可得AG和ADD^所成角的正弦值為B,故AG與平面A即A和">24所成角大小相等，

3

但平面ABB,A與平面ADD{\不平行，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，平面ABCDEI平面,平面A3CDEI平面,但平面與平面AD0A不平行，故B

錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由/_La,/〃加得又mJ■耳，所以a