2024-2025學(xué)年莆田市一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年莆田市一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷全卷滿分150分，考試時間120分鐘一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)，的大致圖象是（

）A．B.C．D.3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝詳解九張算法和算法通變本末中，提出垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前項分別，，，，，，，則該數(shù)列的第項為（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為用表示小球落入格子的號碼，則下面計算錯誤的是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．使得“”成立的充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點B．C．不等式的解集為D．當時，11．已知定義域為的函數(shù)滿足：①若，則；②對一切正實數(shù)，則（

）A．B．C．，恒有成立D．存在正實數(shù)，使得成立三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是.13．已知一個底面半徑為的圓錐，其側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的體積為．14．若實數(shù)滿足，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.16．設(shè)函數(shù)在處的切線垂直軸.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：.17．某公司采購部需要采購一箱電子元件，供貨商對該電子元件整箱出售，每箱10個.在采購時，隨機選擇一箱并從中隨機抽取3個逐個進行檢驗.若其中沒有次品，則直接購買該箱電子元件；否則，不購買該箱電子元件.(1)若某箱電子元件中恰有一個次品，求該箱電子元件能被直接購買的概率；(2)若某箱電子元件中恰有兩個次品，記對隨機抽取的3個電子元件進行檢測的次數(shù)為，求的分布列及期望.18．如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為2的菱形，，點E?F?G分別為線段、、的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)設(shè)直線與平面的交點為，求長度.19．已知函數(shù)（1）若，函數(shù)的極大值為，求a的值；（2）若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案1．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析A集合為大于等于0的偶數(shù)集，求解B集合，計算補集，再求交集.【詳解】集合，因為集合A為大于等于0的偶數(shù)集，集合或，所以，.故選C.【思路導(dǎo)引】本題考查集合的補集和交集運算.2．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，，依次排除A，B，D，得到答案.【詳解】由于，故函數(shù)為奇函數(shù)，排除D選項，，故排除B選項，排除A選項，故選C.3．【答案】A【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)及其單調(diào)性可得，解對數(shù)不等式即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知在R上單調(diào)遞增，且；因此不等式可化為，即，解得.所以的取值范圍是.故選A.4．【答案】B【分析】利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)列的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】令數(shù)列：為數(shù)列，于是，依題意，數(shù)列為：，于是數(shù)列為：是等差數(shù)列，，則，因此，所以該數(shù)列的第項為.故選B.5．【答案】C【詳解】.，且，即..所以.故選C.6．【答案】B【分析】分析可知，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式可判斷AB選項；利用二項分布的期望和方差的公式可判斷CD選項．【詳解】設(shè)“向右下落”，則“向左下落”，，因為小球最后落入格子的號碼等于事件發(fā)生的次數(shù)，而小球下落的過程中共碰撞小木釘5次，所以，對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確.故選B．7．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，由可得，因此，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出其在定義域內(nèi)的值域即可得的取值范圍.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，令可得當時，滿足題意；如下圖所示：令，解得，由可知；因此由可得，即；所以，令，則，令，解得，當時，，可知在上單調(diào)遞增，當時，，可知在上單調(diào)遞減；因此在處取得極大值，也是最大值，因此；而，；又因為，所以，可得，所以可得，即的取值范圍是.故選D.【方法總結(jié)】一是會畫圖，會利用函數(shù)解析式畫出其圖象，尋求解題思路；二是會構(gòu)造函數(shù)，將兩函數(shù)值相等求自變量的差的取值范圍問題，轉(zhuǎn)化為求新構(gòu)造函數(shù)的值域，對新函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性從而求得其值域.8．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得當時，，最后應(yīng)用分組求和即可.【詳解】當時，，，，所以，則.故選A.9．【答案】CD【解析】因為判斷的是充分不必要條件，所以所選的條件可以推出，且無法推出所選的條件，由此逐項判斷即可.【詳解】A．因為不能推出，但可以推出，所以是成立的必要不充分條件，故A錯誤；B．因為不能推出（例如：），且也不能推出（例如：），所以是成立的既不充分也不必要條件，故B錯誤；C．因為即能推出，且不一定能推出（例如：），所以是成立的充分不必要條件，故C正確；D．因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以可以推出，即，所以可以推出，且不一定能推出（例如：），所以是成立的充分不必要條件，故D正確.故選CD.【方法總結(jié)】充分、必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分也不必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合互不包含.10．【答案】BD【分析】對于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；對于B：根據(jù)解析式代入運算即可；對于C：取特值檢驗即可；對于D：分析可得，結(jié)合的單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：因為的定義域為R，且，當時，；當或時，；可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點，故A錯誤；對于選項B：因為，故B正確；對于選項C：對于不等式，因為，即為不等式的解，但，所以不等式的解集不為，故C錯誤；對于選項D：因為，則，且，可得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選BD.11．【答案】BCD【分析】對于AB，由賦值法即可判斷；對于C，由基本不等式結(jié)合函數(shù)新定義即可判斷；對于D，取，利用函數(shù)性質(zhì)得到，結(jié)合即可判斷.【詳解】對于A，在中，令，可得，無法確定f1的值，A錯誤；對于B，令，代入條件②中，，即，B正確；對于C，當時，，且當時，，則，C正確；對于D，取，由于，從而成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即而公差，所以當n充分大時，可使，D正確.故選BCD.【關(guān)鍵點撥】判斷D選項的關(guān)鍵在于得到以及，由此即可順利得解.12．【答案】【分析】首先根據(jù)題意，將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象和直線交點的個數(shù)問題來解決，這樣比較直觀，容易理解.【詳解】在同一個坐標系中畫出函數(shù)的圖象和直線，而函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)的圖象和直線的交點的個數(shù)，從圖中發(fā)現(xiàn)，一共有兩個交點，所以其零點個數(shù)為.故答案為：.13．【答案】【分析】根據(jù)條件，求圓錐的母線長和高，再利用圓錐的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，則，得，所以圓錐的高為，故圓錐的體積為.故答案為：.14．【答案】【分析】利用基本不等式可求得，通過配湊即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，可得；而，所以，解得；當且僅當，也即時，上式右邊等號成立；此時的最大值為.故答案為：.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項公式計算出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算出數(shù)列的通項公式，即可計算出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)數(shù)列的通項公式的特點運用分組求和法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可計算出前項和．【詳解】（1）由題意，可得，故，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，，．（2）由題意及（1），可得，則．16．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)得到，再求導(dǎo)得到其單調(diào)區(qū)間；（2）轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)新函數(shù)，多次求導(dǎo)得到其單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）因為函數(shù)在處的切線垂直于軸，所以.由得，則，則，，當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增；則的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2），即，即，設(shè)，則，令，則，再設(shè)，則，因為，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，則易知在上單調(diào)遞減，則，則在上單調(diào)遞減，則，則在恒成立，則，即.17．【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）依題意，利用古典概型的公式計算求解；（2）利用概率的乘法計算每一個隨機變量取值的概率，再求數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)某箱電子元件有一個次品能被直接購買為事件A.則；（2）可能取值為，則；，故的分布列是故.18．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）先利用面面平行的判定定理得出平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可得證（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面法向量，利用向量夾角公式可求解；（3）設(shè)，得到，根據(jù)向量與共面，結(jié)合向量共面定理求出，得到坐標，再用兩點間距離公式結(jié)算即可.【詳解】（1）證明：取線段的中點，連接、，因為點為線段的中點，所以，又平面，平面，所以平面，因為中，點為線段的中點，點為線段的中點，所以，又平面，平面，所以平面，又，且平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）設(shè)平面與平面夾角為，連接和交于點，過點作直線垂直于平面，如圖，以為坐標原點，以向量為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，求得關(guān)鍵點坐標，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即平面與平面夾角的余弦值為.（3）設(shè)，則，故，依題意可得向量與共面，所以存在實數(shù)，，使得，即，解得，則.且.則運用兩點間的距離公式計算得到.19．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論，兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，得出極值，根據(jù)題中條件，即可得出結(jié)果；（2）令，根據(jù)題中條件，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，等價于，對恒成立，先討論時，求得，不滿足題意；再討論時，，，對其求導(dǎo)，得到，令，，再分別討論，兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，.（i）當時，，令，得；，得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，因此的極大值為，不合題意；（ii）當時，，令，得；，得或，所以在