江蘇省南通市通州區(qū)2025屆高三上學期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省南通市通州區(qū)2025屆高三上學期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={1,3,5,7}，B={x|?x2+4x≥0}，則A∩B=A.[1,3] B.[5,7] C.{1,3} D.{5,7}2.設函數(shù)f(x)=log2?(2?x),x<1,2x?1A.4 B.5 C.6 D.73.“l(fā)nx>lny”是“xA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.當陽光射入海水后，海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用ID=I0e?KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是消光系數(shù)，D(單位：米)是海水深度，ID(單位：坎德拉)和I0(單位：坎德拉)分別表示在深度D處和海面的光強.已知某海域5米深處的光強是海面光強的40%A.0.2 B.0.18 C.0.1 D.0.145.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1所示，則如圖2所示的函數(shù)圖象所對應的函數(shù)解析式可能為(

)

A.y=f(1?12x) B.y=?f(1?12x)6.今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學不同的觀影方案種數(shù)為(

)A.12 B.24 C.28 D.367.已知x>0，y>0，x+y=1，則12x+xy+1A.54 B.43 C.1 8.若函數(shù)f(x)=e2x4?axexA.(?∞,?12) B.(?12,0)二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設a=log26，b=logA.ab<0 B.a+b<0 C.1a?110.已知隨機事件A，B相互獨立，且P(A)=15，P(B|A)=14A.P(B)=13 B.P(AB)=120 C.11.定義域為R的連續(xù)函數(shù)f(x)，對任意x，y∈R，f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，且f(x)不恒為0，則下列說法正確的是(

)A.f(x)為偶函數(shù)B.f(x)+f(0)≤0

C.若f(1)=0，則i=110f(i)=?2D.若0為f(x)的極小值點，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2+xy)(x?2y)6的展開式中x413.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，E，F(xiàn)分別是棱AB，14.與曲線y=1ex和曲線y=?lnx?2四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在每年的1月份到7月份，某品牌空調(diào)銷售商發(fā)現(xiàn)：“每月銷售量(單位：臺)”與“當年的月份”線性相關.根據(jù)統(tǒng)計得下表：月份x123456銷量y122133415263(1)根據(jù)往年的統(tǒng)計得，當年的月份x與銷量y滿足回歸方程y=10x+t.請估計當年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售多少臺(2)該銷售商從當年的前6個月中隨機選取3個月，記X為銷量不低于前6個月的月平均銷量的月份的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．16.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側面ABB1A1，BCC(1)求證：BC1(2)求二面角D?A117.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ln(1)證明：曲線y=f(x)是中心對稱圖形;(2)若f(2m?1)+f(m)<4，求實數(shù)m的取值范圍．18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=3，F(xiàn)是棱PD的中點，E是棱DC上一點．(1)求證：AF⊥EF;(2)若直線BP與平面AEF所成角的正弦值為2211求點B到平面AEF19.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=e(1)討論f(x)在區(qū)間(2,+∞)上的單調(diào)性;(2)若f(x)在(0,2)上有兩個極值點x1，x?①求實數(shù)a的取值范圍;?②求證：f(x1)f(參考答案1.C

2.D

3.A

4.B

5.B

6.D

7.A

8.C

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.?40

13.29π

14.y=?ex

15.解：(1)x=1+2+3+4+5+66=3.5，

y=12+21+33+41+52+636=37，

又回歸直線過樣本中心點(x,y)，所以37=10×3.5+t，得t=2，

所以y=10x+2，當x=7時，y=72，

所以預測當年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售72臺；

(2)因為y=37，所以銷量不低于前6個月的月平均銷量的月份數(shù)為4，5，6，

所以X=0，1，2，3，

所以P(X=0)=C316.解：(1)證明：如圖，

連接AC1，設A1C∩AC1=M，連接MD，

∵M，D分別是AC1和AB的中點，∴MD//BC1，

∵BC1?平面A1DC，MD?平面A1DC，

∴BC1/?/平面A1DC;

(2)∵側面ABB1A1，側面BCC1B1均為正方形，

∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，又AB⊥BC，

所以以B為坐標原點，以BC方向為x軸正方向，以BA方向為y軸正方向，以BB1方向為z軸正方向，如圖建立空間直角坐標系．

∵A(0,2,0)，D(0,1,0)，C(2,0,0)，A1(0,2,2)，

∴CA1=(?2,2,2)，CD=(?2,1,0)，AA1=(0,0,2)，

設平面A1DC、平面A1AC的一個法向量分別為m=(x1,y1,17.解：(1)由x2?x>02?x≠0，解得0<x<2，

f(2?x)+f(x)=ln2?xx+2(2?x)+(1?x)3+lnx2?x+2x+(x?1)3=4，

所以f(x)關于點(1,2)中心對稱．

(2)f(x)=lnx2?x+2x+(x?1)3=lnx?ln(2?x)+2x+(x?1)3，

f′(x)=1x+12?x+2+3x?12，18.(1)證明：在正方形ABCD中，有AD⊥CD，又PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，

所以PA⊥CD，又AD∩AP=A，AD、AP?平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，又AF?平面PAD，所以CD⊥AF，

又PA=AD，點F是棱PD的中點，所以有AF⊥PD，

又CD∩PD=D，CD、PD?平面PDC，所以AF⊥平面PDC，

又EF?平面PDC，所以AF⊥EF．

(2)如圖，以點A為原點，以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則B(3,0,0)，P(0,0,3)，F(xiàn)(0,32,32)，

設點E(m,3,0)，0≤m≤3，

設平面AEF的法向量n=(x,y,z)，

n?AE=0n?AF=0?mx+3y=0y+z=0,

令x=3，可得n=(3,?m,m)，

又BP=(?3,0,3)，

所以直線BP與平面AEF所成角的正弦值sinθ=BP?n|BP||n|=2211，

化簡可得19.解：(1)f(x)的定義域為(2,+∞)，

f′(x)=ex(x2?ax+1)，

①若Δ=a2?4?0，即?2≤a≤2，

則?x∈R，x2?ax+1≥0，從而f′(x)=ex(x2?ax+1)≥0，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；

②若Δ>0，即a>2或a<?2，

當a<?2時，x>2時顯然x2?ax+1>0，即f′(x)>0，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當a>2時，由f′(x)=0，解得x=a?a2?42，x′=a+a2?42，

設a?a2?42?2，解得a∈Φ，故a?a2?42<2，令a+a2?42=2，解得a=52，

所以當a>52時，a+a2?42>2，所以2<x<a+a2?42時x2?ax+1<0，f′(x)<0，x>a+a2?42時，

x2?ax+1>