2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)復(fù)旦大學(xué)附中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)復(fù)旦大學(xué)附中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)a、b為向量，則“a?b>0”是“a、b的夾角是銳角”的(

)A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要2.從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，給出以下事件：

①兩球都不是白球；

②兩球中恰有一白球；

③兩球中至少有一個白球．

其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③3.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，A.直線MB與直線B1D1相交，直線MB?平面ABC1

B..直線MB與直線D1C平行，直線MB⊥平面A1C1D

C.直線MB與直線AC異面，直線MB⊥平面4.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)函數(shù)ga(x)=f(x)?f(a)x?aA.若f(x)在R上單調(diào)遞增，則存在實數(shù)a，使得ga(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增

B.對于任意實數(shù)a，若ga(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)在R上單調(diào)遞增

C.對于任意實數(shù)a，若存在實數(shù)M1>0，使得|f(x)|<M1，則存在實數(shù)M2>0，使得|ga(x)|<M2

D.二、填空題：本題共12小題，共54分。5.直線x+3y+5=06.已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=3+4i(i是虛數(shù)單位)，則|z|=______7.已知隨機變量X的方差D[X]=1，則隨機變量Y=3X+2的方差D[Y]=______．8.已知α為第二象限角，sinα+cosα=33，則cos2α=9.在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=23，則△ABC的面積是______．10.已知向量a、b滿足|a|=|b|=2，且a?b在a上的數(shù)量投影為2+11.設(shè)f(x)=?x+a,x≤0,x+1x,x>0.若f(0)12.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(1)=0.若y=f(x)+a?2x是奇函數(shù)，y=f(x)+3x13.已知關(guān)于x的不等式|x?a|<|x|+|x+1|的解集為R，則a的取值范圍為______．14.已知A(?2,0)，B(2,0)，若曲線(xa+yb)(xa?15.已知全集U={(x,y)|x，y∈R}，若集合A?U，且對任意(x1,y1)∈A，均存在(x2,y2)∈A，使得：x1y2+x2y1=0，則稱集合A為“對稱對點集”.給出如下集合：

(1)A={(x,y)|x，y∈Z}；

16.關(guān)于x的方程2ln(ax+b2)=4三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

某公司今年初用25萬元引進(jìn)一種新的設(shè)備，投入設(shè)備后每年收益為21萬元.同時，公司每年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費用，第一年各種費用2萬元，第二年各種費用4萬元，以后每年各種費用都增加2萬元．

(1)引進(jìn)這種設(shè)備后，求該公司使用這種設(shè)備后第n(n≤18)年后所獲利潤f(n)；

(2)這種設(shè)備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？18.(本小題14分)

已知圓錐母線長為6，底面圓半徑長為4，點M是母線PA的中點，AB是底面圓的直徑，底面半徑OC與母線PB所成的角的大小等于θ．

(1)當(dāng)θ=60°時，求異面直線MC與PO所成的角；

(2)當(dāng)三棱錐M?ACO的體積最大時，求θ的值．19.(本小題14分)

為了緩解高三學(xué)生學(xué)業(yè)壓力，學(xué)校開展健美操活動，高三某班文藝委員調(diào)查班級學(xué)生是否愿意參加健美操，得到如下的2×2列聯(lián)表．性別愿意不愿意男生610女生186(1)根據(jù)該2×2列聯(lián)表，并依據(jù)顯著水平α=0.05的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為“學(xué)生性別與是否愿意參加健美操有關(guān)”；

(2)在愿意參加的所有學(xué)生中，根據(jù)性別，分層抽樣選取8位學(xué)生組織班級健美操隊，并從中隨機選取2人作為領(lǐng)隊，記這2人中女生人數(shù)為隨機變量X，求X的分布及期望E[X]．

附：P(χ220.(本小題18分)

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=22，點P，Q分別是橢圓的右頂點和上頂點，△POQ的邊PQ上的中線長為32．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點H(?2,0)的直線交橢圓C于A，B兩點，若AF1⊥BF1，求直線AB的方程；

(3)直線l1，l2過右焦點F2，且它們的斜率乘積為?21.(本小題18分)

若函數(shù)f(x)滿足：對任意正數(shù)s，t，都有f(s)+f(t)<f(s+t)，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．

(1)試判斷函數(shù)f1(x)=x2與f2(x)=ln(x+1)是否為“H函數(shù)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)y=3x+x?3a是“H函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”，f(1)=1，對任意正數(shù)s、t，都有參考答案1.B

2.A

3.D

4.D

5.150°

6.5

7.9

8.?9.210.56π

11.{a|a≤2}

12.?1613.{a|?1<a<0}

14.(0,15.(1)(4)

16.e217.解：(1)由題意知，每年各種費用等差數(shù)列，設(shè)純收入與年數(shù)n的關(guān)系為f(n)，

則f(n)=21n?[2n+n(n?1)2×2]?25=20n?n2?25，

由f(n)>0得n2?20n+25<0，解得10?53<n<10+53，

又因為n∈N，所以n=2，3，4，18，

即從第2年該公司開始獲利；

18.(12分)

解：(1)連MO，過M作MD⊥AO交AO于點D，連DC．

又PO=62?42=25，∴MD=5.又OC=4，OM=3．

又MD//PO，∴∠DMC等于異面直線MC與PO所成的角或其補角．

∵M(jìn)O/?/PB，∴∠MOC=60°或120°.…(5分)

當(dāng)∠MOC=60°時，∴MC=13．

∴cos∠DMC=MDMC=6513，∴∠DMC=arccos6513

當(dāng)∠MOC=120°時，∴MC=37.∴cos∠DMC=MDMC=18537，∴∠DMC=arccos18537

綜上異面直線MC與PO19.解：(1)零假設(shè)H0：學(xué)生性別與是否愿意參加健美操無關(guān)，

由題意可知，χ2=40×(6×6?18×10)224×16×16×24=5.625>3.841，

依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“學(xué)生性別與是否愿意參加健美操有關(guān)”；

(2)因為愿意參加的所有學(xué)生中，男生與女生之比為1：3，

所以選取的8位學(xué)生中有2名男生，6名女生，

由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，

則P(X=0)=CX

0

1

2

P

1

315所以E(X)=0×12820.解：(1)由題意，因為P(a,0)，Q(0,b)，△POQ為直角三角形，所以|PQ|=a2+b2=3．

又e=ca=22,a2=b2+c2，所以a=2,b=1,c=1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1．

(2)由(1)知，F(xiàn)1(?1,0)，顯然直線AB的斜率存在，

設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x22+y2=1y=k(x+2)，消去y得，(1+2k2)x2+8k2x+8k2?2=0，

所以Δ=(8k2)2?4(1+2k2)(8k2?2)=8(1?2k2)>0，即0<k2<12．

且x1+x2=?8k21+2k2,x1x2=8k2?21+2k2，

因為AF1⊥BF1，所以AF1?BF1=0，

所以(?1?x1,?y1)(?1?x2,?y2)=0，即21.解：(1)對于任意s，t∈(0,+∞)，f1(s)+f1(t)=s2+t2，f1(s+t)=(s+t)2，

所以f1(s+t)?[f1(s)+f1(t)]=(s+t)2?(s2+t2)=2st>0，

即f1(s)+f1(t)<f1(s+t)成立，

故f1(x)=x2是“H函數(shù)”；

對于f2(x)=ln(x+1)，

取s