2024-2025學(xué)年廣東省中山一中高二（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省中山一中高二（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線x+y+1=0的傾斜角是(

)A.30° B.60° C.45° D.135°2.若圓(x?a)2+(y+1)2=3關(guān)于直線A.?1 B.1 C.3 D.?33.已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為F1(0,?3)，F(xiàn)2(0,3)，P是雙曲線上一點(diǎn)且||PA.x24?y25=1 B.4.如圖1，某家用電暖氣是由反射面、熱饋源、防護(hù)罩及支架組成，為了更好利用熱效能，反射面設(shè)計(jì)成拋物面(拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面)，熱饋源安裝在拋物線的焦點(diǎn)處，圓柱形防護(hù)罩的底面直徑等于拋物面口徑．圖2是該電暖氣的軸截面，防護(hù)罩的寬度AD等于熱饋源F到口徑AB的距離，已知口徑長為40cm，防護(hù)罩寬為15cm，則頂點(diǎn)O到防護(hù)罩外端CD的距離為(

)A.25cm B.30cm C.35cm D.40cm5.已知直線l過定點(diǎn)A(2,3,1)，且n=(0,1,1)為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)P(4,3,2)到直線l的距離為(

)A.322 B.22 6.如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，則該二面角的大小為(

)A.π6 B.πC.π3 D.7.如圖所示，一只裝有半杯水的圓柱形水杯，將其傾斜使杯底與水平桌面成30°，此時(shí)杯內(nèi)水面成橢圓形，此橢圓的離心率為(

)A.32

B.34

C.8.與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心，如圖1所示，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x29?y216=1的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，Q是△PF1F2的一個(gè)旁心，如圖2A.34 B.43 C.32二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列四個(gè)方程所表示的曲線中既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱的是(

)A.x29?y24=0 B.10.下列結(jié)論正確的是(

)A.已知點(diǎn)P(x,y)在圓C：(x?1)2+(y?1)2=2上，則x+y的最大值是4

B.已知直線kx?y?1=0和以M(?3,1)，N(3,2)為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為?23≤k≤1

C.已知P(a,b)是圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，直線l的方程是ax+by=r11.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為π4的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn)Q.下列說法正確的是A.QA⊥QB

B.△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為22

C.1|AF|+1|BF|=2

D.若12.如圖，點(diǎn)M是正方體ABCD?A1B1C1D1中的側(cè)面ADD1A.滿足BM⊥A1D的點(diǎn)M的軌跡是一條線段

B.在線段AD1上存在點(diǎn)M，使異面直線B1M與CD所成的角是30°

C.若正方體的棱長為1，三棱錐B?C1MD的體積最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知a=(?2,1,3)，b=(?1,2,1)，若a⊥(a?λ14.如圖，已知網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長都是1，則點(diǎn)C到直線AB的距離為______．15.已知過點(diǎn)P(2,1)的動直線l與圓C：x2+y2?4x=0相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則線段AB16.設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2)為不同的兩點(diǎn)，直線l：ax+by+c=0，δ=ax1+by1+cax2+by2+c，以下命題中正確的序號為______．

(1)存在實(shí)數(shù)δ，使得點(diǎn)N在直線l上；

(2)若δ=1，則過M、N的直線與直線l平行；四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=?1．

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線l：y=x?1交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求弦長|AB|．18.(本小題12分)

已知△ABC的頂點(diǎn)A(3,1)，AB邊上的高所在的直線方程為4x?y?13=0，AC邊上的中線所在的直線方程為5x?2y?12=0．

(1)求直線AB的方程；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．19.(本小題12分)

如圖，在各棱長均為1的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別在棱AA1，CC1上，且A1M=13AA1,CN=120.(本小題12分)

某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為2米，在其南面有一條東西走向的觀景直道(圖中用實(shí)線表示)，建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道(圖中用虛線表示)，觀景直道與輔道距離5米.在建筑物底面中心O的北偏東45°方向102米的點(diǎn)A處，有一臺360°全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度.請建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并解決問題：

(1)在西輔道上與建筑物底面中心O距離4米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？

(2)21.(本小題12分)

在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，BC//AD，∠ADC=90°，BC=CD=1，PA=PD=AD=2，E為線段AD的中點(diǎn)，過BE的平面與線段PD，PC分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)．

(Ⅰ)求證：GF⊥PA；

(Ⅱ)在棱PD上是否存在點(diǎn)G，使得直線PB與平面BEGF所成角的正弦值為217，若存在，請確定G22.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(3,0)，點(diǎn)P(2,1)在橢圓C上．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)T(3,0)且斜率大于0的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M和N，直線PM、PN分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，記△PAT參考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.A

6.C

7.C

8.D

9.AC

10.AD

11.AB

12.ACD

13.2

14.1015.π

16.(2)(3)(4)

17.解：(1)由拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=?1，

得p2=1，∴p=2．

∴拋物線C的方程為y2=4x．

(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立方程組得y=x?1y2=4x，消去y，得x2?6x+1=0，

Δ=36?4=32>0，18.解：(1)設(shè)AB邊上的高為CE，

∵CE⊥AB，且直線CE的方程為4x?y?13=0，故斜率為4，

∴直線AB的斜率為?14，∵A(3,1)，

∴直線AB的方程為y?1=?14(x?3)，即x+4y?7=0；

(2)設(shè)D(a,b)，則C(2a?3,2b?1)，

由題意得4(2a?3)?(2b?1)?13=05a?2b?12=0，

解得a=4，19.解：(1)在各棱長均為1的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別在棱AA1，CC1上，且A1M=13AA1,CN=13CC1，

且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，

∵NB1=C1B1?C120.解：(1)設(shè)O為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系，O(0,0)，

因?yàn)镺A=102，∠AOx=45°，則A(10,10)，依題意得，游客所在位置為B(?4,0)，

則直線AB的方程為5x?7y+20=0，

所以圓心O到直線AB的距離d=|20|25+49=2074>20100=2，

所以直線AB與圓O相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)，

(2)由圖知，過A的直線與圓O相切或相離時(shí)，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物擋住，

所以設(shè)直線l過點(diǎn)A且和圓切，

(1)若直線l垂直于x軸，則直線l不會和圓相切；

(2)若直線l不垂直于x軸，設(shè)l：y?10=k(x?10)，整理得l：kx?y+10?10k=0，

所以圓心O到直線l的距離為|10?10k|k2+1=2，解得k=43或k=34，

所以l：y?10=34(x?10)或y?10=43(x?10)，

即3x?4y+10=0或4x?3y?10=0，

觀景直道所在直線方程為y=?5，

設(shè)兩條直線與y=?521.解：(Ⅰ)證明：因?yàn)锽C=12AD，且E為線段AD的中點(diǎn)，

所以BC=DE，

又BC/?/AD，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以BE/?/CD．

又CD?平面PCD，BE?平面PCD，所以BE//平面PCD．

又BE?平面BEGF，平面BEGF∩平面PCD=GF，所以BE/?/GF，

又平面PAD⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，BE⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以BE⊥平面PAD，又因?yàn)锽E/?/GF，

所以GF⊥平面PAD，又PA?平面PAD，

所以GF⊥PA．

(Ⅱ)存在，G為棱PD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

因?yàn)镻A=PD，E為線段AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，

所以易知PE⊥平面ABCD．

如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA、EB、EP的方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E?xyz，

則P(0,0,3)，B(0,1,0)，E(0,0,0)，D(?1,0,0)，

所以PB=(0,1,?3)，BE=(0,?1,0)，DP=(1,0,3)，

設(shè)DG=λDP(λ>0)，得G(λ?1,0,3λ)，所以EG=(λ?1,0,3λ)，

設(shè)平面BEGF的法向量為n=(x,y,z)，則BE?n=0EG?n=0，即y=0(λ?1)x+3λz=0，

令x=3λ，可得n=(3λ,0