2024-2025學(xué)年江蘇省常州市西夏墅高級(jí)中學(xué)高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省常州市西夏墅高級(jí)中學(xué)高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|x2?2x<0}，B={x|2A.A∩B=? B.A∪B=A C.A?B D.B?A2.已知等邊三角形ABC的邊長為1，那么BC?AC+A.32 B.?32 C.?3.在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=logax，g(x)=a?x，A. B.

C. D.4.使得“函數(shù)f(x)=7+2ax?x2在區(qū)間[?1,1]A.a≤?1 B.0<a≤3 C.?3<a<?1 D.?3≤a<05.已知sinα+cosα=15,α∈(0,π)，則cos2α+2siA.?717 B.?247 C.6.已知函數(shù)f(x)=x2+1,x≤1,2x?a,x>1A.(?∞,1] B.(?∞,1) C.[1,+∞) D.(1,+∞)7.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2acos2C2=b(1?cosA)+a，則A.等腰三角形 B.等邊三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.已知角α，β都是銳角，且3cosα+10cosβ=3,3sinα?A.cos(α+β)=?1010 B.sin(α+β)=3二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知點(diǎn)P是△ABC的中線BD上一點(diǎn)(不包含端點(diǎn))且AP=xAB+yACA.x+2y=1 B.2x+y=1

C.2x+4y≥210.將函數(shù)．f(x)=sin(ωx?π6)(0<ω<6)的圖象向右平移π6個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若(0,A.f(x)的最小正周期為π

B.f(x)在

(2π3,4π3)

上單調(diào)遞增

C.函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的最大值為3

D.方程11.已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，其中正確的命題有(

)A.已知∠A=60°，b=4，c=2，則△ABC有兩解

B.若△ABC是銳角三角形，b=3，B=π3，設(shè)△ABC的面積為S，則S∈(332,934]

C.若∠A=90°，b=1，c=3，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P使得PA與PB夾角為90°，PA與PC夾角為120°，則tan三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若tanα=2，則sin(π2?α)?cos13.如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足2BP=BC，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點(diǎn)M，N，若AM=xAB，AN14.在△ABC，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，BD⊥BC交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則2a+c的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=alnx?1x,a∈R．

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)16.(本小題18分)

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)的一段圖象過點(diǎn)(0,1)，如圖所示．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移π4個(gè)單位，得函數(shù)y=g(x)的圖象，求y=g(x)在區(qū)間[0,π2]上的值域；

17.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知向量m=(a+b,sinC),n=(a?c,sinA?sinB)，滿足m//n．

(1)求B；

(2)若角B的平分線交邊AC于點(diǎn)D，18.(本小題17分)

已知f(x)=ex+aex是奇函數(shù)．

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)求函數(shù)y=e2x+e?2x19.(本小題17分)

當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°的點(diǎn)M為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，P是△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”．

(1)若acosC+3asinC?b?c=0，a=23，B<C．

①求A；

②設(shè)△ABC的周長為23+6，求|PA|+|PB|+|PC|的值；參考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.A

6.A

7.D

8.C

9.ACD

10.ACD

11.BCD

12.2

13.3

14.815.解：(I)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，f′(x)=ax+1x2．

又曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+2y=0垂直，所以f′(1)=a+1=2.解得a=1．

(II)由于f′(x)=ax+1x2．

當(dāng)a≥0時(shí)，對(duì)于x∈(0,+∞)，有f′(x)>0在定義域上恒成立，即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)．

當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)=0，得x=?1a∈(0,+∞)；

當(dāng)x∈(0,?1a16.解：(1)由圖知，T=π，則ω=2ππ=2．

由圖可得，f(x)在x=π6處最大值，

又因?yàn)閳D象經(jīng)過(?π12,0)，故f(?π12)=Asin(?π6+φ)=0，

所以?π6+φ=2kπ,k∈Z，故φ=π6+2kπ,k∈Z，

又因?yàn)閨φ|<π2，所以φ=π6，

函數(shù)又經(jīng)過(0,1)，故f(0)=Asinπ6=1，得A=2．

所以函數(shù)f(x)的表達(dá)式為f(x)=2sin(2x+π6)．

(2)由題意得，g(x)=2sin[2(x?π4)+π6]=2sin(2x?π3)，

因?yàn)閤∈[0,π2]，所以2x?π3∈[?π317.解：(1)因?yàn)橄蛄縨=(a+b,sinC),n=(a?c,sinA?sinB)，滿足m//n，

所以(a+b)(sinA?sinB)=(a?c)sinC，

由正弦定理可得：(a+b)(a?b)=c(a?c)，即a2?b2=ac?c2，

所以a2+c2?b2=ac，

所以2accosB=ac，

所以cosB=12，

因?yàn)锽∈(0,π)，

所以B=π3；

(2)S△ABC=12acsinB=34ac，

18.解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ex+aex的定義域?yàn)镽，

又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0，即1+a=0，解可得a=?1；

當(dāng)a=?1時(shí)，f(?x)=e?x?1e?x=?ex+1ex=?f(x)，此時(shí)f(x)為奇函數(shù)，符合題意．

故a=?1；

(2)令ex?1ex=t(t≥0)，所以e2x+1e2x=t2+2

所以?(t)=t2?2λt+2，對(duì)稱軸t=λ，

①當(dāng)λ≤0時(shí)，?(t)∈[?(0),+∞)，所求值域?yàn)閇2,+∞)；

②當(dāng)λ>0時(shí)，?(t)∈[?(λ),+∞)，所求值域?yàn)閇2?λ2,+∞)；

(3)因?yàn)閒(x)=ex?1e19.解：(1)①由sinAcosC+3sinAsinC?sinB?sinC=0,a=23,B<C，

結(jié)合sinB=sin(A+C)，可得sinAcosC+3sinAsinC?(sinAcosC+cosAsinC)?sinC=0，

即3sinAsinC?cosAsinC?sinC=0,sinC≠0，整理得3sinA?cosA?1=0，

所以3sinA?cosA=1，即2sin(A?π6)=1，可得sin(A?π6)=12，

因?yàn)锳∈(0,π)，可得A?π6∈(?π6,5π6)，所以A?π6=π6,A=π3．

②設(shè)|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，則(x+y+z)2=x2+y2+y2+2xy+2xy+2yz，

在△APC中，由余弦定理得