2024-2025學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市兩校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（8月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市兩校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={0,1,2,3}，B={x∈N|x2?5x+4≥0}，則A∩B=A.{1} B.{1,2} C.{0,1} D.{1,2,3}2.“x2≤x”是“1x≥1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知函數(shù)f(x)=(2?a)x+3a,x<1x?1,x≥1的值域?yàn)镽，那么實(shí)數(shù)aA.(?∞,?1] B.[?1,2) C.(0,2) D.(?2,1]4.如圖，已知A(1,0)，B(0,1)，點(diǎn)C在函數(shù)y=ax的圖象上，點(diǎn)D在函數(shù)y=logax的圖象上，若四邊形ABCD為正方形，則A.32

B.2

C.3

D.5.已知sinθ+sin(θ+π3)=1A.12 B.33 C.26.神舟十二號(hào)載人飛船搭載3名宇航員進(jìn)入太空，在中國(guó)空間站完成了為期三個(gè)月的太空駐留任務(wù)，期間進(jìn)行了很多空間實(shí)驗(yàn)，目前已經(jīng)順利返回地球．在太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水．回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使用．凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾的次數(shù)為(????)(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010.)A.10 B.12 C.14 D.167.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A.32 B.22 C.8.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，aA.22024?1 B.3×21012?1 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列大小關(guān)系正確的是(

)A.1.92<21.9 B.22.9<10.已知函數(shù)f(x)=asinx?cos2x，則(

)A.f(x)的最小正周期為π

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱

C.當(dāng)a=?2時(shí)，函數(shù)f(x)在(π6,π2)上單調(diào)遞增

D.若函數(shù)f(x)11.已知函數(shù)f(x)=lg(x2+1+x)+ex?A.1 B.2 C.3 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.定義運(yùn)算abcd=ad?bc，則不等式ax11x+113.已知過原點(diǎn)O的直線與y=log3x交于A，B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，過A作x軸的垂線與函數(shù)y=4x交于C點(diǎn)，過B點(diǎn)作x軸的垂線與函數(shù)y=2x交于D點(diǎn)，當(dāng)CD14.已知f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，f[f(x)?2x]=3，對(duì)x∈R恒成立，則f(3)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知c=5，2bcosC=2a?c．

(1)求角B的大??；

(2)若△ABC的面積為103，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，求sin∠BAD16.(本小題15分)

如圖，在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=2AA1=2A1B1=2，∠ABC=60°，AA1⊥平面ABCD．

17.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=axb+x2(a≠0,x>0)，滿足：①f(1)=12；②對(duì)任意x>0，f(x)=f(1x)恒成立．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式．

(2)設(shè)矩形ABCD的一邊AB在x軸上，頂點(diǎn)C，D在函數(shù)f(x)的圖象上18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=2exex+1+k是奇函數(shù).(e是自然對(duì)數(shù)的底)

(1)求實(shí)數(shù)k的值；

(2)若x>0時(shí)，關(guān)于x的不等式f(2x)≤mf(x)恒成立.求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)設(shè)g(x)=f(x)+11?f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c∈(0,n]，若以a，b，c為長(zhǎng)度的線段可以構(gòu)成三角形時(shí)，均有以19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax2?lnx?x．

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；

(Ⅲ)當(dāng)a=0時(shí)，試判斷函數(shù)F(x)=2sinx?f(x)?2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明．參考答案1.C

2.B

3.B

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.CD

11.CD

12.(?4,0]

13.2

14.9

15.解：(1)∵2bcosC=2a?c，

∴由正弦定理得，2sinBcosC=2sinA?sinC，

即2sinBcosC=2sin(π?B?C)?sinC，

即2sinBcosC=2sin(B+C)?sinC，

即2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC?sinC，

即2cosBsinC=sinC，

∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，∴cosB=12，

∵B∈(0,π)，

∴B=π3；

(2)12acsinB=103?12?a?5?32=103?a=8，

b=a16.解：(1)證明：如圖所示，連接AC，A1C1，

因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1為棱臺(tái)，所以A，A1，C1，C四點(diǎn)共面，

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BD⊥AC，

因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，

又因?yàn)锳A1∩AC=A且AA1，AC?平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，

因?yàn)镃C1?平面ACC1A1，所以BD⊥CC1．

(2)取BC中點(diǎn)Q，連接AQ，

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，

所以AQ⊥BC，即AQ⊥AD，

由于AA1⊥平面ABCD，以A為原點(diǎn)，分別以直線AQ，AD，AA1為x軸、y軸和z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),A1(0,0,1),D1(0,1,1),Q(3,0,0)，

假設(shè)點(diǎn)E存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,λ,0)17.解：(1)已知函數(shù)f(x)=axb+x2(a≠0,x>0)，

因?yàn)閒(1)=12，

所以ab+1=12，

整理得2a=b+1，①

又對(duì)任意x>0，f(x)=f(1x)恒成立，

此時(shí)axb+x2=a?1xb+(1x)2，

整理得b+x2=bx2+1恒成立，②

聯(lián)立①②，解得a=b=1，

所以f(x)=xx2+1；

(2)證明：由(1)知f(x)=xx2+1，

可得f′(x)=(1?x)(1+x)(1+x2)2，

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>118.解：(1)由函數(shù)f(x)=2exex+1+k是奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，可得f(0)=0，即1+k=0，解得k=?1，

當(dāng)k=?1時(shí)，f(x)=2exex+1?1=ex?1ex+1，f(?x)=e?x?1e?x+1=?ex?1ex+1=?f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，所以k=?1成立；

(2)若x>0時(shí)，關(guān)于x的不等式f(2x)≤mf(x)恒成立，即為e2x?1e2x+1≤m?ex?1ex+1，

即有m≥(ex+1)2e2x+1恒成立．

設(shè)?(x)=(ex+1)2e2x+1=1+2exe2x+1=1+2ex+1e19.解：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=ax2?lnx?x，x∈(0,+∞)，

所以f′(x)=2ax?1x?1=2ax2?x?1x，

當(dāng)a≤0時(shí)，2ax2?x?1<0恒成立，

所以f′(x)<0，

當(dāng)a>0時(shí)，令2ax2?x?1=0，

解得x=1+1+8a4a(舍負(fù))，

令f′(x)>0，得x>1+1+8a4a，

令f′(x)<0，得0<x<1+1+8a4a．

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,1+1+8a4a)上單調(diào)遞減，在(1+1+8a4a,+∞)上單調(diào)遞增．

(Ⅱ)由f(x)≥0恒成立，得ax2≥lnx+x在(0,+∞)上恒成立，

所以a≥1x+lnxx2在(0,+∞)上恒成立，

令g(x)=1x+lnxx2(x>0)，

只需a≥g(x)max，

則g′(x)=?1x2+x?2xlnxx4=?1x2+1?2lnxx3=?x+1?2lnxx3，

令?(x)=?2lnx?x+1(x>0)，

易知?(x)=?2lnx?x+1在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

又?(1)=0，

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，?(x)>0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，?(x)<0，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)在x=1處取得極大值，也是最大值，

即g(x)max=g(1)=1，

所以a≥1，

所以a的取值范圍為[1,+∞)．

(Ⅲ)當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)(x)=2sinx+lnx+x?2x=lnx?x+2sinx，x>0，

則F′(x)=1x?1+2cosx，

令G(x)=F′(x)=1x?1+2cosx,x>0，

則G′(x)=?1x2?2sinx，

當(dāng)x∈(0,π)時(shí)，G′(x)<0，所以F′(x)在(0,π)上單調(diào)遞減，

又F′(1)=2cos1>0,F′(π2)=2π?1<0，

所以F′(x)在(0,π)上存在唯一的零點(diǎn)，

設(shè)F′(x)在(0,π)上的零點(diǎn)為x0(1<x0<π2)，

可得當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，

當(dāng)x∈(x0,π)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，

所以F(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,π)上單調(diào)遞減，

解法一：F(12)=ln12?12+2sin12=?l