第24章圓(基礎(chǔ)、常考、易錯、壓軸)分類專項訓(xùn)練(原卷版+解析)

第24章圓（基礎(chǔ)、常考、易錯、壓軸）分類專項訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·浙江臺州·九年級期末）用直角尺檢查某圓弧形工件，根據(jù)下列檢查的結(jié)果，能判斷該工件一定是半圓的是(

).A． B． C． D．2．（2022·山東·陵城區(qū)教學(xué)研究室一模）如圖，以正方形ABCD的邊AD為直徑作一個半圓，點M是半圓上一個動點，分別以線段AM、DM為邊各自向外作一個正方形，其面積分別為S1和S2，若正方形的面積為10，隨點M的運動S1＋S2的值（

）A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不確定3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）輪船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定輪船是否會遇到暗礁．如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點的內(nèi)C表示一個危險臨界點，，輪船P與兩個燈塔的夾角為，保證輪船航行不觸礁的可以是（

）A． B． C． D．4．（2022·山西晉中·二模）在數(shù)學(xué)探究課上，小明在探究圓周角和圓心角之間的數(shù)量關(guān)系時，按照圓周角與圓心的不同位置關(guān)系作出了如下圖所示三個圖進(jìn)行探究小明的上述探究．過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．公理化思想 B．分類討論思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．建模思想5．（2022·江蘇蘇州·九年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．直徑是圓中最長的弦，有4條B．長度相等的弧是等弧C．如果的周長是周長的4倍，那么的面積是面積的8倍D．已知的半徑為8，A為平面內(nèi)的一點，且，那么點A在上6．（2022·四川宜賓·八年級期末）用反證法證明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”應(yīng)先假設(shè)（）A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．a(chǎn)2＋b2＞c2 C．a(chǎn)2＋b2＜c2 D．a(chǎn)2＋b2＞c2或a2＋b2＜c27．（2022·浙江·翠苑中學(xué)八年級期中）用反證法證明：“多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最多有3個”時，應(yīng)假設(shè)（

）A．多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有4個 B．多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有3個C．多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有2個 D．多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最多有2個8．（2022·山西晉中·八年級期中）在證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于”時先假設(shè)每一個內(nèi)角都大于，然后，…，這種證明方法是（

）A．綜合法 B．舉反例法 C．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 D．反證法9．（2022·貴州貴陽·八年級期末）對于命題“若，則”，小江舉了一個反例來說明它是假命題，則小江選擇的x值是（

）A． B． C． D．10．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．兩點之間，直線最短B．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和C．不在同一條直線上的三個點確定一個圓D．一個圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，對應(yīng)線段平行且相等11．（2022·山西晉中·二模）公元263年，我國數(shù)學(xué)家利用“割圓術(shù)”計算圓周率．割圓術(shù)的基本思想是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．隨后，公元480年左右，我國另一位數(shù)學(xué)家又進(jìn)一步得到圓周率精確到小數(shù)點后7位，由此可知，這兩位數(shù)學(xué)家依次為（

）A．劉徽，祖沖之 B．祖沖之，劉徽 C．楊輝，祖沖之 D．秦九韶，楊輝12．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)在圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)加倍的過程中，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”，即當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓面積，他首創(chuàng)了利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率．這種確定圓周率的方法稱為（

）A．正負(fù)術(shù) B．方程術(shù) C．割圓術(shù) D．天元術(shù)13．（2022·山東菏澤·七年級期末）下列說法，其中正確的有（

）①過圓心的線段是直徑②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形③大于半圓的弧叫做劣?、軋A心相同，半徑不等的圓叫做同心圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題14．（2022·黑龍江哈爾濱·期末）運動場上的環(huán)形跑道的跑道寬都是相同的，若一條跑道的兩個邊緣所在的環(huán)形周長的差等于米，則跑道的寬度為________米．15．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）小于半圓的?。ㄈ鐖D中的________）叫做______；大于半圓的?。ㄓ萌齻€字母表示，如圖中的_______）叫做______．16．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，半徑有________，直徑有________，弦有________，劣弧有________，優(yōu)弧有________．17．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）為了給同學(xué)慶祝生日，小明自己動手用扇形紙片制作了一頂圓錐形生日帽，生日帽的底面圓半徑為，高為，則該扇形紙片的面積為________．18．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）第十四屆全運會在陜西西安開幕，九年級（2）班李明同學(xué)利用扇形彩色紙，制作了一個圓錐形火炬模型，如圖是火炬模型的側(cè)面展開圖（接痕忽略不計），已知扇形彩色紙的半徑為45cm，圓心角為40°，則這個圓錐的側(cè)面積_______．（結(jié)果保留）19．（2022·山東·臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）2300多年前，我國古代名著《墨經(jīng)》中有這樣的記載：“圓，一中同長也．”因此，古代就知道把車輪設(shè)計成圓形，如果車輪是正方形，將邊長為1米的正方形滾動一周，那么正方形中心的軌跡長為_________米．20．（2022·河南省實驗中學(xué)一模）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間.擲鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看成一張拉滿弦的弓，弧長約為米，“弓”所在的圓的半徑約米，則“弓”所對的圓心角度數(shù)為______．21．（2022·北京西城·九年級期末）如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形．若制作一個圓心角為160°的圓弧形窗簾軌道（如圖2）需用此材料mm，則此圓弧所在圓的半徑為________mm．三、解答題22．（2022·黑龍江大慶·期末）如圖，三角形是直角三角形，其中O為圓心．已知三角形面積是，求圓形面積．23．（2022·全國·八年級課前預(yù)習(xí)）觀察下圖，左圖中間的圓圈大還是右圖中間的圓圈大？請你先觀察，再用直尺驗證一下．24．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？【常考】一．選擇題（共9小題）1．（2022?吉林）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，r的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022?鄂州）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm3．（2022?十堰）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，點D是弧AC上一動點（不與A，C重合），下列結(jié)論：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③當(dāng)DB最長時，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022?藍(lán)田縣一模）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝4，弦CD＝2，則劣弧的長為（）A． B． C．π D．2π5．（2022?碑林區(qū)校級二模）如圖，等邊△ABC的三個頂點都在⊙O上，AD是⊙O的直徑，若OA＝3，則劣弧的長是（）A． B．π C． D．2π6．（2022?海勃灣區(qū)校級一模）如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若與所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（）A．π B．2π C． D．2π﹣27．（2022?遵義模擬）如圖，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AB＝3，以AB邊上一點O為圓心作⊙O，恰與邊AC，BC分別相切于點A，D，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．8．（2022?高青縣一模）如圖，在圓中半徑OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，則圖中陰影部分面積為（）A．π B．π C．π D．π9．（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，則△OBC的面積是（）A． B． C．2 D．4二．填空題（共9小題）10．（2022?包頭模擬）三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2﹣12x+35＝0的根，則該三角形外接圓的半徑為．11．（2022?長安區(qū)模擬）小剛要在邊長為10的正方形內(nèi)設(shè)計一個有共同中心O的正多邊形，使其邊長最大且能在正方形內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)．如圖1，若這個正多邊形為正六邊形，此時EF＝；若這個正多邊形為正三角形，如圖2，當(dāng)正△EFG可以繞著點O在正方形內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)時，EF的取值范圍為．12．（2022?鹿邑縣模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為．13．（2022?武威模擬）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如圖所示，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB'C'．則圖中陰影部分的面積為．14．（2022?隨縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在AC上，以AE為直徑的?O經(jīng)過點D．若∠C＝30°，且CD＝3，則陰影部分的面積是．15．（2022?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長為2，則點O到AC的距離OG的長為．16．（2022?方城縣一模）如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，過的中點C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，則圖中陰影部分的面積為．17．（2022?大渡口區(qū)模擬）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于點D．點E為半徑OB上一動點．若OB＝2，則陰影部分周長的最小值為．18．（2022?成都模擬）如圖，半圓的圓心與坐標(biāo)原點重合，半圓的半徑1，直線l的解析式為y＝x+t．若直線l與半圓只有一個交點，則t的取值范圍是．三．解答題（共11小題）19．（2022?汝陽縣一模）如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C．（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度數(shù)；（2）若AB＝AC，CE＝2，直接寫出AC的長．20．（2022?綿竹市模擬）把兩個等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接BD，EC，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）．（1）當(dāng)DE⊥AC時，AD與BC的位置關(guān)系是，AE與BC的位置關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BE上時，求∠BEC的度數(shù)；（3）若△ABD的外心在邊BD上，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值．21．（2022?包河區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，直線BM⊥AB于點B，點C在⊙O上，分別連接BC，AC，且AC的延長線交BM于點D，CF為⊙O的切線交BM于點F．（1）求證：CF＝DF；（2）連接OF，若AB＝10，BC＝6，求線段OF的長．22．（2022?十堰一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連接AC，過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連接AE交CD于點F，且EG＝FG，連接CE．（1）求證：EG是⊙O的切線；（2）延長AB交GE的延長線于點M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．23．（2022?揚州模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且點C是的中點，過點C作AD的垂線EF交直線AD于點E．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）連接BC，若AB＝5，BC＝3，求線段AE的長．24．（2022?紅橋區(qū)三模）已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，連接AO并延長，交PB的延長線于點C，連接PO，交⊙O于點D．（I）如圖①，若∠AOP＝65°，求∠C的大?。唬↖I）如圖②，連接BD，若BD∥AC，求∠C的大?。?5．（2022?莘縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是的中點，連接AC并延長至點D，使CD＝AC，點E是OB上一點，且＝，CE的延長線交DB的延長線于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）當(dāng)OB＝2時，求BH的長．26．（2022?南陵縣自主招生）如圖，已知圓O，弦AB、CD相交于點M．（1）求證：AM?MB＝CM?MD；（2）若M為CD中點，且圓O的半徑為3，OM＝2，求AM?MB的值．27．（2022?烏魯木齊一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點P在CA的延長線上，∠CAD＝45°．（1）若AB＝4，求弧CD的長；（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求證：PD是⊙O的切線．28．（2022?齊齊哈爾模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積．29．（2022?東洲區(qū)模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過點B作BE⊥AD，垂足為點E，AB平分∠CAE．（1）判斷BE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠ACB＝30°，⊙O的半徑為2，請求出圖中陰影部分的面積．【易錯】一．選擇題（共7小題）1．（2022?渝中區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，若AE＝2，⊙O的直徑為10，則AC長為（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2022?臨沭縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M（2，3）為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點，則AC的長為（）A．4 B． C． D．63．（2022?沙坪壩區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的弦，PO⊥OA交AB于點P，過點B的切線交OP的延長線于點C，若⊙O的半徑為，OP＝1，則BC的長為（）A．2 B． C． D．4．（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，已知⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，點I是內(nèi)心，若∠A＝28°，則∠BIC等于（）A．100° B．104° C．105° D．114°5．（2022?哈爾濱模擬）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，直線MN是⊙O的切線，點C是切點，OB是半徑，若∠ACN＝36°，則∠OBA的度數(shù)為（）A．14° B．18° C．36° D．54°6．（2022?硚口區(qū)模擬）如圖，⊙I是Rt△ABC中的內(nèi)切圓，∠ACB＝90°，過點I作EF∥AB分別交CA，CB于E，F(xiàn)，若EA＝4，BF＝3，則⊙I的半徑是（）A． B． C． D．7．（2022?新河縣一模）如圖，點O為△ABC的內(nèi)心，∠B＝60°，BC≠AB，點M，N分別為AB，BC上的點，且OM＝ON．甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：∠MON＝120°；乙：四邊形OMBN的面積為△ABC面積的；丙：當(dāng)MN＝BN時，△MON的周長有最小值．則下列說法正確的是（）A．只有甲正確 B．只有乙錯誤 C．乙、丙都正確 D．甲、乙、丙都正確二．填空題（共11小題）8．（2022?固原一模）如圖，點A、B、C在圓O上，BC∥OA，連接BO并延長，交圓O于點D，連接AC，DC，若∠A＝28°，則∠D的大小為．9．（2022?禪城區(qū)校級一模）定義：有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．例：如圖1，四邊形內(nèi)接于⊙O，AB＝AD．則四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．探究與運用：如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F，若CD＝10，AF＝5，則DF的長為．10．（2022秋?定海區(qū)校級月考）已知A為⊙O外一點，若點A到⊙O上的點的最短距離為2，最長距離為4，則⊙O的半徑為．11．（2022?天元區(qū)校級模擬）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB，交⊙O于點D，若AB＝6，則BD的長為．12．（2022?西雙版納模擬）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，高AD＝4.8，設(shè)能完全覆蓋△ABC的圓的半徑為r，則r的最小值為．13．（2022?北碚區(qū)校級開學(xué)）如圖，△ABC和△ADE均是等邊三角形，其中點E是△ABC的內(nèi)心，以E為圓心，DE長為半徑畫弧交BC于點B，再將弧DB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°至弧EC處，已知AB＝1，則圖中陰影部分面積是．14．（2022春?普陀區(qū)校級期中）已知兩圓的半徑長分別為1和3，兩圓的圓心距為d，如果兩圓沒有公共點，那么d的取值范圍是．15．（2022?北京模擬）已知三角形ABC是銳角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，設(shè)BC邊上的高為h，則h的取值范圍是．16．（2022?息縣模擬）如圖，⊙O分別與邊長為4的等邊△ABC的兩邊相切于點D和點E，圓心O恰好在邊BC上，則陰影部分的面積為．17．（2022?江油市二模）如圖，函數(shù)y＝的圖象，若直線y＝x+m與該圖象只有一個交點，則m的取值范圍為．18．（2021秋?宜春期末）如圖，半圓O的直徑DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，當(dāng)圓心O運動到點B時停止，點D、E始終在直線BC上．設(shè)運動時間為t（s），運動開始時，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8cm．當(dāng)t＝時，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．三．解答題（共6小題）19．（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點D，連接BD．（1）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的長．20．（2022?武漢模擬）如圖，BC為⊙O的直徑，A為⊙O上一點，過A點作該圓的切線交BC的延長線于點E，連接AC．（1）求證：∠CAE＝∠B；（2）若∠E＝30°，⊙O的半徑r＝2，求陰影部分的面積．21．（2022?襄城區(qū)模擬）如圖，BE為⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，連接AE，AD，DE，過點A作射線交BE的延長線于點C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AD⊥BC于點F，DE＝4，OF＝2，求圖中陰影部分的面積．22．（2022?內(nèi)黃縣二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB為直徑作⊙O，交AC于點D，過點D作⊙O的切線DM交BC于點M．（1）求證：CM＝BM．（2）若AD＝2，P為AB上一點，當(dāng)PM+PD為最小值時，求AP的長．23．（2022?襄城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點（與點A，B不重合），過點C作直線MN，使得∠ACN＝∠ABC．（1）求證：直線MN是⊙O的切線．（2）點D為直線MN上一點，連接AD，交⊙O于點E，若AC平分∠BAD，DE＝3，AC＝2CD，求圖中陰影部分（弓形）的面積．24．（2022?衡陽）如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點C，過點O作OE∥AD交CD于點E，連接BE．（1）直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長．【壓軸】一．填空題（共1小題）1．（2022?順城區(qū)模擬）如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB＝4，∠CBA＝30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關(guān)于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F．下列結(jié)論：①∠F＝30°；②CE＝CF；③線段EF的最小值為2；④當(dāng)AD＝1時，EF與半圓相切；⑤當(dāng)點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是8．其中正確的結(jié)論的序號為．二．解答題（共16小題）2．（2022?長沙模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是邊AC上的一點，連接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過點D．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若∠A＝60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和π）3．（2022?開福區(qū)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，過點D垂直于AC的直線交AC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）如圖AD＝5，AE＝4，求⊙O的直徑．4．（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）如圖，⊙O的直徑AC＝13，弦BC＝12．過點A作直線MN，使∠BAM＝∠AOB．（1）求證：MN是⊙O的切線；（2）延長CB交MN于點D，求AD的長．5．（2021?鐵嶺模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC邊上一點，以O(shè)為圓心的半圓與AB邊相切于點D，與AC、BC邊分別交于點E、F、G，連接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝．（1）求⊙O的半徑OD；（2）求證：AE是⊙O的切線；（3）求圖中兩部分陰影面積的和．6．（2021?東區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，DE＝3，連接BD，過點E作EM∥BD，交BA的延長線于點M．（1）求⊙O的半徑；（2）求證：EM是⊙O的切線；（3）若弦DF與直徑AB相交于點P，當(dāng)∠APD＝45°時，求圖中陰影部分的面積．7．（2021?廬陽區(qū)校級一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，∠ACD＝120°，BD＝10．（1）求證：CA＝CD；（2）求⊙O的半徑．8．（2021?零陵區(qū)校級自主招生）如圖，已知AB為圓O的弦（非直徑），E為AB的中點，EO的延長線交圓于點C，CD∥AB，且交AO的延長線于點D．EO：OC＝1：2，CD＝4，求圓O的半徑．9．（2021?深圳模擬）如圖，P是⊙O的半徑OA上的一點，D在⊙O上，且PD＝PO．過點D作⊙O的切線交OA的延長線于點C，延長交⊙O于K，連接KO，OD．（1）證明：PC＝PD；（2）若該圓半徑為5，CD∥KO，請求出OC的長．10．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半徑．11．（2022?溫江區(qū)校級自主招生）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，且AC平分∠EAB．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝6，AE＝，求BD和BC的長．12．（2021?衡水模擬）如圖，點C為△ABD的外接圓上的一動點（點C不在上，且不與點B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°（1）求證：BD是該外接圓的直徑；（2）連接CD，求證：AC＝BC+CD；（3）若△ABC關(guān)于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2，AM2，BM2三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．13．（2021春?碧江區(qū)期中）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，連接DE、BE，且∠C＝∠BED．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若OA＝10，AD＝16，求AC的長．14．（2021?湖北模擬）如圖，⊙O的直徑AB＝2，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．設(shè)AD＝x，BC＝y(tǒng)．（1）求證：AM∥BN；（2）求y關(guān)于x的關(guān)系式；（3）求四邊形ABCD的面積S，并證明：S≥2．15．（2021?安徽模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC＝BC，D為⊙O中上一點，延長DA至點E，使CE＝CD．（1）求證：AE＝BD；（2）若AC⊥BC，求證：AD+BD＝CD．16．（2021?紅寺堡區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于點E，∠POC＝∠PCE．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若OE：EA＝1：2，PA＝6，求⊙O的半徑；（3）在（2）的條件下，求sin∠PCA的值．17．（2021?深圳模擬）已知：以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，E為BC邊上的中點，連接DE．（1）如圖，求證：DE是⊙O的切線；（2）連接OE，AE，當(dāng)∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形，并在此條件下求sin∠CAE的值．第24章圓（基礎(chǔ)、常考、易錯、壓軸）分類專項訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·浙江臺州·九年級期末）用直角尺檢查某圓弧形工件，根據(jù)下列檢查的結(jié)果，能判斷該工件一定是半圓的是(

).A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)90°所對的圓周角所對的弦是直徑進(jìn)行判斷．【詳解】解：因為90°所對的圓周角所對的弦是直徑，所以選項B中的圓弧為半圓，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°所對的圓周角所對的弦是直徑，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東·陵城區(qū)教學(xué)研究室一模）如圖，以正方形ABCD的邊AD為直徑作一個半圓，點M是半圓上一個動點，分別以線段AM、DM為邊各自向外作一個正方形，其面積分別為S1和S2，若正方形的面積為10，隨點M的運動S1＋S2的值（

）A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得為直角三角形，由勾股定理可知，即．【詳解】解：∵AD是直徑，∴，∴為直角三角形，由勾股定理可知，即．故選：C．【點睛】本題主要考查了圓周角定理和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解隨著點M的運動，符合勾股定理．3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）輪船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定輪船是否會遇到暗礁．如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點的內(nèi)C表示一個危險臨界點，，輪船P與兩個燈塔的夾角為，保證輪船航行不觸礁的可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，要使不觸礁則，即可判斷；【詳解】解：根據(jù)圓的性質(zhì)∵∴∴故選：A【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)，掌握圓的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山西晉中·二模）在數(shù)學(xué)探究課上，小明在探究圓周角和圓心角之間的數(shù)量關(guān)系時，按照圓周角與圓心的不同位置關(guān)系作出了如下圖所示三個圖進(jìn)行探究小明的上述探究．過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．公理化思想 B．分類討論思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．建模思想【答案】B【分析】根據(jù)分類討論思想的含義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在探究圓周角與圓心角的數(shù)量關(guān)系時，因不確定圓周角與圓心角的位置關(guān)系是否會影響結(jié)論，故對每種位置關(guān)系分別進(jìn)行研究，這種數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．故選：B．【點睛】本題考查對數(shù)學(xué)思想的理解，分類討論思想是指將原問題轉(zhuǎn)化為若干個小問題來解決，通過研究其在不同情況下的結(jié)論，得出原問題的結(jié)論．5．（2022·江蘇蘇州·九年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．直徑是圓中最長的弦，有4條B．長度相等的弧是等弧C．如果的周長是周長的4倍，那么的面積是面積的8倍D．已知的半徑為8，A為平面內(nèi)的一點，且，那么點A在上【答案】D【分析】根據(jù)圓的相關(guān)概念解答即可.【詳解】解：A.直徑是圓中最長的弦，有無數(shù)條,故該選項不符合題意；B.在同圓或等圓中長度相等的弧是等弧，故該選項不符合題意；C.如果的周長是周長的4倍,那么的面積是面積的16倍,故該選項不符合題意；D.已知的半徑為8，A為平面內(nèi)的一點，且OA=8，那么點A在上，故該選項符合題意.故選：D.【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識，熟練掌握圓的相關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵.6．（2022·四川宜賓·八年級期末）用反證法證明“在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”應(yīng)先假設(shè)（）A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．a(chǎn)2＋b2＞c2 C．a(chǎn)2＋b2＜c2 D．a(chǎn)2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2【答案】A【分析】根據(jù)反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論的反面成立，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：應(yīng)先假設(shè)a2＋b2=c2．故選：A．【點睛】本題主要考查了反證法，熟練掌握反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論的反面成立是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江·翠苑中學(xué)八年級期中）用反證法證明：“多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最多有3個”時，應(yīng)假設(shè)（

）A．多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有4個 B．多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有3個C．多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有2個 D．多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最多有2個【答案】A【分析】用反證法證明問題的關(guān)鍵是清楚結(jié)論的反面是什么，寫出與條件相反的假設(shè)即可【詳解】解：用反證法證明“多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最多有3個”時，應(yīng)假設(shè)多邊形的內(nèi)角中銳角的個數(shù)最少有4個，故選：A．【點睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．8．（2022·山西晉中·八年級期中）在證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于”時先假設(shè)每一個內(nèi)角都大于，然后，…，這種證明方法是（

）A．綜合法 B．舉反例法 C．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 D．反證法【答案】D【分析】根據(jù)反證法的定義進(jìn)行回答即可．【詳解】解：在證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于”時先假設(shè)每一個內(nèi)角都大于，然后，…，這種證明方法是反證法．故選：D．【點睛】本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．9．（2022·貴州貴陽·八年級期末）對于命題“若，則”，小江舉了一個反例來說明它是假命題，則小江選擇的x值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)x＝?5時，滿足x2＝25，但不能得到x＝5，于是x＝?5可作為說明命題“若x2＝25，則x＝5”是假命題的一個反例．【詳解】解：說明命題“若x2＝25，則x＝5”是假命題的一個反例可以是x＝?5，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．任何一個命題非真即假，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．10．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．兩點之間，直線最短B．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和C．不在同一條直線上的三個點確定一個圓D．一個圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，對應(yīng)線段平行且相等【答案】C【分析】利用線段的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，確定一個圓的條件，平移的性質(zhì)等知識進(jìn)行判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A．兩點之間，線段最短，故選項錯誤，不符合題意；B．多邊形的外角和是360°，故選項錯誤，不符合題意；C．不在同一條直線上的三個點確定一個圓，故選項正確，符合題意；D．一個圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，對應(yīng)線段平行或者在同一條直線上，并且相等，故選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】命題是表示判斷的語句，判斷正確的命題是真命題，判斷錯誤的命題是假命題，熟練掌握所學(xué)知識是進(jìn)行正確判斷的基礎(chǔ)．11．（2022·山西晉中·二模）公元263年，我國數(shù)學(xué)家利用“割圓術(shù)”計算圓周率．割圓術(shù)的基本思想是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．隨后，公元480年左右，我國另一位數(shù)學(xué)家又進(jìn)一步得到圓周率精確到小數(shù)點后7位，由此可知，這兩位數(shù)學(xué)家依次為（

）A．劉徽，祖沖之 B．祖沖之，劉徽 C．楊輝，祖沖之 D．秦九韶，楊輝【答案】A【分析】掌握割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：3世紀(jì)中期，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法，所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法．圓周率不是某一個人發(fā)明的，而是在歷史的進(jìn)程中，不同的數(shù)學(xué)家經(jīng)過無數(shù)次的演算得出的．古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287-212年)開創(chuàng)了人類歷史上通過理論計算圓周率近似值的先河．公元480年左右，南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點后7位的結(jié)果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值31415927，還得到兩個近似分?jǐn)?shù)值．故選：A．【點睛】本題考查了割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程和發(fā)明人，熟練掌握割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)在圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)加倍的過程中，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”，即當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓面積，他首創(chuàng)了利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率．這種確定圓周率的方法稱為（

）A．正負(fù)術(shù) B．方程術(shù) C．割圓術(shù) D．天元術(shù)【答案】C【分析】根據(jù)我國利用“割圓術(shù)”求圓周率的近似值解答即可．【詳解】解：由題意可知：利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率．這種確定圓周率的方法稱為“割圓術(shù)”．故選：C．【點睛】本題考查正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是了解我國古代用“割圓術(shù)”求圓周率的近似值，即在一個圓中，它的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形就越像圓，它的周長和面積就更接近圓的周長和面積．13．（2022·山東菏澤·七年級期末）下列說法，其中正確的有（

）①過圓心的線段是直徑②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形③大于半圓的弧叫做劣?、軋A心相同，半徑不等的圓叫做同心圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)項分析即可．【詳解】解：①過圓心的弦是直徑，故該項錯誤；②由一條弧和經(jīng)過這條弧的兩個端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形，故該項正確；③小于半圓的弧叫做劣弧，故該項錯誤；④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓，故該項正確．故選：B．【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識，熟練掌握圓的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．二、填空題14．（2022·黑龍江哈爾濱·期末）運動場上的環(huán)形跑道的跑道寬都是相同的，若一條跑道的兩個邊緣所在的環(huán)形周長的差等于米，則跑道的寬度為________米．【答案】【分析】設(shè)運動場上的小環(huán)半徑為r米，大環(huán)半徑為R米，再根據(jù)圓的周長公式計算即可．【詳解】解：設(shè)運動場上的小環(huán)半徑為r米，大環(huán)半徑半徑為R米，根據(jù)題意得：2π（R﹣r）＝，解得：R﹣r＝，即跑道的寬度為米．故答案為：．【點睛】本題考查了圓的周長公式，熟練掌握圓周長的計算公式是解題的關(guān)鍵．15．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）小于半圓的?。ㄈ鐖D中的________）叫做______；大于半圓的?。ㄓ萌齻€字母表示，如圖中的_______）叫做______．【答案】

（或）

劣弧

（或）

優(yōu)弧【分析】根據(jù)劣弧和優(yōu)弧的定義即可直接填空．【詳解】小于半圓的弧（如圖中的（或））叫做劣??；大于半圓的?。ㄓ萌齻€字母表示，如圖中的（或））叫做優(yōu)弧．故答案為：（或），劣弧；（或），優(yōu)弧．【點睛】本題考查找出圓中的優(yōu)弧和劣弧及優(yōu)弧和劣弧的定義．掌握優(yōu)弧和劣弧的定義是解答本題的關(guān)鍵．16．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，半徑有________，直徑有________，弦有________，劣弧有________，優(yōu)弧有________．【答案】

，，，

，

，，，，

，，，，【分析】根據(jù)圓的基本概念，即可求解．【詳解】解：在中，半徑有，，，；直徑有；弦有，；劣弧有，，，，；優(yōu)弧有，，，，；故答案為：，，，；；，；，，，，；，，，，．【點睛】本題主要考查了圓的基本概念，熟練掌握圓的半徑、直徑、弦、弧的概念是解題的關(guān)鍵．17．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）為了給同學(xué)慶祝生日，小明自己動手用扇形紙片制作了一頂圓錐形生日帽，生日帽的底面圓半徑為，高為，則該扇形紙片的面積為________．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出圓錐的母線長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，利用圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2，列式計算即可．【詳解】解：生日帽的底面圓半徑為，高為，∴圓錐的母線長為，∵底面圓半徑為，∴底面周長為，∴該扇形紙片的面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．18．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）第十四屆全運會在陜西西安開幕，九年級（2）班李明同學(xué)利用扇形彩色紙，制作了一個圓錐形火炬模型，如圖是火炬模型的側(cè)面展開圖（接痕忽略不計），已知扇形彩色紙的半徑為45cm，圓心角為40°，則這個圓錐的側(cè)面積_______．（結(jié)果保留）【答案】225π【分析】先根據(jù)扇形的面積公式計算出扇形的面積=225π，然后得到圓錐的側(cè)面積．【詳解】解：∵扇形的面積=()．∴圓錐的側(cè)面積為225π，故答案為：225π．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．19．（2022·山東·臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）2300多年前，我國古代名著《墨經(jīng)》中有這樣的記載：“圓，一中同長也．”因此，古代就知道把車輪設(shè)計成圓形，如果車輪是正方形，將邊長為1米的正方形滾動一周，那么正方形中心的軌跡長為_________米．【答案】【分析】由圖可知，正方形旋轉(zhuǎn)一周需經(jīng)歷4個相同的過程，中心旋轉(zhuǎn)的過程正好為一個圓的周長，求得即可．【詳解】如圖，正方形旋轉(zhuǎn)一周需經(jīng)歷4個相同的過程，中心的軌跡為圓心角90°的扇形，4個過程正好圍成一個圓，∵正方形邊長為1，即AB=1，∴,∴正方形中心的軌跡為：,故答案為：．【點睛】本題考查了扇形的弧長的計算，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確找出中心的運動軌跡．20．（2022·河南省實驗中學(xué)一模）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間.擲鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看成一張拉滿弦的弓，弧長約為米，“弓”所在的圓的半徑約米，則“弓”所對的圓心角度數(shù)為______．【答案】##度【分析】由直接代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可.【詳解】解：如圖，由題意得：設(shè)解得：故答案為：【點睛】本題考查的是已知弧長與半徑求解弧所對的圓心角，熟記弧長公式是解本題的關(guān)鍵.21．（2022·北京西城·九年級期末）如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形．若制作一個圓心角為160°的圓弧形窗簾軌道（如圖2）需用此材料mm，則此圓弧所在圓的半徑為________mm．【答案】900【分析】由弧長公式l=得到R的方程，解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，=，解得，R=900（mm）．答：這段圓弧所在圓的半徑R是900mm．故答案是：900．【點睛】本題考查了弧長的計算公式：l=，其中l(wèi)表示弧長，n表示弧所對的圓心角的度數(shù)．三、解答題22．（2022·黑龍江大慶·期末）如圖，三角形是直角三角形，其中O為圓心．已知三角形面積是，求圓形面積．【答案】【分析】由圖形可知△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積為10，可求半徑，由此可求圓的面積．【詳解】解：∵OA=OB∴△AOB是等腰直角三角形∵=10∴∴圓的面積為答：圓的面積是【點睛】本題主要考查三角形的面積公式，圓的面積公式等內(nèi)容，題目比較簡單，由圖形得出△AOB是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．23．（2022·全國·八年級課前預(yù)習(xí)）觀察下圖，左圖中間的圓圈大還是右圖中間的圓圈大？請你先觀察，再用直尺驗證一下．【答案】一樣大【解析】略24．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？【答案】特征見解析，(c)圖中∠3、∠4、∠BAD是圓周角【詳解】解：(a)∠1頂點在⊙O內(nèi)，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；(b)∠2頂點在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角．(d)∠5頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；(e)∠6頂點在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.【點睛】本題主要考查了圓周角的定義，熟練掌握頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角是解題的關(guān)鍵．【?？肌恳唬x擇題（共9小題）1．（2022?吉林）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，r的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由勾股定理求出AC的長度，再由點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，∵點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外，∴3＜r＜5，故選：C．【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理．2．（2022?鄂州）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【分析】連接OE，交AB于點F，連接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判斷方法得出四邊形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切線的性質(zhì)得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四邊形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），進(jìn)而得出EF＝BD＝4cm，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半徑，繼而求出這種鐵球的直徑．【解答】解：如圖，連接OE，交AB于點F，連接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四邊形ACDB是平行四邊形，∴四邊形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于點E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四邊形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴這種鐵球的直徑為20cm，故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022?十堰）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，點D是弧AC上一動點（不與A，C重合），下列結(jié)論：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③當(dāng)DB最長時，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由△ABC是等邊三角形，及同弧所對圓周角相等可得∠ADB＝∠BDC，即可判斷①正確；由點D是弧AC上一動點，可判斷②錯誤；根據(jù)DB最長時，DB為⊙O直徑，可判定③正確；在DB上取一點E，使DE＝AD，可得△ADE是等邊三角形，從而△ABE≌△ACD（SAS），有BE＝CD，可判斷④正確．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵＝，＝，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠BDC，故①正確；∵點D是弧AC上一動點，∴與不一定相等，∴DA與DC不一定相等，故②錯誤；當(dāng)DB最長時，DB為⊙O直徑，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝60°，∴∠DBC＝30°，∴DB＝2DC，故③正確；在DB上取一點E，使DE＝AD，如圖：∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD，故④正確；∴正確的有①③④，共3個，故選：C．【點評】本題考查等邊三角形及外接圓，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等解決問題．4．（2022?藍(lán)田縣一模）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝4，弦CD＝2，則劣弧的長為（）A． B． C．π D．2π【分析】連接OC，OD，證明∠COD＝90°，可得結(jié)論．【解答】解：連接OC，OD．∵OC＝ODD＝2，CD＝2，∴OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∴的長＝＝π，故選：C．【點評】本題考查弧長公式，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明∠COD＝90°．5．（2022?碑林區(qū)校級二模）如圖，等邊△ABC的三個頂點都在⊙O上，AD是⊙O的直徑，若OA＝3，則劣弧的長是（）A． B．π C． D．2π【分析】連接OB、BD，由等邊△ABC，可得∠D＝∠C＝60°，且OB＝OD，故△BOD是等邊三角形，∠BOD＝60°，又半徑OA＝3，根據(jù)弧長公式即可得劣弧BD的長．【解答】解：連接OB、BD，如圖：∵△ABC為等邊三角形，∴∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵半徑OA＝3，∴劣弧BD的長為＝π，故選：B．【點評】本題考查等邊三角形及圓的弧長，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式并能熟練應(yīng)用．6．（2022?海勃灣區(qū)校級一模）如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若與所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（）A．π B．2π C． D．2π﹣2【分析】根據(jù)圖形得出△AOC、△OBC、△OBD都是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出OC，再分別求出扇形COE，扇形OFE，扇形EOD和△OBD的面積即可．【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°，∴∠AOC＝∠ACO＝45°，同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴陰影部分的面積S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD）＝[﹣]+[﹣]＝π﹣+π﹣2＝﹣2，故選：C．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積和扇形的面積計算等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．7．（2022?遵義模擬）如圖，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AB＝3，以AB邊上一點O為圓心作⊙O，恰與邊AC，BC分別相切于點A，D，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC＝，∠C＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD＝AC＝，∠OAC＝∠ODC＝90°，求得BD＝，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AB＝3，∴AC＝，∠C＝60°，∵AC，BC分別相切于點A，D，∴CD＝AC＝，∠OAC＝∠ODC＝90°，∴∠AOD＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，BC＝2AC＝2，∴BD＝，∴∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝2OA，∴3OA＝AB＝3，∴OA＝1，∴陰影部分的面積＝S△ABC﹣S△ODB﹣S扇形AOD＝×﹣×1×﹣＝﹣，故選：A．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，扇形和三角形的面積的計算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022?高青縣一模）如圖，在圓中半徑OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，則圖中陰影部分面積為（）A．π B．π C．π D．π【分析】連接OA，OB，求出△AOB和△ACB的面積相等，得出陰影部分的面積＝扇形AOB的面積，再求出扇形AOB的面積即可．【解答】解：連接OA，OB，∵OC∥AB，AB＝AB，∴△OAB的面積＝△CAB的面積（等底等高的三角形的面積相等），∵AB＝OC＝2，∴OA＝OB＝AB＝2，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴陰影部分的面積S＝S扇形AOB＝＝π，故選：C．【點評】本題考查了三角形的面積和扇形的面積計算，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．9．（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，則△OBC的面積是（）A． B． C．2 D．4【分析】過點C作CH⊥BO的延長線于點H，根據(jù)點O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，可得∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，所以∠COH＝60°，利用含30度角的直角三角形可得CH的長，進(jìn)而可得△OBC的面積．【解答】解：如圖，過點C作CH⊥BO的延長線于點H，∵點O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，∴∠COH＝60°，∵OB＝2，OC＝4，∴OH＝2∴CH＝2，∴△OBC的面積＝OB?CH＝2×2＝2．故選：B．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心定義．二．填空題（共9小題）10．（2022?包頭模擬）三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2﹣12x+35＝0的根，則該三角形外接圓的半徑為．【分析】先解方程，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知x＝5，由勾股定理的逆定理可得三角形是直角三角形，所以其斜邊就是外接圓的直徑．【解答】解：方程x2﹣12x+35＝0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得：x＝5或x＝7，∵三角形第三邊的長是方程x2﹣12x+35＝0的根，∴第三邊的長為5或7，當(dāng)?shù)谌呴L為5時，∵3+4＞5；當(dāng)?shù)谌呴L為7時，3+4＝7，不能構(gòu)成三角形，舍去，∴第三邊為5，∵32+42＝52，∴三角形是直角三角形，此三角形的外接圓的直徑為最大邊5，則此三角形的外接圓半徑為，故答案為：．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心、利用因式分解法解一元二次方程，明確直角三角形的斜邊是外接圓的直徑，其斜邊的中點即是外接圓的圓心是解決問題的關(guān)鍵．11．（2022?長安區(qū)模擬）小剛要在邊長為10的正方形內(nèi)設(shè)計一個有共同中心O的正多邊形，使其邊長最大且能在正方形內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)．如圖1，若這個正多邊形為正六邊形，此時EF＝5；若這個正多邊形為正三角形，如圖2，當(dāng)正△EFG可以繞著點O在正方形內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)時，EF的取值范圍為0＜EF≤5．【分析】如圖1，連接OE，OF，F(xiàn)I，作正方形ABCD的內(nèi)切圓O，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到EF＝OF，由作圖可得，⊙O的直徑＝10，即FI＝10，于是得到OF＝EF＝5，如圖2，作正方形ABCD的內(nèi)切圓O，作⊙O的內(nèi)接三角形EFG，此時，EF最大，連接OF，OE，過點F作FM⊥EG于點M，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖1，連接OE，OF，F(xiàn)I，作正方形ABCD的內(nèi)切圓O，由正六邊形ABCDEF可得，△OEF是等邊三角形，∴EF＝OF，由作圖可得，⊙O的直徑＝10，即FI＝10，∴OF＝EF＝5，如圖2，作正方形ABCD的內(nèi)切圓O，作⊙O的內(nèi)接三角形EFG，此時，EF最大，連接OF，OE，∴OF＝OE＝5，∠EOF＝2∠G＝120°，過點F作FM⊥EG于點M，則∠EOM＝60°，∴OM＝，EM＝，EF＝2EM＝5，∴EF的取值范圍為0＜EF≤5，故答案為：5，0＜EF≤5．【點評】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2022?鹿邑縣模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為2π．【分析】由正六邊形ABCDEF的邊長為2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，進(jìn)而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，過B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH＝，得到AC＝2，根據(jù)扇形的面積公式即可得到陰影部分的面積．【解答】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長為2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，過B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，在Rt△ABH中，AH＝＝＝，∴AC＝2，同理可證，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE＝＝2π，∴圖中陰影部分的面積為2π，故答案為：2π．【點評】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)和扇形面積的計算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．13．（2022?武威模擬）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如圖所示，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB'C'．則圖中陰影部分的面積為．【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴圖中陰影部分面積＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝，故答案為：；【點評】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，扇形的面積公式，解直角三角形，熟練掌握扇形的面積公式是解決問題的關(guān)鍵．14．（2022?隨縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在AC上，以AE為直徑的?O經(jīng)過點D．若∠C＝30°，且CD＝3，則陰影部分的面積是．【分析】證明△OFD、△OFA是等邊三角形，S陰影＝S扇形DFO，即可求解．【解答】解：連接OD，連接DE、OD、DF、OF，設(shè)圓的半徑為R，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，則∠DAB＝∠ODA，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝30°，CD＝3，∴OD＝CD?tan30°＝3×＝3，∵∠DAB＝∠DAE＝30°，∴＝，∵∠DOE＝60°，∴∠DOF＝60°，∴∠FOA＝60°，∴△OFD、△OFA是等邊三角形，∴DF∥AC，∴S陰影＝S扇形DFO＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了扇形的面積，等邊三角形的判定，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．15．（2022?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長為2，則點O到AC的距離OG的長為1．【分析】連接OA、OC、OD，證△OCD是等邊三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再證∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：連接OA、OC、OD，如圖所示：∵點O為正六邊形ABCDEF的中心，邊長為2，∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝＝60°，AB＝BC＝CD＝2，∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等邊三角形，∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，∵OG⊥AC，∴OG＝OC＝1，即點O到AC的距離OG的長為1，故答案為：1．【點評】本題考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明△OCD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2022?方城縣一模）如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，過的中點C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，則圖中陰影部分的面積為π﹣2．【分析】連接OC，求出∠AOC＝∠BOC＝45°，求出∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，求出CD＝OD，CE＝OE，根據(jù)勾股定理求出CD＝OD＝OE＝CE＝，再求出陰影部分的面積即可．【解答】解：連接OC，∵OA＝2，∴OC＝0A＝2，∵∠AOB＝90°，C為的中點，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，∴CD＝OD，CE＝OE，∴2CD2＝22，2OE2＝22，即CD＝OD＝OE＝CE＝，∴陰影部分的面積S＝S扇形AOB﹣S△CDO﹣S△CEO＝﹣﹣＝π﹣2，故答案為：π﹣2．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，扇形面積的計算等知識點，把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵，注意：如果扇形的圓心角為n°，半徑為r，那么該扇形的面積為．17．（2022?大渡口區(qū)模擬）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于點D．點E為半徑OB上一動點．若OB＝2，則陰影部分周長的最小值為2+．【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，得出當(dāng)點E移動到點E′時，陰影部分的周長最小，此時的最小值為弧CD的長與CD′的長度和，分別進(jìn)行計算即可．【解答】解：如圖，作點D關(guān)于OB的對稱點D′，連接D′C交OB于點E′，連接E′D、OD′，此時E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由題意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，∴的長l＝＝，∴陰影部分周長的最小值為2+．故答案為：2+．【點評】本題考查與圓有關(guān)的計算，掌握軸對稱的性質(zhì)，弧長的計算方法是正確計算的前提，理解軸對稱解決路程最短問題是關(guān)鍵．18．（2022?成都模擬）如圖，半圓的圓心與坐標(biāo)原點重合，半圓的半徑1，直線l的解析式為y＝x+t．若直線l與半圓只有一個交點，則t的取值范圍是t＝或﹣1≤t＜1．【分析】若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點C或從直線過點A開始到直線過點B結(jié)束（不包括直線過點A）．當(dāng)直線和半圓相切于點C時，根據(jù)直線的解析式知直線與x軸所形成的銳角是45°，從而求得∠DOC＝45°，即可求出點C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得t的值；當(dāng)直線過點B時，直接根據(jù)待定系數(shù)法求得t的值．【解答】解：若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點C或從直線過點A開始到直線過點B結(jié)束（不包括直線過點A）．直線y＝x+t與x軸所形成的銳角是45°．當(dāng)直線和半圓相切于點C時，則OC垂直于直線，∠COD＝45°．又OC＝1，則CD＝OD＝，即點C（﹣，），把點C的坐標(biāo)代入直線解析式，得t＝y(tǒng)﹣x＝，當(dāng)直線過點A時，把點A（﹣1，0）代入直線解析式，得t＝y(tǒng)﹣x＝1．當(dāng)直線過點B時，把點B（1，0）代入直線解析式，得t＝y(tǒng)﹣x＝﹣1．即當(dāng)t＝或﹣1≤t＜1時，直線和圓只有一個公共點；故答案為t＝或﹣1≤t＜1．【點評】此題綜合考查了直線和圓的位置關(guān)系，及用待定系數(shù)法求解直線的解析式等方法．三．解答題（共11小題）19．（2022?汝陽縣一模）如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C．（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度數(shù)；（2）若AB＝AC，CE＝2，直接寫出AC的長．【分析】（1）連接OA，利用切線的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)先求出半徑，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）如圖，連接OA，∵AC是⊙O的切線，OA是⊙O的半徑，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C，∵∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝OC，設(shè)⊙O的半徑為r，∵CE＝2，∴r＝（r+2）解得：r＝2，∴OA＝r＝2，∴AC＝OA＝2．【點評】此題考查切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)進(jìn)行解答．20．（2022?綿竹市模擬）把兩個等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接BD，EC，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）．（1）當(dāng)DE⊥AC時，AD與BC的位置關(guān)系是垂直，AE與BC的位置關(guān)系是平行．（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BE上時，求∠BEC的度數(shù)；（3）若△ABD的外心在邊BD上，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，利用三線合一性質(zhì)可證明AD與BC垂直，再根據(jù)平行線的判定可證明AE與BC平行；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；（3）根據(jù)題意畫出圖形，由題意知，當(dāng)△ABD的外心在邊BD上時，△ABD是以BD為斜邊的直角三角形，所以旋轉(zhuǎn)角為90°或270°．【解答】解：（1）如圖，設(shè)AC與DE交于點H，在等腰直角△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，∵DE⊥AC，∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，∴∠BAD＝∠DAH，∴AD⊥BC，∵∠EAH＝∠C＝45°，∴AE∥BC，故答案為：垂直，平行；（2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°；（3）如圖，因為△ABD的外心在邊BD上時，△ABD是以BD為斜邊的直角三角形，所以旋轉(zhuǎn)角為90°或270°．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能夠根據(jù)題意畫出圖形．21．（2022?包河區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，直線BM⊥AB于點B，點C在⊙O上，分別連接BC，AC，且AC的延長線交BM于點D，CF為⊙O的切線交BM于點F．（1）求證：CF＝DF；（2）連接OF，若AB＝10，BC＝6，求線段OF的長．【分析】（1）連接OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠1+∠3＝90°，則可證明∠3＝∠4，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠BDC＝∠5，從而根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理計算出AC＝8，再證明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD＝，然后證明OF為△ABD的中位線，從而根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求出OF的長．【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵CF為切線，∴OC⊥CF，∴∠1+∠3＝90°，∵BM⊥AB，∴∠2+∠4＝90°，∵OC＝OB，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠5，∴CF＝DF；（2）解：在Rt△ABC中，AC＝＝8，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ABD，∴＝，即＝，∴AD＝，∵∠3＝∠4，∴FC＝FB，而FC＝FD，∴FD＝FB，而BO＝AO，∴OF為△ABD的中位線，∴OF＝AD＝．【點評】本題考查了切線