第24章相似三角形單元綜合檢測(難點(diǎn))(原卷版+解析)

第24章相似三角形單元綜合檢測（難點(diǎn)）一、單選題1．如圖，已知，求作，則下列作圖正確的是（）A． B．C． D．2．如圖，下列四個三角形中，與相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

3．如圖，已知，添加下列條件后，仍無法判定的是（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)C是線段AB上的一個點(diǎn)，且滿足,則下列式子成立的是……（）A．； B．； C．； D．5．如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂直交延長線于點(diǎn)，若，，則菱形的邊長是（

）

A． B． C．5 D．66．已知一個單位向量，設(shè)、是非零向量，下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．7．如圖，中，為邊上一點(diǎn)，過作交于，為的中點(diǎn)，作交于，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B． C． D．8．如圖，矩形，E是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作交CD于點(diǎn)F，連接，設(shè)．下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．平分C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，9．如圖，在矩形中，，，垂足為E，，點(diǎn)P、Q分別在上，則的最小值為（

）

A． B． C． D．10．如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個動點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題11．兩個相似三角形的一組對應(yīng)邊長分別為和，它們的周長之差為，那么其中較大的三角形的周長為．12．如圖，梯形中，，，，則．

13．如圖，已知點(diǎn)G是的重心，設(shè)，那么用可表示為．

14．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的長為．

15．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)在線段的延長線上，，連接，若的面積等于10，則的長為．

16．（1）是和的比例中項(xiàng)，則；（2）是和的比例中項(xiàng)，則；（3）線段厘米，厘米，則線段和的比例中項(xiàng)是．17．在中，，在中，，點(diǎn)D、E分別在、上．（1）如圖1，若，則與的數(shù)量關(guān)系是；（2）若，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則與的數(shù)量關(guān)系是．

18．如圖，已知ABC中，∠ACB＝90°，AC＝x，BC＝6，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)是D，聯(lián)結(jié)DM，若直線DM與△ABC的一條邊垂直．則AC＝三、解答題19．設(shè)，求的值．20．如圖，中，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，，且過點(diǎn)與、分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．求證：

(1)；(2)．21．已知：如圖，平行四邊形中，點(diǎn)、分別在邊、上，對角線分別交、于點(diǎn)、，且．(1)求證：；(2)設(shè)，，請直接寫出關(guān)于、的分解式．22．如圖，在中，，過點(diǎn)C作，交的平分線于E．

(1)不添加字母，找出圖中所有的相似三角形，并證明；(2)求證：．23．如圖，在梯形中，，，點(diǎn)E為延長線上一點(diǎn)，，點(diǎn)F在上，聯(lián)結(jié)．

(1)求證：；(2)如果，求證：四邊形為梯形．24．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是平行四邊形，，動點(diǎn)P從O出發(fā)向A以每秒1個單位的速度移動，動點(diǎn)Q從A出發(fā)沿的路徑以每秒2個單位的速度移動，當(dāng)其中一個點(diǎn)運(yùn)動到終點(diǎn)時運(yùn)動停止，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段或線段于點(diǎn)E，連接，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)求直線解析式；(2)設(shè)的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)在運(yùn)動過程中，能否為等腰三角形？若能，直接寫出t的值，若不能，請說明理由．25．在矩形中，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在矩形內(nèi)，連接．

(1)如圖1，連接，當(dāng)點(diǎn)恰好落在對角線上時，求的長度；(2)如圖2，連接，如果，，請求出它們之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)連接，如果是以為腰的等腰三角形，請直接寫出的長度．

第24章相似三角形單元綜合檢測（難點(diǎn)）一、單選題1．如圖，已知，求作，則下列作圖正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先在射線上依次截取，，在射線上截取，連接，過作CE∥BD，交于，則即，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．【解析】如圖，需要在射線上依次截取，，在射線上截取，連接，過作CE∥BD，交于，則，即，所以；因?yàn)?，所以DE=x即即為所求．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的基本作圖，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，下列四個三角形中，與相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理算出的邊長，再將各選項(xiàng)三角形邊長算出，判斷與各邊是否能形成比例，得出答案．【解析】解：根據(jù)勾股定理得，，，選項(xiàng)A中，三角形三邊長分別是2，，，與三邊不成比例，故A選項(xiàng)不正確．選項(xiàng)B中，三角形三邊長分別是2，4，，與成比例，比例為，根據(jù)三邊成比例的兩個三角形相似，故B選項(xiàng)正確．選項(xiàng)C中，三角形三邊長分別是2，3，，與三邊不成比例，故C選項(xiàng)不正確．選項(xiàng)D中，三角形三邊長分別是，，4，與三邊不成比例，故D選項(xiàng)不正確．故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定等內(nèi)容，其中三邊成比例的兩個三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，已知，添加下列條件后，仍無法判定的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法逐一判斷即可．【解析】解∵，∴，若，，∴，故A不符合題意；若，，∴，故B不符合題意；若，，∴，故C不符合題意；∵，，∴無法判斷與相似，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定方法，熟記知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．已知點(diǎn)C是線段AB上的一個點(diǎn)，且滿足,則下列式子成立的是……（）A．； B．； C．； D．【答案】B【解析】試題分析：把AB當(dāng)作已知數(shù)求出AC，求出BC，再分別求出各個比值，根據(jù)結(jié)果判斷即可．AC2=BC?AB，AC2-BC?AB=0，AC2-（AB-AC）AB=0，AC2+AB?AC-AB2=0，AC=，∵邊長為正值，∴AC=AB，BC=AB-AC=，∴,即選項(xiàng)A、C、D錯誤，只有選項(xiàng)B正確；故選B．考點(diǎn)：黃金分割.5．如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂直交延長線于點(diǎn)，若，，則菱形的邊長是（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】過C作延長線于M，根據(jù)，設(shè)，由菱形的性質(zhì)表示出，由平行線分線段成比例表示出，根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可．【解析】解：過C作延長線于M，

∵，∴設(shè)，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∵菱形，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于熟悉各個知識點(diǎn)在本題的靈活運(yùn)用．屬于拔高題．6．已知一個單位向量，設(shè)、是非零向量，下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可．【解析】解：A、與的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意．B、，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)符合題意．C、和的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意．D、和的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．7．如圖，中，為邊上一點(diǎn)，過作交于，為的中點(diǎn)，作交于，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、中點(diǎn)定義及相似三角形對應(yīng)邊成比例逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【解析】解：A、，由平行線分線段成比例定理可得，，，，，，即，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B、，，，，，為的中點(diǎn)，，，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C、，由平行線分線段成比例定理可得，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；D、，由平行線分線段成比例定理可得，，由平行線分線段成比例定理可得，只有當(dāng)為中點(diǎn)時，即時，由于題中并未給出相關(guān)條件，故該選項(xiàng)錯誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查線段成比例，涉及平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、中點(diǎn)的定義等知識，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．8．如圖，矩形，E是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作交CD于點(diǎn)F，連接，設(shè)．下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．平分C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)證明即可作出判斷．【解析】解：A．如圖，∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．∵，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分，故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．當(dāng)時，即，設(shè)，，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；D．當(dāng)時，,∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴是三角形，而的兩直角邊的比為，∴與不相似，故選項(xiàng)錯誤，符合題意，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形中，，，垂足為E，，點(diǎn)P、Q分別在上，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，證明，則，得，解得，在中，由勾股定理列方程得到，則，，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接，則當(dāng)、P、Q三點(diǎn)在一條線上時，最小，由垂線段最短可知當(dāng)時，最小，即可得到的最小值．【解析】解：設(shè)，則，∵四邊形為矩形，且，∴，∴，，∴,∴，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴，，如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接，則，，

∴是等邊三角形，∵，∴當(dāng)、P、Q三點(diǎn)在一條線上時，最小，由垂線段最短可知當(dāng)時，最小，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個動點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時，設(shè)．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結(jié)合，可得⑤正確．【解析】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時，設(shè)．則，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正確，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯誤，

如圖1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題11．兩個相似三角形的一組對應(yīng)邊長分別為和，它們的周長之差為，那么其中較大的三角形的周長為．【答案】【分析】先求出相似比，進(jìn)而求出周長之比，再根據(jù)它們的周長之差為列出方程求解即可．【解析】解：∵兩個相似三角形的一組對應(yīng)邊長分別為和，∴兩個三角形的相似比為，∴兩個三角形的周長之比為，設(shè)較大的三角形的周長為，則較小的三角形的周長為，∵它們的周長之差為，∴，解得，∴其中較大的三角形的周長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似比是解題的關(guān)鍵．12．如圖，梯形中，，，，則．

【答案】4【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【解析】解：∵∴，，，，,故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理和比例的基本性質(zhì)．13．如圖，已知點(diǎn)G是的重心，設(shè)，那么用可表示為．

【答案】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得出D點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求出，再由向量的加法法則求出，然后根據(jù)G是的重心即可求出．【解析】如圖，D點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，G是的重心，∵，，D點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵G是的重心，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心，向量的計(jì)算等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．14．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的長為．

【答案】【分析】如圖，取的中點(diǎn)F，連接，由中位線定理得，由平行線分線段成比例定理，得，所以，得出結(jié)論．【解析】解：如圖，取的中點(diǎn)F，連接，∵，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查中位線定理，平行線分線段成比例定理，添加輔助線，構(gòu)造中位線是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)在線段的延長線上，，連接，若的面積等于10，則的長為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明，設(shè)，則，，再根據(jù)的面積等于10列方程，及勾股定理即可．【解析】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，在中，，，，，，，，，，解得：在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識，掌握數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想方法是本題的關(guān)鍵．16．（1）是和的比例中項(xiàng)，則；（2）是和的比例中項(xiàng)，則；（3）線段厘米，厘米，則線段和的比例中項(xiàng)是．【答案】厘米【分析】（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義求出a與b的積，再整體代入求解即可．（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義即可求解．（3）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義即可求解．【解析】（1）由題意可知，由此，所以；故答案為：．（2）由題意可知，可解得；故答案為：．（3）因?yàn)?、都為線段，因此其比例中項(xiàng)只能是線段，取正值，即為（厘米）．故答案為：厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了比例中項(xiàng)的定義，注意線段比例中項(xiàng)和數(shù)字比例中項(xiàng)的區(qū)別．17．在中，，在中，，點(diǎn)D、E分別在、上．（1）如圖1，若，則與的數(shù)量關(guān)系是；（2）若，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則與的數(shù)量關(guān)系是．

【答案】【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．（２）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求得，再證明列式計(jì)算即可．【解析】解：（1）

，

，

．故答案為：．（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，

，，，由，得：，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，等腰三角形的相關(guān)知識，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知ABC中，∠ACB＝90°，AC＝x，BC＝6，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)是D，聯(lián)結(jié)DM，若直線DM與△ABC的一條邊垂直．則AC＝【答案】6或或2【分析】分三種情況討論：①M(fèi)正好是CD與AB的交點(diǎn)；②DM⊥BC；③當(dāng)DM⊥AC時解答即可．【解析】分三種情況討論：①M(fèi)正好是CD與AB的交點(diǎn)；C、D關(guān)于AB對稱，DM⊥AB，∴點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，∴CM=BM=AM，∴D、M、C在一條直線上，∵CM⊥AB，則∠B=∠A=45°，∴AC=BC=6，∴AC=6；②DM⊥BC；如圖：點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，延長DM交BC于E，DE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，DE⊥BC，∴AC∥DE，聯(lián)結(jié)BD，∵C、D關(guān)于AB對稱，∴DN=NC，∠BND=∠BNC=90°，∵BN=BN，∴Rt△BND≌Rt△BNC，∴BD=BC=6，∵點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，DE∥AC，∴E為BC的中點(diǎn)，∠1=∠2，∴ME為△ACB的中位線，∴BE=BC=3，ME=AC=x，在Rt△DNM和Rt△CNA，∠1=∠2，DN=CN，∠DNM=∠CAN=90°，∴Rt△DNM≌Rt△CNA，∴DM=AC=x，在Rt△DEB中，BD2=BE2+DE2，即62=32+(x+x)2，解得：(舍去)，∴AC=；③當(dāng)DM⊥AC時；同②可得Rt△BNC≌Rt△DNM，∴DM=BC=6，同②可得：ME為△ACB的中位線，∴ME=BC=×6=3，∴DE=DM+ME=6+3=9，∵∠A+∠ACD=∠D+∠ACD=90°，∴∠D=∠A，∵∠DEC=∠ACB=90°，∴Rt△DEC∽Rt△ACB，∴，∵CE=AC=x，∴，解得：(舍去)，∴AC=6，綜上所述：AC的值為：6或2或6故答案為：6或或2．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，注意分類討論思想的運(yùn)用．三、解答題19．設(shè)，求的值．【答案】0【分析】根據(jù)分式基本性質(zhì)，得，令，進(jìn)而即可求解．【解析】根據(jù)分式基本性質(zhì)，得，令，則有，，，三式相加，即得．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，掌握比例的性質(zhì)，設(shè)參數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．20．如圖，中，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，，且過點(diǎn)與、分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．求證：

(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例得出，由為中點(diǎn)，即可證得；（2）根據(jù)平行線分線段成比例得出，等量代換后得到，再得出．【解析】（1）證明：，．，．由為中點(diǎn)，即可證得．（2）證明：連接．

，．由（1）可得，，，．【點(diǎn)睛】考查三角形一邊平行線的判定定理，注意根據(jù)相等的比例作為中間量進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)換．21．已知：如圖，平行四邊形中，點(diǎn)、分別在邊、上，對角線分別交、于點(diǎn)、，且．(1)求證：；(2)設(shè)，，請直接寫出關(guān)于、的分解式．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，，進(jìn)而得，，得，再證得，從而即可得證；(2)由向量的差可知，，再證，從而．【解析】（1）證明：∵∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，'，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，由（1）知，，，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，平面向量的計(jì)算等相關(guān)知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．22．如圖，在中，，過點(diǎn)C作，交的平分線于E．

(1)不添加字母，找出圖中所有的相似三角形，并證明；(2)求證：．【答案】(1)①、②，證明見解析(2)見解析【分析】（1）相似三角形有①、②，利用直接證明；利用平行線的性質(zhì)得到從而利用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明；（2）由、得到和，利用是的平分線和可以證明，從而得到.【解析】（1）①、②．證明①：證明②：又，；（2）由得∴，∵是的平分線，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等角對等邊等知識，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和模型“角平分線加平行線推導(dǎo)等腰三角形”是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在梯形中，，，點(diǎn)E為延長線上一點(diǎn)，，點(diǎn)F在上，聯(lián)結(jié)．

(1)求證：；(2)如果，求證：四邊形為梯形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意得四邊形是等腰梯形，由等腰梯形的性質(zhì)和已知條件可證明，根據(jù)相似比及等量替換即可求解；（2）由（1）中相似三角形可得對應(yīng)邊的相似比，根據(jù)給定條件和等腰梯形的性質(zhì)，可證明，可得對應(yīng)角相等，根據(jù)平行的性質(zhì)和相似的性質(zhì)，對相關(guān)角度進(jìn)行等量替換，即可證明，即可證明結(jié)論成立．【解析】（1）證明：，四邊形是等腰梯形又，即又（2），即，即，又四邊形為梯形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰梯形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)證明三角形相似，得出對應(yīng)邊成比例，由對應(yīng)邊成比例及夾角相等亦可得出三角形相似．24．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是平行四邊形，，動點(diǎn)P從O出發(fā)向A以每秒1個單位的速度移動，動點(diǎn)Q從A出發(fā)沿的路徑以每秒2個單位的速度移動，當(dāng)其中一個點(diǎn)運(yùn)動到終點(diǎn)時運(yùn)動停止，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段或線段于點(diǎn)E，連接，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)求直線解析式；(2)設(shè)的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)在運(yùn)動過程中，能否為等腰三角形？若能，直接寫出t的值，若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)能，【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）先求出，根據(jù)題意可得當(dāng)時，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B處，當(dāng)時，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C處，當(dāng)時，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C處，然后分四種情況解答，即可求解；（3）分四種情況解答，即可求解．【解析】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離為10，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)直線解析式為，∴，解得：，∴直線解析式為；（2）解：如圖，過C作于點(diǎn)D，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，∴，∴當(dāng)時，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B處，當(dāng)時，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C處，當(dāng)時，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C處，根據(jù)題意得：，當(dāng)時，點(diǎn)E在上，點(diǎn)Q在上，∵軸，∴，∴，∴，即，解得：，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)M，則，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴；當(dāng)時，點(diǎn)E在上，點(diǎn)Q在上，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)F，根據(jù)題意：，∴，∴，∴；