2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課后限時集訓(xùn)64隨機(jī)事件的概率含解析

課后限時集訓(xùn)(六十四)隨機(jī)事務(wù)的概率建議用時：40分鐘一、選擇題1．設(shè)事務(wù)A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，則A，B之間的關(guān)系肯定為()A．兩個隨意事務(wù) B．互斥事務(wù)C．非互斥事務(wù) D．對立事務(wù)B[因?yàn)镻(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15)＝P(A∪B)，所以A，B之間的關(guān)系肯定為互斥事務(wù)．故選B.]2．(多選)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,5)，下面結(jié)論正確的是()A．甲不輸?shù)母怕蔱q\f(7,10) B．乙不輸?shù)母怕蔱q\f(4,5)C．乙獲勝的概率eq\f(3,10) D．乙輸?shù)母怕蔱q\f(1,5)ABCD[甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,5)，對于A，甲不輸?shù)母怕蕿椋篜＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,10)，故A正確；對于B，乙不輸?shù)母怕蕿椋篜＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，故B正確；對于C，乙獲勝的概率為：P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,5)＝eq\f(3,10)，故C正確；對于D，乙輸?shù)母怕示褪羌讋俚母怕剩嘁逸數(shù)母怕蕿椋篜＝eq\f(1,5)，故D正確．故選：ABCD.]3．口袋中有100個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個，從口袋中摸出一個球，摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為()A．0.45 B．0.67C．0.64 D．0.32D[從中摸出一球，為紅球的概率為eq\f(45,100)＝0.45.故摸出黑球的概率為1－0.45－0.23＝0.32.]4．(多選)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，則下列結(jié)論正確的是()A．“至少一個紅球”和“都是紅球”是互斥事務(wù)B．“恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事務(wù)C．“至少一個黑球”和“都是紅球”是對立事務(wù)D．“恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事務(wù)BC[從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，對于A，“至少一個紅球”和“都是紅球”能同時發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故A錯誤；對于B，“恰有一個黑球”和“都是黑球”不能同時發(fā)生，是互斥事務(wù)，故B正確；對于C，“至少一個黑球”和“都是紅球”既不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，是對立事務(wù)，故C正確；對于D，“恰有一個紅球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生，能同時不發(fā)生，是互斥而不對立事務(wù)，故D錯誤．故選：BC.]5．?dāng)S一個骰子的試驗(yàn)，事務(wù)A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事務(wù)B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，若eq\x\to(B)表示B的對立事務(wù)，則一次試驗(yàn)中，事務(wù)A∪eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)C[擲一個骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果．依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵eq\x\to(B)表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事務(wù)，因此事務(wù)A與eq\x\to(B)互斥，從而P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]二、填空題6．依據(jù)某醫(yī)療探討所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型病人須要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為________．65%[因?yàn)槟车貐^(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，現(xiàn)在能為A型病人輸血的有O型和A型，故為病人輸血的概率為50%＋15%＝65%.]7．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事務(wù)A＝{抽到一等品}，事務(wù)B＝{抽到二等品}，事務(wù)C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________，“抽到二等品或三等品”的概率為________．0.350.3[∵事務(wù)A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為1－P(A)＝1－0.65＝0.35.“抽到二等品或三等品”的概率為P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3.”]8．某城市2024年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時，空氣質(zhì)量為稍微污染，則該城市2024年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為________．eq\f(3,5)[由題意可知2024年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).]三、解答題9．某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的狀況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；(3)假如顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？[解](1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2.(2)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)與(1)同理，可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2，顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為eq\f(100,1000)＝0.1.所以，假如顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大．10.如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時間/分10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．[解](1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用頻率估計相應(yīng)的概率為p＝eq\f(44,100)＝0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時間/分鐘10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙應(yīng)選擇L2.1．對一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)進(jìn)行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品，在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上的為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為()A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45D[設(shè)[25,30)上的頻率為x，由全部矩形面積之和為1，即x＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的頻率為0.25.所以產(chǎn)品為二等品的概率為0.04×5＋0.25＝0.45.]2．已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(2,3)C[20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191,271,932,812,393，其頻率為eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)，以此估計該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為eq\f(1,4).]3．經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊人數(shù)/人01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排隊等候的概率為________；(2)至少3人排隊等候的概率為________．(1)0.56(2)0.44[記“無人排隊等候”為事務(wù)A，“1人排隊等候”為事務(wù)B，“2人排隊等候”為事務(wù)C，“3人排隊等候”為事務(wù)D，“4人排隊等候”為事務(wù)E，“5人及5人以上排隊等候”為事務(wù)F，則事務(wù)A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．(1)記“至多2人排隊等候”為事務(wù)G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：(利用互斥事務(wù)求概率)記“至少3人排隊等候”為事務(wù)H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：(利用對立事務(wù)求概率)記“至少3人排隊等候”為事務(wù)H，則其對立事務(wù)為事務(wù)G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.]4．某商店安排每天購進(jìn)某商品若干件，商店每銷售一件該商品可獲得利潤50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品虧損10元；若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑，此時每件調(diào)劑商品可獲得利潤30元．(1)若商店一天購進(jìn)該商品10件，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天的需求量n(單位：件，n∈N*)的函數(shù)解析式；(2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表：日需求量n/件89101112頻數(shù)91115105(ⅰ)假設(shè)商店在這50天內(nèi)每天購進(jìn)10件該商品，求這50天的日利潤的平均數(shù)；(ⅱ)若商店一天購進(jìn)10件該商品，以50天記錄的各日需求量的頻率作為各日需求量的概率，求當(dāng)天的利潤大于500元的概率．[解](1)當(dāng)日需求量n≥10時，利潤y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200；當(dāng)日需求量n＜10時，利潤y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.所以日利潤y關(guān)于日需求量n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30n＋200n≥10，n∈N*，,60n－100n＜10，n∈N*.))(2)(ⅰ)由(1)及表格可知，這50天中有9天的日利潤為380元，有11天的日利潤為440元，有15天的日利潤為500元，有10天的日利潤為530元，有5天的日利潤為560元，所以這50天的日利潤的平均數(shù)為eq\f(1,50)×(380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5)＝477.2(元)．(ⅱ)若當(dāng)天的利潤大于500元，則日需求量大于10件，則當(dāng)天的利潤大于500元的概率P＝eq\f(10＋5,50)＝eq\f(3,10).1．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地隨意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個同顏色的球的概率為________；至少取得一個紅球的概率為________．eq\f(8,15)eq\f(14,15)[由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事務(wù)，取得兩個同色球，只需兩互斥事務(wù)有一個發(fā)生即可，因而取得兩個同色球的概率為P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事務(wù)A“至少取得一個紅球”與事務(wù)B“取得兩個綠球”是對立事務(wù)，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).]2．某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時)