甘肅省蘭州市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第5次月考試卷理含解析

PAGE21-甘肅省蘭州市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第5次月考試卷理（含解析）一、選擇題（本題12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求集合A和B，再求，進而求兩集合的交集.【詳解】由題得，，∴，∴，選C.【點睛】本題考察集合的基本運算（交并補），及對數(shù)與指數(shù)不等式的求解（化為同底數(shù)解不等式）.2.已知為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的虛部為().A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本道題結(jié)合復(fù)數(shù)的運算，化簡z，計算虛部，即可．【詳解】,故虛部即為i的系數(shù)，為-2，故選D．【點睛】本道題看考查了復(fù)數(shù)的化簡，關(guān)鍵在于化簡z，屬于較簡潔的題．3.命題“對隨意”為真命題的一個充分不必要條件可以是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在命題為真命題的狀況下求得的范圍，在選項中找到所得范圍的真子集即可.【詳解】命題為真命題，則對恒成立是的真子集是命題為真的充分不必要條件本題正確選項：【點睛】本題考查充分不必要條件的求解問題，關(guān)鍵是明確充分不必要條件與集合包含關(guān)系之間的關(guān)系.4.若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道題結(jié)合指數(shù),對數(shù)運算性質(zhì),結(jié)合1和對數(shù)單調(diào)性進行推斷,即可.【詳解】,,故,故選D.點睛】本道題考查了指數(shù)、對數(shù)比較大小，可以結(jié)合1以及對數(shù)性質(zhì)進行比較，難度中等．5.若曲線在點(1，m)處的切線垂直于y軸，則實數(shù)A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得k=0，解方程即可得到m的值.【詳解】f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=m+，曲線y=f（x）在點P（1，m）處的切線斜率為k=m+1=0，可得m=﹣1．故選A．【點睛】求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點，則以為切點的切線方程為：．若曲線在點的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為．6.為得到圖象，只須要將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位【答案】D【解析】【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.【詳解】由題可知，的圖象，將其向右平移個單位有，欲得到的圖象，則所以應(yīng)向右平移個單位故選：D【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移變換過程中解析式的改變，屬于簡潔題7.依據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間困難度的上限約為，而可觀測宇宙中一般物質(zhì)的原子總數(shù)約為.則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可得：，代入將也化為10為底的指數(shù)形式，進而可得結(jié)果.【詳解】由題意：，，依據(jù)對數(shù)性質(zhì)有：2＝10lg2≈10030，，.故選：B【點睛】本題考查指數(shù)式的性質(zhì)與簡潔對數(shù)式的運算，屬于中檔題.8.過點作始終線與雙曲線相交于、兩點，若為中點，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】設(shè)出直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，設(shè)兩實根為，，利用韋達定理可表示出的值，依據(jù)P點坐標求得＝8進而求得k，則直線AB的方程可得；利用弦長公式求得|AB|．【詳解】解：易知直線AB不與y軸平行，設(shè)其方程為y﹣2＝k（x﹣4）代入雙曲線C：，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0設(shè)此方程兩實根為，，則又P（4，2）為AB的中點，所以8，解得k＝1當k＝1時，直線與雙曲線相交，即上述二次方程的△＞0，所求直線AB的方程為y﹣2＝x﹣4化成一般式為x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10|AB|||?4．故選D．【點睛】本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，圓錐曲線與直線的關(guān)系，弦長公式等．考查了學(xué)生綜合分析和推理的實力．9.2019年4月25日-27日，北京召開其次屆“一帶一路”國際高峰論壇，組委會要從6個國內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這三個媒體團中既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團，且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問，則不同的提問方式的種數(shù)為()A.198 B.268 C.306 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，分兩種狀況探討，①3人中有2名中國媒體和1名國外媒體，求出不同的提問方式的種數(shù)；②3人中有1名中國媒體和2名國外媒體，求出不同的提問方式的種數(shù)，由分類計數(shù)原理相加即得答案．【詳解】分兩種狀況，若選兩個國內(nèi)媒體一個國外媒體，有種不同提問方式；若選兩個外國媒體一個國內(nèi)媒體，有種不同提問方式，所以共有種提問方式.故選A.【點睛】本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.10.已知正項數(shù)列的前項和為，且，，設(shè)數(shù)列的前項和為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由，依據(jù)題意求出，再由裂項相消法求出，進而可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因此，即，又為正項數(shù)列，所以，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，因此，所以，因為，所以.故選D【點睛】本題主要考查等差數(shù)列以及數(shù)列的求和，熟記等差數(shù)列的通項以及裂項相消法求和即可，屬于?？碱}型.11.如圖所示，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形態(tài)保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因為雞蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離，而截面到球體最低點距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的學(xué)問.在解答過程中，假如遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時，可以采納軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面，然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是須要熟記的.12.已知函數(shù)（，且）在上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是A. B.[，] C.[，]{} D.[，）{}【答案】C【解析】試題分析：由在上單調(diào)遞減可知，由方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解，可知，，又時，拋物線與直線相切，也符合題意，∴實數(shù)的取值范圍是，故選C.【考點】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．二、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13.綻開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，則_______，綻開式中的常數(shù)項是_______.【答案】(1).10(2).180【解析】【分析】由綻開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，可得n＝10.再利用的通項公式即可得出.【詳解】綻開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，.的通項公式：，其中常數(shù)項，令解得.∴常數(shù)項為：.故答案為：(1).10(2).180【點睛】本題考查求二項式指定項的系數(shù)，屬于簡潔題.14.邊長為2正三角形中，點滿意，則______.【答案】2【解析】【分析】由向量的加法有,則,然后用向量數(shù)量積的運算法則和定義進行計算.【詳解】在正三角形中，邊長為2，所以,則.故答案為：2【點睛】本題考查向量的加法運算，數(shù)量積的定義和運算法則，屬于基礎(chǔ)題.15.在中，角所對的邊分別為，若，且的面積.則角__________．【答案】【解析】【分析】的面積,結(jié)合面積公式，可得，代入已知等式中，得到，先用正弦定理，后用余弦定理，最終求出角的值.【詳解】，代入中，得，由正弦定理,可將上式化簡為，，由余弦定理可知：,所以有，又因為，所以角.【點睛】本題考查了面積公式、正弦定理、余弦定理.解題的關(guān)鍵在于對公式的模型特征非常熟識.16.已知是橢圓的左右焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交橢圓于點，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義及條件求出點的坐標，然后依據(jù)點在橢圓上可得，進而可求得橢圓的離心率．【詳解】如圖，不妨設(shè)點是橢圓短軸的上端點，則點D在第四想象內(nèi)，設(shè)點．由題意得為等腰三角形，且．由橢圓的定義得，，又，∴，解得．作軸于，則有，，∴，∴點的坐標為．又點在橢圓上，∴，整理得，所以．故答案為．【點睛】求橢圓離心率或其范圍的方法(1)依據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義干脆求解．(2)由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解．三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.各項均為整數(shù)的等差數(shù)列，其前項和為，，，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由題意，可知，解得，即可求解數(shù)列的通項公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【詳解】（1）由題意，可知數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列.則，即，解得，所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1），可知，所以.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的求解，以及“分組求和”的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式和等比中項公式，精確求得等差數(shù)列的公差是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎(chǔ)題.18.某工廠采納甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式生產(chǎn)某零件，現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的這種零件的產(chǎn)品質(zhì)量進行對比，其質(zhì)量按測試指標可劃分為：指標在區(qū)間100的為一等品；指標在區(qū)間的為二等品現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的零件中，各自隨機抽取100件作為樣本進行檢測，測試指標結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示：若在甲種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的這100件零件中按等級，利用分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件零件中隨機抽取3件，求至少有1件一等品的概率；將頻率分布直方圖中的頻率視作概率，用樣本估計總體若從該廠采納乙種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的全部這種零件中隨機抽取3件，記3件零件中所含一等品的件數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖求出對應(yīng)的頻率和頻數(shù)，再計算所求的概率值；（2）由題意知隨機變量X～B（3，），計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．【詳解】由甲種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的100件零件的測試指標的頻率分布直方圖可知，這100件樣本零件中有一等品：件，二等品：件，所以按等級，利用分層抽樣的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件．記事務(wù)A為“這10件零件中隨機抽取3件，至少有1件一等品”，則；

由乙種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的100件零件的測試指標的頻率分布直方圖可知，這100件樣本零件中，一等品的頻率為，二等品的頻率為；將頻率分布直方圖中的頻率視作概率，用樣本估計總體，則從該廠采納乙種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的全部這種零件中隨機抽取3件，其中所含一等品的件數(shù)，所以，，，；的分布列為：X0123P所以數(shù)學(xué)期望為【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機變量的應(yīng)用問題，是中檔題,其次問關(guān)鍵是確定為二項分布.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為梯形，，，且．（1）在PD上是否存在一點F，使得平面PAB，若存在，找出F的位置，若不存在，請說明理由；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）在BC上存在點F，當時，有平面PAB.（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)條件可得、、兩兩垂直，以為原點建立坐標系，設(shè)，從而得到，若平面，則與平面的法向量垂直，從而得到關(guān)于的方程，得到的值，確定出的位置；（2）利用空間向量求出平面，平面的法向量，依據(jù)向量夾角公式，得到兩平面法向量的夾角，從而得到二面角的大小.【詳解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又，∴，則可以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，假設(shè)在PD上存在一點F，使得平面PAB，設(shè)，由，得，由可得，又，故.因為，，平面，所以平面，故可取平面PAB的一個法向量為，若平面PAB，則，解得，故在BC上存在點F，當時，有平面PAB.（2）由（1）可知∴設(shè)平面PAD的法向量則，令，則，此時設(shè)平面PBD的法向量則，令，則此時∴，∴∵二面角為銳二面角，∴二面角的大小為.【點睛】本題考查利用空間向量由線面平行求點所在的位置；利用空間向量求二面角的大小，屬于中檔題.20.已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，原點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，且方程為或.【解析】【分析】（1）依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進而可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到，要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點，則，結(jié)合韋達定理可得到參數(shù)值.【詳解】（1）直線的一般方程為.依題意，解得，故橢圓的方程式為.（2）假如存在這樣的直線，當斜率不存在時，以為直徑的圓明顯不經(jīng)過橢圓的左頂點，所以可設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.由，得.由，得.記，的坐標分別為，，則，，而.要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點，則，即，所以，整理解得或，所以存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點，直線的方程為或.【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所運用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理干脆解決，但應(yīng)留意不要忽視判別式的作用．21.已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值；（2）若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）當時，極大值為，無微小值；當時，無極值；（2）或.【解析】【分析】（1）求出，對分類探討求出單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)論；（2）在上存在一點，使得成立，即為，只需，結(jié)合（1）中的結(jié)論對分類探討求出，即可求解.【詳解】（1）依題意，定義域為，∴，①當，即時，令，∵，∴，此時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，得.此時，在區(qū)間上單調(diào)遞減.②當，即時，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上，當時，在處取得極大值，無微小值；當時，在區(qū)間上無極值.（2）依題意知，上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，故函數(shù)在上，有.由（1）可知，①當，即時，在上單調(diào)遞增，∴，∴，∵，∴.②當，或，即時，在上單調(diào)遞減，∴，∴.③當，即時，由（2）可知，在處取得極大值也是區(qū)間上的最大值，即，∵，∴在上恒成立，此時不存在使成立.綜上可得，所求的取值范圍是或.【點睛】本題考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式能成立等基礎(chǔ)學(xué)問，考查分類探討思想，意在考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題題.請從下面所給的22、23題兩題中選定一題作答，假如多答按所答第一題評分.選修4-4：極坐標系與參數(shù)方程22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求和的直角坐標