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文檔簡介
江蘇省蘇州市相城區(qū)第三實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年中考一模數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖,直線a∥b,直線c與直線a、b分別交于點A、點B,AC⊥AB于點A,交直線b于點C.如果∠1=34°,那么∠2的度數(shù)為()A.34° B.56° C.66° D.146°2.如圖,A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處,若將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′,則tanB′的值為()A. B. C. D.3.下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度,用它們能擺成三角形的是()A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.13cm,12cm,20cmD.5cm,5cm,11cm4.在半徑等于5cm的圓內(nèi)有長為cm的弦,則此弦所對的圓周角為A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或120°5.共享單車已經(jīng)成為城市公共交通的重要組成部分,某共享單車公司經(jīng)過調(diào)查獲得關(guān)于共享單車租用行駛時間的數(shù)據(jù),并由此制定了新的收費標(biāo)準(zhǔn):每次租用單車行駛a小時及以內(nèi),免費騎行;超過a小時后,每半小時收費1元,這樣可保證不少于50%的騎行是免費的.制定這一標(biāo)準(zhǔn)中的a的值時,參考的統(tǒng)計量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的()A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差6.下列命題是真命題的是()A.過一點有且只有一條直線與已知直線平行B.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形C.平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧D.若三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ac+bc+ab,則該三角形是正三角形7.把圖中的五角星圖案,繞著它的中心點O進(jìn)行旋轉(zhuǎn),若旋轉(zhuǎn)后與自身重合,則至少旋轉(zhuǎn)()A.36° B.45° C.72° D.90°8.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,下列結(jié)論正確的是()A.a(chǎn)<0 B.b2-4ac<0 C.當(dāng)-1<x<3時,y>0 D.-=19.的值是A. B. C. D.10.如圖,點E是矩形ABCD的邊AD的中點,且BE⊥AC于點F,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.AF=CF B.∠DCF=∠DFCC.圖中與△AEF相似的三角形共有5個 D.tan∠CAD=二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,點E在邊AB上,AD=BE,AE=BC,由此可以知道△ADE旋轉(zhuǎn)后能與△BEC重合,那么旋轉(zhuǎn)中心是_____.12.已知x+y=8,xy=2,則x2y+xy2=_____.13.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形內(nèi)部有一動點P滿足S△PAB=S矩形ABCD,則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為______.14.如果一個矩形的面積是40,兩條對角線夾角的正切值是,那么它的一條對角線長是__________.15.因式分解:mn(n﹣m)﹣n(m﹣n)=_____.16.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,,則AC的長為_______.17.如圖,直徑為1000mm的圓柱形水管有積水(陰影部分),水面的寬度AB為800mm,則水的最大深度CD是______mm.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形的邊長為,頂點、分別在軸、軸的正半軸,拋物線經(jīng)過、兩點,點為拋物線的頂點,連接、、.求此拋物線的解析式.求此拋物線頂點的坐標(biāo)和四邊形的面積.19.(5分)(2016湖南省株洲市)某市對初二綜合素質(zhì)測評中的審美與藝術(shù)進(jìn)行考核,規(guī)定如下:考核綜合評價得分由測試成績(滿分100分)和平時成績(滿分100分)兩部分組成,其中測試成績占80%,平時成績占20%,并且當(dāng)綜合評價得分大于或等于80分時,該生綜合評價為A等.(1)孔明同學(xué)的測試成績和平時成績兩項得分之和為185分,而綜合評價得分為91分,則孔明同學(xué)測試成績和平時成績各得多少分?(2)某同學(xué)測試成績?yōu)?0分,他的綜合評價得分有可能達(dá)到A等嗎?為什么?(3)如果一個同學(xué)綜合評價要達(dá)到A等,他的測試成績至少要多少分?20.(8分)如圖,已知AD是的中線,M是AD的中點,過A點作,CM的延長線與AE相交于點E,與AB相交于點F.(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)如果,求證四邊形是矩形.21.(10分)如圖,以D為頂點的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+1.求拋物線的表達(dá)式;在直線BC上有一點P,使PO+PA的值最小,求點P的坐標(biāo);在x軸上是否存在一點Q,使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.22.(10分)如圖,△ABC內(nèi)接與⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點P,OF∥BC交AC于AC點E,交PC于點F,連接AF.判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由;若⊙O的半徑為4,AF=3,求AC的長.23.(12分)已知:△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi),三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1,點C1的坐標(biāo)是;(2)以點B為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為2:1,點C2的坐標(biāo)是;(3)△A2B2C2的面積是平方單位.24.(14分)如圖,點C、E、B、F在同一直線上,AC∥DF,AC=DF,BC=EF,求證:AB=DE
參考答案一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1、B【解析】分析:先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2+∠BAD=180°,再根據(jù)垂直的定義求出∠2的度數(shù).詳解:∵直線a∥b,∴∠2+∠BAD=180°.∵AC⊥AB于點A,∠1=34°,∴∠2=180°﹣90°﹣34°=56°.故選B.點睛:本題主要考查了平行線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),此題難度不大.2、D【解析】
過C點作CD⊥AB,垂足為D,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,∠B′=∠B,把求tanB′的問題,轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB.【詳解】過C點作CD⊥AB,垂足為D.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,∠B′=∠B.在Rt△BCD中,tanB=,∴tanB′=tanB=.故選D.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)角相等;三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法.3、C【解析】
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊”,進(jìn)行分析.【詳解】A、3+4<8,不能組成三角形;B、8+7=15,不能組成三角形;C、13+12>20,能夠組成三角形;D、5+5<11,不能組成三角形.故選:C.【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系,關(guān)鍵是靈活運用三角形三邊關(guān)系.4、C【解析】
根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形,由OD⊥AB,利用垂徑定理得到D為AB的中點,由AB的長求出AD與BD的長,且得出OD為角平分線,在Rt△AOD中,利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出∠AOD的度數(shù),進(jìn)而確定出∠AOB的度數(shù),利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍,即可求出弦AB所對圓周角的度數(shù).【詳解】如圖所示,∵OD⊥AB,∴D為AB的中點,即AD=BD=,在Rt△AOD中,OA=5,AD=,∴sin∠AOD=,又∵∠AOD為銳角,∴∠AOD=60°,∴∠AOB=120°,∴∠ACB=∠AOB=60°,又∵圓內(nèi)接四邊形AEBC對角互補(bǔ),∴∠AEB=120°,則此弦所對的圓周角為60°或120°.故選C.【點睛】此題考查了垂徑定理,圓周角定理,特殊角的三角函數(shù)值,以及銳角三角函數(shù)定義,熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵.5、B【解析】
根據(jù)需要保證不少于50%的騎行是免費的,可得此次調(diào)查的參考統(tǒng)計量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】因為需要保證不少于50%的騎行是免費的,所以制定這一標(biāo)準(zhǔn)中的a的值時,參考的統(tǒng)計量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù),故選B.【點睛】本題考查了中位數(shù)的知識,中位數(shù)是以它在所有標(biāo)志值中所處的位置確定的全體單位標(biāo)志值的代表值,不受分布數(shù)列的極大或極小值影響,從而在一定程度上提高了中位數(shù)對分布數(shù)列的代表性。6、D【解析】
根據(jù)真假命題的定義及有關(guān)性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】A、真命題為:過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行,故本選項錯誤;B、真命題為:對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形或等腰梯形,故本選項錯誤;C、真命題為:平分弦的直徑垂直于弦(非直徑),并且平分弦所對的弧,故本選項錯誤;D、∵a2+b2+c2=ac+bc+ab,∴2a2+2b2+2c2-2ac-2bc-2ab=0,∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,∴a=b=c,故本選項正確.故選D.【點睛】本題考查了命題的真假,熟練掌握真假命題的定義及幾何圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵,當(dāng)命題的條件成立時,結(jié)論也一定成立的命題叫做真命題;當(dāng)命題的條件成立時,不能保證命題的結(jié)論總是成立的命題叫做假命題.熟練掌握所學(xué)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.7、C【解析】分析:五角星能被從中心發(fā)出的射線平分成相等的5部分,再由一個周角是360°即可求出最小的旋轉(zhuǎn)角度.詳解:五角星可以被中心發(fā)出的射線平分成5部分,那么最小的旋轉(zhuǎn)角度為:360°÷5=72°.故選C.點睛:本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念:把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后,與初始圖形重合,這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形,這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心,旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.8、D【解析】試題分析:根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.解:∵拋物線開口向上,∴∴A選項錯誤,∵拋物線與x軸有兩個交點,∴∴B選項錯誤,由圖象可知,當(dāng)-1<x<3時,y<0∴C選項錯誤,由拋物線的軸對稱性及與x軸的兩個交點分別為(-1,0)和(3,0)可知對稱軸為即-=1,∴D選項正確,故選D.9、D【解析】
根據(jù)特殊角三角函數(shù)值,可得答案.【詳解】解:,故選:D.【點睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值,熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.10、D【解析】
由又AD∥BC,所以故A正確,不符合題意;過D作DM∥BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形,求出BM=DE=BC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論,故B正確,不符合題意;
根據(jù)相似三角形的判定即可求解,故C正確,不符合題意;
由△BAE∽△ADC,得到CD與AD的大小關(guān)系,根據(jù)正切函數(shù)可求tan∠CAD的值,故D錯誤,符合題意.【詳解】A.∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴∵∴,故A正確,不符合題意;B.過D作DM∥BE交AC于N,∵DE∥BM,BE∥DM,∴四邊形BMDE是平行四邊形,∴∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC于點F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,∴∠DCF=∠DFC,故B正確,不符合題意;C.圖中與△AEF相似的三角形有△ACD,△BAF,△CBF,△CAB,△ABE共有5個,故C正確,不符合題意;D.設(shè)AD=a,AB=b,由△BAE∽△ADC,有∵tan∠CAD故D錯誤,符合題意.故選:D.【點睛】考查相似三角形的判定,矩形的性質(zhì),解直角三角形,掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、CD的中點【解析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),其中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,于是得到結(jié)論.【詳解】∵△ADE旋轉(zhuǎn)后能與△BEC重合,∴△ADE≌△BEC,∴∠AED=∠BCE,∠B=∠A=90°,∠ADE=∠BEC,DE=EC,∴∠AED+∠BEC=90°,∴∠DEC=90°,∴△DEC是等腰直角三角形,∴D與E,E與C是對應(yīng)頂點,∵CD的中點到D,E,C三點的距離相等,∴旋轉(zhuǎn)中心是CD的中點,故答案為:CD的中點.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是明確旋轉(zhuǎn)中心的概念.12、1【解析】
將所求式子提取xy分解因式后,把x+y與xy的值代入計算,即可得到所求式子的值.【詳解】∵x+y=8,xy=2,
∴x2y+xy2=xy(x+y)=2×8=1.
故答案為:1.【點睛】本題考查的知識點是因式分解的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是將所求式子分解因式.13、4【解析】分析:首先由S△PAB=S矩形ABCD,得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上,作A關(guān)于直線l的對稱點E,連接AE,連接BE,則BE的長就是所求的最短距離.然后在直角三角形ABE中,由勾股定理求得BE的值,即PA+PB的最小值.詳解:設(shè)△ABP中AB邊上的高是h.∵S△PAB=S矩形ABCD,∴AB?h=AB?AD,∴h=AD=2,∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上,如圖,作A關(guān)于直線l的對稱點E,連接AE,連接BE,則BE的長就是所求的最短距離.在Rt△ABE中,∵AB=4,AE=2+2=4,∴BE=,即PA+PB的最小值為4.故答案為4.點睛:本題考查了軸對稱-最短路線問題,三角形的面積,矩形的性質(zhì),勾股定理,兩點之間線段最短的性質(zhì).得出動點P所在的位置是解題的關(guān)鍵.14、1.【解析】
如圖,作BH⊥AC于H.由四邊形ABCD是矩形,推出OA=OC=OD=OB,設(shè)OA=OC=OD=OB=5a,由tan∠BOH,可得BH=4a,OH=3a,由題意:21a×4a=40,求出a即可解決問題.【詳解】如圖,作BH⊥AC于H.∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OC=OD=OB,設(shè)OA=OC=OD=OB=5a.∵tan∠BOH,∴BH=4a,OH=3a,由題意:21a×4a=40,∴a=1,∴AC=1.故答案為:1.【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.15、【解析】mn(n-m)-n(m-n)=mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1),故答案為n(n-m)(m+1).16、8【解析】
在Rt△ABC中,cosB=,AB=10,可求得BC,再利用勾股定理即可求AC的長.【詳解】∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10∴cosB=,得BC=6由勾股定理得BC=故答案為8.【點睛】此題主要考查銳角三角函數(shù)在直角三形中的應(yīng)用及勾股定理.17、200【解析】
先求出OA的長,再由垂徑定理求出AC的長,根據(jù)勾股定理求出OC的長,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】解:∵⊙O的直徑為1000mm,
∴OA=OA=500mm.
∵OD⊥AB,AB=800mm,
∴AC=400mm,
∴OC===300mm,∴CD=OD-OC=500-300=200(mm).
答:水的最大深度為200mm.故答案為:200【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用,根據(jù)勾股定理求出OC的長是解答此題的關(guān)鍵.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、;.【解析】
(1)由正方形的性質(zhì)可求得B、C的坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得b、c的值,則可求得拋物線的解析式;
(2)把拋物線解析式化為頂點式可求得D點坐標(biāo),再由S四邊形ABDC=S△ABC+S△BCD可求得四邊形ABDC的面積.【詳解】由已知得:,,把與坐標(biāo)代入得:,解得:,,則解析式為;∵,∴拋物線頂點坐標(biāo)為,則.【點睛】二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是:在(1)中確定出B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,在(2)中把四邊形轉(zhuǎn)化成兩個三角形.19、(1)孔明同學(xué)測試成績位90分,平時成績?yōu)?5分;(2)不可能;(3)他的測試成績應(yīng)該至少為1分.【解析】試題分析:(1)分別利用孔明同學(xué)的測試成績和平時成績兩項得分之和為185分,而綜合評價得分為91分,分別得出等式求出答案;(2)利用測試成績占80%,平時成績占20%,進(jìn)而得出答案;(3)首先假設(shè)平時成績?yōu)闈M分,進(jìn)而得出不等式,求出測試成績的最小值.試題解析:(1)設(shè)孔明同學(xué)測試成績?yōu)閤分,平時成績?yōu)閥分,依題意得:,解之得:.答:孔明同學(xué)測試成績位90分,平時成績?yōu)?5分;(2)由題意可得:80﹣70×80%=24,24÷20%=120>100,故不可能.(3)設(shè)平時成績?yōu)闈M分,即100分,綜合成績?yōu)?00×20%=20,設(shè)測試成績?yōu)閍分,根據(jù)題意可得:20+80%a≥80,解得:a≥1.答:他的測試成績應(yīng)該至少為1分.考點:一元一次不等式的應(yīng)用;二元一次方程組的應(yīng)用.20、(1)見解析;(2)見解析.【解析】
(1)先判定,可得,再根據(jù)是的中線,即可得到,依據(jù),即可得出四邊形是平行四邊形;(2)先判定,即可得到,依據(jù),可得根據(jù)是的中線,可得,進(jìn)而得出四邊形是矩形.【詳解】證明:(1)是的中點,,,,又,,,又是的中線,,又,四邊形是平行四邊形;(2),,∴,即,,又,,又是的中線,,又四邊形是平行四邊形,四邊形是矩形.【點睛】本題主要考查了平行四邊形、矩形的判定,等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)的運用,解題時注意:對角線相等的平行四邊形是矩形.21、(1)y=﹣x2+2x+1;(2)P(,);(1)當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)時,以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似.【解析】
(1)先求得點B和點C的坐標(biāo),然后將點B和點C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程,從而可求得b、c的值;(2)作點O關(guān)于BC的對稱點O′,則O′(1,1),則OP+AP的最小值為AO′的長,然后求得AO′的解析式,最后可求得點P的坐標(biāo);(1)先求得點D的坐標(biāo),然后求得CD、BC、BD的長,依據(jù)勾股定理的逆定理證明△BCD為直角三角形,然后分為△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB兩種情況求解即可.【詳解】(1)把x=0代入y=﹣x+1,得:y=1,∴C(0,1).把y=0代入y=﹣x+1得:x=1,∴B(1,0),A(﹣1,0).將C(0,1)、B(1,0)代入y=﹣x2+bx+c得:,解得b=2,c=1.∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+1.(2)如圖所示:作點O關(guān)于BC的對稱點O′,則O′(1,1).∵O′與O關(guān)于BC對稱,∴PO=PO′.∴OP+AP=O′P+AP≤AO′.∴OP+AP的最小值=O′A==2.O′A的方程為y=P點滿足解得:所以P(,)(1)y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+4,∴D(1,4).又∵C(0,1,B(1,0),∴CD=,BC=1,DB=2.∴CD2+CB2=BD2,∴∠DCB=90°.∵A(﹣1,0),C(0,1),∴OA=1,CO=1.∴.又∵∠AOC=DCB=90°,∴△AOC∽△DCB.∴當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)時,△AQC∽△DCB.如圖所示:連接AC,過點C作CQ⊥AC,交x軸與點Q.∵△ACQ為直角三角形,CO⊥AQ,∴△ACQ∽△AOC.又∵△AOC∽△DCB,∴△ACQ∽△DCB.∴,即,解得:AQ=3.∴Q(9,0).綜上所述,當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)時,以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、軸對稱圖形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定,分類討論的思想.22、解:(1)AF與圓O的相切.理由為:如圖,連接OC,∵PC為圓O切線,∴CP⊥OC.∴∠OCP=90°.∵OF∥BC,∴∠AOF=∠B,∠COF=∠OCB.∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.∴∠AOF=∠COF.∵在△AOF和△COF中,OA=OC,∠AOF=∠COF,OF=OF,∴△AOF≌△COF(SAS).∴∠OAF=∠OCF=90°.∴A
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