人教A版高中數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）同步講義 2.2基本不等式（教師版）

第第頁(yè)2.2基本不等式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的內(nèi)容，成立條件及公式的證明。②利用基本不等式的性質(zhì)及變形求相關(guān)函數(shù)的最值及證明。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握基本不等式成立的條件，運(yùn)用基本不等式這一重要的工具解決與最值有關(guān)的問(wèn)題，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的證明.知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）基本不等式:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取“SKIPIF1<0”號(hào)）其中SKIPIF1<0叫做正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的幾何平均數(shù)；SKIPIF1<0叫做正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的算數(shù)平均數(shù)．如果SKIPIF1<0SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取“SKIPIF1<0”號(hào)）特別的，如果SKIPIF1<0,用SKIPIF1<0分別代替SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，“SKIPIF1<0”號(hào)成立.知識(shí)點(diǎn)二：利用基本不等式求最值①已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正數(shù)，如果積SKIPIF1<0等于定值SKIPIF1<0，那么當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，和SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0；②已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正數(shù)，如果和SKIPIF1<0等于定值SKIPIF1<0，那么當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，積SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0；知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式鏈SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取“SKIPIF1<0”號(hào)）知識(shí)點(diǎn)四：三個(gè)正數(shù)的基本不等式如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取“SKIPIF1<0”號(hào)）題型01對(duì)基本不等式的理解【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，SKIPIF1<0成立的條件為SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，正確.故選：D【典例2】（多選）（2023秋·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谀┮韵陆Y(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0的最小值是4B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為3D．函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為0【答案】BD【詳解】A.對(duì)于函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.C.SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0無(wú)解，所以等號(hào)不成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列不等式中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】A.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤；B.SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，取等號(hào)，故正確；C.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤；D.由重要不等式得SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤；故選：B題型02由基本不等式比較大小【典例1】（多選）（2022秋·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰O(shè)SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的SKIPIF1<0恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)，由基本不等式得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由基本不等式得SKIPIF1<0，，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，下列各式中最大的是_____.(填序號(hào))①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.【答案】④【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由基本不等式可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由上可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四個(gè)式子中SKIPIF1<0最大．故答案為：④.【變式1】（多選）（2022秋·廣東汕頭·高一汕頭市聿懷中學(xué)?？计谥校┤鬝KIPIF1<0．且SKIPIF1<0，則下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【詳解】SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即AB錯(cuò)誤，D正確.對(duì)于C選項(xiàng)，SKIPIF1<0，C選項(xiàng)正確.故選：CD題型03由基本不等式證明不等關(guān)系【典例1】（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是實(shí)數(shù).(1)求證：SKIPIF1<0，并指出等號(hào)成立的條件；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，不等式等號(hào)成立(2)4【詳解】（1）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，不等式中等號(hào)成立.（2）SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，不等式中等號(hào)成立.所以SKIPIF1<0的最小值為4.【典例2】（2023秋·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；(2)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)9(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，故SKIPIF1<0的最大值為9.（2）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.故SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0都是正數(shù)，且SKIPIF1<0.求證：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，但SKIPIF1<0，因此不能取等號(hào)，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，但SKIPIF1<0，因此不能取等號(hào)，SKIPIF1<0.題型04利用基本不等式求積的最大值【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，因此，函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0,故選：C．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由基本不等式可得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)_______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立.故答案為：SKIPIF1<0.題型05利用基本不等式求和的最小值【典例1】（2023春·北京·高二北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．5 B．3 C．4 D．9【答案】A【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選：A.【典例2】（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)_________．【答案】3【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，由基本不等式得：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立．故答案為：3【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)_____【答案】8【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，則SKIPIF1<0的最小值為8．故答案為:SKIPIF1<0題型06利用基本不等式求二次與二次（一次）商式的最值【典例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的在最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值及此時(shí)SKIPIF1<0的值；（2）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)SKIPIF1<0的值.【答案】（1）函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為5，此時(shí)SKIPIF1<0；（2）函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為5，此時(shí)SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為5，此時(shí)SKIPIF1<0；（2）令SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為5，此時(shí)SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)__________.【答案】9【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，∴已知函數(shù)的最小值為9.故答案為：9.題型07利用基本不等式求條件等式求最值【典例1】（2023春·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．3 B．1 C．9 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，變形得SKIPIF1<0.由題意SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立．故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)_____.【答案】3【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取到等號(hào)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最小值3.故答案為：3【變式1】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0故選：B題型08基本不等式中的恒成立問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因?yàn)椴坏仁絊KIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，故實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：D．【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x>0，y>0，且SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1，若SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．m≤－2SKIPIF1<0或m≥2SKIPIF1<0 B．m≤－4或m≥2C．－2＜m＜4 D．－2SKIPIF1<0＜m＜2SKIPIF1<0【答案】D【詳解】∵x>0，y>0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即x＝4，y＝2時(shí)取等號(hào)，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得SKIPIF1<0.故選：D【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)），SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)“SKIPIF1<0”，即“SKIPIF1<0”時(shí)等號(hào)成立，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C.題型09基本不等式的應(yīng)用【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)SKIPIF1<0(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間SKIPIF1<0(單位：年)的關(guān)系為SKIPIF1<0，則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)的最大值是________萬(wàn)元.【答案】SKIPIF1<0.【詳解】每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)SKIPIF1<0年的年平均利潤(rùn)為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)最大，最大值為SKIPIF1<0萬(wàn)元.故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）黨的二十大報(bào)告指出：我們要推進(jìn)美麗中國(guó)建設(shè)，堅(jiān)持山水林田湖草沙一體化保護(hù)和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、污染治理、生態(tài)保護(hù)、應(yīng)對(duì)氣候變化，協(xié)同推進(jìn)降碳、減污、擴(kuò)綠、增長(zhǎng)，推進(jìn)生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政府也越來(lái)越重視生態(tài)系統(tǒng)的重建和維護(hù)．若鄉(xiāng)財(cái)政下?lián)芤豁?xiàng)?？?00百萬(wàn)元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個(gè)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目，植綠護(hù)綠項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的生態(tài)收益可表示為投放資金SKIPIF1<0（單位：百萬(wàn)元）的函數(shù)SKIPIF1<0（單位：百萬(wàn)元）：SKIPIF1<0；處理污染項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的生態(tài)收益可表示為投放資金SKIPIF1<0（單位：百萬(wàn)元）的函數(shù)SKIPIF1<0（單位：百萬(wàn)元）：SKIPIF1<0．(1)設(shè)分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為SKIPIF1<0（百萬(wàn)元），則兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的收益總和為SKIPIF1<0（百萬(wàn)元），寫(xiě)出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)解析式；(2)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目的投資開(kāi)始利潤(rùn)薄弱，只有持之以恒，才能功在當(dāng)代，利在千秋．試求出SKIPIF1<0的最大值，并求出此時(shí)對(duì)兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目的投資分別為多少？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的最大值為145（百萬(wàn)元），分別投資給植綠護(hù)綠項(xiàng)目、污染處理項(xiàng)目的資金為60（百萬(wàn)元），340（百萬(wàn)元）．【詳解】（1）解：由題意可得處理污染項(xiàng)目投放資金為SKIPIF1<0百萬(wàn)元，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）解：由（1）可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0（百萬(wàn)元），分別投資給植綠護(hù)綠項(xiàng)目、污染處理項(xiàng)目的資金為SKIPIF1<0（百萬(wàn)元），SKIPIF1<0（百萬(wàn)元）．【變式1】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某社區(qū)計(jì)劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1800平方米的矩形SKIPIF1<0，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是（

）A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米【答案】C【詳解】設(shè)SKIPIF1<0米,SKIPIF1<0，則種植花卉區(qū)域的面積SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，則SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米時(shí)，種植花卉區(qū)域的面積取得最大值，最大值是1568平方米,故選：C【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）為了豐富全校師生的課后學(xué)習(xí)生活，共建和諧美好的校園文化，重慶十一中計(jì)劃新建校園圖書(shū)館精品閱讀區(qū)SKIPIF1<0，該項(xiàng)目由圖書(shū)陳列區(qū)SKIPIF1<0（陰影部分）和四周休息區(qū)組成．圖書(shū)陳列區(qū)SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，休息區(qū)的寬分別為2m和5m（如圖所示）.當(dāng)校園圖書(shū)館精品閱讀區(qū)SKIPIF1<0面積最小時(shí)，則圖書(shū)陳列區(qū)SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為（

）A．20m B．50m C．SKIPIF1<0m D．100m【答案】B【詳解】設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0所以閱讀區(qū)SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，當(dāng)校園圖書(shū)館精品閱讀區(qū)SKIPIF1<0面積最小時(shí)，則圖書(shū)陳列區(qū)SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，故選：B.題型10對(duì)鉤函數(shù)【典例1】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二北票市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“SKIPIF1<0”是“函數(shù)SKIPIF1<0的最小值大于4”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】解：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0的最小值大于4，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：C．【典例2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，此時(shí)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，此時(shí)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023秋·江西吉安·高一江西省萬(wàn)安中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0有最小值4 B．SKIPIF1<0有最大值4 C．SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.故選：D．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0取得的最小值時(shí)，SKIPIF1<0的值為_(kāi)__________．【答案】4【詳解】SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.故SKIPIF1<0的最小值為6.故答案為：4題型11重點(diǎn)方法之湊配法【典例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．4 D．8【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0上式取等號(hào)，則SKIPIF1<0的最大值為0.故選：B.【典例2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若不等式SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是__________，SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)_________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0不恒成立，不符合題意（舍去）；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，要使得SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，則滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為10，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2SKIPIF1<0 D．4【答案】A【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選:A.【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．－2 B．0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立．故選：B．題型12重點(diǎn)方法之換元法【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·江西·高一寧岡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)_____.【答案】SKIPIF1<0【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型13重點(diǎn)方法之“1”的妙用法【典例1】（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由已知可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.所以，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等號(hào)成立.所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：B．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)___________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)檎龜?shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以，SKIPIF1<0的最小值為27．故選：C【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)___________；【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型14重點(diǎn)方法之消元法【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)_________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)），所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·上?！じ呷虾Ｊ袑?shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）若正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)_________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·上海奉賢·?？寄M預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，“=”成立，故答案為：SKIPIF1<0.題型15易錯(cuò)題之忽視基本不等式中的“一正”【典例1】（多選）（2023秋·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列關(guān)于使用基本不等式說(shuō)法正確的是（

）A．由于SKIPIF1<0，所以x＋SKIPIF1<0＝x＋2＋SKIPIF1<0－2≤－2SKIPIF1<0－2＝－4B．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0C．由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最小值為2D．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0【答案】AD【詳解】對(duì)于A，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立正確；對(duì)于B，正具備，但SKIPIF1<0不為定值，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，但方程無(wú)解，最小值2取不到，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，一正，二定，三相等都具備，故正確.故選：AD【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)_______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型16易錯(cuò)題之忽視基本不等式中的“三相等”【典例1】（2023·上海普陀·高一?？计谥校┫铝胁坏仁街械忍?hào)可以取到的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故等號(hào)不成立，故A不符合；對(duì)于B，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故等號(hào)不成立，故B不符合；對(duì)于C，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，故C符合；對(duì)于D，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故等號(hào)不成立，故D不符合.故選：C.【典例2】（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）下列幾個(gè)不等式中，不能取到等號(hào)的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】對(duì)A，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等號(hào)成立；對(duì)B，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等號(hào)成立；對(duì)C，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立；對(duì)D，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0得SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，無(wú)解，等號(hào)不成立．故選：D．題型17易錯(cuò)題之換元必?fù)Q范圍【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0不成立，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由對(duì)勾函數(shù)的圖象知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2.2基本不等式A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）SKIPIF1<0的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0有最小值4.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)檎龜?shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，故選：B3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以充分性成立；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以必要性不成立，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件，故選:C.4．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“＝”.故選：C5．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKI