專題19解答壓軸題型：幾何綜合題(原卷版+解析)

專題19解答壓軸題型：幾何綜合題1．（2023?安徽）在中，是斜邊的中點，將線段繞點旋轉至位置，點在直線外，連接，．（1）如圖1，求的大小；（2）已知點和邊上的點滿足，．如圖2，連接，求證：；如圖3，連接，若，，求的值．2．（2022?安徽）已知四邊形中，，連接，過點作的垂線交于點，連接．（1）如圖1，若，求證：四邊形是菱形；（2）如圖2，連接，設，相交于點，垂直平分線段．（?。┣蟮拇笮。唬áⅲ┤?，求證：．3．（2021?安徽）如圖1，在四邊形中，，點在邊上，且，，作交線段于點，連接．（1）求證：；（2）如圖2．若，，，求的長；（3）如圖3，若的延長線經(jīng)過的中點，求的值．4．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形是矩形，點在的延長線上，．與相交于點，與相交于點，．（1）求證：；（2）若，求的長；（3）如圖2，連接，求證：．5．（2019?安徽）如圖，中，，，為內(nèi)部一點，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點到三角形的邊，，的距離分別為，，，求證．6．（2023?瑤海區(qū)一模）已知菱形中，，，分別在邊，上，是等邊三角形．（1）如圖1，對角線交于點，求證：；（2）如圖2，點在上，且，若，，求的值．7．（2023?合肥一模）已知：正方形中，為邊中點，為邊上一點，、交于點，連接．（1）如圖1，若為邊中點，求證：；（2）如圖2，若．①求證：；②求的值．8．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知，，為邊上一點（不與、重合），以為底作等腰，使、位于兩側，且．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，，交于點，求的值；（3）如圖1，連接，求證：．9．（2023?合肥三模）已知：中，，，點為邊上一動點，點關于、的對稱點分別為、，以、為鄰邊作，交邊于．（1）是；（填特殊平行四邊形的名稱）（2）連接交于點，求證：；（3）點在上移動的過程中，求的最小值．10．（2023?廬陽區(qū)一模）如圖，正方形中，點在邊上（不與端點，重合），點關于直線的對稱點為點，連接，設．（1）求的大??；（2）過點作，垂足為，連接．①求證：；②連接，若，求的值．11．（2023?合肥模擬）在四邊形中，，，對角線、相交于點，過點作垂直于，垂足為，且．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點、、分別為線段、、的中點，連接、、．①求證：；②若，求的面積．12．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，矩形中，平分交、于點、，交的延長線于點，點為的中點，連接，，．（1）求證：；（2）若，．①求的值；②請直接寫出的值為．13．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知四邊形，，，相交于點，且，，設，，．（1）①如圖1，當時，時，；；②如圖2，當時，時，；；（2）觀察（1）中的計算結果，利用圖3證明，，三者關系．（3）如圖4，在平行四邊形中，點，，分別是，，的中點，，，，求的長．14．（2023?瑤海區(qū)二模）在正方形中，點為邊上一點．連接，將沿折疊得到，，分別交于點，，連接．（1）如圖1，點是的中點；（ⅰ）若，則（用含的式子表示）；（ⅱ）求證：；（2）如圖2，若，，求的長．15．（2023?包河區(qū)二模）如圖1，已知四邊形中，，，．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖2，若平分交于點，，，求的長．16．（2023?廬陽區(qū)二模）正方形中，點是延長線上一點，點是平分線上一點，連接，交于點．（1）如圖1，若，求證：平分；（2）如圖2，過點作，并截取，連接，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，則的長為．17．（2023?廬陽區(qū)校級二模）如圖1，在中，，點為延長線上一點，．（1）求證：；（2）作，，垂足分別為點，，交于點．①如圖2，當平分時，求的值；②如圖3，連接交于點，當，時，求的長．18．（2023?廬江縣模擬）（1）如圖1，過等邊的頂點作的垂線，點為上點（不與點重合），連接，將線段繞點逆時針方向旋轉得到線段，連接．①求證：；②連接并延長交直線于點．若，，求的長；（2）如圖2，在中，，將邊繞點順時針旋轉得到線段，連接，若，，求長．19．（2023?合肥二模）問題背景：如圖1，在等腰中，，，垂足為點，在中，，，連接，是中點，連接和，在繞點旋轉過程中，線段和之間存在怎樣的數(shù)量關系？觀察發(fā)現(xiàn)：（1）為了探究線段和之間的數(shù)量關系，可先將圖形位置特殊化，將繞點旋轉，使與重合，如圖2，易知和之間的數(shù)量關系為；操作證明：（2）繼續(xù)將繞點旋轉，使與重合時，如圖3，（1）中線段和之間的數(shù)量關系仍然成立，請加以證明．問題解決：（3）根據(jù)上述探究的經(jīng)驗，我們回到一般情況，如圖1，在其他條件不變的情況下，上述的結論還成立嗎？請說明你的理由．

20．（2023?廬陽區(qū)校級一模）【初步嘗試】（1）如圖1，在正方形中，點，分別為、邊上的點且，求證：．（2）【思考探究】如圖2，在矩形中，，，點為中點，點為上一點，連接、且，求的值．（3）【拓展應用】如圖3，在四邊形中，，，，點、分別在線段、上，且．直接寫出的值．21．（2023?廬陽區(qū)校級一模）【問題提出】如圖1，為的一條弦，點在弦所對的優(yōu)弧上運動時，根據(jù)圓周角性質，我們知道的度數(shù)不變．愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段的長度已知，的大小確定，那么點是不是在某個確定的圓上運動呢？【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究．如圖2，若，線段上方一點滿足，為了畫出點所在的圓，小芳以為底邊構造了一個，再以點為圓心，為半徑畫圓，則點在上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結論．即：若線段的長度已知，的大小確定，則點一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【模型應用】（1）若，平面內(nèi)一點滿足，若點所在圓的圓心為，則，劣弧的長為．（2）如圖3，已知正方形以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過點作于點，若點是的內(nèi)心．①求的度數(shù)；②連接，若正方形的邊長為4，求的最小值．22．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖1，平行四邊形中，，，點是邊上的點，連結，以為對稱軸作的軸對稱圖形．（1）如圖1，連接，若，求的長；（2）如圖2，當點，，三點共線時，恰有，求的長；（3）如圖3，若點在邊運動的過程中，點到的最短距離為1，求的長．23．（2023?合肥模擬）如圖，在矩形中，點是的中點，連接，，過點作的垂線交，于點，．設．（1）求證：；（2）如圖1，連接，若，求的值；（3）如圖2，若平分，過點作的垂線交，及的延長線分別于點，，．若，求的長．24．（2023?包河區(qū)一模）如圖1，，，將繞點逆時針旋轉得到，使點落在的點處，與相交于點，與相交于點，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點，，在同一條直線上，如圖2，求的值．（溫馨提示：請用簡潔的方式表示角）25．（2023?合肥模擬）在四邊形中，對角線，相交于點．（1）如圖1，若平分，，，求證：；（2）如圖2，點在邊上，，分別垂直平分，，若，求證：；（3）如圖3，，，分別為，，的中點，連接分別交，于，，若，求的值．26．（2023?廬陽區(qū)校級三模）問題情境：如圖①，點為正方形內(nèi)一點，，將繞點按順時針方向旋轉，得到（點的對應點為點，延長交于點，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若，請猜想線段與的數(shù)量關系并加以證明；解決問題：（3）在（2）的條件下，、交于點，若，則．27．（2023?廬陽區(qū)模擬）如圖①，是等腰直角三角形，在兩腰、外側作兩個等邊三角形和，和分別是等邊三角形和的角平分線，連接、，與交于點．（1）求證：；（2）如圖②，點為角平分線上一點，且，求證：；（3）在（2）的條件下，求的值．28．（2023?合肥二模）在正方形中，點、、分別為、、邊上的一點，垂直平分，垂足為．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，交于點，連接，．①求證：是等腰直角三角形；②當時，求值．29．（2023?瑤海區(qū)三模）已知和是有公共頂點的等腰直角三角形，且，．（1）若，在線段上，連接并延長交于，如圖1．①求證：；②求的長．（2）若，點、、在一條直線上，是中點，是中點，連接、，如圖2，求的值．30．（2023?廬江縣二模）如圖，點，分別在矩形的邊和（或延長線）上，連接，，若．（1）求證：是等腰三角形；（2）當為中點時，交于點，若，，求的長；（3）當為上任意一點，探究，，間的數(shù)量關系，并證明．31．（2023?蜀山區(qū)校級一模）通過以前的學習，我們知道：“如圖1，在正方形中，，則”．某數(shù)學興趣小組在完成了以上學習后，決定對該問題進一步探究：（1）【問題探究】如圖2，在正方形中，點，，，分別在線段，，，上，且，試猜想；（2）【知識遷移】如圖3，在矩形中，，，點，，，分別在線段，，，上，且，試猜想的值，并證明你的猜想；（3）【拓展應用】如圖4，在四邊形中，，，，點，分別在線段，上，且，求的值．32．（2023?蕪湖模擬）如圖，為菱形邊上一點，過點作于，交于，連接．過點作，交的延長線于點．（1）若，求證：；（2）在（1）的條件下，若，，求的長．33．（2023?包河區(qū)校級一模）如圖，是的中線，是線段上一點（不與點重合）．交于點，，連接．如圖1，當點與重合時，四邊形是平行四邊形．（1）如圖2，當點不與重合時，判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）如圖3，延長交于點，若，且．①求的度數(shù)；②當，時，求的長．34．（2023?瑤海區(qū)模擬）在菱形中，．（1）如圖1，點為線段的中點，連接，，若，求線段的長；（2）如圖2，為線段上一點不與，重合），以為邊，構造如圖所示等邊三角形，線段與交于點，連接，，為線段的中點，連接，，求證：．35．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知：如圖1，在中，，是的平分線，連接、，且于點．（1）求證：；（2）如圖2，點、分別是邊、上的點，且于點，求的值．36．（2023?安慶一模）如圖1，在中，，，，點在邊上（不與點重合），以為一邊作正方形，連接．（1）如圖2，當時，①求正方形的邊長；②求證：；（2）當點在上運動時，求面積的最大值．37．（2023?合肥模擬）如圖，點、分別是矩形邊、上的點，連接、、，且，（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當，時，求的值；（3）如圖3，的角平分線交于點，當時，求的值．38．（2023?廬江縣三模）如圖（1），矩形中，，，點、是對角線上的兩個點，，連接、．（1）求證：；（2）如圖（2），點與關于對稱，點與關于對稱，連接、、、，試四邊形的形狀，并說明理由；（3）已知當四邊形是矩形時，，試求的值．39．（2023?定遠縣校級一模）如圖，在四邊形中，，，．過點作，兩邊，分別與邊，所在直線相交于點，，連接．（1）與的數(shù)量關系是．（2）如圖1，當點，分別在邊，上時，可得出結論，請證明這個結論．（提示：將繞點逆時針旋轉（3）如圖2，當點，分別在邊，的延長線上時，（2）中的結論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系．40．（2023?長豐縣二模）在矩形中，是邊上一點，連接，將沿翻折得到．（1）如圖1，若，，當點在矩形對角線上時，求的長．（2）如圖2，當點在上時，，求證：．（3）如圖3，若，延長，與的平分線交于點，交于點，求的值．

專題19解答壓軸題型：幾何綜合題1．（2023?安徽）在中，是斜邊的中點，將線段繞點旋轉至位置，點在直線外，連接，．（1）如圖1，求的大??；（2）已知點和邊上的點滿足，．如圖2，連接，求證：；如圖3，連接，若，，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：是的中點，，由旋轉的性質得：，，，，，即的大小為；（2）證明：，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，，又，、、、四點共圓，，，；解：如圖3，過點作于點，則，在中，由勾股定理得：，四邊形是菱形，，，，，，，即的值為．2．（2022?安徽）已知四邊形中，，連接，過點作的垂線交于點，連接．（1）如圖1，若，求證：四邊形是菱形；（2）如圖2，連接，設，相交于點，垂直平分線段．（ⅰ）求的大??；（ⅱ）若，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）證明：設與交于點，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形；（2）解：垂直平分，且，，又且，垂直平分，，，，又，；證明：由得，又，，同理可得，在等腰中，，，在與中，，，，又，，即．3．（2021?安徽）如圖1，在四邊形中，，點在邊上，且，，作交線段于點，連接．（1）求證：；（2）如圖2．若，，，求的長；（3）如圖3，若的延長線經(jīng)過的中點，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）如圖1，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，；（2）方法①：，，，，，由（1）知：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，即，，，，，即，；方法②：由（1）知，，，，，，，，，，，，，即，；（3）如圖3，延長、交于點，，均為等腰三角形，且，，，設，，，則，，，，，的中點，，，，，，（即，，，即，，解得：或（舍去），．4．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形是矩形，點在的延長線上，．與相交于點，與相交于點，．（1）求證：；（2）若，求的長；（3）如圖2，連接，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，點在的延長線上，，又，，，，，即，故，（2）解：四邊形是矩形，，，，，，即，設，則有，化簡得，解得或（舍去），．（3）證明：如圖，在線段上取點，使得，在與中，，，，，，，，為等腰直角三角形，．5．（2019?安徽）如圖，中，，，為內(nèi)部一點，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點到三角形的邊，，的距離分別為，，，求證．【答案】見解析【詳解】解：（1），，又，又，（2）在中，，（3）如圖，過點作于，于，于點，，，，，，又，，，即，，，．即：．6．（2023?瑤海區(qū)一模）已知菱形中，，，分別在邊，上，是等邊三角形．（1）如圖1，對角線交于點，求證：；（2）如圖2，點在上，且，若，，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，；（2）解：連接，由（1）知是等邊三角形，，，，四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，，，．方法二：，，，，，，設，則，，，．7．（2023?合肥一模）已知：正方形中，為邊中點，為邊上一點，、交于點，連接．（1）如圖1，若為邊中點，求證：；（2）如圖2，若．①求證：；②求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形為正方形，，，、為、邊中點，，在與中，，，，；（2）①證明：連接，并延長交于．，，，，，，，，，，，，，；②解：由①可知，，，，，，，，，，，解得．8．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知，，為邊上一點（不與、重合），以為底作等腰，使、位于兩側，且．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，，交于點，求的值；（3）如圖1，連接，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2）解：如圖1，作于，設，則，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）證明：如圖2，以為圓心，為半徑作圓，交于，，設，則，，，點在，．9．（2023?合肥三模）已知：中，，，點為邊上一動點，點關于、的對稱點分別為、，以、為鄰邊作，交邊于．（1）是；（填特殊平行四邊形的名稱）（2）連接交于點，求證：；（3）點在上移動的過程中，求的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）解：是正方形，理由：點關于、的對稱點分別為、，，，，，，，四邊形是平行四邊形，是正方形；故答案為：正方形；（2）證明：，，，、是關于和的對稱線段，，，，，．，，．，，，；（3）解：連接、，設，則由對稱可知，，，，，，當時，的最小值為．10．（2023?廬陽區(qū)一模）如圖，正方形中，點在邊上（不與端點，重合），點關于直線的對稱點為點，連接，設．（1）求的大??；（2）過點作，垂足為，連接．①求證：；②連接，若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，連接，點關于直線的對稱點為點，，，，，，四邊形是正方形，，，，；（2）①證明：如圖2，連接，，四邊形是正方形，，，，，點，點，點，點四點共圓，，由（1）知，，；②解：如圖3，連接，，四邊形是正方形，，，由①知：，，，，和均為等腰直角三角形，，，，，，，，點關于直線的對稱點為點，，，，，，，在中，，，，．11．（2023?合肥模擬）在四邊形中，，，對角線、相交于點，過點作垂直于，垂足為，且．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點、、分別為線段、、的中點，連接、、．①求證：；②若，求的面積．【答案】見解析【詳解】（1）證明：、都是等腰直角三角形，，，，，，；（2）①證明：，，，，如圖，作延長線，交于點，點、、分別為線段、、的中點，、，四邊形為平行四邊形，，；②如圖，作，交延長線于點，，，，為中位線，，同理，又，，，．12．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，矩形中，平分交、于點、，交的延長線于點，點為的中點，連接，，．（1）求證：；（2）若，．①求的值；②請直接寫出的值為．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，平分，，，，，點為的中點，，，，，，在和中，，．（2）解：①，，，，，，，，，，，，，，的值為．②連接，，，，，，，故答案為：2．13．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知四邊形，，，相交于點，且，，設，，．（1）①如圖1，當時，時，；；②如圖2，當時，時，；；（2）觀察（1）中的計算結果，利用圖3證明，，三者關系．（3）如圖4，在平行四邊形中，點，，分別是，，的中點，，，，求的長．【答案】見解析【詳解】解：（1）①，，，，，，，，，，故答案為：，；②，，，在中，，，，，，，，，故答案為：，；（2）．證明：設，，則，．根據(jù)勾股定理得：，同理，，又，；（3）如圖，連接，交于，與交于點，設與的交點為，點、分別是，的中點，是的中位線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，分別是，的中點，，，，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，，，分別是的中線，由（2）的結論得：，，，．14．（2023?瑤海區(qū)二模）在正方形中，點為邊上一點．連接，將沿折疊得到，，分別交于點，，連接．（1）如圖1，點是的中點；（?。┤簦瑒t（用含的式子表示）；（ⅱ）求證：；（2）如圖2，若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）（?。┙猓簩⒀卣郫B得到，，，，點是中點，，，；（ⅱ）證明：，，，，；（2）解：如圖，過點作于點，連接，四邊形是正方形，，，，，四邊形是正方形，，，，；，，，，，，，，，，在中，，，在中，，，，即．15．（2023?包河區(qū)二模）如圖1，已知四邊形中，，，．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖2，若平分交于點，，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，為的垂直平分線，；（2）證明：如圖1，在上取一點，使，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：平分，，，，，由（2）知：，，，由勾股定理得：，，，，設，則，，，解得，．16．（2023?廬陽區(qū)二模）正方形中，點是延長線上一點，點是平分線上一點，連接，交于點．（1）如圖1，若，求證：平分；（2）如圖2，過點作，并截取，連接，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，則的長為．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是正方形的角平分線，平分，，，，，，，，平分；（2）證明：如圖2，連接并延長交于，交于，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，；（3）解：，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，．故答案為：．17．（2023?廬陽區(qū)校級二模）如圖1，在中，，點為延長線上一點，．（1）求證：；（2）作，，垂足分別為點，，交于點．①如圖2，當平分時，求的值；②如圖3，連接交于點，當，時，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，，又，，；（2）解：①平分，，設，，，，，，，，，（負值已經(jīng)舍去），，，，，；②連接，，設交于點．．，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，設，，，，，，，，，，，，，，解得，，．18．（2023?廬江縣模擬）（1）如圖1，過等邊的頂點作的垂線，點為上點（不與點重合），連接，將線段繞點逆時針方向旋轉得到線段，連接．①求證：；②連接并延長交直線于點．若，，求的長；（2）如圖2，在中，，將邊繞點順時針旋轉得到線段，連接，若，，求長．【答案】見解析【詳解】（1）①證明：，理由如下：在等邊中，，，由旋轉可得，，，，，即，，；解：②連接，，如圖：由旋轉可得，，，是等邊三角形．，．是的垂直平分線，．在等邊中，，，．，即．，．，．．，．在中，，，．，，．，．．；（2）解：將邊繞點順時針旋轉得到線段，則，，連接，如圖：是等腰直角三角形，，，．，．在中，．，．即，，，．．．19．（2023?合肥二模）問題背景：如圖1，在等腰中，，，垂足為點，在中，，，連接，是中點，連接和，在繞點旋轉過程中，線段和之間存在怎樣的數(shù)量關系？觀察發(fā)現(xiàn)：（1）為了探究線段和之間的數(shù)量關系，可先將圖形位置特殊化，將繞點旋轉，使與重合，如圖2，易知和之間的數(shù)量關系為；操作證明：（2）繼續(xù)將繞點旋轉，使與重合時，如圖3，（1）中線段和之間的數(shù)量關系仍然成立，請加以證明．問題解決：（3）根據(jù)上述探究的經(jīng)驗，我們回到一般情況，如圖1，在其他條件不變的情況下，上述的結論還成立嗎？請說明你的理由．【答案】見解析【詳解】解：（1），，為的中點，，，，為的中點，，．故答案為：．（2）證明：延長交于點，如圖所示：，，，，，，，，，，，，，即，為的中點，為的中點，，同理得：，．（3）成立；理由如下：延長到點，使，連接，，，如圖所示：，，，，，，，，，，，，即，，，，，為的中點，為的中點，，根據(jù)解析（2）可知，為的中點，，．20．（2023?廬陽區(qū)校級一模）【初步嘗試】（1）如圖1，在正方形中，點，分別為、邊上的點且，求證：．（2）【思考探究】如圖2，在矩形中，，，點為中點，點為上一點，連接、且，求的值．（3）【拓展應用】如圖3，在四邊形中，，，，點、分別在線段、上，且．直接寫出的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，；（2）解：如圖1，延長，交的延長于，四邊形是矩形，，，，，，，，，，點、、在以點為圓心，為半徑的圓上，，，，，，；（3）解：如圖2，過點作于，作于，作，，四邊形是矩形，，四邊形是平行四邊形，，，，，同理（1）可得：，，，，，，，，設，，，．21．（2023?廬陽區(qū)校級一模）【問題提出】如圖1，為的一條弦，點在弦所對的優(yōu)弧上運動時，根據(jù)圓周角性質，我們知道的度數(shù)不變．愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段的長度已知，的大小確定，那么點是不是在某個確定的圓上運動呢？【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究．如圖2，若，線段上方一點滿足，為了畫出點所在的圓，小芳以為底邊構造了一個，再以點為圓心，為半徑畫圓，則點在上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結論．即：若線段的長度已知，的大小確定，則點一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【模型應用】（1）若，平面內(nèi)一點滿足，若點所在圓的圓心為，則，劣弧的長為．（2）如圖3，已知正方形以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過點作于點，若點是的內(nèi)心．①求的度數(shù)；②連接，若正方形的邊長為4，求的最小值．【答案】見解析【詳解】解：（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過作，，，，，，，，，，劣弧的長為故答案為：，；（2）①，，，點是的內(nèi)心，，平分，，，，，，，，，；②如圖，作的外接圓，圓，連接，，，過作交的延長線于點，由題意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圓，圓心為，設圓的半徑為，則的最小值即為，，設優(yōu)弧所對的圓心角優(yōu)角為，則，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，．的最小值為．22．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖1，平行四邊形中，，，點是邊上的點，連結，以為對稱軸作的軸對稱圖形．（1）如圖1，連接，若，求的長；（2）如圖2，當點，，三點共線時，恰有，求的長；（3）如圖3，若點在邊運動的過程中，點到的最短距離為1，求的長．【答案】見解析【詳解】解：（1）如圖1，與關于對稱，，，，，，，，，；（2）如圖2，四邊形是平行四邊形，，，，，，，與關于對稱，，，，，，設，則，，，，，，即，，解得：，；（3）如圖3，以點為圓心，為半徑作，延長交于，交的延長線于，過點作交于，設，，點始終在上運動，點到的最短距離為1，當時，，，，在中，，四邊形是平行四邊形，，，，，，即，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，解得：，．23．（2023?合肥模擬）如圖，在矩形中，點是的中點，連接，，過點作的垂線交，于點，．設．（1）求證：；（2）如圖1，連接，若，求的值；（3）如圖2，若平分，過點作的垂線交，及的延長線分別于點，，．若，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：由題意得，，，，又點為的中點，，即，又，；（2）解：由（1）得：，，即，，，在中，設，則，，，，，，；（3）解：平分，，又，，由（2）知，，，連接，又，，，，，，為等腰直角三角形．過點作垂線交延長線于點，則為等腰直角三角形，，，又，，，，，解得：．24．（2023?包河區(qū)一模）如圖1，，，將繞點逆時針旋轉得到，使點落在的點處，與相交于點，與相交于點，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點，，在同一條直線上，如圖2，求的值．（溫馨提示：請用簡潔的方式表示角）【答案】見解析【詳解】（1）證明：由旋轉得，，，，，，，，，，在與中，，；（2）證明：如圖1，由（1）得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖2，由（2）得，，，，，，，又，，，，又，，，，，，，，，（負值已舍），由（2）得，，，，在與中，，，，，，．25．（2023?合肥模擬）在四邊形中，對角線，相交于點．（1）如圖1，若平分，，，求證：；（2）如圖2，點在邊上，，分別垂直平分，，若，求證：；（3）如圖3，，，分別為，，的中點，連接分別交，于，，若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：平分，，，，在與中，，，；（2）證明：連接，，，分別垂直平分，，，，在與中，，，，，，，，即；（3）解：分別過，作，的平行線交直線于，，，分別是，的中點，，又，，，同理，，．，，，，，，，，，．26．（2023?廬陽區(qū)校級三模）問題情境：如圖①，點為正方形內(nèi)一點，，將繞點按順時針方向旋轉，得到（點的對應點為點，延長交于點，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若，請猜想線段與的數(shù)量關系并加以證明；解決問題：（3）在（2）的條件下，、交于點，若，則．【答案】見解析【詳解】解：（1）結論：四邊形是正方形．理由如下：是由繞點按順時針方向旋轉得到的，，，又，，四邊形是矩形，由旋轉可知：，四邊形是正方形；（2）結論：，證明：如圖②，過點作于點，則，，，，四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，由旋轉可知：，由（1）可知：四邊形是正方形，，，；（3）由（1）可知：四邊形是正方形，，由（2）可知：，，．故答案為：．27．（2023?廬陽區(qū)模擬）如圖①，是等腰直角三角形，在兩腰、外側作兩個等邊三角形和，和分別是等邊三角形和的角平分線，連接、，與交于點．（1）求證：；（2）如圖②，點為角平分線上一點，且，求證：；（3）在（2）的條件下，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）是等腰直角三角形，和分別是等邊三角形和的角平分線，，，，，，，；（2），，，又，；（3）如圖②，連接，，，，，，四點共圓，，，，．又．，①；，②，由①可得，；由②可得，，．．28．（2023?合肥二模）在正方形中，點、、分別為、、邊上的一點，垂直平分，垂足為．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，交于點，連接，．①求證：是等腰直角三角形；②當時，求值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：過點作交于點，交于點，如圖：在正方形中，，，，四邊形是平行四邊形，，垂直平分，，，，，，在和中，，，，；（2）①證明：過點作于，于，如圖：，四邊形為矩形，四邊形為正方形，，，四邊形為正方形，，，垂直平分，，，，，為等腰直角三角形；②解：過點作于，于，延長交于，如圖：，，，即，由①知，，，，，，，由①知為等腰直角三角形，，，設，則，，，，，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，，，．的值是．29．（2023?瑤海區(qū)三模）已知和是有公共頂點的等腰直角三角形，且，．（1）若，在線段上，連接并延長交于，如圖1．①求證：；②求的長．（2）若，點、、在一條直線上，是中點，是中點，連接、，如圖2，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）①在線段上，和是有公共頂點的等腰直角三角形，，又，，；②由①可得，，，，，，；（2）如圖2，連接，中，，等腰中，，等腰中，，是的中點，是的中點，是的中位線，，，，又，，，，，，．30．（2023?廬江縣二模）如圖，點，分別在矩形的邊和（或延長線）上，連接，，若．（1）求證：是等腰三角形；（2）當為中點時，交于點，若，，求的長；（3）當為上任意一點，探究，，間的數(shù)量關系，并證明．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，是等腰三角形．（2）解：如圖1，作于點，，，四邊形和四邊形都是矩形，為中點，，，，，設，則，，，解得，，，，，，，的長是（3）解：，證明：如圖2，作于點，，，，，，，，．31．（2023?蜀山區(qū)校級一模）通過以前的學習，我們知道：“如圖1，在正方形中，，則”．某數(shù)學興趣小組在完成了以上學習后，決定對該問題進一步探究：（1）【問題探究】如圖2，在正方形中，點，，，分別在線段，，，上，且，試猜想；（2）【知識遷移】如圖3，在矩形中，，，點，，，分別在線段，，，上，且，試猜想的值，并證明你的猜想；（3）【拓展應用】如圖4，在四邊形中，，，，點，分別在線段，上，且，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1），理由如下：如圖1，過點作交于點，作交的延長線于點，四邊形是正方形，，，，，，，，，，在和中，，，，，，即，．故答案為：1；（2）如圖2，過點作交于點，作交的延長線于點，，，在長方形中，，，，，，，，，，；（3）如圖3，過點作于點．設交于點．，，，，，，，又，，，，，．32．（2023?蕪湖模擬）如圖，為菱形邊上一點，過點作于，交于，連接．過點作，交的延長線于點．（1）若，求證：；（2）在（1）的條件下，若，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：設，則，四邊形是菱形，，，，，，，，，；（2）解：由（1）可知，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，即的長為3．33．（2023?包河區(qū)校級一模）如圖，是的中線，是線段上一點（不與點重合）．交于點，，連接．如圖1，當點與重合時，四邊形是平行四邊形．（1）如圖2，當點不與重合時，判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）如圖3，延長交于點，若，且．①求的度數(shù)；②當，時，求的長．【答案】見解析【詳解】解：（1）四邊形是平行四邊形，理由如下：如圖2，過作交于，，四邊形是平行四邊形，，，，，，在和中，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）①如圖3，取線段中點，連接，是的中線，為線段的中點，是的中位線，，，，，，；②設，則，，，在中，由勾股定理得，，，，，，，即，整理得，解得：，（不合題意，舍去），的值為．34．（2023?瑤海區(qū)模擬）在菱形中，．（1）如圖1，點為線段的中點，連接，，若，求線段的長；（2）如圖2，為線段上一點不與，重合），以為邊，構造如圖所示等邊三角形，線段與交于點，連接，，為線段的中點，連接，，求證：．【答案】見解析【詳解】解：（1）如圖1，連接，則平分，四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，