第03講解一元二次方程(公式法4種題型)(原卷版+解析)

第03講解一元二次方程（公式法4種題型）【知識(shí)梳理】一、公式引入一元二次方程（），可用配方法進(jìn)行求解：得：．對(duì)上面這個(gè)方程進(jìn)行討論：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，利用開平方法，得：， 即：當(dāng)時(shí)，這時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．二、求根公式一元二次方程（），當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：，這就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式（）；確定a、b、c的值；求出的值（或代數(shù)式）；若，則把a(bǔ)、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無(wú)解．根的判別式1.一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“”表示，記作．2.一元二次方程， 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．五、根的判別式的應(yīng)用（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；（3）解與根有關(guān)的證明題．【考點(diǎn)剖析】題型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例2.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例3.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例4.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．題型2解系數(shù)中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列關(guān)于x的方程：（）．例7.用公式法解下列關(guān)于x的方程：（1）； （2）．題型3根的判別式例8.選擇：下列關(guān)于的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）不解方程，判別方程的根的情況是（ ）（A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 （D）沒(méi)有實(shí)數(shù)根方程的根的情況是( )（A）有兩個(gè)相等實(shí)根 （B）有兩個(gè)不等實(shí)根（C）沒(méi)有實(shí)根 （D）無(wú)法確定一元二次方程的根的情況為（ ）（A）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（C）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 （D）沒(méi)有實(shí)數(shù)根例9.不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）； （2）；（3）； （4）． 例10.關(guān)于的方程（其中是實(shí)數(shù)）一定有實(shí)數(shù)根嗎？為什么？例11.已知關(guān)于的一元二次方程根的判別式的值為4，求的值．例12.已知方程組的解是，試判斷關(guān)于的方程的根的情況．例13.當(dāng)取何值時(shí)，關(guān)于的方程，（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根？例14.當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根？并求出這時(shí)方程的根（用含的代數(shù)式表示）．題型5根的判別式的應(yīng)用例15.證明：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．例16.當(dāng)為何值時(shí)，方程，（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根．例17.已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．例18.如果是實(shí)數(shù)，且不等式的解集是，那么關(guān)于的一元二次方程的根的情況如何?例19.已知關(guān)于的方程總有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東潮州·九年級(jí)潮州市金山實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤绻P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a滿足條件是（

）A． B．且 C．且 D．3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元二次方程，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則正數(shù)b的值是（

）A．8 B． C．4 D．4．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，則下列選項(xiàng)中a可以取的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．245．（2023·安徽安慶·校考三模）如果關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，那么a的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．76．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根7．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程的較大的一根小于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．一切實(shí)數(shù) B． C． D．8．（2022·浙江·九年級(jí)自主招生）滿足方程的整數(shù)對(duì)有（

）A．0對(duì) B．2對(duì) C．4對(duì) D．6對(duì)二、填空題9．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如果關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么的值是________．10．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）在的括號(hào)中添加一個(gè)關(guān)于x的一次項(xiàng)，使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，這個(gè)一次項(xiàng)可以是______．11．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學(xué)校考二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．12．（2023·山東東營(yíng)·校考二模）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是________．13．（2023·四川巴中·校考二模）已知關(guān)于的一元二次方程．兩實(shí)數(shù)根分別為，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為_____________．三、解答題14．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)校考期中）解方程：15．（2022秋·青海西寧·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋海ü椒ǎ?6．（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)取滿足要求的最小正整數(shù)時(shí)，求方程的解．17．（2023·北京西城·?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．18．（2018秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）不解方程，判斷方程的根的情況．19．（2023春·河南三門峽·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于的方程實(shí)數(shù)根的情況，并說(shuō)明理由．20．（2022秋·四川遂寧·九年級(jí)?？计谥校?duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因?yàn)?2＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241

“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個(gè)“喜鵲數(shù)”；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個(gè)根，x＝n是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k的值．21．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┮阎宏P(guān)于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一個(gè)根，求m的值；(2)以這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根作為△ABC中AB、AC（AB<AC）的邊長(zhǎng)，當(dāng)BC=時(shí)，△ABC是直角三角形，求此時(shí)m的值．22．（2023秋·重慶北碚·九年級(jí)重慶市兼善中學(xué)校考期末）對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)，如果滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的平均數(shù)，那么稱這個(gè)數(shù)為“快樂(lè)數(shù)”．例如：，因?yàn)?，所以是“快?lè)數(shù)”．(1)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷是不是“快樂(lè)數(shù)”，并直接寫出最大的“快樂(lè)數(shù)”；(2)已知一個(gè)“快樂(lè)數(shù)”（、、，、、為自然數(shù)），且使關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，求滿足條件的所有的值．23．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題解決：（1）已知在中，，，四邊形是正方形，為所在的直線與的交點(diǎn)；如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，請(qǐng)判斷和的關(guān)系，并說(shuō)明理由.問(wèn)題探究：（2）如圖，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，求證：；問(wèn)題拓展：（3）將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng).第03講解一元二次方程（公式法4種題型）【知識(shí)梳理】一、公式引入一元二次方程（），可用配方法進(jìn)行求解：得：．對(duì)上面這個(gè)方程進(jìn)行討論：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，利用開平方法，得：， 即：當(dāng)時(shí)，這時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．二、求根公式一元二次方程（），當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：，這就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式（）；確定a、b、c的值；求出的值（或代數(shù)式）；若，則把a(bǔ)、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無(wú)解．根的判別式1.一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“”表示，記作．2.一元二次方程， 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．五、根的判別式的應(yīng)用（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；（3）解與根有關(guān)的證明題．【考點(diǎn)剖析】題型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），則，則，∴；（2），則，則，∴．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用．例2.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），則，則，∴；（2），則，則，∴．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用．例3.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方程可化為：，，則， 則，∴；（2）方程可化為：，則．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用，（2）也可以用直接開平方法求解．例4.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方程可化為，，則，則 ，∴（2）兩邊同時(shí)乘以10，方程可化為，，則， 則，∴．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用，（2）也可以用因式分解法求解．例5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），則，則， ∴原方程的解為：；，則，則， ∴原方程的解為：．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用．題型2解系數(shù)中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列關(guān)于x的方程：（）．【解析】（），則，整理得：， 配方可得：， 當(dāng)時(shí)，，， 當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【總結(jié)】本題主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方時(shí)方程兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，另此題系數(shù)中含有字母，要注意分類討論．例7.用公式法解下列關(guān)于x的方程：（1）； （2）．【解析】（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，； 當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根；原方程可化為：，∵， ∴原方程的解為：，．【總結(jié)】本題主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分類討論．題型3根的判別式例8.選擇：下列關(guān)于的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）不解方程，判別方程的根的情況是（ ）（A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 （D）沒(méi)有實(shí)數(shù)根方程的根的情況是( )（A）有兩個(gè)相等實(shí)根 （B）有兩個(gè)不等實(shí)根（C）沒(méi)有實(shí)根 （D）無(wú)法確定一元二次方程的根的情況為（ ）（A）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（C）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 （D）沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】（1）D；（2）D；（3）B；（4）A．【解析】（1）A：，，，，方程無(wú)實(shí)根；B：，，，，方程有兩個(gè)相等實(shí)根；C：，，，，方程無(wú)實(shí)根；D：，，，，方程有兩不等實(shí)根實(shí)根，故選D；（2），，，，方程無(wú)實(shí)根，故選D；（3），，，，方程有兩不等實(shí)根，故選B；（4），，，，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，故選A．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，先列出方程中的、、，再代值計(jì)算，根據(jù)與0的大小關(guān)系確定方程根的情況，注意、異號(hào)時(shí)則必有兩不等實(shí)根．例9.不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）； （2）；（3）； （4）． 【答案】（1）方程有兩不等實(shí)根；（2）方程無(wú)實(shí)數(shù)根；（3）方程有兩相等實(shí)根；（4）方程有兩不等實(shí)根．【解析】（1），，，，方程有兩不等實(shí)根；，，，，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；，，，，方程有兩相等實(shí)根；（4），，，，方程有兩不等實(shí)根．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，先將方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值計(jì)算，根據(jù)與0的大小關(guān)系確定方程根的情況，注意、異號(hào)時(shí)則必有兩不等實(shí)根．例10.關(guān)于的方程（其中是實(shí)數(shù)）一定有實(shí)數(shù)根嗎？為什么？【答案】一定有．【解析】∵，，，∴恒成立，可知方程一定有實(shí)數(shù)根．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對(duì)于含有字母系數(shù)的一元二次方程，只需要對(duì)最終的值進(jìn)行化簡(jiǎn)分析即可確定的值與0的大小關(guān)系，進(jìn)而確定方程根的情況．例11.已知關(guān)于的一元二次方程根的判別式的值為4，求的值．【答案】0．【解析】∵，，，∴，整理即得，解得：，，同時(shí)方程是一元二次方程，知，故，由此得．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對(duì)于含有字母系數(shù)的一元二次方程，尤其是二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母的情況，一定要注意字母所隱含的取值范圍，即二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．例12.已知方程組的解是，試判斷關(guān)于的方程的根的情況．【答案】方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【解析】方程組的解是，代入即得：，可解得：，此時(shí)方程即為，其中，，，，可知方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對(duì)于系數(shù)含有字母的情況，根據(jù)題目條件確定字母取值，再確定其值，判定方程解的情況．例13.當(dāng)取何值時(shí)，關(guān)于的方程，（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根？【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】對(duì)此方程，，，，則 ，由此可知，（1）當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)，即時(shí)，方程有兩兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對(duì)于系數(shù)含有字母的情況，先確定其值，方程可由值判定其根的情況，同樣地，可由方程根的情況確定其值與0的大小關(guān)系，可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分類討論．例14.當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根？并求出這時(shí)方程的根（用含的代數(shù)式表示）．【答案】時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；方程的根為．【解析】對(duì)此方程，，，，則，因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，則有，即時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；根據(jù)一元二次方程求根公式，可知方程解為【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，對(duì)于系數(shù)含有字母的情況，先確定其值，方程可由值判定其根的情況，同樣地，可由方程根的情況確定其值與0的大題型5根的判別式的應(yīng)用例15.證明：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【解析】證明：對(duì)原方程進(jìn)行整理，即為：其中，，，則恒成立，由此可證得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【總結(jié)】將方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情況，只需要根據(jù)方程的值即可以確定下來(lái)．例16.當(dāng)為何值時(shí)，方程，（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【答案】（1）且；（2）；（3）．【解析】將方程整理成關(guān)于的一元二次方程的一般形式，即得：，此時(shí)，，，，由方程為一元二次方程，可知，故；，由此可知，（1）當(dāng)，即且時(shí)，方程有兩不等實(shí)根；（2）當(dāng)，即時(shí)，方程有兩相等實(shí)根；（3）當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)實(shí)根．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，首先將方程整理成一元二次方程的一般形式，然后確定二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的情況，然后確定其值，可由方程根的情況確定其值與0的大小關(guān)系，可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分類討論．例17.已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】且．【解析】由原方程是一元二次方程，可知，即；對(duì)此方程，其中，，，方程有實(shí)根，則必有：，可解得；即的取值范圍為且．【總結(jié)】對(duì)于形如的方程，首先要根據(jù)題意確定相關(guān)隱含條件，既要保證一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行解題和計(jì)算．例18.如果是實(shí)數(shù)，且不等式的解集是，那么關(guān)于的一元二次方程的根的情況如何?【答案】方程無(wú)實(shí)根．【解析】由的解集是，可知，即，對(duì)一元二次方程而言，其中，，，則，時(shí)，恒成立，由此可知方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【總結(jié)】探求含有字母的一元二次方程根的情況，需要根據(jù)題目條件確定相關(guān)字母取值范圍，再根據(jù)其值確定相關(guān)方程根的情況．例19.已知關(guān)于的方程總有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】．【解析】（1）當(dāng)，即時(shí)，方程為一元一次方程，方程有實(shí)根；當(dāng)，即時(shí)，方程為一元二次方程，其中，，，方程有實(shí)根，則必有：，可解得且；綜上所述，的取值范圍為．【總結(jié)】對(duì)于形如的方程，首先要根據(jù)題意確定二次項(xiàng)系數(shù)能否為0，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相關(guān)分類討論和計(jì)算．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根得到，解不等式即可得到答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程時(shí)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東潮州·九年級(jí)潮州市金山實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤绻P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a滿足條件是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：且，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元二次方程，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則正數(shù)b的值是（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的判別式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，∵是正數(shù)，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知關(guān)于的一元二次方程，若，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．4．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，則下列選項(xiàng)中a可以取的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】C【分析】分別代入數(shù)值解方程，逐一判斷即可解題．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，方程為，解得不是整數(shù)，故A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為，解得不是整數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為，解得或是整數(shù)，故C選項(xiàng)符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為，解得不是整數(shù)，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽安慶·校考三模）如果關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，那么a的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)鍵可得：,從而列不等式可得答案．【詳解】解：∵一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴，解得：，只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．6．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：∵，即，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．7．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程的較大的一根小于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．一切實(shí)數(shù) B． C． D．【答案】D【分析】用公式法求出方程的解，根據(jù)題意得出關(guān)于b的不等式，解不等式可得答案．【詳解】解：解方程得：，∵一元二次方程的較大的一根小于1，∴，∴，兩邊平方得：，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法解一元二次方程，能夠根據(jù)題意得出關(guān)于b的不等式是解題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江·九年級(jí)自主招生）滿足方程的整數(shù)對(duì)有（

）A．0對(duì) B．2對(duì) C．4對(duì) D．6對(duì)【答案】C【分析】利用一元二次方程有解判斷出的范圍，根據(jù)是整數(shù)求出的值，進(jìn)而求出的值，利用也是整數(shù)判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：原方程可化為，∵方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，∵是整數(shù)，∴，，，0，1，2，3，當(dāng)時(shí)，原方程可化為，∴（由于為整數(shù)，所以舍去），當(dāng)時(shí)，原方程可化為，∴（由于為整數(shù)，所以舍去），當(dāng)時(shí)，原方程可化為，∴（由于為整數(shù)，所以舍去），當(dāng)時(shí)，原方程可化為，∴（由于為整數(shù)，所以舍去），當(dāng)時(shí)，原方程可化為，∴（由于為整數(shù)，所以舍去），當(dāng)時(shí)，原方程可化為，∴或，當(dāng)時(shí)，原方程可化為，∴或，∴原方程的整數(shù)解為：或或或，即：方程的整數(shù)對(duì)為、、，共四對(duì)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整數(shù)根問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是將原方程變形，利用判別式求解．二、填空題9．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如果關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么的值是________．【答案】1【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．10．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）在的括號(hào)中添加一個(gè)關(guān)于x的一次項(xiàng)，使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，這個(gè)一次項(xiàng)可以是______．【答案】【分析】設(shè)方程為，根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可知，據(jù)此列式求解即可．【詳解】設(shè)方程為，由題意得，∴，∴一次項(xiàng)為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學(xué)?？级＃╆P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的定義得出，即可求解．【詳解】解：依題意，且，解得：且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式的意義，熟練掌握一元二次方程根的判別式的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2023·山東東營(yíng)·?？级＃┤绻P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是________．【答案】【分析】先把這個(gè)一元二次方程變成一般式，再根據(jù)一元二次方程根的判別式計(jì)算即可．【詳解】，．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．13．（2023·四川巴中·?？级＃┮阎P(guān)于的一元二次方程．兩實(shí)數(shù)根分別為，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為_____________．【答案】2【分析】先由一元二次方程根的判別式得到關(guān)于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，代入得到關(guān)于m的一元二次方程，解方程并根據(jù)（1）中的m的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得：，即的取值范圍是；∵由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，∴，∵，∴，即，∴，解得或，∵，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．三、解答題14．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋骸敬鸢浮?，【分析】用公式法解此方程即可．【詳解】解：，，此方程的解為：，．【點(diǎn)睛】此題考查的是用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握公式法解方程的步驟．15．（2022秋·青海西寧·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋海ü椒ǎ敬鸢浮俊痉治觥坷霉椒ń獯?，即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)取滿足要求的最小正整數(shù)時(shí)，求方程的解．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式，且，求出的取值范圍即可；（2）得到的最小整數(shù)，利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，即，且，解得：且；（2）滿足條件的最小正整數(shù)是，此時(shí)方程為，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．17．（2023·北京西城·?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先求出一元二次方程根的判別式為，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到是原方程的根，根據(jù)方程兩個(gè)根均為正整數(shù)，可求m的最小值．【詳解】（1）證明：由得，，∵，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）∵，∴，∴，∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，∴．∴．∴m的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是根的判別式及解一元二次方程，在解答（2）時(shí)得到方程的兩個(gè)根是解題的關(guān)鍵．18．（2018秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）不解方程，判斷方程的根的情況．【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】先求一元二次方程的判別式，由與0的大小關(guān)系來(lái)判斷方程根的情況．【詳解】解：∵，，∴∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1），方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．19．（2023春·河南三門峽·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于的方程實(shí)數(shù)根的情況，并說(shuō)明理由．【答案】一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．理由見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求出的求值范圍；再表示關(guān)于的方程，，即可判斷該方程根的情況．【詳解】解：∵方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，，，對(duì)于關(guān)于的方程，，，，即，∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的情況之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．20．（2022秋·四川遂寧·九年級(jí)校考期中）對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因?yàn)?2＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241

“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個(gè)“喜鵲數(shù)”；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個(gè)根，x＝n是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【分析】（1）根據(jù)喜鵲數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；（3）求出m與n互為倒數(shù)，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，結(jié)合喜鵲數(shù)的定義即可得出答案．【詳解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鵲數(shù)，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鵲數(shù)；∵各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鵲數(shù)”是121．故答案為：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一個(gè)根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，將cn2+bn+a＝0兩邊同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，∴將m、看成是方程ax2+bx+c的兩個(gè)根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴m＝，即mn＝1；故答案為：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．故答案為：121，242，363，484．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清喜鵲數(shù)的定義．21．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┮阎宏P(guān)于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一個(gè)根，求m的值；(2)以這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根作為△ABC中AB、AC（AB<AC）的邊長(zhǎng)，當(dāng)BC=時(shí)，△ABC是直角三角形，求此時(shí)m的值．【答案】(1)m=0或m=1(2)m=0或m=1【分析】（1）把x=2代入方程得到關(guān)于m的一元二次方程，然后解關(guān)于m的方程即可；（2）先計(jì)算出判別式，再利用求根公式得到，，則AC=m+2，AB=m+1．因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，所以當(dāng)BC或AC為斜邊時(shí)根據(jù)勾股定理分別解關(guān)于m的一元二次方程即可．【詳解】（1）解：∵x=2是方程的一個(gè)根，∴，