高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第09章平面解析幾何第5節(jié)橢圓及其性質(zhì)

第五節(jié)橢圓及其性質(zhì)考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)橢圓的方程2017·全國(guó)卷Ⅰ·T20·12分求橢圓的方程證明直線過(guò)定點(diǎn)數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2016·全國(guó)卷Ⅰ·T20·12分求橢圓的方程求面積的范圍數(shù)學(xué)運(yùn)算橢圓的性質(zhì)2017·全國(guó)卷Ⅲ·T10·5分求橢圓的離心率數(shù)學(xué)運(yùn)算2016·全國(guó)卷Ⅲ·T11·5分求橢圓的離心率數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)一直是高考的熱點(diǎn)，其中離心率考查比較頻繁．直線與橢圓的位置關(guān)系多以解答題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想.1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓．兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn).集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a(1)當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，P(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，P(3)當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，P2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a，短軸B1B2的長(zhǎng)為焦距|F1F2|＝離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2提醒：1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)橢圓的定義中易忽視2a＞|F1F2|這一條件，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，其軌跡為線段F1F2，當(dāng)2(2)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)易忽視判斷焦點(diǎn)的位置，而直接設(shè)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．2．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a、b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．()(2)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(0，－2)，B(0,2)的距離之和為4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓．()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．()(4)橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．()(5)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(教材習(xí)題改編)設(shè)P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于()A．4 B．5C．8 D．10解析：選D依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.3．(2015·廣東卷)已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m＝()A．2 B．3C．4 D．9解析：選B由題意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.4．(教材改編)已知點(diǎn)P是橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_________.解析：a2＝5，b2＝4，c2＝a2－b2＝1，c＝1.|F1F2|＝2設(shè)P(x，y)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y|，eq\f(1,2)×2|y|＝1，|y|＝1，y＝±1.eq\f(x2,5)＋eq\f(1,4)＝1，x＝±eq\f(\r(15),2)，∵x＞0，x＝eq\f(\r(15),2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，±1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，±1))橢圓的定義及應(yīng)用[明技法](1)橢圓定義的應(yīng)用范圍①確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓．②解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問(wèn)題．(2)焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過(guò)整體代入可求其面積等．[提能力]【典例】(2018·徐州模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________.解析：設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.答案：3[刷好題]1．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△PF1F2的面積為()A．4 B．6C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：選A因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因?yàn)閨PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝2eq\r(5)，顯然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2故△PF1F2所以△PF1F2的面積為eq\f(1,2)×2×4＝4.故選A．2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)_________.解析：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，所以動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，則a所以b2＝48，又焦點(diǎn)C1、C2在x軸上，故所求的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.答案：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[明技法]用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的四個(gè)步驟[提能力]【典例】(1)(2018·湖南六校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝eq\f(1,2)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.解析：(1)依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖所示．因?yàn)锳F2⊥x軸，所以|AF2|＝b2.因?yàn)閨AF1|＝3|BF1|，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)c，－\f(1,3)b2)).將B點(diǎn)代入橢圓方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)c))2＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)b2))2,b2)＝1，所以eq\f(25,9)c2＋eq\f(b2,9)＝1.又因?yàn)閎2＋c2＝1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＝\f(1,3)，,b2＝\f(2,3).))故所求的方程為x2＋eq\f(y2,\f(2,3))＝1.答案：(1)A(2)x2＋eq\f(y2,\f(2,3))＝1[刷好題]求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)；(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為eq\r(3)；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)兩點(diǎn)；(4)與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－eq\r(3))．解：(1)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)．∴eq\f(9,a2)＝1，∴a＝3，∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，∴eq\f(9,b2)＝1，∴b＝3.又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.綜上所述，橢圓方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))從而b2＝a2－c2＝9.∴所求橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.(3)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵點(diǎn)P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq\f(1,15)，n＝eq\f(1,5).故eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1為所求橢圓的方程．(4)方法一∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2)，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>n>0)，則1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))2＝eq\f(1,4).從而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))2＝eq\f(3,4)，eq\f(n,m)＝eq\f(\r(3),2).又eq\f(4,m2)＋eq\f(3,n2)＝1，∴m2＝8，n2＝6.∴方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m>n>0)，則eq\f(3,m2)＋eq\f(4,n2)＝1，且eq\f(n,m)＝eq\f(\r(3),2)，解得m2＝eq\f(25,3)，n2＝eq\f(25,4).故所求方程為eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.方法二若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t>0)，將點(diǎn)(2，－eq\r(3))代入，得t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2.故所求方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝λ(λ>0)代入點(diǎn)(2，－eq\r(3))，得λ＝eq\f(25,12)，∴eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.橢圓的幾何性質(zhì)[析考情]橢圓幾何性質(zhì)的內(nèi)容很豐富，因此在高考中對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的考查也非常廣泛，但離心率及其范圍卻是每年高考的熱點(diǎn).應(yīng)用平面幾何知識(shí)往往是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．[提能力]命題點(diǎn)1：由橢圓的方程研究其性質(zhì)【典例1】已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長(zhǎng)為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為()A．(－3,0) B．(－4,0)C．(－10,0) D．(－5,0)解析：選D因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1，所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，所以c＝3，又b＝4，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝5.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的左頂點(diǎn)為(－5,0)．命題點(diǎn)2：由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍【典例2】已知橢圓mx2＋4y2＝1的離心率為eq\f(\r(2),2)，則實(shí)數(shù)m等于()A．2 B．2或eq\f(8,3)C．2或6 D．2或8解析：選D顯然m＞0且m≠4，當(dāng)0＜m＜4時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在x軸上，則eq\f(\r(\f(1,m)－\f(1,4)),\r(\f(1,m)))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝2；當(dāng)m＞4時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在y軸上，則eq\f(\r(\f(1,4)－\f(1,m)),\r(\f(1,4)))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝8.命題點(diǎn)3：求離心率的值或范圍【典例3】(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)解析：選A由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).故選A．[悟技法]應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)的2個(gè)技巧與1種方法2個(gè)技巧(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使畫(huà)不出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到一個(gè)圖形．(2)橢圓的范圍或最值問(wèn)題常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求橢圓的相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系．1種方法求橢圓離心率的方法：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解．[刷好題]1．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：選B如圖，由題意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝eq\f(1,4)×2b＝eq\f(1,2)b.在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·eq\f(1,2)b，代入解得a2＝4c2，故橢圓離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故選B．2．(2018·東北三省三校聯(lián)考)若橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[1,4] B．[1,3]C．[－2,1] D．[－1,1]解析：選C橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，設(shè)P(x，y)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－e