2-1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講與練人教A版2019必修第一冊

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)一、等式的基本性質(zhì)1．如果a＝b，那么b＝a.2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).二、不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正三、比較兩個實數(shù)（或代數(shù)式）大小1、作差法、作商法是比較兩個實數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法．①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號、得出結(jié)論．②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結(jié)論．2、介值比較法也是比較大小的常用方法，其實質(zhì)是不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a與c之間的值，此種方法的關(guān)鍵是通過恰當(dāng)?shù)姆趴s，找出一個比較合適的中介值．【注意】（1）比較代數(shù)式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時一定要保證代數(shù)式大于零；（2）作差時應(yīng)該對差式進(jìn)行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明顯看出其正負(fù)號為止。題型一利用不等式性質(zhì)判斷真假【例1】如果那么下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，不等式兩邊同時減去得，D正確，若，則AB錯誤，若，C錯誤．故選：D．【變式1-1】若，則下列不等式不能成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立【變式1-2】下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】C【解析】A.若，則，取不成立B.若，則，取不成立C.若，，則，正確D.若，，則，取不成立故答案選C【變式1-3】若為實數(shù)，且，則下列命題正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，當(dāng)時，，A錯誤；對于B，當(dāng)，時，，，此時，B錯誤；對于C，，，C錯誤；對于D，，，，，，D正確.【變式1-4】已知，滿足，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因，，則a>0，b<0，，A不正確；，則，B不正確；又，即，則，，C正確；由得，D不正確.故選：C題型二比較大小【例2】設(shè)，則的大小關(guān)系為（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，.又，故．綜上可得：．故選：.【變式2-1】已知，比較與的大?。敬鸢浮俊窘馕觥恳驗?，．所以．所以，即．【變式2-2】已知a，b均為正實數(shù)，試?yán)米鞑罘ū容^與的大小.【答案】【解析】∵.又a，b均為正實數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則.綜上所述，.【變式2-3】比較與兩個代數(shù)式的大?。海弧敬鸢浮?；【解析】，因此，；【變式2-4】設(shè)，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，則.故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故選：D【變式2-5】已知，，試比較與的大小；【答案】（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）【解析】由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.題型三求代數(shù)式的取值范圍【例3】若，則的范圍為_______【答案】【解析】依題意可知，由于，由不等式的性質(zhì)可知.【變式3-1】（多選）已知，，則下列正確的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因為，，所以，，則，，，即，，，則；故AB正確，CD錯.【變式3-2】已知，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】令，則，解得，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以的取值范圍為，【變式3-3】已知實數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，，,則又，因此，故本題選B.【變式3-4】已知，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令則，∴，又，…∴①，∴…②∴①②得．則．故選C．題型四不等式的證明【例4】證明不等式().【答案】證明見解析.【解析】因為，所以，所以兩邊同除以4，即得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.【變式4-1】已知，求證.【答案】證明見解析.【解析】證明：.由，可知，，從而，又，，又，因此上式分子、分母均小于零，，即.【變式4-2】若，，求證：．【解析】證明：，，，.【變式4-3】（1）已知，求證：