2024～2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊11.2.2 三角形的外角教學(xué)設(shè)計(jì)

11.2.2三角形的外角教學(xué)目標(biāo)課題11.2.2三角形的外角授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解三角形的外角的概念.2.經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維過程，掌握三角形內(nèi)角和定理的推論，體會數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性.教學(xué)重點(diǎn)三角形外角的性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算時能準(zhǔn)確表達(dá)推理過程.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：提出疑問，啟發(fā)思考設(shè)計(jì)意圖通過提問的方式為引入三角形外角的概念做鋪墊.【問題引入】我們在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理時，某個證明思路是通過作輔助線，把三角形中處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起拼成一個平角，這樣就可以證明三角形的內(nèi)角和等于180°.如圖，先把△ABC的一邊BC延長，這時在△ABC外得到∠ACD.類比三角形的內(nèi)角，我們該如何概括類似∠ACD這樣的角呢？它又具有什么性質(zhì)呢？讓我們在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中找尋答案吧！【教學(xué)建議】教師板書作圖，使學(xué)生直觀感受，并提及三角形的內(nèi)角引導(dǎo)式發(fā)問，學(xué)生順其自然可想到外角這一稱謂.活動二：動手操作，探究新知設(shè)計(jì)意圖引入三角形外角的概念，探究三角形外角的性質(zhì)，并利用性質(zhì)解決簡單的角度計(jì)算問題.探究點(diǎn)三角形外角的概念及性概念引入：三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形外角的特征：(1)角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；(2)角的一邊是三角形的一邊；(3)角的另一邊是三角形某邊的延長線.向兩個方向延長三角形各邊，可以畫出一個三角形所有的外角，如圖②.可以發(fā)現(xiàn)：三角形每個頂點(diǎn)處都有兩個外角，它們是對頂角，所以一個三角形共有6個外角，其中有三個與另外三個分別相等．研究時，通常只在每個頂點(diǎn)處取一個外角進(jìn)行討論.思考(1)如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一個外角．能由∠A，∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A，∠B有什么關(guān)系？由∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，得∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－70°－60°＝50°.由∠ACB＋∠ACD＝180°，得∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－50°＝130°.由以上計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：∠ACD＝∠A＋∠B.（2）任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角是否都有這種關(guān)系？請由三角形內(nèi)角和定理自行證明.【教學(xué)建議】由活動一中的問題自然過渡，學(xué)生可類比聯(lián)想到三角形外角的稱謂．教師可以直接給出三角形外角的概念，注意強(qiáng)調(diào)識別外角時，一個三角形的內(nèi)角的對頂角不是這個三角形的外角，這里容易出現(xiàn)概念混淆.【教學(xué)建議】引導(dǎo)學(xué)生自主思考、合作交流，最后論證歸納出三角形外角的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力及語言表達(dá)能力．在應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理的推論時，教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖問題4揭示圖形語言與文字語言之間的聯(lián)系，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界抽象出幾何模型的過程，認(rèn)識三角形的各個基本要素.都有這種關(guān)系.這里介紹兩種證明方法：證法1：在上圖中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B.∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB.∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-（180°-∠A-∠B）=∠A+∠B.證法2：如圖，過點(diǎn)C作CE∥AB，∴∠ACE=∠A，∠ECD=∠B，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B.于是得到三角形內(nèi)角和定理的推論（三角形外角的性質(zhì)）：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.例（教材P15例4）如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.問題：你還有其他解法嗎？解：由∠BAE+∠1=∠CBF+∠2=∠ACD+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=3×180°-（∠1+∠2+∠3）=540°-180°=360°.歸納總結(jié)：三角形的外角和等于360°.【對應(yīng)訓(xùn)練】1.教材P15練習(xí).2.如圖，AB∥CD，連接BC，E是BC上一點(diǎn)，∠A=15°，∠C=27°，則∠AEC的大小為（B）A27°B42°C45°D70°一定要正確理解“與它不相鄰”的含義，找準(zhǔn)所需內(nèi)角.三角形內(nèi)角和定理還有另一個推論，課標(biāo)不做要求，詳見備課素材，教師可根據(jù)需要選講.【教學(xué)建議】例題是為了使學(xué)生掌握三角形外角的性質(zhì)而設(shè)，推得的結(jié)論是為后面學(xué)習(xí)多邊形外角和做準(zhǔn)備.需要注意的是：三角形外角和是針對每個頂點(diǎn)處只取一個外角而言的，不是所有外角的和，這一點(diǎn)已在之前闡述過，若有學(xué)生不明確可在這里再次加以強(qiáng)調(diào)，結(jié)合圖形更加直觀易懂．活動三：新知運(yùn)用，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖利用三角形外角的性質(zhì)求解角度問題，加強(qiáng)學(xué)生對它的掌握程度.例如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=38°，E是BC邊上一點(diǎn)，ED交CA的延長線于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)F，∠D=32°.求∠AFE的大小.解：∵∠B=45°，∠C=38°，∴∠DAB=∠B+∠C=45°+38°=83°.又∠D=32°，∴∠AFE=∠DAB+∠D=83°+32°=115°.【對應(yīng)訓(xùn)練】如圖，在△ABC中，∠A=35°，∠ABD=35°，∠ACB=80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度數(shù).【教學(xué)建議】以學(xué)生自主探究為主，鍛煉學(xué)生解題能力.解答此類題目的關(guān)鍵是確定要求的角是哪個三角形的外角，從而梳理已知條件，設(shè)法求出相應(yīng)的兩個內(nèi)角，再求和即可得解.過程中可能會多次用教學(xué)步驟師生活動解：∵∠A=35°，∠ABD=35°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=70°.∵CE平分∠ACB，∠ACB=80°，∴∠DCE=12∠ACB=40°.∴∠BEC=∠BDC+∠DCE=70°+40°=110°.到三角形外角的性質(zhì)，注意不要出錯.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：什么是三角形的外角？它具有什么性質(zhì)？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P16～17習(xí)題11.2第5，6，8，11題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)11.2.2三角形的外角1.三角形外角的概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角. 2.三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．教學(xué)反思在教學(xué)過程中，應(yīng)讓學(xué)生自主探索，同時要關(guān)注學(xué)生的合作交流，開闊學(xué)生的思路，讓學(xué)生在經(jīng)歷整個探索過程的同時，體會數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決問題的能力.在教學(xué)設(shè)計(jì)上，關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的靈活性，感受數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要性，在獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的同時，提高學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新能力.解題大招一用三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算用三角形外角的性質(zhì)解題時，關(guān)鍵是確定相關(guān)的角是哪個三角形的外角，再準(zhǔn)確找出與之不相鄰的兩個內(nèi)角，根據(jù)條件進(jìn)行計(jì)算．如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊的延長線上，∠A＝80°，∠CBD＝120°，則∠C＝40°.解析：∵∠CBD是△ABC的外角，∠A＝80°，∠CBD＝120°，∴∠C＝∠CBD－∠A＝120°－80°＝40°，故答案為40.例2將含30°角的直角三角板(∠3＝30°)和直尺按如圖所示的方式疊放在一起，已知∠1＝80°，則∠2＝（C）A．40°B．45°C．50°D．55°解析：∵∠1＝∠2＋∠3，∴∠2＝∠1－∠3＝80°－30°＝50°.故選C.例3如圖為商場某品牌椅子的側(cè)面圖，AF與BD相交于點(diǎn)C，∠DEF＝120°，DE與地面平行，∠ABD＝50°，則∠ACB＝（A）A．70°B．65°C．60°D．50°分析：由平行線的性質(zhì)可得∠D＝∠ABD＝50°，再利用三角形外角的性質(zhì)可求得∠DCE的度數(shù)，結(jié)合對頂角相等即可得∠ACB的度數(shù)．解析：∵DE∥AB，∴∠D＝∠ABD＝50°.∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角，∴∠DCE＝∠DEF－∠D＝120°－50°＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°.故選A.例4(教材P17習(xí)題T11變式題)如圖，在△ABC中，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，CE交BA的延長線于點(diǎn)E.(1)若∠B＝25°，∠E＝36°，則∠BAC＝97°；(2)若∠BAC＝100°，且∠E＝2∠B，求∠E的度數(shù)．分析：(1)由三角形外角的性質(zhì)可求得∠DCE＝61°，再由角平分線的定義可求得∠ACD＝122°，再次利用三角形外角的性質(zhì)即可求∠BAC的度數(shù)；(2)由三角形的外角性質(zhì)可得∠DCE＝∠B＋∠E，再由角平分線的定義可得∠ACE＝∠B＋∠E，再由三角形的外角性質(zhì)可得∠E＋∠ACE＝100°，從而可求解．解：(1)解析：∵∠B＝25°，∠E＝36°，∠DCE是△BCE的外角，∴∠DCE＝∠B＋∠E＝61°.∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∴∠ACD＝2∠DCE＝122°.∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝97°.(2)∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠DCE＝∠B＋∠E.∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∴∠ACE＝∠DCE＝∠B＋∠E.∵∠BAC是△ACE的外角，∴∠BAC＝∠E＋∠ACE.又∠BAC＝100°，∠E＝2∠B，∴100°＝2∠B＋∠B＋2∠B，解得∠B＝20°，∴∠E＝2∠B＝40°.解題大招二用三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行證明三角形外角的性質(zhì)揭示的是角之間的和差關(guān)系，其本質(zhì)上是對三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行演繹從而得到的推論，因此我們在推理論證時進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化又多了一種手段，可以據(jù)此簡化推理過程．例5如圖，在△ABC中，AD，BE分別是∠BAC，∠ABC的平分線．求證：∠BED＝90°－eq\f(1,2)∠C.分析：證明：∵AD，BE分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∴∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC，∠ABE＝eq\f(1,2)∠ABC，∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝eq\f(1,2)(∠BAC＋∠ABC)＝eq\f(1,2)(180°－∠C)＝90°－eq\f(1,2)∠C.例6如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠ABC的平分線與外角∠EAC的平分線交于點(diǎn)D.(1)求證：AD∥BC；(2)若∠BAC＝36°，求∠ADB的度數(shù)．分析：(1)先根據(jù)角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)得到∠C＝∠CAD，再根據(jù)平行線的判定定理即可得證；(2)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC＝∠C＝72°，然后根據(jù)角平分線的定義得到∠CBD＝36°，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．(1)證明：由三角形外角的性質(zhì)，得∠EAC＝∠ABC＋∠C.∵∠ABC＝∠C，∴∠EAC＝2∠C.∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠CAD，∴∠C＝∠CAD，∴AD∥BC.(2)解：∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－∠BAC)＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°.又AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD＝36°.解題大招三推論“三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角”的運(yùn)用如圖，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(∠ACD＝∠A＋∠B)完成下列填空：(1)∠ACD>∠A(填“<”或“>”)；(2)∠ACD>∠B(填“<”或“>”)．因此，我們還可以得出這樣的結(jié)論：三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角．幾何符號語言：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.例7如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，且∠ADC＝∠ACD.證明：∠ACB>∠B.證明：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC>∠B.∵∠ADC＝∠ACD，∴∠ACD>∠B，即∠ACB>∠B.例8如圖，在綠茵場上，某足球隊(duì)員在O處受到阻擋需要傳球．請幫他做出選擇，傳給在A處的球員還是B處的球員(點(diǎn)A，B，D在一條直線上)，其射門不易射偏(射門角度越大，越有利于進(jìn)球)？請說明理由．解：應(yīng)傳給在B處的球員．理由：∵∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD＞∠A，故位于B處的球員射門角度更大，故應(yīng)傳給在B處的球員．培優(yōu)點(diǎn)一利用三角形外角的性質(zhì)探究“飛鏢”圖問題例1閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．“飛鏢”圖的性質(zhì)和應(yīng)用如圖①，我們把四邊形ABDC稱為“飛鏢圖”圖案，該圖案有這樣一個性質(zhì)：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.下面是該性質(zhì)的證明過程：證明：如圖②，連接AD并延長到點(diǎn)E.∵∠1是△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠BAD(根據(jù)1)．∵∠2是△ACD的外角，∴∠2＝∠C＋∠CAD，∴∠BDC＝∠1＋∠2＝∠B＋∠BAD＋∠CAD＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.任務(wù)：(1)【直接判斷】填空：材料中的根據(jù)1是指三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．(2)【類比驗(yàn)證】你還能想出其他解法嗎？請寫出解答過程．(3)【實(shí)際運(yùn)用】一個零件的形狀如圖③所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于110°才合格，經(jīng)檢驗(yàn)∠B＝18°，∠C＝20°，∠BDC＝145°，那么這個零件不合格．(填“合格”或“不合格”)(4)【拓展延伸】請你應(yīng)用材料中的方法，探究圖④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數(shù)．分析：(1)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠B＋∠BAD；(2)延長CD交AB于點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行推理即可；(3)求出∠A的度數(shù)與110°比較即可判斷；(4)通過仿照材料做法作輔助線，再利用外角的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)將所求各角轉(zhuǎn)化到同一個三角形中解決．解：(1)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)能想出其他解法.解法如下：如圖⑤，延長CD交AB于點(diǎn)E.∵∠BED＝∠A＋∠C，∠BDC＝∠B＋∠BED，∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.(3)解析：∵∠B＝18°，∠C＝20°，∠BDC＝145°，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，∴∠A＝145°－18°－20°＝107°≠110°，∴這個零件不合格．(4)對于四邊形ABFC，由材料可知，∠BFC＝∠A＋∠B＋∠C.∵∠D＋∠E＋∠EFD＝180°，∠EFD＝∠BFC，∴∠D＋∠E＋∠BFC＝180°.∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.培優(yōu)點(diǎn)二三角形內(nèi)外角平分線夾角關(guān)系的綜合探究例2認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究內(nèi)容，回答所提出的問題．(1)如圖①，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠A＝50°，則∠BOC＝115°；(2)如圖②，∠ABC，∠ACD的平分線交于點(diǎn)O，求證：∠BOC＝eq\f(1,2)∠A；(3)如圖③，∠CBD，∠BCE的平分線交于點(diǎn)O，寫出∠BOC與∠A的關(guān)系，并說明理由．分析：(1)根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解；(2)根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠OCD＝eq\f(1,2)∠ACD，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得∠OCD＝eq\f(1,2)∠ACD＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)，∠BOC＝∠OCD－∠OBC，然后整理即可得解；(3)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解．(1)解析：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB.∴∠1＋∠2＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)．又∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠1＋∠2＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq\f(1,2)∠A.∴∠BOC＝180°－(∠