2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1課時(shí) 角的平分線的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

12.3角的平分線的性質(zhì)第1課時(shí)角的平分線的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)課題12.3第1課時(shí)角的平分線的性質(zhì)授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.能用尺規(guī)作圖：作一個(gè)角的平分線，強(qiáng)化學(xué)生的分析及作圖能力.2.理解角平分線的概念，探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，并能運(yùn)用這個(gè)定理解決相關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納及動(dòng)手能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力.教學(xué)重點(diǎn)尺規(guī)作圖：作一個(gè)角的平分線，探索并證明角平分線的性質(zhì)定理及應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)角平分線的性質(zhì)定理的探索過程.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：舊知回顧，新課引入設(shè)計(jì)意圖回顧角的平分線的概念及作法，并設(shè)問為引入角平分線的尺規(guī)作圖及其性質(zhì)做鋪墊.【復(fù)習(xí)引入】問題1：想一想，我們學(xué)過的角的平分線的概念是什么？答：?jiǎn)栴}2：我們?cè)诰毩?xí)本上畫一個(gè)角，怎樣得到它的平分線？答：用量角器度量，或者用折紙的方法.我們已經(jīng)能用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角了，那能否用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線呢？角的平分線除了平分角之外，還具有其他的性質(zhì)嗎？讓我們?cè)谶@節(jié)課中展開探索吧.【教學(xué)建議】教師提問，選取學(xué)生代表進(jìn)行回答，對(duì)于問題2，學(xué)生也可動(dòng)手嘗試，活躍氣氛，在進(jìn)入新課前進(jìn)行實(shí)操演練．教師最后用總結(jié)結(jié)束回顧，以提問的方式引發(fā)學(xué)生思考，從而過渡到新課的內(nèi)容.活動(dòng)二：動(dòng)手操作，交流新知設(shè)計(jì)意圖通過實(shí)際情境引入角的平分線的尺規(guī)作圖方法，并引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手作圖，加深學(xué)生對(duì)于作已知角的平分線的理解，加強(qiáng)作圖能力.探究點(diǎn)1角的平分線的作法思考如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個(gè)角的平分線．你能說明它的道理嗎？答：在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BC＝DC，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠BAC＝∠DAC.∴AE是∠BAD的平分線.【教學(xué)建議】這里由一種平分角的儀器的工作原理引入了作一個(gè)角的平分線的尺規(guī)作圖．與作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖類似，它們依據(jù)的都是全等三角形的“邊邊邊”判定方法．教師可演示這種角平分儀，從而加深學(xué)生的直觀感受．通過實(shí)驗(yàn)啟發(fā)引入角平分線的尺規(guī)作圖方法后，學(xué)生交流探究，自主動(dòng)手畫圖．注意該作圖屬教學(xué)步驟師生活動(dòng)這種平分角的方法告訴了我們一種作已知角的平分線的方法，如下所示：請(qǐng)按這種方法自己動(dòng)手試試看，然后與同伴交流操作心得，并回答下列問題：?jiǎn)栴}1：作圖步驟(2)中，為什么要以“大于eq\f(1,2)MN的長(zhǎng)”為半徑畫?。看穑阂浴按笥趀q\f(1,2)MN的長(zhǎng)為半徑畫弧”是因?yàn)橐孕∮趀q\f(1,2)MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧沒有交點(diǎn)，以等于eq\f(1,2)MN的長(zhǎng)為半徑畫弧不易操作.問題2：作圖步驟(2)中，兩弧的交點(diǎn)一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？答：若分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于eq\f(1,2)MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)可能在∠AOB的內(nèi)部，也可能在∠AOB的外部．而我們要作的是角的平分線，角的平分線在角的內(nèi)部，所以交點(diǎn)應(yīng)在∠AOB內(nèi)部尋找，否則兩弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P50練習(xí)第1題.于基本的尺規(guī)作圖，課標(biāo)有所要求，需要學(xué)生加以掌握．通過實(shí)踐操作，按各種情況動(dòng)手畫一畫，就能清楚地解釋左欄問題1和問題2.教師注意跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)作圖步驟(3)中的“畫射線OC”不能說成“連接OC”，因?yàn)椤斑B接OC”得到的是線段，而角的平分線是射線，不是線段.【教學(xué)建議】設(shè)置練習(xí)是為了強(qiáng)化學(xué)生的基本作圖能力，尺規(guī)作圖可以不寫作法，但最后一定要說明所求作的內(nèi)容，作圖痕跡必須保留因?yàn)榭梢該?jù)此看出作圖思路.設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生經(jīng)歷探索角的平分線的性質(zhì)定理的過程，并利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)定理，歸納證明幾何命題的一般步驟，并通過例題與練習(xí)加深對(duì)于角的平分線的性質(zhì)定理的理解.探究點(diǎn)2角的平分線的性質(zhì)思考如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測(cè)量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.通過以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？答：PD＝PE.在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試，發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論依然成立.于是我們猜想角的平分線有以下性質(zhì)：【教學(xué)建議】設(shè)置思考可以讓學(xué)生通過作圖、測(cè)量來猜想角的平分線的性質(zhì)．為了讓學(xué)生準(zhǔn)確推斷該性質(zhì)的內(nèi)容，并且確信他們推出的性質(zhì)具有一般性，教師需在學(xué)生作圖時(shí)強(qiáng)調(diào)：(1)所作的角應(yīng)為任意大小的；(2)在角的平分線上取的點(diǎn)應(yīng)是任意位置的；(3)過角的平分線上一點(diǎn)向角的兩邊所作的與兩邊相交的線段必須是垂線教學(xué)步驟師生活動(dòng)拓展：幾何畫板演示角的平分線的性質(zhì)：如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上：下面，我們利用三角形全等證明這個(gè)性質(zhì)．首先，要分清其中的“已知”和“求證”．顯然，已知為“一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上”，要證的結(jié)論為“這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”．為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證.如圖，∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證PD＝PE.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在△PDO和△PEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDO＝∠PEO，,∠AOC＝∠BOC，,OP＝OP，))∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE.歸納總結(jié)：一般情況下，我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即1．明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，AD為∠BAC的平分線，DF⊥AC于點(diǎn)F，∠B＝90°，DE＝DC，試說明：BE＝CF.解：∵∠B＝90°，∴BD⊥AB.∵AD為∠BAC的平分線，且DF⊥AC，∴DB＝DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝DC，,DB＝DF，))∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，∴BE＝CF.段．這個(gè)先操作再提出猜想的過程也為學(xué)生接下來證明性質(zhì)時(shí)分清“已知”和“求證”做了鋪墊．在得出結(jié)論后，左欄表里“注意”中的內(nèi)容也需要跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)，加深對(duì)于概念的理解，以免引起混淆.【教學(xué)建議】用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，是以文字?jǐn)⑹龅男问浇o出的，這里在完成證明的同時(shí)也給出了如何證明一個(gè)幾何命題的示范，在這之后對(duì)于證明幾何命題的一般步驟進(jìn)行了總結(jié)．教師注意跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：(1)畫圖時(shí)要考慮是否存在不同情形，所畫圖形應(yīng)符合題意要求，并具有一般性和代表性(不能畫特殊圖形)；(2)推理過程的每一步都要有依據(jù)，可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、定理、基本事實(shí)等.教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)三：綜合運(yùn)用，鞏固新知設(shè)計(jì)意圖綜合考查角的平分線的性質(zhì)與三角形的面積，強(qiáng)化角的平分線的性質(zhì)定理的運(yùn)用能力.例如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.若△ABC的面積為70，AB＝16，DE＝5，求BC的長(zhǎng).解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F.∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝5.∵S△ABD＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×16×5＝40，S△ABC＝70，∴S△BCD＝S△ABC－S△ABD＝70－40＝30.又S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DF＝eq\f(1,2)BC×5＝30，∴BC＝12.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，AF是△ABC的中線，AB＝16，AC＝8，DE＝5.求△ADF的面積.解：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AB，垂足為M.∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，DM⊥AB，∴DM＝DE＝5，∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·DM＝eq\f(1,2)×16×5＝40，S△ACD＝eq\f(1,2)AC·DE＝eq\f(1,2)×8×5＝20，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝40＋20＝60.∵AF是△ABC的中線，∴S△ACF＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×60＝30，∴S△ADF＝S△ACF－S△ACD＝30－15＝15.【教學(xué)建議】角平分線的性質(zhì)定理可以得到垂線段相等，所以角平分線跟三角形的面積結(jié)合時(shí)，往往能分割出等高的三角形，于是面積問題就轉(zhuǎn)化為了邊長(zhǎng)問題．解答此類題目，當(dāng)題干中出現(xiàn)角平分線時(shí)，要首先想到是否可利用角的平分線的性質(zhì)定理解題，有時(shí)候也需要添加輔助線，一般是過角的平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段．活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.什么是角的平分線？你能用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線嗎？2.角的平分線的性質(zhì)是什么？你能證明嗎？能運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解題嗎？3.證明一個(gè)幾何命題的一般步驟是什么？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P51～52習(xí)題12.3第2，4，5，6題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)12.3角的平分線的性質(zhì)第1課時(shí)角的平分線的性質(zhì) 1.尺規(guī)作圖：作已知角的平分線. 2.角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. 3.證明幾何命題的一般步驟．教學(xué)步驟師生活動(dòng)教學(xué)反思本節(jié)課采用了動(dòng)手操作以及討論交流等教學(xué)方法，從而有效地增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)角以及角平分線的性質(zhì)的感性認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解與感悟，因而學(xué)生對(duì)所學(xué)的新知識(shí)掌握較好，達(dá)到了教學(xué)的目的．教學(xué)中需要注意：學(xué)生對(duì)定理的圖形語言認(rèn)識(shí)不足出現(xiàn)混淆，如把角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離錯(cuò)當(dāng)成過此點(diǎn)與角平分線垂直(或相交)的直線與角兩邊相交所得的線段的長(zhǎng).解題大招一與尺規(guī)作圖有關(guān)的推理題作一個(gè)角的平分線是課標(biāo)要求的尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要能夠作圖，還要了解作圖的原理，而最直觀的體現(xiàn)就是通過作圖痕跡去判斷作圖目的．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點(diǎn)D，CD＝5，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值為5.解析：由尺規(guī)作圖可知：AE是∠CAB的平分線，由垂線段最短可知：當(dāng)DP⊥AB時(shí)，DP最?。逜E是∠CAB的平分線，DP⊥AB，∠C＝90°，∴DP＝CD＝5.故DP的最小值為5.解題大招二文字類幾何命題的證明方法1．根據(jù)命題的題設(shè)結(jié)合圖形寫出已知，根據(jù)命題的結(jié)論結(jié)合圖形寫出求證．2．為了便于分清命題中的已知和求證，可以將命題改寫成“如果……那么……”或“若……則……”的形式．例2求證：兩角和其中一角對(duì)應(yīng)的角平分線分別相等的兩個(gè)三角形全等．分析：首先將文字命題用符號(hào)表示成已知和求證，然后進(jìn)行證明．解：已知：如圖，AD，A′D′分別為△ABC，△A′B′C′的角平分線，且AD＝A′D′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：∵AD，A′D′分別為△ABC，△A′B′C′的角平分線，∴∠1＝eq\f(1,2)∠BAC，∠2＝eq\f(1,2)∠B′A′C′.∵∠BAC＝∠B′A′C′，∴∠1＝∠2.在△ABD和△A′B′D′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠B′，,∠1＝∠2，,AD＝A′D′，))∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)．∴AB＝A′B′.在△ABC和△A′B′C′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠B′，,AB＝A′B′，,∠BAC＝∠B′A′C′，))∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．解題大招三與角的平分線的性質(zhì)有關(guān)的線段證明(不作輔助線)當(dāng)題目中要證相等的一組線段分別與一個(gè)角的兩邊垂直，且它們的公共點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上時(shí)，可利用角平分線的性質(zhì)定理直接得證(學(xué)過角平分線的性質(zhì)定理后，不要再使用先證三角形全等再利用性質(zhì)去解題，那樣會(huì)使過程繁瑣)，所有證明條件的收集都應(yīng)圍繞這個(gè)“兩垂直，一平分”進(jìn)行展開，這樣可以明確解題思路．例3如圖，BD是∠ABC的平分線，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M，N.求證：PM＝PN.證明：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABD＝∠CBD，,BD＝BD，))∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB＝∠CDB.∴∠ADP＝∠CDP，即DP平分∠ADC.∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.解題大招四利用角的平分線的性質(zhì)作垂線解題利用角的平分線的性質(zhì)解決問題的關(guān)鍵是確定角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的垂線段，若已知條件中存在一條垂線段，則考慮通過作輔助線作出另一條垂線段；若已知條件中不存在垂線段，則考慮通過作輔助線作出兩條垂線段．1．作一條垂線例4如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，過點(diǎn)P作PC⊥OA，垂足為C.若PC＝8，點(diǎn)P到直線OB的距離為8.解析：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D.∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PD＝PC＝8，即點(diǎn)P到直線OB的距離為8.例5如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且∠ECD＝∠EDC.(1)求證：DE∥BC；(2)若∠A＝90°，S△BCD＝26，BC＝13，求AD的長(zhǎng)．(1)證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠BCD.又∠ECD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠EDC，∴DE∥BC.(2)解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F.∵∠A＝90°，DF⊥BC，CD平分∠ACB，∴AD＝DF.∵S△BCD＝26，BC＝13，∴eq\f(1,2)×13DF＝26，∴DF＝4，∴AD＝4.2．作兩條垂線例6如圖，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C和點(diǎn)D.求證：PC＝PD.證明：如圖，過點(diǎn)P分別作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，∴∠PEC＝∠PFD＝90°.∵OM是∠AOB的平分線，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.又∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.在△PCE和△PDF中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PCE＝∠PDF，,∠PEC＝∠PFD，,PE＝PF，))∴△PCE≌△PDF(AAS)，∴PC＝PD.培優(yōu)點(diǎn)與角的平分線的性質(zhì)有關(guān)的探究題例(1)如圖①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∠MDN的兩邊分別與AB，AC相交于M，N兩點(diǎn)，且DM＝DN，求證：∠BAC＋∠MDN＝180°；(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，∠BAC＋∠MDN＝180°，試判斷AM，AN，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．分析：(1)先利用角的平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，再利用“HL”證明Rt△DEM≌Rt△DFN，于是可得∠MDE＝∠NDF，進(jìn)一步利用角的和差得∠MDN＝∠EDF，最后再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和為360°可得結(jié)論．(2)先結(jié)合已知、四邊形的內(nèi)角和為360°及角的和差可得∠MDE＝∠NDC，再根據(jù)角的平