2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1課時(shí) 三角形的內(nèi)角和教學(xué)設(shè)計(jì)

11.2與三角形有關(guān)的角11．2.1三角形的內(nèi)角第1課時(shí)三角形的內(nèi)角和教學(xué)目標(biāo)課題11.2.1第1課時(shí)三角形的內(nèi)角和授課人素養(yǎng)目標(biāo)探索并證明三角形的內(nèi)角和定理，學(xué)會(huì)解決與求角度有關(guān)的實(shí)際問題，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．教學(xué)重點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理及其運(yùn)用．教學(xué)難點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的推理過程.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：提出疑問，啟發(fā)思維設(shè)計(jì)意圖提出問題引發(fā)學(xué)生思考，為后面證明三角形內(nèi)角和定理做鋪墊.【問題引入】我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°.如圖，我們是通過度量或剪拼得出這一結(jié)論的.度量法剪拼法先把一個(gè)三角形的3個(gè)角剪下來(lái)，再拼一拼．看一看，拼成了一個(gè)什么角？如何用推理的方法去驗(yàn)證呢？【教學(xué)建議】從直觀思維到邏輯思維的轉(zhuǎn)變，即是小學(xué)到初中的思維方式的轉(zhuǎn)變，此處提問可引起學(xué)生的反思，更深刻體會(huì)邏輯證明的重要性，方便引入新課.活動(dòng)二：動(dòng)手操作，探究新知設(shè)計(jì)意圖通過動(dòng)手操作，逐步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，使學(xué)生能熟練地運(yùn)用演繹推理法解決問題.探究點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的證明探究通過活動(dòng)一的啟發(fā)，我們?cè)诩埳先我猱嬕粋€(gè)三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起，就得到一個(gè)平角．從這個(gè)操作過程中，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？在上面的拼合中，有不同的方法．下面我們來(lái)分析一種較為常見的方法：如圖①，∠B和∠C分別拼在∠A的左右，三個(gè)角合起來(lái)形成一個(gè)平角，出現(xiàn)一條過點(diǎn)A的直線l，移動(dòng)后的∠B和∠C各有一條邊在直線l上.問題1想一想，直線l與△ABC的邊BC有什么關(guān)系？由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可知l∥BC.【教學(xué)建議】對(duì)于三角形的內(nèi)角和等于180°的結(jié)論，學(xué)生在前兩個(gè)學(xué)段已經(jīng)知道，但當(dāng)時(shí)是通過實(shí)驗(yàn)得出的，并沒有經(jīng)過系統(tǒng)的證明．本活動(dòng)中仍從前兩個(gè)學(xué)段已做過的實(shí)驗(yàn)入手，一方面可以激發(fā)學(xué)生興趣，另一方面可以使學(xué)生從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)證明的思路．講教學(xué)步驟師生活動(dòng)由上述拼合過程得到啟發(fā)，過△ABC的頂點(diǎn)A作直線l平行于△ABC的邊BC，那么由平行線的性質(zhì)與平角的定義就能證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)結(jié)論.已知：△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：如圖，過點(diǎn)A作直線l，使l∥BC.∵l∥BC，∴∠2＝∠4(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．同理∠3＝∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角的定義).∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代換).以上我們就證明了任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都等于180°，得到如下定理：三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.問題2由圖②，你能想出三角形內(nèi)角和定理的其他證法嗎？圖②的拼合方法是將三角形的兩個(gè)內(nèi)角移到第三個(gè)內(nèi)角的同一側(cè)，三個(gè)角合成一個(gè)平角，說明∠B的一條邊是BC的延長(zhǎng)線，還出現(xiàn)了一條過點(diǎn)C的直線l，移動(dòng)后的∠B和∠A各有一條邊在l上．由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”或“同位角相等，兩直線平行”可知l∥AB，進(jìn)而想出證明三角形內(nèi)角和是180°的另一種方法：如圖，延長(zhǎng)BC，過點(diǎn)C作直線l，使l∥AB.∵l∥AB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5.∵∠3，∠4，∠5組成平角，∴∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.拓展：由三角形內(nèi)角和定理可知，任意一個(gè)三角形中，至少有兩個(gè)銳角，至多有一個(gè)鈍角或直角，且三角形中最大的內(nèi)角不小于60°.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】為了證明三角形的內(nèi)角和是180°，王老師給出了如圖所示作輔助線的方法(過點(diǎn)C作CD∥AB)，請(qǐng)按照這個(gè)思路完成證明.解：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°.∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，∴∠B＋∠ACB＋∠ACD＝180°，即∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.解的拼合方法，是將三角形的兩個(gè)內(nèi)角移到第三個(gè)內(nèi)角的兩側(cè)．過△ABC的頂點(diǎn)A作直線l平行于△ABC的邊BC，即可實(shí)現(xiàn)上述目的．讓學(xué)生體會(huì)直線l是因?yàn)榻鉀Q問題的需要自然產(chǎn)生的，使三角形的三個(gè)內(nèi)角與組成平角的三個(gè)角分別相等，從而得出要證明的結(jié)論．教師可以告訴學(xué)生，三角形內(nèi)角和定理的證明方法有很多，但不管哪種方法，其根本思路都是設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化為“平角”或“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”來(lái)解題，這是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)．注意跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)做題時(shí)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和書寫的規(guī)范性.活動(dòng)三：知識(shí)升華，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖通過例題講述引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷使用三角形內(nèi)角和定理解題的過程，強(qiáng)化知識(shí)的掌握例1(教材P12例1)如圖，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分線.求∠ADB的度數(shù).分析：∠ADB是△ABD的一個(gè)內(nèi)角，在△ABD中，B＝75°，如果能求出∠BAD的度數(shù)，就能求出∠ADB的度數(shù).解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分線，得∠BAD＝12∠BAC＝20°.在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°＝85°.【教學(xué)建議】通過例題教學(xué)使學(xué)生養(yǎng)成說理的思維習(xí)慣，培養(yǎng)邏輯論證能力．例1是利用三角形內(nèi)角和定理解幾何題，例2則結(jié)合了實(shí)際背景．例2中，給出了一教學(xué)步驟師生活動(dòng)程度，并做練習(xí)題進(jìn)行鞏固.例2(教材P12例2)如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？分析：A，B，C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.由AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°.所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°.在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.問題對(duì)于例2，你還能想出其他解法嗎？如圖，過點(diǎn)C作CF∥AD，則CF∥BE.由CF∥AD，得∠ACF＝∠CAD＝50°.由CF∥BE，得∠BCF＝∠EBC＝40°.所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝50°＋40°＝90°.因?yàn)椤螩AB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°，所以∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P13練習(xí)第1～2題.圖中標(biāo)注出這些角，這樣容易求出∠CAB的度數(shù)．方位角以正北、正南為基準(zhǔn)，所以AD∥BE，從而同旁內(nèi)角互補(bǔ)，這是求出∠ABC的度數(shù)的關(guān)鍵．求出∠CAB，∠ABC的度數(shù)，進(jìn)而可求出∠ACB的度數(shù)．通過例2及后面的問題打造一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散能力．活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】課堂總結(jié)師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.你能證明三角形的內(nèi)角和等于180°嗎？2.用三角形內(nèi)角和定理解題的方法掌握了嗎？能解決與實(shí)際相關(guān)的問題嗎？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P16～17習(xí)題11.2第1，2，3，7，9題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角第1課時(shí)三角形的內(nèi)角和1.三角形內(nèi)角和定理的證明.2.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．教學(xué)步驟師生活動(dòng)教學(xué)反思本節(jié)課的設(shè)計(jì)是先讓學(xué)生動(dòng)手操作，以便使學(xué)生對(duì)三角形的內(nèi)角和有一定感性認(rèn)識(shí)，然后再根據(jù)拼圖說出結(jié)論成立的理由，由淺入深，循序漸進(jìn)，學(xué)生易接受．教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行拼合，可以出現(xiàn)不同的方法，這樣能讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的主動(dòng)性和創(chuàng)新能力.解題大招一三角形內(nèi)角和定理的證明方法證明三角形內(nèi)角和定理的幾種思路歸納：例1請(qǐng)分別按上表中圖③、圖④的思路繼續(xù)下去，證明三角形內(nèi)角和定理．證明：圖③中，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B，∠CED＝∠A.∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠C，∠EDF＝∠CED，∴∠EDF＝∠A.∵∠BDF＋∠EDF＋∠CDE＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.如圖④，標(biāo)注字母E，F(xiàn)，G.∵l1∥l2∥l3，∴∠CAE＝∠ACG，∠CBF＝∠BCG，∠BAE＋∠ABF＝180°，即∠1＋∠CAE＋∠2＋∠CBF＝180°.∴∠1＋∠ACG＋∠2＋∠BCG＝180°，即∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°.解題大招二利用三角形內(nèi)角和定理解決折疊類問題圖形折疊前后，重合的角是相等的，利用這個(gè)性質(zhì)求角度時(shí)一定要找準(zhǔn)相等的角，再用三角形內(nèi)角和定理求有關(guān)的角度．例2(1)如圖，∠ABC＝50°，點(diǎn)D，E分別在射線BA，BC上，將△BED沿著DE折疊，若點(diǎn)B恰好落在射線DA上的點(diǎn)B′處，則∠BEB′的度數(shù)是（B）A．50°B．80°C．100°D．130°解析：∵將△BED沿著DE折疊，點(diǎn)B恰好落在射線DA上的點(diǎn)B′處，∴∠B＝∠BB′E＝50°，∴∠BEB′＝180°－∠B－∠BB′E＝180°－50°－50°＝80°.故選B.(2)把△ABC沿EF翻折，疊合后的圖形如圖所示，若∠A＝60°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)是（C）A．15°B．20°C．25°D．35°解析：∵△ABC沿EF翻折，∴∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，∴180°－∠AEF＝∠1＋∠AEF，180°－∠AFE＝∠2＋∠AFE.∵∠1＝95°，∴∠AEF＝eq\f(1,2)×(180°－95°)＝42.5°.∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠AFE＝180°－60°－42.5°＝77.5°，∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°，∴∠2＝25°.故選C.解題大招三“平行線＋角平分線”情形下利用三角形內(nèi)角和定理求角度此類題具有一定的綜合性與拓展性，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力．題目中給出的平行線＋角平分線的條件的作用是轉(zhuǎn)化角度，其解題核心是三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用．在后面的學(xué)習(xí)中我們將了解“平行線＋角平分線”會(huì)得到等腰三角形，這里感受模型即可．例3如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝eq\f(1,2)∠ACB＝30°，∴∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.又DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°.解題大招四利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)造方程求角度(方程思想)若已知三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及另兩個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系，或只知道三個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系(如度數(shù)之比、角度之間的倍分關(guān)系等)，一般利用“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”列方程(組)求解．例4如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝2∠A，BD是△ABC的角平分線，求∠A與∠ADB的度數(shù)．解：設(shè)∠A＝x°，則∠ABC＝∠C＝2x°.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x°＋2x°＋2x°＝180°，解得x＝36，∴∠A＝36°，∠ABC＝72°.∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°，∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝108°.培優(yōu)點(diǎn)一三角形內(nèi)角和定理與高、角平分線的綜合探究例1如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC.(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度數(shù)；(2)若∠C－∠B＝30°，則∠DAE＝15°；(3)若∠C－∠B＝α(∠C>∠B)，求∠DAE的度數(shù)(用含α的式子表示)．解：(1)由已知可得，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝35°.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝50°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝15°.(2)解析：∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)(180°－∠B－∠C)＝90°－eq\f(1,2)(∠B＋∠C)．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝90°－∠B，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝(90°－∠B)－[90°－eq\f(1,2)(∠B＋∠C)]＝eq\f(1,2)(∠C－∠B)．∵∠C－∠B＝30°，∴∠DAE＝eq\f(1,2)×30°＝15°，故答案為15°.(3)同(2)，∵∠C－∠B＝α，∴∠DAE＝eq\f(1,2)α.模型提煉：已知AE，AD分別為△ABC的角平分線和高(∠B>∠C)．如圖①，AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∠DAE＝eq\f(1,2)(∠B－∠C)；如圖②，AD在△ABC的外部時(shí)，∠DAE＝eq\f(1,2)(∠ABC－∠C)．培優(yōu)點(diǎn)二“8”字模型的綜合探究例2(教材P16T5變式題)如圖①，線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AD，CB，我們把形如圖①的圖形稱為“8字形”．試解答下列問題：在圖①中，請(qǐng)直接寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；(2)仔細(xì)觀察，在圖②中，“8字形”的個(gè)數(shù)為6；(3)在圖②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD，AB分別相交于點(diǎn)M，N，利用(1)的結(jié)論，試求∠P的度數(shù)；(4)在(3)的條件下，若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D，∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？(直接寫出結(jié)論即可)解：(1)解析：在△AOD中，∠AOD＝180°－∠A－