2024～2025學年度八年級數學上冊第2課時 分式的混合運算教學設計

第2課時分式的混合運算教學目標課題15.2.2第2課時分式的混合運算授課人素養(yǎng)目標1.能進行簡單的分式加、減、乘、除、乘方的混合運算，并能化簡求值.2.經歷分式混合運算法則的探究過程，進一步領會類比和轉化的數學思想. 3.能利用分式運算解決簡單的實際問題．培養(yǎng)應用意識，體會邏輯推理的思維價值. 教學重點熟練地進行分式的混合運算．教學難點分式混合運算及化簡求值問題教學活動教學步驟師生活動活動一：知識回顧，導入新課設計意圖溫故知新，為本節(jié)課的探究內容做知識的鋪墊.【復習導入】前面幾節(jié)課我們學習了分式的乘、除、乘方、加、減等運算法則，下面我們來復習一下：1.分式的乘除法法則：.eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d)，eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c).2.分式的加減法法則：eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)，eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad,bd)±eq\f(bc,bd)＝eq\f(ad±bc,bd).3.分式的乘方法則：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn).大家思考一下分式的乘方、乘除、加減混合運算應遵循怎樣的運算順序呢？讓我們進入今天這節(jié)課的學習！【教學建議】教師可分別請同學板書答案，其他同學在下面思考，待完成后集體訂正.活動二：類比探究，獲取新知設計意圖從學生已有的知識出發(fā)，激發(fā)學生的求知欲．經歷思考、交流，歸納出分式混合運算的運算順序.探究點1簡單的分式混合運算問題1下面我們先來回憶一下，分數的混合運算的運算順序是什么？先乘方，再乘除，然后加減.問題2類比分數，猜一猜分式的混合運算順序是什么？教師總結：式與數的混合運算有相同的運算順序，即先乘方，再乘除，然后加減．有括號時，先做括號內的運算，再做括號外的運算.例1(教材P141例7)計算：(eq\f(2a,b))2·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)÷eq\f(b,4).解：原式＝eq\f(4a2,b2)·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)·eq\f(4,b)(先算乘方，再算乘法)＝eq\f(4a2,b2（a－b）)－eq\f(4a,b2)(再算異分母分式減法)＝eq\f(4a2,b2（a－b）)－eq\f(4a（a－b）,b2（a－b）)(再算同分母分式減法)＝eq\f(4a2－4a2＋4ab,b2（a－b）)(分子合并同類項)＝eq\f(4ab,b2（a－b）)(化簡)＝eq\f(4a,ab－b2).【教學建議】不少學生在分式運算中出錯是因為不重視審題，題沒看完就動筆，或者受題中部分算式的特殊結構的影響而不遵循運算順序，所以講課過程中教師需時刻提醒學生注意先審題再動筆去演算.另外，分式混合運算時易出現(xiàn)的錯誤可結合例題講解做出具體的提醒：(1)運算順序易出錯；(2)符號易出錯；(3)分式乘方漏乘；教學步驟師生活動設計意圖通過2個例題（例1為不帶括號的，例2為帶括號的）教學使學生掌握基礎知識、基本的運算方法,并規(guī)范其解題書寫格式，增強學生的運算能力.例2(教材P141例8)計算：對應訓練教材P142練習第1，2題.【對應訓練】教材P142練習第1，2題.(4)忽視分數線的括號作用;(5)運算的最終結果不是最簡分式或整式.設計意圖分式的混合運算是高頻考點，設置此例題是為了體現(xiàn)運算方法的靈活性和運算律的使用.例計算：問題1這樣做完了嗎？教師引導學生觀察：可將a＋b看成一個整體，然后分解因式，從而繼續(xù)解答．接上面的步驟：＝eq\f(（a＋b）－2a（a＋b）,2a)·eq\f(1,a＋b)＝eq\f(（a＋b）（1－2a）,2a)·eq\f(1,a＋b)＝eq\f(1－2a,2a).問題2你還有其他更簡便的解法嗎？另解：原式＝[eq\f(a＋b,2a)－(a＋b)]·eq\f(1,a＋b)＝eq\f(a＋b,2a)·eq\f(1,a＋b)－(a＋b)·eq\f(1,a＋b)＝eq\f(1,2a)－1＝eq\f(1－2a,2a).歸納總結：分式混合運算應根據式子的特點，選擇靈活簡便的方法計算，注意使用運算律．【教學建議】教師需再次強調，分式的混合運算中如果存在整式，可將整式看作分母是1的“分式”，然后依照運算順序及法則進行運算．【教學建議】學生獨立思考，教師引導學生可利用運算律簡化運算，學生將自己的解題過程寫在練習本上．教學步驟師生活動活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：分式混合運算的運算順序是什么樣的？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P146～147習題15.2第6，12，13題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應課時訓練．板書設計第2課時分式的混合運算分式混合運算的順序：先乘方，再乘除，然后加減，遇到括號要先算括號里面的．教學反思在學習這部分內容時，可以根據學生的具體情況，適當增加例題和習題，讓學生熟練掌握分式的運算法則并提高運算能力．但與整式、分數的運算相比，分式的運算步驟多，符號變化復雜，所以在增加例題和習題時，要注意控制難度，特別是不要在分子、分母的因式分解上增加難度．關鍵是讓學生通過基本的練習，弄清運算依據，做到步步有據，降低計算的錯誤率.解題大招一與分式混合運算相關的化簡求值1．直接化簡求值有關分式的化簡求值問題，一般是先把給定的分式運用分式的運算法則化為最簡分式或整式，然后把已知數據代入，求分式的值．例1先化簡，再求值：已知(1－eq\f(1,a))÷(eq\f(a2＋1,a)－2)，其中a＝2.解：(1－eq\f(1,a))÷(eq\f(a2＋1,a)－2)＝eq\f(a－1,a)÷eq\f(a2＋1－2a,a)＝eq\f(a－1,a)·eq\f(a,（a－1）2)＝eq\f(1,a－1).當a＝2時，原式＝eq\f(1,2－1)＝1.2．與非負性結合的分式化簡求值一般這類題的字母的值沒有直接給出，需要利用非負性的特征(幾個非負數或式相加和為0，則每個數或式分別為0)求出字母的值，然后代入化簡后的分式計算即可．初中階段的三個非負性如下：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.絕對值的非負性，即|a|≥0；,2.偶次冪的非負性，即a2≥0；,3.算術平方根的雙重非負性，即\r(a)≥0，a≥0.))例2先化簡，再求值：(eq\f(a2－b2,a2－2ab＋b2)＋eq\f(a,b－a))÷eq\f(b2,a2－ab)，其中a，b滿足|a＋1|＋(b－4)2＝0.解：(eq\f(a2－b2,a2－2ab＋b2)＋eq\f(a,b－a))÷eq\f(b2,a2－ab)＝[eq\f(（a＋b）（a－b）,（a－b）2)－eq\f(a,a－b)]·eq\f(a（a－b）,b2)＝(eq\f(a＋b,a－b)－eq\f(a,a－b))·eq\f(a（a－b）,b2)＝eq\f(b,a－b)·eq\f(a（a－b）,b2)＝eq\f(a,b).∵|a＋1|＋(b－4)2＝0，∴a＋1＝0，b－4＝0，解得a＝－1，b＝4.當a＝－1，b＝4時，原式＝－eq\f(1,4).3.化簡后選擇合適的值代入求值這類型一般在選擇合適的數代入時需要注意所選取的值要使原分式有意義，并且要使分式的乘除法有意義．例3先化簡eq\f(x－3,x2－1)÷eq\f(x－3,x2＋2x＋1)－(eq\f(1,x－1)＋1)，再從－1≤x≤3的范圍內選取一個合適的整數作為x的值代入求值．解：eq\f(x－3,x2－1)÷eq\f(x－3,x2＋2x＋1)－(eq\f(1,x－1)＋1)＝eq\f(x－3,（x＋1）（x－1）)÷eq\f(x－3,（x＋1）2)－(eq\f(1,x－1)＋eq\f(x－1,x－1))＝eq\f(x－3,（x＋1）（x－1）)·eq\f(（x＋1）2,x－3)－eq\f(x,x－1)＝eq\f(x＋1,x－1)－eq\f(x,x－1)＝eq\f(1,x－1).∵分式和除法要有意義，∴x≠±1且x≠3.∵－1≤x≤3且x為整數，∴取x＝0.當x＝0時，原式＝eq\f(1,0－1)＝－1.(答案不唯一)解題大招二分式混合運算過程的糾錯題的解法遇到與分式混合運算有關的糾錯題可以從以下常見的幾個錯誤方向來考慮：①計算過程中漏掉了分母；②分式的運算中當分式前面是減號時，忽視分數線的括號作用；③分式的基本性質用錯等．例4下面是某同學化簡(eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)－eq\f(2x＋3,x＋3))÷eq\f(－3x,x＋3)的部分過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：原式＝[eq\f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)－eq\f(2x＋3,x＋3)]·eq\f(x＋3,－3x)①；＝(eq\f(x－3,x＋3)－eq\f(2x＋3,x＋3))·eq\f(x＋3,－3x)②；＝eq\f(x－3－2x＋3,x＋3)·eq\f(x＋3,－3x)③；…(1)該同學第③步開始出現(xiàn)錯誤；請你改正錯誤，然后完成后續(xù)的化簡過程．(2)該分式的值能(填“能”或“不能”)等于0；如果能，則x＝－6.解：(1)由題目中的解答過程可知，第③步開始出現(xiàn)錯誤，正確的過程如下：原式＝[eq\f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)－eq\f(2x＋3,x＋3)]·eq\f(x＋3,－3x)＝(eq\f(x－3,x＋3)－eq\f(2x＋3,x＋3))·eq\f(x＋3,－3x)＝eq\f(x－3－2x－3,x＋3)·eq\f(x＋3,－3x)＝eq\f(－x－6,x＋3)·eq\f(x＋3,－3x)＝eq\f(x＋6,3x).(2)解析：令eq\f(x＋6,3x)＝0，解得x＝－6，當x＝－6時，原分式有意義，∴該分式的值能等于0，此時x的值為－6.培優(yōu)點逆運算型分式的混合運算例老師在黑板上寫了一個分式混合運算的正確計算結果，隨后用手遮住了原式的一個式子，如下：（－eq\f(x2－1,x2－2x＋1)