2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2課時(shí) 含30°角的直角三角形的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)課題13.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握含30°角的直角三角形的邊角性質(zhì).2.經(jīng)歷探究含30°角的直角三角形性質(zhì)的過(guò)程，提升推理能力.3.合理應(yīng)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖由熟悉的三角板引入課題.【情境引入】我們經(jīng)常使用的三角板，其中一塊含有30°的銳角．量一量30°角所對(duì)的直角邊的長(zhǎng)度，再量一量這塊三角板斜邊的長(zhǎng)度，它們有什么關(guān)系？大膽猜一猜.【教學(xué)建議】讓學(xué)生測(cè)量后自由回答.活動(dòng)二：觀察猜想，探究求證設(shè)計(jì)意圖結(jié)合等邊三角形的知識(shí)推出含30°角的直角三角形的性質(zhì).探究點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)如圖，將兩個(gè)含30°角的全等的三角尺擺放在一起．你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB\之間的數(shù)量關(guān)系嗎？問(wèn)題1兩個(gè)三角尺構(gòu)成的圖案，恰好是一個(gè)三角形嗎？是的．∠ACB＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，所以點(diǎn)B，C，D在一條直線上．所以兩個(gè)三角尺構(gòu)成的圖案恰好是一個(gè)三角形.問(wèn)題2△ABD是不是等邊三角形？說(shuō)明理由.是．因?yàn)閮蓚€(gè)三角形尺全等，所以AB＝AD.因?yàn)椤螧AC＝∠DAC＝30°，所以∠BAD＝30°＋30°＝60°.所以△ABD是等邊三角形.問(wèn)題3你能說(shuō)說(shuō)BC與AB的長(zhǎng)度關(guān)系嗎？BC＝eq\f(1,2)AB.理由：因?yàn)锽C＝CD，所以BC＝eq\f(1,2)BD.因?yàn)椤鰽BD是等邊三角形，所以BD＝AB.所以BC＝eq\f(1,2)AB.你還能用其他方法證明上面的結(jié)論嗎？已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.求證：BC＝eq\f(1,2)AB.證明：如圖，在AB邊上截取BE＝BC，連接CE.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.又BE＝BC，∴△BCE是等邊三角形.∴BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°.又∠A＝30°，∴∠A＝∠ACE.∴AE＝CE＝BC＝BE.∴BC＝eq\f(1,2)AB.【教學(xué)建議】給學(xué)生強(qiáng)調(diào)，使用含30°角的直角三角形的性質(zhì)時(shí)，其前提是在直角三角形中，不要忽視.這個(gè)結(jié)論的逆命題也是成立的，即直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么它所對(duì)的角等于30°(教學(xué)中不必補(bǔ)充，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可做適當(dāng)介紹)..教學(xué)步驟師生活動(dòng)歸納：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1．教材P81練習(xí)．2.如圖,∠AOB＝30°,點(diǎn)C在射線OB上，若OC＝6，則點(diǎn)C到OA的距離等于3.活動(dòng)三：實(shí)際應(yīng)用，加深理解設(shè)計(jì)意圖例1與對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1是在實(shí)際場(chǎng)景中運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，注意體會(huì)直角三角形中角與邊的聯(lián)系.設(shè)計(jì)意圖利用例2與對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2補(bǔ)充應(yīng)用場(chǎng)景，注意體會(huì)含30°角的直角三角形的性質(zhì)的其他應(yīng)用形式.例1(教材P81例5)如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多長(zhǎng)？解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AD.∴BC＝eq\f(1,2)×7.4＝3.7(m).又AD＝eq\f(1,2)AB，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×3.7＝1.85(m).答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.例2如圖，燈塔C在海島A的北偏東75°方向，某天上午8點(diǎn)，一條船從海島A出發(fā)，以15nmile/h的速度由西向東航行，上午10時(shí)整到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔C在B處的北偏東60°方向.(1)求B處到燈塔C的距離；(2)已知在以燈塔C為中心，周圍16nmile的范圍內(nèi)均有暗礁，若該船繼續(xù)由西向東航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)你說(shuō)明理由.解：(1)根據(jù)題意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30(nmile)，∴∠ACB＝30°－15°＝15°.∴∠BAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30nmile.答：B處到燈塔C的距離為30nmile.(2)會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.∵∠CBD＝30°，BC＝30nmile，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝15nmile.∵15<16，∴該船繼續(xù)由西向東航行會(huì)有觸礁的危險(xiǎn).【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，其中∠A＝30°，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，BC，DE垂直于橫梁AC，DE＝2m，求AB的長(zhǎng).解：∵DE⊥AE，∠A＝30°，∴AD＝2DE.∵D是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2AD＝4DE＝8m.2.一張展開后桌面平行于地面的折疊型方桌如圖甲，從正面看如圖乙，已知AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝40cm，現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度∠AOB剛好為120°，求桌面到地面的距離.【教學(xué)建議】通過(guò)例1與對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1給學(xué)生說(shuō)明，在運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)時(shí)，斜邊與直角邊可以互相推出.【教學(xué)建議】通過(guò)例2與對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2給學(xué)生說(shuō)明，有時(shí)直角三角形沒(méi)有直接給出，需先作垂線構(gòu)造直角三角形，再運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)．其中，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離作垂線段是一種常見的考查形式.教學(xué)步驟師生活動(dòng)解：如圖乙，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.∵AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝40cm，∴AD＝AO＋DO＝50＋40＝90(cm).∵AO＝BO，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝eq\f(180°－120°,2)＝30°.∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×90＝45(cm).又桌面與地面平行，∴可知桌面到地面的距離是45cm.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊與斜邊有什么關(guān)系？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P83習(xí)題13.3第15題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．教學(xué)反思在探究30°角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系時(shí)，學(xué)生說(shuō)理的方法比較多樣化，在教學(xué)中對(duì)于這種現(xiàn)象，要盡可能地對(duì)學(xué)生進(jìn)行肯定.解題大招一尋找隱含的30°角解題在運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)時(shí)，有時(shí)30°角題目中并沒(méi)有直接給出，這時(shí)需仔細(xì)觀察圖形，找出隱藏的30°角．如，碰到等邊三角形，則考慮60°角的余角為30°，或60°角平分后得到30°角；碰到底角為15°的等腰三角形，則考慮利用三角形外角的性質(zhì)得到30°的角．例1如圖，在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，AB＝4.求CE的長(zhǎng)．分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CD的長(zhǎng)，又由DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，則可進(jìn)一步求得CE的長(zhǎng)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°，AC＝AB＝4.∵D是AC的中點(diǎn)，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝2.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°－∠C＝30°.∴CE＝eq\f(1,2)CD＝1.例2如圖，在等邊三角形ABC中，M是BC的中點(diǎn)，MN⊥AB，垂足為N，連接AM，求證：AM＝2MN.分析：利用等邊三角形的性質(zhì)及△ABC“三線合一”的性質(zhì)推知∠BAM＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.又M為BC的中點(diǎn)，∴∠BAM＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°.∵M(jìn)N⊥AB，∴AM＝2MN.例3如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB邊的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，且BD＝13cm，求AC的長(zhǎng)．解：∵AB邊的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，∴AD＝BD＝13cm.∴∠DAE＝∠B＝15°.∴∠ADC＝∠DAE＋∠B＝30°.又∠ACB＝90°，∴AC＝eq\f(1,2)AD＝6.5cm.例4如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一點(diǎn)，且∠BAP＝90°，CP＝6cm.求BP的長(zhǎng)．分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及等角對(duì)等邊求得AP＝CP，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得BP的長(zhǎng)即可．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠BAC＝120°，∠BAP＝90°，∴∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝30°.∴∠C＝∠PAC.∴AP＝CP＝6cm.∵∠BAP＝90°，∠B＝30°，∴BP＝2AP＝12cm.解題大招二先構(gòu)造直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解題類型1作輔助線形成斜邊例5如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，斜邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，AE＝8cm，求BC的長(zhǎng)．分析：連接BE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE＝AE＝8cm，從而可得∠ABE＝15°，然后利用三角形外角的性質(zhì)可得∠CEB＝30°，最后在Rt△CEB中利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．解：如圖，連接BE.∵DE是AB的垂直平分線，∴BE＝AE＝8cm.∴∠ABE＝∠A＝15°.∴∠CEB＝∠A＋∠ABE＝30°.∵∠C＝90°，∴BC＝eq\f(1,2)BE＝4cm.類型2作輔助線形成直角邊例6如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝18，點(diǎn)D在BC上，AD＝AC，若BD＝5，求CD的長(zhǎng)．分析：解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，則∠AEB＝90°.∵∠B＝60°，∴∠BAE＝90°－∠B＝30°.∴BE＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝18，∴BE＝9.∵BD＝5，∴DE＝BE－BD＝9－5＝4.∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CD＝2DE＝8.培優(yōu)點(diǎn)利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，解決以下問(wèn)題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為等邊三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為直角三角形？分析：(1)根據(jù)等邊三角形的判定條件列方程求出t的值；(2)分兩種情況討論：①∠DEC為直角，②∠EDC為直角，在兩種情況下分別利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半列方程求出t的值．解：(1)根據(jù)題意可得AD＝tcm，CD＝(6－t)cm，CE＝2tcm.∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°－∠B＝60°，∴當(dāng)CD＝CE時(shí)，