集合的概念教學(xué)設(shè)計（人教A 版）

集合的概念教學(xué)設(shè)計

（人教A版）

教材分析

由于空間時間維度的不同，同一個事物會有不同的解釋，如：在平面內(nèi)，所有到定點的距離等

于定長的點組成一個圓；而在空間中，所有到定點的距離等于定長的點組成一個球面。因此明確研

究對象、確定研究范圍是研究數(shù)學(xué)問題的根底。為了簡潔、準(zhǔn)確地表達數(shù)學(xué)對象及研究范圍，我們

需要使用集合的語言和工具。作為高中數(shù)學(xué)的第一節(jié)，本節(jié)主要通過實例研究研究集合的含義，表

示方法及表示方法，比擬簡單。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)

i.了解集合的含義；理解元素與集合的“屬于”與"不屬于"關(guān)系；熟記常用數(shù)集專用符號.

2.深刻理解集合元素確實定性、互異性、無序性；能夠用其解決有關(guān)問題.

3.會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合。感受集合語言的意義和作用。

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；

2.邏輯推理：集合的互異性的辨析與應(yīng)用；

3.數(shù)學(xué)運算：集合相等時的參數(shù)計算，集合的描述法轉(zhuǎn)化為列舉法時的運算；

4.數(shù)據(jù)分析：元素在集合中對應(yīng)的參數(shù)滿足的條件；

5.數(shù)學(xué)建模：用集合思想對實際生活中的對象進行判斷與歸類。

教學(xué)重難點

重點：集合的根本概念，集合中元素的三個特性，元素與集合的關(guān)系，集合的表示方法.

難點：元素與集合的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎揪唧w問題中的集合.

課前準(zhǔn)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

教學(xué)過程

一、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本2-5頁，思考并完成以下問題

1.集合和元素的含義是什么？各用什么字母表示?

2.集合有什么特性？

3.元素和集合之間有哪兩種關(guān)系？有什么符號表示？

4.常見的數(shù)集有哪些？用什么字母表示？

5.集合有哪兩種表示方法？它們?nèi)绾味x？

6.它們各自有什么特點？

7.它們使用什么符號表示？

要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表答復(fù)以下問題。

二、知識歸納、梳理

1.元素與集合的概念

(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素.元素常用小寫的拉丁字母小b,c,…表示.

(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集).集合通常用大寫的拉丁字母A,B,C,...

表示.

(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的.

(4)元素的特性：確定性、無序性、互異性.

2.元素與集合的關(guān)系

關(guān)系語言描述記法讀法

屬于a是集合A中的元素a￡Aa屬于集合A

不屬于a不是集合A中的元素砥4a不屬于集合4

3.常用的數(shù)集及其記法

常用的數(shù)正整整數(shù)有理

自然數(shù)集實數(shù)集

集數(shù)集集數(shù)集

記法NN*ZQR

4.列舉法

把集合的元素一一列舉出來出來,并用花括號"{}"括起來表示集合的方法叫做列舉法.

5.描述法

(1)定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(變化)范圍,再畫一條豎線,

在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

三、典例分析、舉一反三

題型一集合的含義

例1考查以下每組對象，能構(gòu)成一個集合的是()

①某高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生；

②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點；

③不小于3的自然數(shù)；

?20xx年第23屆冬季奧運會金牌獲得者.

A.③④B.②③④C.②③D.②④

【答案】B

解題技巧：(判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn))

判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就

可以組成集合；否則，不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.

跟蹤訓(xùn)練一

1.給出以下說法：

①中國的所有直轄可以構(gòu)成一個集合；

②高一(1)班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個集合；

③正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個集合；

④大于2013且小于2018的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合.

其中正確的有.(填序號)

【答案】①③

題型二元素與集合的關(guān)系

例2(1)以下關(guān)系中，正確的有()

嗎GR；②/任Q；③3|WN；④|f|GQ.

A.1個B.2個C.3個D.4個

(2)集合A中的元素x滿足±GN,xSN,則集合A中的元素為.

【答案】(1)C⑵0,1,2

解題技巧：判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在集合中是否出現(xiàn)即可。

(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即

可，此時應(yīng)首先明確集合中的元素具有什么特征。

跟蹤訓(xùn)練二

2.集合A中有四個元素0,1,2,3,集合B中有三個元素0,1,2,且元素“GA,屣B,則“的值為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】："6A,aCB,...由元素與集合之間的關(guān)系知，。=3.

3.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?/p>

A={x\x=3k+2,kWZ},B={x\x=6m~\,m&Z},則有：17A；-5A.

【答案】任e

【解析】令女+2=17得，k=5CZ.所以17CA.

7

令北+2=—5得，％=一§￡乙所以一5《4

題型三集合中元素的特性及應(yīng)用

例3集合A含有兩個元素a和〃，假設(shè)1C4,則實數(shù)a的值為.

【答案】-1

【解析】假設(shè)1GA,則”=1或『=1，即。=±|.

當(dāng)“=1時，集合A有重復(fù)元素，不符合元素的互異性，，由4；

當(dāng)。=一1時，集合A含有兩個元素1,-1,符合元素的互異性.??“=一1.

變式1.［變條件］本例假設(shè)將條件"1CA”改為"2CA”,其他條件不變，求實數(shù)a的值.

【答案】a=2,或a=巾,或。=一啦

【解析】假設(shè)2GA,則〃=2或4=2,即a=2,或4=小，或〃=一6.

變式2.［變條件］本例假設(shè)去掉條件“1GA”,其他條件不變，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

【答案】"。且"1

【解析】假設(shè)A中有兩個元素“和小，則由存/解得存。且存1

變式3.［變條件］集合A含有兩個元素1和層，假設(shè)““GA”,求實數(shù)。的值.

【答案】a=0

【解析】由aGA可知，

當(dāng)“=1時，此時“2=1,與集合元素的互異性矛盾，所以

當(dāng)時，”=0或1（舍去）.綜上可知，a=0.

解題技巧：（根據(jù)集合中元素的特性求解字母取值（范圍）的3個步驟）

/求解據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值

/檢驗/阡根據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進行檢函

,I一，

/作答/T寫出所有符合題意的字母的取值

題型四用列舉法表示集合

例4用列舉法表示以下集合.

（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；

（2）方程V=x的所有實數(shù)解組成的集合；

⑶直線y=2x+l與y軸的交點所組成的集合.

【答案】見解析

【解析】（1）因為不大于10是指小于或等于10,非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非

負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}.

⑵方程爐=》的解是x=0或x=l或X=-1,所以方程的解組成的集合為{0,1,-I).

⑶將x=0代入y=2x+l,得y=l,即交點是(0,1),

故兩直線的交點組成的集合是{(0,1)}.

解題技巧(用列舉法表示集合的三個步驟)

1.求出集合的元素；

2.把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次；

3.用花括號括起來。

跟蹤訓(xùn)練四

4.假設(shè)集合4={(1,2),(3,4)},則集合A中元素的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】集合A={(1,2),(3,4)}中有兩個元素(1,2)和(3,4).

5.用列舉法表示以下給定的集合：

(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A

(2)方程9=0的實數(shù)根組成的集合B方.

(3)一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點組成的集合D

【答案】見解析

【解析1(1)因為大于1且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.

(2)方程d—9=0的實數(shù)根為一3,3,所以8={-3,3}.

所以一次函數(shù)y=x+3與y=—2x+6的交點為(1,4),所以。={(1,4)}.

題型五用描述法表示集合

例5用描述法表示以下集合：

(1)被3除余1的正整數(shù)的集合；

(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的點的集合；

(3)大于4的所有偶數(shù).

【答案】見解析

【解析】(1)根據(jù)被除數(shù)=商、除數(shù)+余數(shù)，可知此集合表示為{x|x=3〃+l,〃CN}.

(2)第一象限內(nèi)的點的橫、縱坐標(biāo)均大于零，故此集合可表示為{(x,以r>0,y>0}.

(3)偶數(shù)可表示為2"，"GZ,又因為大于4,故e3,從而用描述法表示此集合為{x|x=2〃，“6Z且

n>3}.

解題技巧(描述法表示集合的2個步驟)

分清楚集合中的元素是點還是數(shù)或是其

寫代表元素

他的元素

明確元素將集合中元素所具有的公共特征,寫在豎

的特征線的后面

跟蹤訓(xùn)練五

6.用符號"e"或性”填空：

(1)4={川/一》=0},則1________A，-1A；

(2)(1,2){(x,y)|y=x+l}.

【答案】(1)C￡(2)￡

【解析】⑴易知A={0,l}，故IWA,-ISA；

(2)將x=l,y=2代入y=x+l,等式成立.

7.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录希?/p>

⑴集合P^{x\x=2n,0<n<2且〃GN}；

⑵拋物線了=『一法與x軸的公共點的集合；

(3)直線y=x上去掉原點的點的集合.

【答案】見解析

【解析】(1)列舉法：P-{0,2,41.

⑵描述法："jx,y

尸0，

或列舉法：{(0,0),(2,0)}.

(3)描述法：{(x,y)|y=x,#0}.

題型六集合表示法的綜合應(yīng)用

例6⑴假設(shè)集合A={xWR|a『+2x+1=0,?GR}中只有一個元素，則

()

A.1B.2C.0D.0或1

5

[，則集合卜卜一吳一a=01中所有元素之積為

“I

-

2

9

D-

2)2

【解析】(1)當(dāng)。=0時，原方程變?yōu)?x+l=0,此時》=一去符合題意;

當(dāng)今0時，方程加+2%+1=0為一元二次方程，

/=4-4“=0,即。=1,原方程的解為x=-1,符合題意.

故當(dāng)。=0或。=1時，原方程只有一個解，此時A中只有一個元素.

(2)因為『一必一'|=0],所以解得：

9*

當(dāng)〃=號時，方程f一號+?=0的判別式/=（一當(dāng)）2-

4X2

9

所以集合卜|『一號x+?=01的所有元素的積為方程的兩根之積等~

2

解題技巧：（集合表示法中元素與集合的關(guān)系）

1.假設(shè)集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合屬性是關(guān)鍵；

2.假設(shè)集合是用列舉法表示的，把握元素的共同特征是關(guān)鍵；

跟蹤訓(xùn)練六

8.集合4={尤”—以+。=0},假設(shè)A={2,3},求a,6的值.

【答案】見解析

［2+3=a,

【解析】由4={2,3}知，方程x2—ax+b=O的兩根為2,3,由根與系數(shù)的關(guān)系得，因此

（2x3=6,

a=5,b=6.

9.設(shè)集合奈SNj'.試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；用列舉法表示集合區(qū)

【答案】見解析

【解析】（1）當(dāng)x=l時，S=2GN.

當(dāng)x=2時,三3=%N.所以1GB,2c及

乙I乙乙

（2）V^^GN,xCN,；.2+x只能取2,3,6.

???x只能?。ǎ?1,4.二8={0,1,4}.

題型七集合含義的拓展

例7用描