人教A版（2019）必修第二冊(cè)第七章7.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 教學(xué)設(shè)計(jì)

人教A版（2019）必修第二冊(cè)第七章7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容人教A版（2019）必修第二冊(cè)第七章7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念。本節(jié)課我們將探討以下內(nèi)容：

1.實(shí)數(shù)的擴(kuò)充及數(shù)系的發(fā)展歷程；

2.復(fù)數(shù)的定義及其表示方法；

3.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系；

4.復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)平面概念；

5.復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析1.掌握數(shù)系擴(kuò)充的歷史背景，提高數(shù)學(xué)抽象思維能力，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性與發(fā)展性；

2.理解并運(yùn)用復(fù)數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；

3.比較分析復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，增強(qiáng)邏輯推理和數(shù)學(xué)分析能力；

4.探索復(fù)數(shù)的幾何意義，提高空間想象力和直觀想象能力；

5.掌握復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了實(shí)數(shù)的概念、性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)則，了解了數(shù)系的發(fā)展過程，具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邏輯思維能力。

2.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣濃厚，具備一定的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。在學(xué)習(xí)過程中，他們傾向于通過實(shí)際例題和圖形來理解和掌握知識(shí)，具有一定的直觀想象力和空間思維能力。

3.學(xué)生可能在新概念復(fù)數(shù)的引入和運(yùn)算規(guī)則上遇到困難，特別是在理解復(fù)數(shù)的幾何意義和解決復(fù)數(shù)相關(guān)問題方面可能感到挑戰(zhàn)。此外，對(duì)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系的理解也可能成為學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。部分學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時(shí)，可能缺乏自信和耐心，需要教師給予鼓勵(lì)和引導(dǎo)。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源1.硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備、投影儀、白板、計(jì)算器。

2.軟件資源：PPT課件、教學(xué)視頻、數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）。

3.課程平臺(tái)：學(xué)校網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)、數(shù)字化教室。

4.信息化資源：電子教材、在線數(shù)學(xué)工具、教學(xué)互動(dòng)軟件。

5.教學(xué)手段：課堂講解、小組討論、互動(dòng)問答、案例教學(xué)、實(shí)際操作。教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸了實(shí)數(shù)，了解了數(shù)系的發(fā)展過程。今天，我們將進(jìn)一步探討數(shù)系的擴(kuò)充，引入一個(gè)全新的概念——復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)和實(shí)際應(yīng)用中具有廣泛的影響，現(xiàn)在，讓我們共同揭開復(fù)數(shù)的神秘面紗。

2.基本概念與性質(zhì)

首先，我們來看一下復(fù)數(shù)的定義。復(fù)數(shù)是由實(shí)部和虛部組成的數(shù)，通常表示為a+bi（其中a和b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，滿足i2=-1）。這里，a是復(fù)數(shù)的實(shí)部，b是復(fù)數(shù)的虛部。

（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，討論實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。）

3.數(shù)系擴(kuò)充的歷史背景

在了解復(fù)數(shù)的概念后，我們來回顧一下數(shù)系擴(kuò)充的歷史背景。從自然數(shù)到整數(shù)，再到分?jǐn)?shù)、實(shí)數(shù)，數(shù)系的發(fā)展是為了解決實(shí)際問題和滿足數(shù)學(xué)發(fā)展的需要。那么，復(fù)數(shù)的引入又有何重要意義呢？

（通過PPT展示數(shù)系擴(kuò)充的歷史背景，引導(dǎo)學(xué)生了解復(fù)數(shù)的發(fā)展過程。）

4.復(fù)數(shù)的幾何意義

現(xiàn)在，我們來探討復(fù)數(shù)的幾何意義。復(fù)數(shù)可以在復(fù)平面上表示為一個(gè)點(diǎn)，其實(shí)部表示橫坐標(biāo)，虛部表示縱坐標(biāo)。例如，復(fù)數(shù)1+2i在復(fù)平面上的位置是（1，2）。

（利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra展示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的表示，幫助學(xué)生直觀地理解復(fù)數(shù)的幾何意義。）

5.復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算

（1）加法和減法

復(fù)數(shù)的加法和減法實(shí)際上是實(shí)部和虛部分別相加或相減。例如：

(1+2i)+(3+4i)=(1+3)+(2+4)i=4+6i

(1+2i)-(3+4i)=(1-3)+(2-4)i=-2-2i

（2）乘法

復(fù)數(shù)的乘法遵循以下規(guī)則：

(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

例如：

(1+2i)*(3+4i)=(1*3-2*4)+(1*4+2*3)i=-5+10i

（3）除法

復(fù)數(shù)的除法可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)來實(shí)現(xiàn)。共軛復(fù)數(shù)是將復(fù)數(shù)的虛部變號(hào)，例如，復(fù)數(shù)a+bi的共軛復(fù)數(shù)為a-bi。

例如：

(3+4i)/(1+2i)=(3+4i)*(1-2i)/(1+2i)*(1-2i)=(3-6i+4i-8i2)/(1-2i+2i-4i2)=(11-2i)/5

6.應(yīng)用與拓展

現(xiàn)在，我們已經(jīng)掌握了復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算規(guī)則，接下來，我們來看一些復(fù)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

（1）電流與電壓

在電路中，電流和電壓可以表示為復(fù)數(shù)。通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算，我們可以分析電路的特性，如阻抗、相位等。

（2）信號(hào)處理

在信號(hào)處理領(lǐng)域，復(fù)數(shù)用于表示信號(hào)的幅度和相位。通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的濾波、調(diào)制等操作。

7.總結(jié)與作業(yè)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、基本運(yùn)算及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。希望大家能夠掌握這些知識(shí)，并在課后進(jìn)行鞏固。

作業(yè)：

（1）完成教材P347頁的練習(xí)題1、2、3。

（2）思考復(fù)數(shù)在生活中的應(yīng)用，下節(jié)課與同學(xué)們分享。

今天的課程就到這里，同學(xué)們，下節(jié)課再見！拓展與延伸1.拓展閱讀材料

（1）《復(fù)數(shù)及其應(yīng)用》：介紹復(fù)數(shù)的起源、發(fā)展以及在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，幫助學(xué)生更深入地了解復(fù)數(shù)的價(jià)值和意義。

（2）《復(fù)變函數(shù)》：介紹復(fù)變函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)打下基礎(chǔ)。

（3）《復(fù)數(shù)與幾何》：探討復(fù)數(shù)與幾何圖形之間的聯(lián)系，如復(fù)數(shù)的模、輻角等概念，以及復(fù)數(shù)在幾何中的應(yīng)用。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究

（1）研究復(fù)數(shù)的產(chǎn)生背景和發(fā)展過程，了解數(shù)學(xué)家們是如何發(fā)現(xiàn)并研究復(fù)數(shù)的。

（2）探究復(fù)數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的具體應(yīng)用，例如在電子電路、信號(hào)處理、量子力學(xué)等方面的應(yīng)用。

（3）通過數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra、Mathematica等）進(jìn)行復(fù)數(shù)的可視化，觀察復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，加深對(duì)復(fù)數(shù)的理解。

（4）研究復(fù)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則，嘗試解決一些與復(fù)數(shù)相關(guān)的問題，如求解復(fù)數(shù)方程、分析復(fù)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等。

同學(xué)們，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念和基本運(yùn)算，希望大家能夠通過拓展閱讀和課后探究，進(jìn)一步鞏固和深化對(duì)復(fù)數(shù)的理解。同時(shí)，也要關(guān)注復(fù)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際中，提高自己的綜合素質(zhì)。祝大家在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上越走越遠(yuǎn)！典型例題講解例題1：計(jì)算復(fù)數(shù)的和、差、積、商。

（1）計(jì)算(3+4i)+(1-2i)。

解答：(3+4i)+(1-2i)=3+1+(4-2)i=4+2i。

（2）計(jì)算(3+4i)-(1-2i)。

解答：(3+4i)-(1-2i)=3-1+(4+2)i=2+6i。

（3）計(jì)算(3+4i)*(1-2i)。

解答：(3+4i)*(1-2i)=3*1+3*(-2i)+4i*1+4i*(-2i)=3-6i+4i-8i2=11-2i。

（4）計(jì)算(3+4i)/(1-2i)。

解答：(3+4i)/(1-2i)=(3+4i)*(1+2i)/(1-2i)*(1+2i)=(3+6i+4i+8i2)/(1-4i2)=(11+10i)/5=11/5+2i。

例題2：求復(fù)數(shù)的模和輻角。

給定復(fù)數(shù)z=3+4i，求|z|和arg(z)。

解答：復(fù)數(shù)z的模|z|=√(32+42)=√(9+16)=√25=5。

復(fù)數(shù)z的輻角arg(z)=arctan(4/3)。

例題3：解復(fù)數(shù)方程。

解方程z2+(3-4i)z+6-7i=0。

解答：設(shè)z=x+yi，代入方程得：

(x+yi)2+(3-4i)(x+yi)+6-7i=0

x2+2xyi-y2+3x+3yi-4xi-4yi2+6-7i=0

(x2-y2+3x-4y)+(2xy+3y-4x)i=0

解得：

x2-y2+3x-4y=0

2xy+3y-4x=0

解這個(gè)方程組，得到兩組解，分別為：

x=1,y=1或x=2,y=-1

所以，方程的解為z=1+i或z=2-i。

例題4：復(fù)數(shù)與幾何。

在復(fù)平面上，點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+2i、3+4i、5+6i。求向量AB和BC的模。

解答：向量AB=(3+4i)-(1+2i)=2+2i

向量BC=(5+6i)-(3+4i)=2+2i

所以，|AB|=|BC|=√(22+22)=√(4+4)=√8=2√2。

例題5：復(fù)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

某電路中的電壓V和電流I分別為V=10+6iV，I=2+4iA。求該電路的阻抗Z。

解答：阻抗Z=V/I=(10+6i)/(2+4i)=(10+6i)*(2-4i)/(2+4i)*(2-4i)=(20-40i+12i-24i2)/(4-16i2)=(44-28i)/20=2.2-1.4iΩ。教學(xué)反思與改進(jìn)在本次教學(xué)活動(dòng)中，我重點(diǎn)關(guān)注了學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解和復(fù)數(shù)運(yùn)算的掌握。通過課后反思，我發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)需要改進(jìn)的地方：

1.學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解不夠深入。在課堂上，雖然我通過講解和舉例介紹了復(fù)數(shù)的定義，但部分學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)仍然存在誤解。為了幫助學(xué)生更好地理解復(fù)數(shù)，我計(jì)劃在未來的教學(xué)中增加一些互動(dòng)環(huán)節(jié)，如讓學(xué)生自己舉例說明復(fù)數(shù)的應(yīng)用，加深對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解。

2.復(fù)數(shù)運(yùn)算方面，學(xué)生在處理復(fù)數(shù)除法和乘法時(shí)，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。這可能是因?yàn)槲覍?duì)運(yùn)算規(guī)則的講解不夠細(xì)致，導(dǎo)致學(xué)生在實(shí)際操作時(shí)感到困惑。針對(duì)這個(gè)問題，我將在下一節(jié)課中，通過更多典型例題的講解，讓學(xué)生逐步掌握復(fù)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律，并加強(qiáng)課后練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

3.在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義興趣濃厚，但對(duì)復(fù)數(shù)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用了解不足。為了拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，我計(jì)劃在課后布置一些關(guān)于復(fù)數(shù)應(yīng)用的拓展閱讀材料，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)在科學(xué)、工程等領(lǐng)域的重要作用。

針對(duì)以上反思，我制定了以下改進(jìn)措施：

1.在講解復(fù)數(shù)概念時(shí)，增加課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生舉例說明復(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以提高他們對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解。

2.在復(fù)數(shù)運(yùn)算教學(xué)中，加強(qiáng)對(duì)運(yùn)算規(guī)則的講解，通過典型例題的分析和練習(xí)，幫助學(xué)生熟練掌握復(fù)數(shù)運(yùn)算。

3.布置課后拓展閱讀，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

4.在課后練習(xí)中，增加一些綜合性較強(qiáng)的題目，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維和解決問題的能力。

5.定期進(jìn)行教學(xué)反饋，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度和困難，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，提高教學(xué)效果。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)今天我們學(xué)習(xí)了人教A版（2019）必修第二冊(cè)第七章7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念。在本節(jié)課中，我們主要掌握了以下知識(shí)點(diǎn)：

1.實(shí)數(shù)的擴(kuò)充及數(shù)系的發(fā)展歷程；

2.復(fù)數(shù)的定義及其表示方法；

3.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系；

4.復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)平面概念；

5.復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則。

為了檢驗(yàn)大家對(duì)今天所學(xué)知識(shí)的掌握情況，下面進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)：

1.寫出復(fù)數(shù)的定義，并說明復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別。

2.計(jì)算以下復(fù)數(shù)的和、差、積、商：

(1)(3+4i)+(1-2i)

(2)(3+4i)-(1-2i)

(3)(3+4i)*(2+3i)

(4)(3+4i)/(2+3i)

3.求復(fù)數(shù)z=3+4i的模和輻角。

4.解復(fù)數(shù)方程：z2+(3-4i)z+6-7i=0。

5.解釋復(fù)數(shù)在電路、信號(hào)處理等領(lǐng)域的應(yīng)用。

請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n堂上獨(dú)立完成檢測(cè)題目，我會(huì)對(duì)大家的表現(xiàn)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并給予反饋。希望大家能夠通過這次檢測(cè)，鞏固所學(xué)知識(shí)，為接下來的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

1.數(shù)系的擴(kuò)充：自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)

2.復(fù)數(shù)的定義：a+bi（a、b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位）

3.復(fù)數(shù)的表示：實(shí)部、虛部

4.復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)平面上的點(diǎn)

5.復(fù)數(shù)的運(yùn)算