高一數(shù)學(xué)直線方程知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題

直線的一般式方程及綜合【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握直線的一般式方程；2．能將直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等方程化為直線的一般式方程，并理解這些直線的不同形式的方程在表示直線時(shí)的異同之處；3．能利用直線的一般式方程解決有關(guān)問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為Ax+By+C=0，這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式．要點(diǎn)詮釋：1．A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.當(dāng)B≠0時(shí)，方程可變形為，它表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)B=0，A≠0時(shí)，方程可變形為Ax+C=0，即，它表示一條與x軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于x、y的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過(guò)來(lái)，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于x、y的一次方程（如斜率為2，在y軸上的截距為1的直線，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，還可以是4x―2y+2=0等．）要點(diǎn)二：直線方程的不同形式間的關(guān)系直線方程的五種形式的比較如下表：名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)―y1=k(x―x1)（x1，y1）是直線上一定點(diǎn)，k是斜率不垂直于x軸斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點(diǎn)式（x1，y1），（x2，y2）是直線上兩定點(diǎn)不垂直于x軸和y軸截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式Ax+By+C=0（A2+B2≠0）A、B、C為系數(shù)任何位置的直線要點(diǎn)詮釋：在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多（x1≠x2，y1≠y2），應(yīng)用時(shí)若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同．要點(diǎn)三：直線方程的綜合應(yīng)用1．已知所求曲線是直線時(shí)，用待定系數(shù)法求．2．根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．對(duì)于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．（1）從斜截式考慮已知直線,,；于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．（2）從一般式考慮：且或，記憶式（）與重合，，，于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為.【典型例題】類型一：直線的一般式方程例1．根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．（1）斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，―2）；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，2），平行于x軸；（3）在x軸和y軸上的截距分別是，―3；（4）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（3，―2），P2（5，―4）．【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）【解析】（1）由點(diǎn)斜式方程得，化成一般式得x+2y―4=0．（2）由斜截式得y=2，化為一般式得y―2=0．（3）由截距式得，化成一般式得2x―y―3=0．（4）由兩點(diǎn)式得，化成一般式方程為．【總結(jié)升華】本題主要是讓學(xué)生體會(huì)直線方程的各種形式，以及各種形式向一般式的轉(zhuǎn)化，對(duì)于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項(xiàng)、y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列．求直線方程的題目，無(wú)特別要求時(shí)，結(jié)果寫成直線方程的一般式．舉一反三：【變式1】已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角是，求直線的點(diǎn)斜式方程和一般式方程.【答案】【解析】因?yàn)橹本€傾斜角是，所以直線的斜率，所以直線的點(diǎn)斜式方程為：，化成一般式方程為：.例2．的一個(gè)頂點(diǎn)為，、的平分線在直線和上，求直線BC的方程.【答案】【解析】由角平分線的性質(zhì)知，角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以可得A點(diǎn)關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)在BC上，B點(diǎn)關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)也在BC上．寫出直線的方程，即為直線BC的方程.例3．求與直線3x+4y+1=0平行且過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線的方程．【答案】3x+4y―11=0【解析】解法一：設(shè)直線的斜率為k，∵與直線3x+4y+1=0平行，∴．又∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），可得所求直線方程為，即3x+4y―11=0．解法二：設(shè)與直線3x+4y+1=0平行的直線的方程為3x+4y+m=0，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11．∴所求直線方程為3x+4y―11=0．【總結(jié)升華】（1）一般地，直線Ax+By+C=0中系數(shù)A、B確定直線的斜率，因此，與直線Ax+By+C=0平行的直線可設(shè)為Ax+By+m=0，這是常采用的解題技巧．我們稱Ax+By+m=0是與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程．參數(shù)m可以取m≠C的任意實(shí)數(shù)，這樣就得到無(wú)數(shù)條與直線Ax+By+C=0平行的直線．當(dāng)m=C時(shí)，Ax+By+m=0與Ax+By+C=0重合．（2）一般地，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（x0，y0），且與直線Ax+By+C=0平行的直線方程為A(x―x0)+B(y―y0)=0．（3）類似地有：與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為Bx―Ay+m=0（A，B不同時(shí)為零）．舉一反三：【變式1】已知直線：3mx+8y+3m-10=0和：x+6my-4=0.問(wèn)m為何值時(shí):（1）與平行（2）與垂直.【答案】（1）（2）【解析】當(dāng)時(shí)，：8y-10=0；：x-4=0，當(dāng)時(shí)，：；：由，得，由得而無(wú)解綜上所述（1），與平行．（2），與垂直．【變式2】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），且與直線2x+y―10=0垂直的直線的方程．【答案】x－2y=0【解析】因?yàn)橹本€與直線2x+y―10=0垂直，可設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)A（2，1）代入直線的方程得：，所以直線的方程為：x－2y=0．類型二：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題例4．已知直線的傾斜角的正弦值為，且它與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線的方程．【思路點(diǎn)撥】知道直線的傾斜角就能求出斜率，進(jìn)而引進(jìn)參數(shù)——直線在y軸上的截距b，再根據(jù)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，便可求出b．也可以根據(jù)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，設(shè)截距式直線方程，從而得出，再根據(jù)它的斜率已知，從而得到關(guān)于a，b的方程組，解之即可．【答案】或【解析】解法一：設(shè)的傾斜角為，由，得．設(shè)的方程為，令y=0，得．∴直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為，（0，b）．∴，即b2=9，∴b=±3．故所求的直線方程分別為或．解法二：設(shè)直線的方程為，傾斜角為，由，得．∴，解得．故所求的直線方程為或．【總結(jié)升華】（1）本例中，由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說(shuō)．（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問(wèn)題的解決．例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式．在求直線方程的過(guò)程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏．舉一反三：【變式1】（2015春?jiǎn)|市期中）已知直線m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0．（1）求過(guò)兩直線m，n交點(diǎn)且與直線l：x+2y―1=0平行的直線方程；（2）求過(guò)兩直線m，n交點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成面積為4的直線方程．【思路點(diǎn)撥】（1）求過(guò)兩直線m，n交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線平行的斜率關(guān)系即可求與直線l：x+2y―1=0平行的直線方程；（2）設(shè)出直線方程，求出直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【答案】（1）x+2y―4=0；（2）【解析】（1）由，解得，即兩直線m，n交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），設(shè)與直線l：x+2y―1=0平行的直線方程為x+2y+c=0，則2+2×1+c=0，解得c=―4，則對(duì)應(yīng)的直線方程為x+2y―4=0；（2）設(shè)過(guò)（2，1）的直線斜率為k，（k≠0），則對(duì)應(yīng)的直線方程為y―1=k(x―2)，令x=0，y=1―2k，即與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，1―2k）令y=0，則，即與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則△AOB的面積，即，即，若k＞0，則方程等價(jià)為，解得或，若k＜0，則方程等價(jià)為，解得．綜上直線的方程為，或，或即，或，或類型三：直線方程的實(shí)際應(yīng)用例6．（2015春湖北期末）光線從點(diǎn)A（2，3）射出，若鏡面的位置在直線l：x+y+1=0上，反射光線經(jīng)過(guò)B（1，1），求入射光線和反射光線所在直線的方程，并求光線從A到B所走過(guò)的路線長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】求出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，就可以求出反射光線的方程，進(jìn)一步求得入射點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求入射光線方程，可求光線從A到B所走過(guò)的路線長(zhǎng)．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A＇（x0，y0），∵AA＇被l垂直平分，∴，解得∵點(diǎn)A＇（―4，―3），B（1，1）在反射光線所在直線上，∴反射光線的方程為，即4x―5y+1=0，解方程組得入射點(diǎn)的坐標(biāo)為．由入射點(diǎn)及點(diǎn)A的坐標(biāo)得入射光線方程為，即5x―4y+2=0，光線從A到B所走過(guò)的路線長(zhǎng)為．【總結(jié)升華】本題重點(diǎn)考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，考查入射光線和反射光線，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱點(diǎn)的連結(jié)被對(duì)稱軸垂直平分．舉一反三：【變式1】（2016春福建廈門期中）一條光線從點(diǎn)A（－4，－2）射出，到直線y=x上的B點(diǎn)后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn)D（－1，6）．求BC所在直線的方程．【答案】10x－3y+8=0【解析】如圖，A（－4，－2），D（－1，6），由對(duì)稱性求得A（－4，－2）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A＇（－2，－4），D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D＇（1，6），則由入射光線和反射光線的性質(zhì)可得：過(guò)A＇D＇的直線方程即為BC所在直線的方程．由直線方程的兩點(diǎn)式得：．整理得：10x－3y+8=0．例7．如圖，某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE上劃出一塊長(zhǎng)方形土地（不改變方向）建造一幢8層的公寓，如何設(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積．（精確到1m2【答案】6017【解析】建立坐標(biāo)系