湖南省益陽市安化縣兩校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試+數(shù)學(xué)試卷答案

2023-2024學(xué)年下學(xué)期期末自檢高二數(shù)學(xué)一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的概念與運算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：C2.已知，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)（a，），代入，利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】設(shè)（a，），則.因為，所以,即，整理得，所以，解得，所以.故選：C3.設(shè)均為單位向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】對兩邊平方可得答案.【詳解】.故選：B.4.已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式求出，再將原式化為，代入求解即可.【詳解】因為為銳角，所以，又，所以，所以.故選：D.5.已知等比數(shù)列是其前項和，，則（）A. B.8 C.7 D.14【答案】C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求得，結(jié)合等比數(shù)列前項和的定義即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因，可得，即，所以，所以.故選：C.6.通遼是“最美中國文化旅游城市”，境內(nèi)旅游資源豐富，自然景觀優(yōu)美，其中的大青溝，孝莊園文化旅游區(qū)，珠日河草原旅游區(qū)，庫倫三大寺，孟家段國家濕地公園，銀沙灣，可汗山都是風(fēng)景宜人的旅游勝地，某班4個同學(xué)分別從7處風(fēng)景點中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則不同的選擇方案是（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】由題意每位同學(xué)都有7種選擇，利用分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意每位同學(xué)都有7種選擇，則4名同學(xué)共有種選擇方案.故選：D.7.我國古代《九章算術(shù)》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為“芻童”.如圖，在芻童中，，平面與平面之間的距離為3，則此“芻童”的體積為（）A.36 B.46 C.56 D.66【答案】C【解析】【分析】首先說明幾何體為四棱臺，再代入臺體體積公式，即可求解.【詳解】由，，，，且，則交于同一點，該“芻童”為四棱臺，矩形的面積為,矩形的面積為,且上下底面的高為3，所以四棱臺的體積.故選：C8.若，分別是雙曲線：的右支和圓：上的動點，且是雙曲線的右焦點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，雙曲線的左焦點坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的定義及兩點之間線段最短轉(zhuǎn)化計算.【詳解】圓：的圓心，半徑，雙曲線：則，，，設(shè)左焦點為，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、在線段與雙曲線右支、圓的交點時取等號.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小繁給出的遠(yuǎn)項中，有多項待合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.不存在常數(shù)項 B.二項式系數(shù)和為1C.第4項和第5項二項式系數(shù)最大 D.所有項的系數(shù)和為128【答案】AC【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式及賦值法，逐項分析即得.【詳解】因為展開式的通項公式為，對A，由，得(舍去)，所以展開式不存在常數(shù)項，故A正確；對B，二項式系數(shù)和為，故B錯誤；對C，展開式共有項，所以第4項和第5項二項式系數(shù)最大，故C正確；對D，令，得所有項的系數(shù)和為，故D錯誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.有兩個極值點C.點是曲線的對稱中心 D.有兩個零點【答案】ABC【解析】【分析】求導(dǎo)后令，分析單調(diào)性并求出極值，即可判斷ABD，利用函數(shù)對稱性的定義可判斷C。【詳解】，故A正確；令，解得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極小值，在取得極大值，即，，只有一個零點，故B正確D錯誤；，所以關(guān)于對稱，故C正確。故選：ABC11.如圖，正方體的棱長為1，點在截面內(nèi)，且，則（）A.三棱錐的體積為 B.線段的長為C.點的軌跡長為 D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，點到平面的距離為，再通過三棱錐的體積公式計算即可；對于B，設(shè)的中心為，則，通過勾股定理計算即可；對于C，如圖②所示，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成并計算即可；對于D，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)位于點或的位置時，最小，計算即可.【詳解】對于A，在正方體中，易證平面，平面平面，且兩平面間的距離為，又的面積，所以三棱錐的體積故A正確；對于B，如圖①所示，設(shè)的中心為，則，故B錯誤；對于C，如圖②所示，由知，，點軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成，其長度為圓周長的一半故C正確；對于D，，為在方向上的投影，由圖①可知，當(dāng)位于點或的位置時，最小，此時取得最大值，如圖②所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為_____________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的性質(zhì)求出并驗證即得.【詳解】函數(shù)中，，方程的根為，由函數(shù)是奇函數(shù)，得，解得，此時的定義域為，，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以的值為.故答案為：13.鎮(zhèn)江西津渡的云臺閣，是一座宋元風(fēng)格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成為鎮(zhèn)江市的地標(biāo)建筑之一.如圖，在云臺閣旁水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則云臺閣的高度為________米.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用三角函數(shù)分別表示,然后分別中利用余弦定理表示,因為,所以,求出h即可【詳解】設(shè)在中，，.中，,,在中，,.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因為,所以，即，.故答案為：14.設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，且，則雙曲線C的離心率為__.若內(nèi)切圓圓心I的橫坐標(biāo)為2，則的面積為___.【答案】①.②.6【解析】【分析】利用題給條件結(jié)合雙曲線定義求得關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線C的離心率；利用題給條件求得的值，進(jìn)而求得的面積.【詳解】設(shè)以為直徑圓與雙曲線在第一象限的交點設(shè)為，則，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理得，即有，∴.設(shè)內(nèi)切圓與x軸相切于M，M點橫坐標(biāo)為t，則，則,解之得又由內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為2，得，故.故答案為：，6四?解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，再判斷為銳角，即可求出、，從而求出，即可得解；（2）依題意可得，將兩邊平方，結(jié)合及數(shù)量積的運算律求出、，再由面積公式計算可得.【小問1詳解】因為，由余弦定理可得，又，所以，又因為，由正弦定理可得，則，所以為銳角，又，所以，所以，所以．【小問2詳解】由（1）可得，，且，因為，所以，所以，，所以．16.如圖，四棱錐的底面是圓柱底面圓的內(nèi)接矩形，是圓柱的母線，，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明平面平面.（2）以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由平面夾角的向量公式求解即可.【小問1詳解】證明：因為是圓柱的母線，所以平面，而平面，所以.因為底面是圓柱底面圓的內(nèi)接矩形，所以是直徑，從而，又因為，平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】由題意平面，，注意到平面，平面，所以，所以兩兩互相垂直，以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)為平面的法向量，則，令，可得，得平面的一個法向量為，設(shè)為平面的法向量，則，令，可得，得平面的一個法向量.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機(jī)抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售臍橙的情況如下：臍橙數(shù)量/盒購物群數(shù)量/個12183218（1）求實數(shù)的值.并用組中值（每組的中點值）估計這100個購物群銷售臍橙總量的平均數(shù)；（2）假設(shè)所有購物群銷售臍橙的數(shù)量，其中為（1）中的平均數(shù)，.若該臍橙基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售的臍橙在（單位：盒）內(nèi)的群為“級群”，銷售數(shù)量小于256盒的購物群為“級群”，銷售數(shù)量不小于616盒的購物群為“特級群”，該臍橙基地對每個“特級群”獎勵600元，每個“級群”獎勵100，對“級群”不獎勵，則該臍橙基地大約需要準(zhǔn)備多少獎金？（群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若，則，，.【答案】（1）20；平均數(shù)為376（2）獎金約為95700元【解析】【分析】（1）利用頻數(shù)之和等于樣本總數(shù)易得值，利用與頻數(shù)分布表有關(guān)的平均數(shù)公式計算即得；（2）由題意，結(jié)合（1）的結(jié)果易得的值，根據(jù)“級群”，“特級群”的范圍，利用正態(tài)分布曲線的對稱性，求出對應(yīng)的概率，再計算出需準(zhǔn)備的獎金即可.【小問1詳解】由題意得，，解得.則這100個購物群銷售臍橙總量的平均數(shù)為.【小問2詳解】由題意，則，故，故“級群”約有個；，故“特級群”約有個；則依題意，需要資金為元，即該臍橙基地大約需要準(zhǔn)備95700元.18.已知橢圓及直線．（1）若直線與橢圓沒有公共點，求實數(shù)的取值范圍；（2）為橢圓上一動點，若點到直線距離的最大值為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組，根據(jù)題意，利用，即可求得實數(shù)t的取值范圍；（2）根據(jù)題意，把點到直線距離的最大值，轉(zhuǎn)化為與直線平行且與橢圓相切的直線與直線間的距離，由（1）可得直線或直線與橢圓相切，結(jié)合點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【小問1詳解】解：聯(lián)立方程組，整理得，因為直線與橢圓沒有公共點，所以，解得或，所以實數(shù)t的取值范圍為.【小問2詳解】解：由題意，點到直線距離的最大值，等價于與直線平行且與橢圓相切的直線與直線間的距離，由（1）中，，解得或，此時直線或直線與橢圓相切，當(dāng)與之間的距離為時，可得，解得或（舍去）；當(dāng)與之間的距離為時，可得，解得或（舍去），綜上可得，所求直線的方程為或.19.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)，求在點處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時，；【答案】（1