愛(ài)提分中考復(fù)習(xí) 7二輪-相似-第02講 相似（二）(學(xué)生版)

高思愛(ài)提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)學(xué)生輔導(dǎo)講義[學(xué)生版]學(xué)員姓名王李 年級(jí)輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時(shí)間01-1806:30:00-08:30:00 知識(shí)圖譜相似（二）知識(shí)精講一．相似與圓的綜合在圓中，相似三角形的出現(xiàn)一般都伴隨著射影定理和切線與割線問(wèn)題，這類題目的問(wèn)題一般為求解長(zhǎng)度問(wèn)題，利用相似三角形的判定模型與性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求解．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：相似與圓的綜合．二．重難點(diǎn)：相似與圓的綜合三．易錯(cuò)點(diǎn)：相似與圓的綜合圖形關(guān)鍵結(jié)論分析錯(cuò)誤，計(jì)算錯(cuò)誤等．相似與圓的綜合例題例題1、已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)AC⊥BD，OF⊥CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G時(shí)，求證：∠OGA=∠BAC；（2）如圖2，在（1）問(wèn)的條件下，求證：AB=2OF；（3）如圖3，當(dāng)AB=AD，∠BAC=∠BCD，BK⊥AC于點(diǎn)K時(shí)，且AK=1，BD=12，求CD的長(zhǎng)．例題2、如圖，AB為⊙O的直徑，C，E為⊙O上的兩點(diǎn)，AC平分∠EAB，CD⊥AE于D．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，如圖2，判斷CF和AF，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（3）若AD﹣OA=1.5，AC=3，求圖中陰影部分的面積．例題3、如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點(diǎn)M，將沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長(zhǎng)OA至P，使AP=OA，連接PC（1）求CD的長(zhǎng)；（2）求證：PC是⊙O的切線；（3）點(diǎn)G為的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)Q，連接QG交AB于點(diǎn)E．交于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．問(wèn)GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．例題4、如圖1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在BA邊上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F在AC邊上移動(dòng)．（1）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BA，AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段EF．（2）當(dāng)∠EOF=45°時(shí)，①設(shè)BE=x，CF=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍．②若以O(shè)為圓心的圓與AB相切（如圖2），試探究直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．例題5、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，作⊙P交y軸于點(diǎn)A，B，交x軸于C，D兩點(diǎn)，已知A（0，2），D（﹣1，0），且點(diǎn)A是弧DG的中點(diǎn)，連結(jié)DG，AG，DG與y軸交于點(diǎn)E．（1）求證：AE=DE；（2）求P點(diǎn)的坐標(biāo)及CG的長(zhǎng)；（3）如圖2，點(diǎn)Q是⊙P上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸下方，連結(jié)AQ，交DG與點(diǎn)R，當(dāng)△AGR是等腰三角形時(shí)，求GQ的值．（不需要過(guò)程，直接寫(xiě)出答案）隨練隨練1、已知：AB為⊙O的直徑，⊙O的弦CD⊥AB于E，連接OC，BD．（1）如圖1，求證：∠AOC=2∠ABD．（2）如圖2，若點(diǎn)H為弧的中點(diǎn)，CH交AB于G，連接DG，求證：∠DGH=∠OCD．（3）如圖3，在（2）的條件下，若AE=EG，⊙O的半徑為3，求BG的長(zhǎng)．隨練2、如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，C為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作直線CD⊥AE于D，連接AC、BC．（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AD=2，AC=，求AB的長(zhǎng)．隨練3、如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)G，E在CD的延長(zhǎng)線上，EP=EG，（1）求證：直線EP為⊙O的切線；（2）點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，若BG2=BF?BO．試證明BG=PG；（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB=．求弦CD的長(zhǎng)．隨練4、如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個(gè)點(diǎn)，四邊形OABC是平行四邊形，∠FAB=15°，連接OF交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作OF的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AF交直線CD于點(diǎn)H．（1）求證：CD是半圓O的切線；（2）若DH=6﹣3，求EF和半徑OA的長(zhǎng)．隨練5、如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊；以AC中點(diǎn)O為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作⊙O，交BC于E，過(guò)O作OD∥BC交⊙O于D，連接AE、AD、DC．（1）求證：D是的中點(diǎn)；（2）求證：∠DAO=∠B+∠BAD；（3）若，且AC=4，求CF的長(zhǎng)．隨練6、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，且C為的中點(diǎn)，AE交y軸于G點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），AE=8．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）連接MG、BC，求證：MG∥BC；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作⊙M的切線，交x軸于點(diǎn)P．動(dòng)點(diǎn)F在⊙M的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的比值是否發(fā)生變化？若不變，求出比值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律．隨練7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，2）．（1）請(qǐng)用尺規(guī)作出△ABC的外接圓⊙P（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）求出（1）中外接圓圓心P的坐標(biāo)；（3）⊙P上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QBC與△AOC相似？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．隨練8、在△ABC的外接圓⊙O中，△ABC的外角平分線CD交⊙O于點(diǎn)D，F(xiàn)為上﹣點(diǎn)，且=連接DF，并延長(zhǎng)DF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）判斷DB與DA的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：△BCD≌△AFD；（3）若∠ACM=120°，⊙O的半徑為5，DC=6，求DE的長(zhǎng)．隨練9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．過(guò)P，D，B三點(diǎn)作⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長(zhǎng)DQ交⊙Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF．（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不包括A，B兩點(diǎn)）上時(shí)．①求證：∠BDE=∠ADP；②設(shè)DE=x，DF=y．請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展拓展1、如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）求證：BC=AB；（3）點(diǎn)M是的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB=4，求MN?MC的值．拓展2、如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求證：PC=PG；（2）點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為5，若點(diǎn)O到BC的距離為時(shí)，求弦ED的長(zhǎng)．拓展3、已知：如圖，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，且交⊙O于點(diǎn)E，若∠AEC=∠ODB．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）當(dāng)AB=10，BC=8時(shí)，求BD的長(zhǎng)．拓展4、如圖1，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD，垂足為點(diǎn)G，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，與AB相交于點(diǎn)H，與⊙O相交于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：∠E=2∠C；（2）求證：DE=CH；（3）如圖2，連接BE，分別于AD、CD相交于點(diǎn)M、N，當(dāng)OH=2OG，HF=時(shí)，求線段EN的長(zhǎng)．拓展5、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接ED，BE．（1）求證：△ABD∽△AEB；（2）當(dāng)時(shí)，求tanE；（3）在（2）的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點(diǎn)F，若AF=2，求⊙C的半徑．拓展6、如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N．（1）圖中是否存在與△ODM相似的三角形，若存在，請(qǐng)找出并給于證明．（2）設(shè)DM=x，OA=R，求R關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；是否存在整數(shù)R，使得正方形ABCD內(nèi)部的扇形OAM圍成的圓錐地面周長(zhǎng)為π？若存在請(qǐng)求出此時(shí)DM的長(zhǎng)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在動(dòng)點(diǎn)O逐漸向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（OA逐漸增大）的過(guò)程中，△CMN的周長(zhǎng)如何變化？說(shuō)明理由．拓展7、如圖，△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，D是AC邊上一點(diǎn)，連接BD，⊙O為△ABD的外接圓，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交⊙O于點(diǎn)E，連接DE、BE．（1）求證：△BDE是等邊三角形；（2）求△ADE周長(zhǎng)的最小值；（3）當(dāng)AD=2時(shí)，設(shè)⊙O與BC邊的交點(diǎn)為F，過(guò)F作⊙O的切線交AC于G，求CG的長(zhǎng)．拓展8、閱讀資料：小明是一個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的好學(xué)生，他在學(xué)習(xí)了有關(guān)圓的切線性質(zhì)后，意猶未盡，又查閱到了與圓的切線相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：如圖1，已知PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)BA交切線PC與P，連接AC、BC、OC．因?yàn)镻C是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．又因?yàn)椤螧=∠1，所以∠B=∠2．在△PAC與△PCB中，又因?yàn)椋骸螾=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以=，即PC2=PA?PB．問(wèn)題拓展：（Ⅰ）如果PB不經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O（如圖2）等式PC2=PA?PB，還成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；綜合應(yīng)用：（Ⅱ）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，PC是⊙O的切線，C是切點(diǎn)，BA的延長(zhǎng)線交PC于點(diǎn)P；（1）當(dāng)AB=PA，且PC=12時(shí)，求PA的值；（2）D是BC的中點(diǎn)，PD交AC于點(diǎn)E．求證：=．拓展9、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A（-6，0），過(guò)點(diǎn)E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；（