愛提分中考復習 16三輪-二次函數與動點-第02講 二次函數與動點問題（二）(學生版)

高思愛提分演示（KJ)初中數學學生輔導講義[學生版]學員姓名王李 年級輔導科目初中數學學科教師王涵上課時間01-1806:30:00-08:30:00 知識圖譜二次函數與動點問題（二）知識精講面積問題 在直角坐標系中，已知三角形三個頂點的坐標，如果三角形的三條邊中有一條邊與坐標軸平行，可以直接運用三角形面積公式求解三角形面積．如果三角形的三條邊與坐標軸都不平行，則通常有以下方法：1．如圖(1)，過三角形的某個頂點作與軸或軸的平行線，將原三角形分割成兩個滿足一條邊與坐標軸平行的三角形，分別求出面積后相加：

；

2．如圖(2)，首先計算三角形的外接矩形的面積，然后再減去矩形內其他各塊面積：

3．如果只是求解面積最大值或者此時動點的坐標，可以通過平移直線，當直線與拋物線只有一個交點時三角形的面積最大，此時可以直接求出動點坐標，然后再利用上述兩種方法求出面積的最大值．

二次函數與面積綜合問題，主要由動點，動直線，動圖形產生的變化圖形的面積的最值問題．特殊問題二次函數與特殊圖形綜合問題（含圓、線段、角等），線段的數量和位置關系，角的數量關系等．三點剖析考點：面積問題，特殊問題．二．重難點：面積問題，特殊問題．三．易錯點：1．在用點的坐標表示線段長度，進而表示圖形面積的時候一定要保證線段的非負性，可以直接加上絕對值或者是分類討論；2．與動點問題相關的面積問題一定要分析清楚每個階段圖形的形狀，然后再分別求出每個階段下面積的表達式．面積問題例題例題1、如圖是二次函數y=（x+m）2+k的圖象，其頂點坐標為M（1，﹣4）（1）求出圖象與x軸的交點A、B的坐標；（2）在二次函數的圖象上是否存在點P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．例題2、如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB：y=5x﹣5與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C與點B關于原點O對稱，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=3且過點A和C．（1）求點A和點C的坐標；（2）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（3）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D，且在x軸上存在點P使得△DAP的面積為6，直接寫出滿足條件的點P的坐標．例題3、如圖，在平面直角坐標系中，圓M經過原點O，且與x軸、y軸分別相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）兩點．（1）求出直線AB的函數解析式；（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在圓M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數解析式；（3）設（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．例題4、如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的邊EF與BC重合，點G、H分別在AC、AB上運動．（1）當矩形EFGH面積最大時，求EF：GF的值；（2）把圖形以BC所在直線為對稱軸作對稱圖形，點A，H，K，G的對應點分別為A′，H′，K′，G′．①若矩形HH′G′G為正方形時，求三角形AHG的面積；②當AB=AC時，設GF為x（3≤x≤5），三角形AHG的面積記為S1，三角形GG′C的面積記為S2，若令y=+2，求y的最大值．隨練隨練1、已知：二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；（3）若拋物線上有一動點P，使三角形ABP的面積為6，求P點坐標．隨練2、如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°得到平行四邊形A′B′OC′．拋物線y=﹣x2+2x+3經過點A、C、A′三點．（1）求A、A′、C三點的坐標；（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△C′OD的面積；（3）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時M的坐標．隨練3、如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，-1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，3）．（1）求此拋物線的解析式（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積．隨練4、（1）如圖1，把拋物線平移后得到拋物線，拋物線經過點和原點，它的頂點為P，它的對稱軸與拋物線交于點Q，則拋物線的解析式為____________；圖中陰影部分的面積為_____．（2）若點C為拋物線上的動點，我們把時的△ACO稱為拋物線的內接直角三角形．過點做軸的垂線，拋物線的內接直角三角形的兩條直角邊所在直線AC、CO與直線分別交于M、N兩點，以MN為直徑的⊙D與軸交于E、F兩點，如圖2．請問：當點C在拋物線上運動時，線段EF的長度是否會發(fā)生變化？請寫出并證明你的判斷．隨練5、已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點為圓心的圓與y軸相切于點A，與x軸相交于B、C兩點（點B在點C的左邊）．（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在（1）中的拋物線上是否存在點M，使的面積是菱形ABCP面積的．如果存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；如果若不存在，請說明理由；（3）如果一個動點D自點P出發(fā)，先到達y軸上的某點，再到達x軸上某點，最后運動到（1）中拋物線的頂點Q處，求使點D運動的總路徑最短的路徑的長．yyxCBOAP隨練6、如圖，二次函數y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點C，點G是二次函數圖象的頂點，直線GC交x軸于點H（3，0），AD平行GC交y軸于點D．（1）求該二次函數的表達式；（2）求證：四邊形ACHD是正方形；（3）如圖2，點M（t，p）是該二次函數圖象上的動點，并且點M在第二象限內，過點M的直線y=kx交二次函數的圖象于另一點N．①若四邊形ADCM的面積為S，請求出S關于t的函數表達式，并寫出t的取值范圍；②若△CMN的面積等于，請求出此時①中S的值．隨練7、在平面直角坐標系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A，B兩點（點B在第一象限），點D在AB的延長線上．（1）已知a=1，點B的縱坐標為2．①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于點C，求AC的長．②如圖2，若BD=AB，過點B，D的拋物線L2，其頂點M在x軸上，求該拋物線的函數表達式．（2）如圖3，若BD=AB，過O，B，D三點的拋物線L3，頂點為P，對應函數的二次項系數為a3，過點P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F兩點，求的值，并直接寫出的值．隨練8、如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于C，對稱軸與x軸交于H，頂點為M，AC、BM的延長線交于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）若P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），問在此拋物線上是否存在整數n，使？若存在，請求出n；若不存在，請說明理由；（3）P（x，0）為x軸上的一個動點，Q為線段MH上的一動點，若∠CQP=90°，求x的取值范圍．特殊問題例題例題1、若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞€”，拋物線C1：y1=﹣2x2+4x+2與C2：u2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”．（1）求拋物線C2的解析式．（2）點A是拋物線C2上在第一象限的動點，過A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值．（3）設拋物線C2的頂點為C，點B的坐標為（﹣1，4），問在C2的對稱軸上是否存在點M，使線段MB繞點M逆時針旋轉90°得到線段MB′，且點B′恰好落在拋物線C2上？若存在求出點M的坐標，不存在說明理由．例題2、拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P為拋物線上，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標；（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點．當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．例題3、如圖，拋物線y=（x+1）2+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的對稱軸及k的值；（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；（3）點M是拋物線上一動點，且在第三象限．①當M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標；②過點M作PM⊥x軸交線段AC于點P，求出線段PM長度的最大值．例題4、如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=x+m（m為常數）的圖象與x軸交于點A（-3，0），與y軸交于點C．以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）經過A，C兩點，并與x軸的正半軸交于點B．（1）求m的值及拋物線的函數表達式；（2）設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；（3）若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1（x1，y1），M2（x2，y2）兩點，試探究是否為定值，并寫出探究過程．例題5、如圖：拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數關系式及點C的坐標；（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，試判斷△OEF的形狀，請說明理由．并直接寫出△OEF的面積取最小值及此時的點E坐標．隨練拓展拓展1、如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為M（﹣2，﹣4），與x軸交于A、B兩點，且A（﹣6，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數解析式；（2）求△ABC的面積；（3）能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點P，使△APC的面積最大？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由．拓展2、如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當以A，C，D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此時三角形的面積．拓展3、如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、C；拋物線y=﹣x2+bx+c經過B、C兩點，并與x軸交于另一點A．（1）求該拋物線所對應的函數關系式；（2）設P（x，y）是（1）所得拋物線上的一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，交直線BC于點N．①若點P在第一象限內．試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；②求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．拓展4、在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣6mx+5與y軸的交點為A，與x軸的正半軸分別交于點B（b，0），C（c，0）．（1）當b=1時，求拋物線相應的函數表達式；（2）當b=1時，如圖，E（t，0）是線段BC上的一動點，過點E作平行于y軸的直線l與拋物線的交點為P．求△APC面積的最大值；（3）當c=b+n時，且n為正整數，線段BC（包括端點）上有且只有五個點的橫坐標是整數，求b的值．拓展5、如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數y=x2+mx+2的圖像與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交交于點B，且OA：OB=1：2．設此二次函數圖像的頂點為D．（1）求這個二次函數的解析式；（2）將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置．將上述二次函數圖像沿y軸向上或向下平移后經過點C．請直接寫出點C的坐標和平移后所得圖像的函數解析式；（3）設（2）中平移后所得二次函數圖像與y軸的交點為B1，頂點為D1．點P在平移后的二次函數圖像上，且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點P的坐標．拓展6、已知拋物線的頂點是C（0，m）（m＞0，m為常數），并經過點（2m，2m），點D（0，2m）為一定點．（1）求拋物線的解析式；（用含字母m的代數式表示）（2）設點P是拋物線上任意一點，過P作PH⊥x軸，垂足是H，試探究PD與PH的大小關系，并說明理由；（3）設過原點O的直線l與拋物線在第一象限相交于A、B兩點，若DA=2DB，且S△ABD=4，求m的值．拓展7、已知關于x的一元二次方程．（1）求證：無論m取任何實數時，方程總有實數根；（2）關于x的二次函數的圖象經過和兩點．①求這個二次函數的解析式；②把①中的拋物線沿x軸翻折后，再向左平移2個單位，向上平移8個單位得到拋物線．設拋物線交x軸于M、N兩點（點M在點N的左側），點為拋物線在x軸上方部分圖象上的一個動點．當時，直接寫出a的取值范圍．拓展8、已知拋物線C：y=x2﹣3x+m，直線l：y=kx（k＞0），當k=1時，拋物線C與直線l只有一個公共點．（1）求m的值；（2）若直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，直線l與直線l1：y=﹣3x+b交于點P，且，求b的值；（3）在（2）的條件下，設直線l1與y軸交于點Q，問：是否在實數k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，說明理由．拓展9、如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點．Rt△OAB的斜邊OA在x軸的正半軸上，點A的坐標為（2，0），點B在第一象限內，且OB=，∠OBA=90°．以邊OB所在直線折疊Rt△OAB，使點A落在點C處．（1）求證：△OAC為等邊三角形；（2）點D在x軸的正半軸上，且點D的坐標為（4，0）．點P為線段OC上一動點（點P不與點O重合），連接PA、PD．設PC=x，△PAD的面積為y，求y與x之間的函數關系式；（3）在（2）的條件下，當x=時，過點A作AM⊥PD于點M，若k=，求證：二次函數y=-2x2-（7k-3）x+k的圖象關于y軸對稱．拓展10、已知拋物線的頂點為（0，4）且與x軸交于（-2，0），（2，0）．（1）直接寫出拋物線解析式；（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設平移后拋物線的頂點為D