期末考試點(diǎn)對(duì)點(diǎn)壓軸題訓(xùn)練(二)(B卷22、23題)(原卷版+解析)

期末考試點(diǎn)對(duì)點(diǎn)壓軸題訓(xùn)練（二）（B卷22、23題）1．如圖，，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，以為邊在上方作等邊三角形，連接，則的最小值為_(kāi)__________．2．如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在射線OA，OB上（都不與點(diǎn)O重合），且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)，那么以下四個(gè)結(jié)論：①PM＝PN恒成立；②MN的長(zhǎng)不變；③OM+ON的值不變；④四邊形PMON的面積不變．其中正確的為_(kāi)____．（填番號(hào)）3．如圖，在中，，為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在的右側(cè)作，使得，，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_______．4．如圖，在銳角中，，，△ABC的面積為8，為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，分別作點(diǎn)關(guān)于，，的對(duì)稱點(diǎn)，，，連接，，則的最小值為_(kāi)____．5．如圖，已知中，，，垂足為，連接，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．6．四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，點(diǎn)M、N分別為BD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是線段AB、MN上的動(dòng)點(diǎn)，則AP﹣PQ的最大值為_(kāi)_____．7．如圖，AD，BE在AB的同側(cè)，AD＝2，BE＝2，AB＝4，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，若∠DCE＝120°，則DE的最大值是_____．8．已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，AD=6，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC?CD?DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)________秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．9．如圖，分別以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，在直線MN上取一點(diǎn)C，連接CA，CB，點(diǎn)D是線段AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD＝AC，點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為_(kāi)__．10．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使三角形AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠MAN的度數(shù)為_(kāi)________.11．如圖，將△ABC沿DE、DF翻折，使頂點(diǎn)B、C都落于點(diǎn)G處，且線段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，則∠A＝___度．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D為三角形右側(cè)外一點(diǎn)．且∠BDC＝45°．連接AD，若△ACD的面積為，則線段CD的長(zhǎng)度為_(kāi)__．13．如圖，∠AOB30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，且OP6，若點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是__________．14．如圖，點(diǎn)C，D分別是邊∠AOB兩邊OA、OB上的定點(diǎn)，∠AOB＝20°，OC＝OD＝4．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF+FD的最小值是____．15．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）16．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB＝48°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OB和射線OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)為最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)為_(kāi)___度．17．如圖，中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，若，，，則___________．18．如圖△ABC為等腰三角形，其中∠ABC=∠BAC=30°，以AC為底邊作△ACD，其中∠ACD=∠CAD=30°，再以AD為底邊作△ADE，其中∠ADE=∠DAE=30°，△ADE兩底角的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，已知|BP?DP|最大值為8．則DP+OP的最小值為_(kāi)________．19．已知為等邊三角形，，在邊所在直線上，點(diǎn)在邊所在直線上，且，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．20．如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)O到線段MN的距離為_(kāi)____．21．已知ABC≌EBD，∠ABC＝50°，連接AD交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)F在線段BD上，BF＝BG，∠GAB＝20°，過(guò)點(diǎn)C作平行于AB的直線交BD的延長(zhǎng)線于Q，連接FE并延長(zhǎng)交CQ于點(diǎn)P．若FPQ為等腰三角形，則∠CBE的度數(shù)為_(kāi)____度．22．如圖，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC內(nèi)部作射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)D，連接BD并延長(zhǎng)交AM于E，連接AD，CD．若BD＝2DE，ABD的面積為7，則四邊形BACD的面積為_(kāi)______．23．如圖，在等邊ABC中，AD⊥BC于D，AC＝6，點(diǎn)F是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BF，以BF為邊作等邊BFE，連接DE，則點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DE長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩銳角的角平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AC上，且都不與點(diǎn)C重合，若∠EPF＝45°，連接EF，當(dāng)AC＝6，BC＝8，AB＝10時(shí)，則△CEF的周長(zhǎng)為_(kāi)____．期末考試點(diǎn)對(duì)點(diǎn)壓軸題訓(xùn)練（二）（B卷22、23題）1．如圖，，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，以為邊在上方作等邊三角形，連接，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】1【分析】把△PBA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△PMC，連接AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出MC=3，AC=2，由三角形的三邊關(guān)系得出1≤MA≤5，進(jìn)而求出MA的最小值是1．【詳解】解：如圖，∵△PBM是等邊三角形，∴PM=PB，∴把△PBA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△PMC，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，連接AC，MC∴MC=AB=3，PC=AP=2，∠APC=60°，∴△APC是等邊三角形，∴AC=AP=2，∵CM-AC≤MA≤CM+AC，∴3-2≤MA≤3+2，即1≤MA≤5，∴MA的最小值是1．故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，正確把△PBA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△PMC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵2．如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在射線OA，OB上（都不與點(diǎn)O重合），且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)，那么以下四個(gè)結(jié)論：①PM＝PN恒成立；②MN的長(zhǎng)不變；③OM+ON的值不變；④四邊形PMON的面積不變．其中正確的為_(kāi)____．（填番號(hào)）【答案】①③④【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．【詳解】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在Rt△POE和Rt△POF中，,∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，,∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故①正確，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值，故④正確，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故③正確，∵M(jìn)，N的位置變化，∴MN的長(zhǎng)度是變化的，故②錯(cuò)誤，故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，在中，，為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在的右側(cè)作，使得，，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】30°或52.5°【分析】由“SAS”可證△BAE≌△CAF，可得∠ABC＝∠ACF，由三角形內(nèi)角和定理可求∠BAC＝30°，然后求出∠ABC＝75°，最后根據(jù)AE＝BE或AE＝AB或AB＝BE進(jìn)行討論，即可求解．【詳解】解：∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABC＝∠ACF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∠ACB＋∠ACF＋∠BCD＝180°，∴∠BAC＝∠BCD，∵∠ABC＝∠D＋∠BCD，∴∠ABC＝45°＋∠BAC＝∠ACB，∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴3∠BAC＝90°，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝75°，∵△ABE是等腰三角形，∴AE＝BE或AE＝AB或AB＝BE，當(dāng)AE＝BE時(shí)，∴∠ABE＝∠BAE＝75°，∴∠AEB＝30°，當(dāng)AB＝BE時(shí)，∴∠AEB＝∠BAE=，當(dāng)AE＝AB時(shí)，∵AE＞AC，∴AE＞AB，故AE＝AB不存在，綜上分析可知，的度數(shù)為30°或52.5°．故答案為：30°或52.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定方法，證明△BAE≌△CAF，求出∠BAC＝30°，是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在銳角中，，，△ABC的面積為8，為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，分別作點(diǎn)關(guān)于，，的對(duì)稱點(diǎn)，，，連接，，則的最小值為_(kāi)____．【答案】【分析】如圖，連接BP1，BP2，BP，利用對(duì)稱性質(zhì)，證△P1BP2是等邊三角形，從而得P1P2=BP，所以2P1P2+PP3=2BP+2PD=2(BP+PD)，當(dāng)BP+PD最小時(shí)，2P1P2+PP3值最小，從而得出當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BP+PD最小，最小值為BD，利用三角形面積求出BD長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BP1，BP2，BP，∵點(diǎn)、P1關(guān)于對(duì)稱，∴AB垂直平分PP1，PE=P1E，∴BP=BP1，∴∠EBP1=∠PBE，同理，BP=BP2，∠FBP2=∠PBF，∴∠P1BP2=∠EBP1+∠PBE+∠FBP2+∠PBF=2∠ABC=2×30°=60°，BP1=BP2，∴△P1BP2是等邊三角形，∴P1P2=BP1，∴P1P2=BP，∵點(diǎn)、P3關(guān)于AC對(duì)稱，∴PD=DP3，∴2P1P2+PP3=2BP+2PD=2(BP+PD)，∴當(dāng)BP+PD最小時(shí)，2P1P2+PP3值最小，∴當(dāng)BD⊥AC時(shí)，即B、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，則BP+PD=BD，此時(shí)BP+PD最小，最小值為BD，∵S△ABC=，AC=3，∴BD=，∴2P1P2+PP3=2BD=，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，構(gòu)造等邊三角形△P1BP2，證得P1P2=BP，再利用垂線段最短得出當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BP+PD最小，最小值為BD，從而2P1P2+PP3值最小是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知中，，，垂足為，連接，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，首先利用證明≌，得，，再證明≌，得，再利用面積求出的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，，，，，在與中，，≌，，，，，，，，，在與中，，≌，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，點(diǎn)M、N分別為BD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是線段AB、MN上的動(dòng)點(diǎn)，則AP﹣PQ的最大值為_(kāi)_____．【答案】2【分析】如圖，連接CM，CP，CQ．證明△CMN是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，再證明PA=PC，推出PA-PQ=PC-PQ≤CQ，求出CQ的最大值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接CM，CP，CQ．∵四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線BD，∴AB=BC，AD=DC，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，∵AB=AD=4，∠ABD=30°，∴AB=BC=AD=DC=4，∠ABD=∠CBD=∠CDB=30°，∴四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∵CB=CD=4，BM=DM，∴CM⊥BD，∴CM=BC=2，∵BN=CN，∴MN=BN=NC=2，∴CM=CN=MN=2，∴△CMN是等邊三角形，∵A，C關(guān)于BD對(duì)稱，∴PA=PC，∴PA-PQ=PC-PQ≤CQ，∵點(diǎn)Q在線段MN上，∴當(dāng)點(diǎn)Q與M或N重合時(shí)，CQ的值最大，最大值為2，∴PA-PQ≤2，∴PA-PQ的最大值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．7．如圖，AD，BE在AB的同側(cè)，AD＝2，BE＝2，AB＝4，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，若∠DCE＝120°，則DE的最大值是_____．【答案】6【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)M，作點(diǎn)B關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)N，連接DM，CM，CN，MN，NE．證明△CMN是等邊三角形，再根據(jù)DE≤DM+MN+EN，當(dāng)D，M，N，E共線時(shí)，DE的值最大．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)M，作點(diǎn)B關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)N，連接DM，CN，CM，MN，NE．由題意AD＝EB＝2，AC＝CB＝2，DM＝CM＝CN＝EN＝2，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∵∠DCE＝120°，∴∠ACD+∠BCE＝60°，∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，∴∠ACM+∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°，∵CM＝CN＝2，∴△CMN是等邊三角形，∴MN＝2，∵DE≤DM+MN+EN，∴DE≤6，∴當(dāng)D，M，N，E共線時(shí)，DE的值最大，最大值為6，故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．8．已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，AD=6，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC?CD?DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)________秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．【答案】1或7/7或1【分析】，只需要或即可得到△ABP和△DCE全等．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，（SAS），∴，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，當(dāng)AP=CE=2時(shí)，（SAS），∴，故答案為：1或7．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定．解題的關(guān)鍵是選擇合適的方法證明三角形全等．9．如圖，分別以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，在直線MN上取一點(diǎn)C，連接CA，CB，點(diǎn)D是線段AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD＝AC，點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為_(kāi)__．【答案】6【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（點(diǎn)A、P、D共線時(shí)取等號(hào)），∴PA+PD的最小值為6，∴PB+PD的最小值為6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和軸對(duì)稱最短距離問(wèn)題，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使三角形AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠MAN的度數(shù)為_(kāi)________.【答案】80°【分析】延長(zhǎng)AB到,使得B=AB，延長(zhǎng)AD到，使得DA=D，連接、與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N，此時(shí)△AMN周長(zhǎng)最小，然后因?yàn)椤螦MN=∠BAD－(∠BAM＋∠DAN)，之后推出∠BAM＋∠DAN的值從而得出答案．【詳解】如圖，延長(zhǎng)AB到,使得B=AB，延長(zhǎng)AD到，使得DA=D，連接、與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N∵∠ABC=∠ADC=90°∴與A關(guān)于BC對(duì)稱；與A關(guān)于CD對(duì)稱此時(shí)△AMN周長(zhǎng)最小∵BA=B，MB⊥AB∴MA=M同理：NA=N∴∠=∠AM,∠∵∠＋∠＋∠BAD=180°，且∠BAD=130°∴∠＋∠=50°∴∠BAM＋∠DAN=50°∴∠MAN=∠BAD－(∠BAM＋∠DAN)=130°－50°=80°所以答案為80°【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)以及三角形的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．11．如圖，將△ABC沿DE、DF翻折，使頂點(diǎn)B、C都落于點(diǎn)G處，且線段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，則∠A＝___度．【答案】63【分析】連接BG，CG，由折疊性質(zhì)可得，則，，在根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，得出，，由三角形的外角性質(zhì)得出，得出，即可得解；【詳解】連接BG，CG，如圖所示，由折疊的性質(zhì)可知：，∴，，又由折疊的性質(zhì)得：，，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴；故答案是63．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D為三角形右側(cè)外一點(diǎn)．且∠BDC＝45°．連接AD，若△ACD的面積為，則線段CD的長(zhǎng)度為_(kāi)__．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，由題意易得△EBD是等腰直角三角形，然后可證△BCD≌△BEA，則有∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，如圖所示：∵∠ABC＝90°，∴，∴，∵∠BDC＝45°，∠EBD＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，∵AB＝BC，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴，∵，∴，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，抓住等腰直角三角形的特征．13．如圖，∠AOB30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，且OP6，若點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是__________．【答案】6【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小，利用等邊三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=6cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=6．∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6．故答案為6．【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．14．如圖，點(diǎn)C，D分別是邊∠AOB兩邊OA、OB上的定點(diǎn)，∠AOB＝20°，OC＝OD＝4．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF+FD的最小值是____．【答案】4【分析】作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C’，作D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D’，連接C’D’，分別交AO，BO于點(diǎn)F’與點(diǎn)E’，連接CE’，DF’，C’D’即為CE+EF+FD的最小值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C’，作D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D’，連接C’D’，分別交AO，BO于點(diǎn)F’與點(diǎn)E’，連接CE’，DF’，則CE’+E’F’+F’D=C’E’+E’F’+F’D’=C’D’即為CE+EF+FD的最小值，根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠AOD’＝∠AOB＝∠BOC’＝20°，OD=OD’=OC=OC’=4，∴∠C’OD’=60°，∴△OC’D’為等邊三角形，∴C’D’=OC’=4，故答案是：4．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱??最短路徑問(wèn)題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．15．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）【答案】180°﹣α．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF＝FM，F(xiàn)B＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)AE至M，使EM＝AE，連接AF，F(xiàn)M，DM，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△AEC與△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∴FB＝FD，在△MDF與△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案為：180°﹣α．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB＝48°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OB和射線OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)為最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)為_(kāi)___度．【答案】84【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，得，；作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，得，；根據(jù)；，，，共線時(shí)，周長(zhǎng)最短，再根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，即可求出的角度．【詳解】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，；∴，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，∴，，∴當(dāng)，，，共線時(shí)，周長(zhǎng)最短又∵∴又∵∴∴在中，∴∵，∴∵故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是做出對(duì)稱點(diǎn)，找到共線時(shí)路徑最短，利用對(duì)稱性質(zhì)，對(duì)角等量代換．17．如圖，中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，若，，，則___________．【答案】20【分析】作于M，于N，則是等腰三角形，得出，證明，得到，得出，因此，設(shè)，則，，根據(jù)求出a的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到答案．【詳解】作于M，于N，如圖：則，，則是等腰三角形，，，，，在中，,，，，，設(shè)，則，，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的判定，證明三角形全等是關(guān)鍵．18．如圖△ABC為等腰三角形，其中∠ABC=∠BAC=30°，以AC為底邊作△ACD，其中∠ACD=∠CAD=30°，再以AD為底邊作△ADE，其中∠ADE=∠DAE=30°，△ADE兩底角的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，已知|BP?DP|最大值為8．則DP+OP的最小值為_(kāi)________．【答案】4【分析】作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接DD'交AC于點(diǎn)P，此時(shí)|BP?DP|最大，求得AD=AD'=CD=CD'=BD'sin30°=4，證明△D'AD是等邊三角形，推出DD'=4，證明△ODD'≌△OAD'(SSS)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接DD'交AC于點(diǎn)P，連接CD'，由三角形兩邊之差小于第三邊可知，此時(shí)|BP?DP|最大，∴BD'=|BP?DP|max=8，連接OD'，交AC于點(diǎn)H，當(dāng)P在H時(shí)，DP+OP最小；由題意可得：∠CBA=∠CAB=∠CDA=∠CAD=∠CD'A=∠CAD'=30°，∴∠BCD'=120°-∠ACD'=90°，∴AD=AD'=CD=CD'=BD'sin30°=4，∵∠D'AD=60°，∴△D'AD是等邊三角形，∴DD'=4，∵OA是∠DAE的角平分線，DO是∠ADE的角平分線，∴∠OAD=∠ODA=15°，∴∠D'AO=75°，∵，∴△ODD'≌△OAD'(SSS)，∴∠AOD'=∠DOD'=75°，∴∠D'OA=∠D'AO=75°，∴D'O=D'A=4，∴(DP+OP)min=4，故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．19．已知為等邊三角形，，在邊所在直線上，點(diǎn)在邊所在直線上，且，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】或【分析】根據(jù)題意，分情況討論，點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，點(diǎn)N在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，畫出圖形，結(jié)合含30°角的直角三角形的性質(zhì)，分別求出CN即可．【詳解】解析：如圖，①N在線段AC上時(shí)，過(guò)M作MD⊥AC于D，，∠ADM=90°，∴∠AMD=30°，，，，，，，②如圖，N在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)M作MD⊥NC于D,，，∴∠AMD=30°，，，，，，綜上所述，CN的長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)的分情況討論問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)應(yīng)用，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)O到線段MN的距離為_(kāi)____．【答案】1【分析】根據(jù)題意作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P''，連接P'P''與OA，OB分別交于點(diǎn)M與N則P'P''的長(zhǎng)即為△PMN周長(zhǎng)的最小值；連接OP'，OP''，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥P'P''，在Rt△OCP'中求出OC即可．【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P''，連接P'P''與OA，OB分別交于點(diǎn)M與N則P'P''的長(zhǎng)即為△PMN周長(zhǎng)的最小值，連接OP'，OP''，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥P'P''于點(diǎn)C由對(duì)稱性可知OP＝OP'＝OP''，∵OP＝2，∠AOB＝60°，∴∠P'＝∠P''＝30°，OP′＝OP''＝2，∴OC＝＝1；故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對(duì)稱求最短距離問(wèn)題，注意掌握通過(guò)軸對(duì)稱確定△PMN周長(zhǎng)取最小值的位置是解題的關(guān)鍵．21．已知ABC≌EBD，∠ABC＝50°，連接AD交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)F在線段BD上，BF＝BG，∠GAB＝20°，過(guò)點(diǎn)C作平行于AB的直線交BD的延長(zhǎng)線于Q，連接FE并延長(zhǎng)交CQ于點(diǎn)P．若FPQ為等腰三角形，則∠CBE的度數(shù)為_(kāi)____度．【答案】40或10或25【分析】由“SAS”可證△ABG≌△EBF，可得∠PFQ=70°，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：∵△ABC≌△EBD，∠ABC=50°，∴∠ABC=∠DBE=50°，AB=BE，∵∠GAB=20°，∴∠AGB=180°-20°-50°=110°，在△ABG和△EBF中，∵，∴△ABG≌△EBF(SAS)，∴∠AGB=∠EFB=110°，∴∠PFQ=70°，∵AB∥CQ，∴∠BCQ=∠ABC=50°，當(dāng)PF=FQ時(shí)，∴∠PQF=∠FPQ=55°，∴∠CBQ=180°-∠BCQ-∠BQC=75°，∴∠CBE=75°-50°=25°，當(dāng)PQ=QF時(shí)，∴∠QFP=∠QPF=70°，∴∠PQF=40°，∴∠CBQ=180°-∠BCQ-∠BQC=90°，∴∠CBE=90°-50°=40°，當(dāng)PF=PQ時(shí)，∴∠PQF=∠PFQ=70°，∴∠CBQ=180°-∠BCQ-∠BQC=60°，∴∠CBE=60°-50°=10°，綜上所述：∠CBE的度數(shù)為40°或10°或25°，故答案為：40或10或25．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC內(nèi)部作射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)D，連接BD并延長(zhǎng)交AM于E，連接AD，CD．若BD＝2DE，ABD的面積為7，則四邊形BACD的面積為_(kāi)______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，根據(jù)點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)D，可以證明AB＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明∠FAE＝45°，可得AF＝EF，DH＝HE，根據(jù)BD＝2DE，可以得到BF＝DF＝DE，設(shè)DE＝x，根據(jù)△ABD的面積為7，可以求出x的值，然后求出三角形ADC的面積，進(jìn)而可得四邊形BACD的面積．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，∵點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)D，∴AE是DC的垂直平分線，∴AD＝AC，∠DAE＝∠CAE，∵AB＝AC，∴AB＝AD，∵AF⊥BD，∴∠DAF＝∠BAF，∵∠BAC＝90°，∴∠FAE＝45°，∴∠AEF＝45°，∴AF＝FE，∵AF⊥BD，AB＝AD，∴BF＝FD，∴BD＝2BF＝2DF，∵BD＝2DE，∴BF＝DF＝DE，∵CD⊥AE，∴∠HDE＝45°，∴EH＝DH＝CH，設(shè)DE＝x，∴EH＝DH＝CH＝x，∴BD＝2DE＝2x，AF＝FE＝2x，∵△ABD的面積為7，∴×BD?AF＝7，∴×2x×2x＝7，解得x＝（負(fù)值舍去），∴DC＝2DH＝x＝，∵AF＝FE＝2x，∴AE＝AF＝2x，∴AH＝AE?EH＝2x-＝x＝×＝，∴S△ADC＝×DC?AH＝××＝，則四邊形BACD的面積=S△ABD＋S△ADC＝7＋＝．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰